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第11章 三角形
教材内容
本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。
三角形的高、中线和角平 分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实
验让学生了解三角形的稳定性 ，在知道三角形的内角和等于180的基础上，进行推理论证，从而得出三角
形外角的性质。接着由推广 三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了
多边形的内角和、外角和公 式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是
研究其它图形的基础。最后 结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应
用.
教学目标
1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线；
2、了解三角形的稳定 性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角
形；
3、会证明三角形内角和等于180，了解三角形外角的性质。
4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。
5、理解平面镶 嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面
镶嵌设计。
重点难点
三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角 和等于180的证
明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。

11.1.1三角形的边

[教学目标]
1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ；
2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.
3在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；
4体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心
[重点难点] 三角形的有关概念 和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系
判定三条线段可否组成三角形是难 点。
[教学过程]
一、情景导入
三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处
处都有三角形的形象。
0
0
0

那么什么叫做三角形呢？
二、三角形及有关概念

B
c
a
b
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
A
(1)
C

组成三角形的线段叫做三角形的边，相 邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公
共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可
用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
三、三角形三边的不等关系
探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点 出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可
以选择?各条路线的长一样吗?为什么？
有两条路线：（1）从B→C，（2）从B→A→C；不一样， AB+AC＞BC ①；因为两点之间线段最短。
同样地有 AC+BC＞AB ②
AB+BC＞AC ③
由式子①②③我们可以知道什么？
三角形的任意两边之和大于第三边.
四、三角形的分类
我们知道，三角形按角可分 为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角
形统称为斜三角形。
按角分类:
三角形 直角三角形
斜三角形

锐角三角形
钝角三角形


那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。

三边都相等的三角形叫做等边三角形；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。
按边分类:
三角形

不等边三角形


顶角
腰
底角

腰
底角



等边三角形
五、例题


等腰三角形

底和腰不等的等腰三角形
底边
例 用一条长为18㎝的细绳围成一个 等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多
少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰 三角形吗？为什么？
分析：（1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为x㎝，则腰长是多少？（ 2）“边长为4㎝”是
什么意思？
解：（1）设底边长为x㎝，则腰长2 x㎝。
x+2x+2x=18
解得x=3.6
所以，三边长分别为3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝.
（2）如果长为4㎝的边为底边，设腰长为x㎝，则
4+2x=18
解得x=7
如果长为4㎝的边为腰，设底边长为x㎝，则
2×4+x=18
解得x=10 < /p>

因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角 形。
由以上讨论可知，可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。
五、课堂练习
课本4頁练习1、2题。
六、课堂小结
1、三角形及有关概念；
2、三角形的分类；
3、三角形三边的不等关系及应用。
作业：
课本8頁1、2、6；
【总结反思】：



A
A

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线

〔教学目标〕
〔〕
1、经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；
2、会画三角形的 高、中线与角平分线；3、了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线
分别交于一点.
3在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯
4体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心
〔重点难点〕三角形的高、中线与 角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角
三角形的高是难点.
〔教学过程〕
一、导入新课
我们已经知道什么是三角形，也 学过三角形的高。三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值
得我们研究。
二、三角形的高
请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。
从 △ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上
的高，表示为AD⊥BC于点D。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
请你再画出这个三角形AB 、AC边上的高，看看有什么发现？
三角形的三条高相交于一点。
如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？
现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。
BDC
B
D
C

A
D
B
O

显然，上面的结论成立。
E
C
F

A
21
B
请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。
上面的结论还成立。
三、三角形的中线
D
C
如图，我们把连结△ ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，
表示为BD= DC或BD=DC＝12BC或2BD=2DC=BC.
请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？
三角的三条中线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。
上面的结论还成立。
四、三角形的角平分线
如图，画∠A的平分线AD，交∠A所 对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠
BAD=∠CAD或∠BAD=∠ CAD＝12∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。
思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。
请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？
三角形三个角的平分线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。
上面的结论还成立。
想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
五、课堂练习
课本5頁练习1、2题。
六、课堂小结
1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。
2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。
七作业：
课本8頁3、4；
【总结反思】：

11.1.3三角形的稳定性

[教学目标]
〔〕
1、 知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；
2、 了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。
3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯
[重点难点] 三角形稳定性及应用。
[教学过程]
一、情景导入
盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

二、三角形的稳定性
〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
（2）

不会改变。
会改变。
3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。
从上面的实验中，你能得出什么结论？
三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用 三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生
活中都有广泛的应用。 如：
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边
形的不稳定性。
你还能举出一些例子吗？
四、课堂练习
1、下列图形中具有稳定性的是（ ）
A正方形 B长方形 C直角三角形 D平行四边形
2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？

2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

3、课本7頁练习。
五作业：8頁5；9頁10题。
【总结反思】：




11.2.1三角形的内角

[教学目标]
〔〕
1、掌握三角形内角和定理。
2、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯
3、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心
[重点难点] 三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。
[教学过程]
一、导入新课
我们在小学就知道三角形内角和等于180，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不 是真命题还需
要证明，怎样证明呢？
二、三角形内角和的证明
回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出
∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=180。[投影1]
0
0

图1
想一想，还可以怎样拼？
①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=180。
0

图2

0
②把
B
和
C
剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=180。

0
如果把上面移动的角在图上进行转 移，由图1你能想到证明三角形内角和等于180的方法吗？
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180。
证明一
过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180
∴∠A+∠B+∠ACB=180。
即：三角形的内角和等于180。
由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。
三、例题
例 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在 B岛的北偏西40方向，
从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
000
0
0
0
0

分析：怎样能求出∠ACB的度数？
根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。
∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？
解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=80-50=30
∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=180
∴∠ABE=180-∠BAD=180-80=100
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100-40=60
∴∠ACB=180-∠ABC-∠CAB=180-60-30=90
答：从C岛看AB两岛的视角∠ACB=180是90。
四、课堂练习
课本13頁1、2题。
五作业：
16頁1、3、4；
【总结反思】：
00
00000
000
0000
0
000

11.2.2三角形的外角

[教学目标]
1、理解三角形的外角；
2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。
[重点难点] 三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。
[教学过程]
一、导入新课
〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
是∠A、∠B、∠C，它们的和是180。
若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角
有什么关系？
二、三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角
形的外角。
想一想，三角形的外角共有几个？
共有六个。
注意：每个顶点处有两个外角，它们 是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取
一个外角.
三、三角形外角的性质
容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那 与另外两个角有怎样的数量关系呢？
〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线， 你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B
的关系吗？
∵CE∥AB， ∴∠A=∠1，∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由加数与和的关系你还能知道什么？
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
即
ACDA
，
ACDB
。
四、例题
〔投影3〕例 如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？
分 析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？
解：∵∠1+∠BAC=180，∠2+∠ABC=180，∠3+∠ACB=180，
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=540
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=180
∴∠1+∠2+∠3==360。
你能用语言叙述本例的结论吗？
三角形外角的和等于360。
五、课堂练习
课本15頁练习；
六、课堂小结
1、什么是三角形外角？
0
0
0
0
000
0

2、三角形的外角有哪些性质？
七、作业：
课本12頁5、6；

11．3．1 多边形

[教学目标]
1、 了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．
2、 区别凸多边形与凹多边形．
[重点难点] 多边形及有关概念、正多边形的概念是重点；区别凸多边形与凹多边形是难点。
[教学过程]
一、情景导入
[投影1]看下面的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？

二、多边形及有关概念
这些图形有什么特点？
由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接．
这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形 按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由
几条线段组 成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。
与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形 的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形 的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。[投
影2]

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看。
你能猜想n边形有多少条对角线吗？说说你的想法。
n边形有12n（n－3）条对角线。因 为从n边形的一个顶点可以引n－3条对角线，n个顶点共引n（n
－3）条对角线，又由于连接任意两 个顶点的两条对角线是相同的，所以，n边形有12n（n－3）条对角线。
三、凸多边形和凹多边形
[投影3]如图，下面的两个多边形有什么不同？

在图（1）中， 画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的
四边形叫做凸四 边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画
BD所在直线 ，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。
注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．
四、正多边形的概念
我们知道， 等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相
等的多边形叫做 正多边形。
[投影4]下面是正多边形的一些例子。

五、课堂练习
课本21頁练习1、2。
3、有五个人在告别的时候相互各握了一次手，他们共握了多少次手？你能找 到一个几何模型来说明
吗？
六、课堂小结
1、多边形及有关概念。
2、区别凸多边形和凹多边形。
3、正多边形的概念。
4、n边形对角线有12n（n－3）条。
七、作业：
课本24頁1。
【总结反思】：


11．3．2 多边形的内角和

[教学目标]
1、 了解多边形的内角、外角等概念；
2、 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
[重点难点]多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点；多边形的内角和定理的推导是难点。
[教学过程]
一、复习导入
我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我 们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边
形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定 理证明吗？

二、多边形的内角和
〔投影1〕如图，从四边形的一个顶点出发 可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么
四边形的内角和等于多少度？
A
D
B

C

可以引一条对 角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内
角和=2 ×180°=360°。
类似地，你能知道五边形、六边形…… n边形的内角和是多少度吗？
〔投影2〕观察下面的图形，填空：

五边形 六边形
从五边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将五边形分成 三角形，五边形的内角和等
于 ；
从六边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将六边形分成 三角形，六边形的内角和等
于 ；
〔投影3〕从n边形一个顶点出发，可以引 对角线，它们将n边形分成 三角形，n边形的内角
和等于 。
n边形的内角和等于（n一2）·180°．
从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以 将n边形分成若干个三角形来求。现在以五边形为例，
你还有其它的分法吗？
分法一 〔投 影3〕如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、
OC、OD、OE，则得五个三角 形。
∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。
A
1
O
2
B
C
A
D
E
D
E
B
5
3
4
A
D
12
O
3
4
C
B
C

图1 图2
分法二 〔投影4〕如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形。
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n一2）×180°．
三、例题
〔投影6〕例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．

分析：∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°
又∠A＋∠C＝180°
∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
〔投影7〕例2 如图，在 六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六
边形的外角和等于多少？ < br>如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3 +∠4+∠5+
∠6的值．
分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？
A B
2
1
6
F
5
C
3
E
D4

解：∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BAD=180°
∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°
∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+ ∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°
又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°
∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+ ∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°
这就是说，六边形形的外角和为360°。
如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：
n边形的外角和等于360°。
对此，我们也可以这样来理解。〔投影8〕如图，从多边形的 一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶
点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个 角的和就是多边形的外角和，由于走了一
周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°．
四、课堂练习
课本24頁1、2、3题。
五、课堂小结
n边形的内角和是多少度？
n边形的外角和是多少度？
六、作业：
课本24頁2、3；
【总结反思】：

本章小结
一、知识结构


高
与三角形有
关的线段
中线
角平分线
三角形
三角形的内角和 多边形的内角和











三角形的外角和
二、回顾与思考
多边形的外角和
1、什么是三角形？什么是多边形？什么是正多边形？
三角形是不是多边形？
2、什么是三角形的高、中线、角平分线？什么是对角线？
三角形有对角线吗？n边形的的对角线有多少条？
3、三角形的三条高，三条中线，三条角平分线各有什么特点？
4、三角形的内角和是多少？n边形的内角和是多少？
你能用三角形的内角和说明n边形的内角和吗？
5、三角形的外角和是多少？n边形的外角和是多少？
你能说明为什么多边形的外角和与边数无关吗？
6、怎样才算是平面镶嵌？平面镶嵌的条件是什么？能单独进行平面镶嵌的多边形有哪些？
你能举一个几个多边形进行平面镶嵌的例子吗？
三、例题导引
例1 如图，在△A BC中，∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于点
H，求∠BHC的度数。



A
B
H
E
D
C

例2 如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
探索∠A与∠1＋∠2有什么数量关系？并说明理由。

B
A
A
1
E
D
C
P
2


例3 如图所示,在△ABC中,△ABC的内角平分线与外角平分线交于
点P,试说明∠P＝12∠A.





四、巩固练习课本28—29頁复习题7（第3题可不做）.
【总结反思】：
B
C
(2)





第十二章 全等三角形
单元要点分析
教学内容
本章的主要内容是全等三角形．主要学习全等三角形的性质以及探索判定三角形全等的方法，并 学会
怎样应用全等三角形进行证明，本章划分为三个小节，第一节学习三角形全等的概念、性质；第二节 学习
三角形全等的判定方法和直角三角形全等的特殊判定方法；第三节利用三角形全等证明角的平分线的 性质，
会利用角的平分线的性质进行证明．
教材分析
教材力求创 设现实、有趣的问题情境，使学生经历从现实活动中抽象出几何模型和运用所学内容解决
实际问题的过程 ．在内容呈现上，把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件上，通过“边边边”条件
探索什么是三角 形的判定，如何判定，怎样进行推理论证，怎样正确地表达证明过程．学生开始学习三角
形判定定理时的 困难在于定理的证明，而这些推理证明并不要求学生掌握．为了突出判定方法这条主渠道，
教材都作为基 本事实提出来，在画图、实验中让学生知道它们的正确性就可以了．在“角的平分线的性质”
一节中的两 个互逆定理，只要求学生了解其条件与结论之间的关系，不必介绍互逆命题、互逆定理等内容，

< br>这将在“勾股定理”中介绍．
重、难点与关键
1．重点：使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．
2．难点：领会证明的分析思路，学会运用综合法证明的格式．
3．关键：突出三角形全等的判定方法这条主线，淡化对定理的证明．
教学建议
1．注意使学生经历探索三角形性质及三角形全等的判定的过程．在教学中鼓励学生观察、操作、推理，
运用多种方式探索三角形有关性质．
2．注重创设具有现实性、趣味性和挑战性的情境，体现三角形的广泛应用．
3．注意直观操作与说理的结合，逐步培养学生有条理的思考和表达．
课时划分
本单元共分成9课时．
12．1 全等三角形 1课时
12．2 三角形全等的性质 5课时
12．3 角的平分线的性质 2课时
复习与交流 1课时
12.1 全等三角形
教学内容
本节课主要介绍全等三角形的概念和性质．
教学目标
1．领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念．
2．经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角．
3．培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：会确定全等三角形的对应元素．
2．难点：掌握找对应边、对应角的方法．
3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两 个对应角
所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，•两条对应边所夹的角是对应角．
教具准备
四张大小一样的纸片、直尺、剪刀．

教学方法
采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．
教学过程
一、动手操作，导入课题
1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，•思考得到的图形有何特点？
2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，•思考得到的图形有何特点？
【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论．
【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．
学生在操作过程中，教师要让 学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要
细心．
【互动 交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形
叫做全等形 ，用“≌”表示．
概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
【 教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、
旋转， 观察其运动前后的三角形会全等吗？
【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等．
【教师活动】要求学生用字 母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、
三条边、每条边的边角、每个角 的对边．
【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1） 何时能完全重在一
起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？
【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论：
1．任意放置时，并不一定完全重合，•只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．
2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了．
3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，•对应顶点在相对应的位置．
【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范．
1．概念：把两个全等的三角 形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，•重合的边叫做对应边，重合
的角叫做对应角．
2 ．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，•如果本图11．1─2△ABC
和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，•记作△ABC≌△DBC．

【问题提出】课本图11．1─1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？
【学生活动】经过观察得到下面性质：
1．全等三角形对应边相等；
2．全等三角形对应角相等．
二、随堂练习，巩固深化
课本P37练习．
【探研时空】
1．如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20c m，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交
流．（AB=6）

2．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数 ．•（∠AEC=30°，
∠EAC=65°，∠ECA=85°）
三、课堂总结，发展潜能
1．什么叫做全等三角形？
2．全等三角形具有哪些性质？
四、布置作业，专题突破
课本P43习题12．1第1，2，3，4题．
疑难解析
由于两个三角形的位置 关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻
找对应边、角的规律：（1 ）有公共边的，•公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；
（3）有对顶角的， 对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），
一对最短的边 （或最小的角）是对应边（或角）

12.2.1三角形全等的判定（SSS）

教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SSS），•及利用全等三角形进行证明．
教学目标
1．了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．
2．经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题．
3．培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识．
重、难点
1．重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法．
2．难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法．
教具准备
一块形状如图1所示的硬纸片，直尺，圆规．

(1) (2)
教学方法
采用“操作──实验”的教学方法，让学生亲自动手，形成直观形象．
教学过程
一、设疑求解，操作感知
【教师活动】（出示教具）

问题提出 ：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，•你对图中的残片作哪些测量，就可
以割取符合 规格的三角形玻璃，与同伴交流．

【学生活动】观察，思考，回答教师的问题．方法如 下：可以将图1•的玻璃碎片放在一块纸板上，然
后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图2 ，•剪下模板就可去割玻璃了．
【理论认知】
如果△ABC≌△A′B′ C′，那么它们的对应边相等，对应角相等．•反之，•如果△ABC与△A′B′C′
满足三条边对应 相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′．
这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′，从刚才的实践我 们可以发现：•只要两个三角形三条对应
边相等，就可以保证这两块三角形全等．
信不信？
【作图验证】（用直尺和圆规）
先任意画出一个△ABC，再画 一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把画出的△A′
B′C′ 剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）
【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证．（如课本图11．2-2所示）

画一个△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC：
1．画线段取B′C′=BC；
2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；
3．连接线段A′B′、A′C′．
【教师活动】巡视、指导，引入课题：“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？”
【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理．
（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．
（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．
【评析】通过学生全过程的画 图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论──边边边，在这个
过程中，学生不仅得到了两个三角 形全等的条件，同时增强了数学体验．
二、范例点击，应用所学
【例1】如课本图 11．2─3所示，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求
证△A BD≌△ACD．（教师板书）
【教师活动】分析例1，分析：要证明△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等．

证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中

ABAC,


BDCD,


ADAD.

∴△ABD≌△ACD（SSS）．
【评析】符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”；从例1可以看出，•证明是由题设（已知）出
发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程．书写中注意对应顶点要写在同一个位置上，
哪个三角形先写，哪个三角形的边就先写．
三、实践应用，合作学习
【问题思考】
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在直线上，AD=FB（如图所示）， 要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，
除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条 件？怎样才能得到这个条件？

【教师活动】提出问题，巡视、引导学生，并请学生说说自己的想法．
【学生活动】先独立思 考后，再发言：“还应该有AB=FD，只要AD=FB两边都加上DB即可得到AB=FD．”
【教学形式】先独立思考，再合作交流，师生互动．
四、随堂练习，巩固深化
课本P37练习．
【探研时空】
如图所示，AB=DF，AC=DE，BE=CF ，BC与EF相等吗？•你能找到一对全等三角形吗？说明你的理
由．（BC=EF，△ABC≌△DF E）

五、课堂总结，发展潜能
1．全等三角形性质是什么？

2．正确地判断出全等三角形的对应边、对应角，•利用全等三角形处理问题的 基础，你是怎样掌握判
断对应边、对应角的方法？
3．“边边边”判定法告诉我们什 么呢？•（答：只要一个三角形三边长度确定了，则这个三角形的形状
大小就完全确定了，这就是三角形 的稳定性）
六、布置作业，专题突破
1．课本P15习题11．2第1，2题．
2．选用课时作业设计．
七、板书设计
把黑板平均分成三份，左边部分板书“边边边”判定法，中间部分板书例题，右边部分板书练习．


12.2.2 三角形全等判定（SAS）

教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SAS），及利用全等三角形证明．
教学目标
1． 领会“边角边”判定两个三角形的方法．
2． 经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决简单的推理问题．
3．培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值．
重、难点
1．重点：会用“边角边”证明两个三角形全等．
2．难点：应用结合法的格式表达问题．
教具准备 投影仪、直尺、圆规．
教学方法 采用“操作──实验”的教学方法，让学生有一个直观的感受．
教学过程
一、回顾交流，操作分析
【动手画图】
【投影】作一个角等于已知角．
【学生活动】动手用直尺、圆规画图．
已知：∠AOB．

求作：∠A
1
O
1
B< br>1
，使∠A
1
O
1
B
1
=∠AOB．
【作法】（1）作射线O
1
A
1
；（2）以点O为圆心，以 适当长为半径画弧，交OA•于点C，•交OB于点D；
（3）以点O
1
为圆心，以O C长为半径画弧，交O
1
A
1
于点C
1
；（4）以点C1
为圆心，以CD•长为半径画弧，交
前面的弧于点D
1
；（5）过点D
1
作射线O
1
B
1
，∠A
1
O
1
B
1
就是所求的角．
【导入课题】
教师叙述： 请同学们连接CD、C
1
D
1
，回忆作图过程，分析△COD和△C
1
O
1
D
1
•中相等的条件．
【学生活动】与同伴交流，发现下面的相等量：
OD=O
1
D
1< br>，OC=O
1
C
1
，∠COD=∠C
1
O
1
D
1
，△COD≌△C
1
O
1
D
1
．
归纳出规律：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS•”）．
【评析 】通过让学生回忆基本作图，在作图过程中体会相等的条件，在直观的操作过程中发现问题，
获得新知， 使学生的知识承上启下，开拓思维，发展探究新知的能力．
【媒体使用】投影显示作法．
【教学形式】操作感知，互动交流，形成共识．
二、范例点击，应用新知
【例2】如课本图11．2-6所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直 接
到达A和B的点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，•使CE=CB，连接 DE，那么量出DE
的长就是A、B的距离，为什么？

【教师活动】操作投 影仪，显示例2，分析：如果能够证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB=DE．在△ABC
和△D EC中，CA=CD，CB=CE，如果能得出∠1=∠2，△ABC和△DEC•就全等了．
证明：在△ABC和△DEC中

CACD


12


CBCE

∴△ABC≌△DEC（SAS）
∴AB=DE
想一想：∠1=∠2的依据是什么？（对顶角相等）AB=DE的依据是什么？（全等三角形对应边相等）

【学生活动】参与教师的讲例之中，领悟“边角边”证明三角形全等的方法，学会分析推理和规范书
写．
【媒体使用】投影显示例2．
【教学形式】教师讲例，学生接受式学习但要积极参与．
【评析】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解
决．
三、辨析理解，正确掌握
【问题探究】（投影显示）
我 们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等”的
条件能 判定两个三角形全等吗？为什么？
【教师活动】拿出教具进行示范，让学生直观地感受到问题的本质．
操作教具：把一长一短两根细木棍 的一端用螺钉铰合在一起，•使长木棍的另一端与射线BC的端点B
重合，适当调整好长木棍与射线BC 所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来（课本图11．2-7），出
现一个现象：△ABC与△A BD满足两边及其中一边对角相等的条件，但△ABC与△ABD不全等．这说明，•
有两边和其中一边 的对角对应相等的两个三角形不一定全等．

【学生活动】观察教师操作教具、发现问题、辨 析理解，动手用直尺和圆规实验一次，做法如下：（如
图1所示）

（1） 画∠ABT；（2）以A为圆心，以适当长为半径，画弧，交BT于C、C′；（3）•连线AC，AC′，△< br>ABC与△ABC′不全等．
【形成共识】“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．
【教学形式】观察、操作、感知，互动交流．
四、随堂练习，巩固深化
课本P39练习第1、2题．
【探研时空】

一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：（如图2所示）

在一 次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距
离．在不能 过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法，他面向碉堡的方向站
好，然后调 整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部．然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这
时视线落在 了自己所在岸的某一点上．接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他
与碉堡间的 距离．（如图3所示）

（1）按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，•并通过测量加以验证．
（2）你能解释其中的道理吗？
【思路点拨】情境中使用的方法在实际应用中虽然是一种估测 ，但用到的原理都是三角形全等（SAS）；
教学中，让学生在教室里或操场上亲自做一做，•实际体验 ．
五、课堂总结，发展潜能
1．请你叙述“边角边”定理．
2．证明两个三角形全等的思路是：首先分析条件，•观察已经具备了什么条件；然后以已具备的条件
为 基础根据全等三角形的判定方法，来确定还需要证明哪些边或角对应相等，再设法证明这些边和角相等．
六、布置作业，专题突破
1．课本P43习题12．2第3、4题．
【总结反思】：

12.2.3 三角形全等判定（ASA）
教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的判定（ASA，AAS），•及利用全等三角形的证明．
教学目标
1． 理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法．
2． 经历探索“角边角”、“角角边”判定三角形全等的过程，能运用已学三角形判定法解决实际问题．
3． 培养良好的几何推理意识，发展思维，感悟全等三角形的应用价值．
重、难点
1．重点：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等．
2．难点：学会综合法解决几何推理问题．
教具准备
投影仪、幻灯片、直尺、圆规．
教学方法
采用“问题教学法”在情境问题中，激发学生的求知欲．
教学过程
一、回顾交流，巩固学习
【知识回顾】（投影显示）
情境思考：
1．小菁做了一个如图1所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，•将上述条件注 在图中，小明不用测
量就能知道EH=FH吗？与同伴交流．

(1) (2)
[答案：能，因为根据“SAS”，可以得到△EDH≌△FDH，从而EH=FH]

2．如图2，AB=AD，AC=AE，能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗？[答 案：BC=•DE（SSS）或∠BAC=
∠DAE（SAS）]．

3．如果两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形一定会全等吗？试举例说明．
【教师活动】操作投影仪，提出问题，组织学生思考和提问．
【学生活动】通过情境思考，复 习前面学过的知识，学会正确选择三角形全等的判定方法，小组交流，
踊跃发言．
【教学形式】用问题牵引，辨析、巩固已学知识，在师生互动交流过程中，激发求知欲．
二、实践操作，导入课题
【动手动脑】（投影显示）
问题探究：先任意画 一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即
使两 角和它们的夹边对应相等），把画出的△A′B′C′剪下，•放到△ABC上，它们全等吗？
【学生活动】动手操作，感知问题的规律，画图如下：
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，
∠A′=∠A，∠B′=∠B：
1． 画A′B′=AB；
2． 在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A，
∠EBA′=∠B，A′D，B′E交于点C′。
探究规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．
【知识铺垫】课本图11．2─8中，∠A′=∠A，∠B′=∠B，那么∠C=∠A′C′B•′吗？为什么？
【学生回答】根据三角形内角和定理，∠C′=180°-∠A′-∠B′，∠C=180°- ∠A-∠B，由于∠A=∠A′，
∠B=∠B′，∴∠C=∠C′．
【教师提问】在△ABC 和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF（课本图11．2─9），△ABC与△DEF
全 等吗？

【学生活动】运用三角形内角和定理，以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD，并且归纳如下：
• •归纳规律：•两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简与成AAS）．
三、范例点击，应用所学
【例3】如课本图11．2─10，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．
【教师活动】引导学生，分析例3．•关键是寻找到和已知条件有关的△ACD•和△ABE，再证它们 全等，

从而得出AD=AE．
证明：在△ACD与△ABE中，
A

AA(公共角)



ACAB

CB

∴△ACD≌△ABE（ASA）
∴AD=AE
【学生活动】参与教师分析，领会推理方法．
【媒体使用】投影显示例3．
【教学形式】师生互动．
【教师提问】三角对应相等的两个三角形全等吗？
DB
E
C
【学生活动】与同伴交流，得到有三角对应相等的两个三角形不一定会全等 ，拿出三角板进行说明，
如图3，下面这块三角形的内外边形成的△ABC和△A′B•′C′中，∠A =∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
但是它们不全等．（形状相同，大小不等）．

四、随堂练习，巩固深化
课本P13练习第1，2题．
【探研时空】
1．如图4，小红不慎将一块三角形模具打碎为两块，•她是否可以只带其中一 块碎片到商店去，就能
配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？为什么？

【思路点拨】这是一个实际问题，应带含有两个角的那一块，由“角边角”可知，利 用这块能配出一
个与原来全等的三角形模具．
2.小颖在练习本上画一个三角形，小兰和她开 个玩笑，•将墨迹污染到这块三角形的图形上（如图5），
急得小颖直叫，•要小兰画出一个与原来完全 一样的三角形来，小兰该怎么办呢？你能帮她吗？

【思路点拨】观 察图形，可知未被墨水污染的有两条边及其夹角，•根据“SAS”可以作一个与原来完
全一样的三角形 ．
五、课堂总结，发展潜能
1．证明两个三角形全等有几种方法？如何正确选择和应用这些方法？
2．全等三角形性质可以用来证明哪些问题？举例说明．
3．你在本节课的探究过程中，有什么感想？
六、布置作业，专题突破
1．课本P44习题12．2第5，6，9，10题．
七、板书设计
把黑 板分成三部分，左边部分板书“角边角”、“角角边”判定法，中间部分板书例题、画图，右边部
分板书 练习．
【总结反思】：








12.2.5 直角三角形全等判定（HL）
教学内容
本节课主要内容是探究直角三角形的判定方法．
教学目标
1．在操作、比较中理解直角三角形全等的过程，并能用于解决实际问题．
2．经历探索直角三角形全等判定的过程，掌握数学方法，提高合情推理的能力．
3． 培养几何推理意识，激发学生求知欲，感悟几何思维的内涵．

重、难点与关键
1．重点：理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法．
2．难点：培养有条理的思考能力，正确使用“综合法”表达．
3．关键： 判定两个三角形全等时，•要注意这两个三角形中已经具有一对角相等的条件，只需找到另
外两个条件即 可．
教具准备
投影仪、幻灯片、直尺、圆规．
教学方法
采用“问题探究”的教学方法，让学生在互动交流中领会知识．
教学过程
一、回顾交流，迁移拓展
【问题探究】
图1是两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，•这两个直角三角形才能全等？

【教师活动】操作投影仪，提出“问题探究”，组织学生讨论．
【学生活动】小组讨论，发表意见：“由三角形全等条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角
对 应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了．”
【媒体使用】投影显示“问题探究”．
【教学形式】分四人小组，合作、讨论．
【情境导入】如图2所示．

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员 想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有
一条直角边被花盆遮住无法测量．
（1）你能帮他想个办法吗？
（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两

个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？
【思路点拨】（1）学生可以回答 去量斜边和一个锐角，或直角边和一个锐角，•但对问题（2）学生难
以回答．此时，•教师可以引导学 生对工作人员提出的办法及结论进行思考，并验证它们的方法，从而展开
对直角三角形特殊条件的探索．
【教师活动】操作投影仪，提出问题，引导学生思考、验证．
【学生活动】思考问题，探究原理．
做一做如课本图11．2─11：任意画出一个Rt△A BC，使∠C=90°，再画一个Rt•△A′B′C′，使B′
C′=BC，A′B′=AB，把画好 的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，•它们全等吗？
【学生活动】画图分析，寻找规律．如下：
规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;
1． 画∠MC′N=90°。
2． 在射线C′M上取B′C′BC。
3． 以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。
4． 连接A′B′。
二、范例点击，应用所学
【例4】如课本图11．2─12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．


【思路点拨】欲证BC=•AD，•首先应寻找和这两条线段有关的三角形，•这里 有△ABD和△BAC，△ADO
和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△ BAC•具备全等的条件．
【教师活动】引导学生共同参与分析例4．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥BD，
∴∠C与∠D都是直角．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，


ABBA,



ACBD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．
∴BC=AD．
【学生活动】参与教师分析，提出自己的见解．
【评析】在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明．
【媒体使用】投影显示例4．
三、随堂练习，巩固深化
课本P43第练习1、2题．
【探研时空】
如图3，有两个长度相同的滑梯，左边 滑梯的高度AC•与右边滑梯水平方面的长度DF相等，两个滑梯
的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有 什么关系？

下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？（如图4所示）


BCEF,ACDF


→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°．
CABFDE90

有一条直角边和斜边对应相等，所以△ABC 与△DEF全等．这样∠ABC=∠DEF，也就是∠ABC+∠DEF=90°．
在Rt△ ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，因此这两个三角形是全等的，这样∠ABC=∠DEF，所 以∠ABC
与∠DEF是互余的．
【教学形式】这个问题涉及的推理比较复杂，可以 通过全班讨论，共同解决这个问题，但不需要每个
学生自己独立说明理由，只要求学生能看懂三位同学的 思考过程就可以了．
四、课堂总结，发展潜能
本节课通过动手操作，在合 作交流、比较中共同发现问题，培养直观发现问题的能力，在反思中发现
新知，体会解决问题的方法．通 过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求，可知判定直角三角形全等
有五种方法．（教师让学生讨论 归纳）
五、布置作业，专题突破
1．课本P44习题12．2第7，8题。

12.3 角的平分线的性质(1)
教学内容
本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．
教学目标
1．通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．
2．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．
3．激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
重、难点
1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．
2．难点：两个互逆定理的实际应用．
教具准备
投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．
教学方法
采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．
教学过程
一、创设情境，导入新课
【问题探究】（投影显示）
如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着
角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？
【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究
的问题．
【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─ 1判定法，可以说明这
个仪器的制作原理．
【教师活动】
请同学们和老师一起完成下面的作图问题．
操作观察：
已知：∠AOB．
求法：∠AOB的平分线．
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于 M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于

1
MN的长为半径作弧，两 弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC•即为所求（课本图11．3
2
─ 2）．
【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．
【媒体使用】投影显示学生的“画图”．
【教学形式】小组合作交流．
二、随堂练习，巩固深化
课本P19练习．
【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD与直线AB是互相垂直的．
【探研时空】（投影显示）
如课本图12．3─3，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一 条折痕为斜边），然后展开，观
察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．
【学生活动】实践感知，互动交流，得出结 论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，
第二次折叠形成的两条折痕PD、PE 是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”
论证如下：
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E（课本图11．3 ─4）
求证：PD=PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，

PDOPEO,


AOCBOC,


OPOP,

∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE
【归纳如下】
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．
三、情境合一，优化思维
【问题思索】（投影显示）
如课本图11．3─5，要在 S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉
处500米，这个集贸市场应 建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？

【学生活动】四 人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到
角的两边距离相等， 将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．
证明如下：
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：经过点P作射线OC．
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中，

OPOP,


PDPE,

∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线．
【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．
【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认
识．
四、范例点击，应用所学
【例】 如课本图12．3─6，△ABC的角平分线BM ，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA
的距离相等．
【思路点拨 】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所

以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图
中画实线，在证明中就可以不写．
【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．
证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．
∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
∴PD=PE
同理 PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等．
【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只 是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细
证明过程．
【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．
五、随堂练习，巩固深化
课本P22练习．
六、课堂总结，发展潜能
1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．
2．说明本节例子实际上是证明 三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切
圆的圆心（为以后学习设伏）．
七、布置作业，专题突破
1．课本P22习题11．3第1、2、3题．
2．选用课时作业设计．
【总结反思】：

12.3 角的平分线的性质（巩固练习）
教学内容
本节课主要是对角的平分线的性质定理的应用展开讨论，让学生熟练地应用它们解决实际问题．
教学目标
1．能应用角的平分线的性质定理解决一些实际的问题．
2．经历探索角的平分线性质的应用过程，领会几何分析的内涵，掌握综合法的表达思想．
3．激发学生的逻辑思维，在比较中获取知识，使学生感悟几何的简练思维．
重、难点
1．重点：应用角的平分线性质定理．
2．难点：应用“综合法”进行表达．
教具准备 投影仪、幻灯片、直尺、圆规．
教学方法
一、回顾交流，练中反思
【概念复习】
【教学提问】同学们能否从集合的观点来说明角的平分线的性质．
【学生活动】在教师对“集 合”的思想做初步讲解后，学生可以通过交流得出：角的平分线是到角的
两边距离相等的所有点的集合．
【分层练习】（投影显示）
1．已知：如图1，△ABC中，AD是角的平 分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足，求
证：EB=FC．

【思路点拨】只要证明EB和FC分别所在的两个三角形全等（△EBD≌△FCD）．
【教师活动】操作投影仪，巡视，启发引导，适时提问．
【学生活动】小组合作学习，寻求解题思路，踊跃上台演示自己的证明．
证明：∵AD是角的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
在△EBD和△FCD中，


BEDCFD90,



BDCD,

DEDF.

∴△EBD≌△FCD（HL）
∴EB=FC
【媒体使用】投影显示“分层练习1”和学生的练习．
【教学形式】小组合作（4人小组）交流，然后全班汇报，以练促思．
2．已知：如图2，河的南区有 一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河
上公路桥的距离为300米，在图 上标出工厂的位置，并说明理由．

【思路点拨】画图略，根据角的平分线性质，工厂应在河流与公路交角的平分线上．
【教师活动】操作投影仪，提出问题，参与学生的思考和讨论．
【学生活动】分四人小组积极地讨论，得出结论，踊跃发表自己的看法．
【媒体使用】投影显示“分层练习2”．
【教学形式】合作学习，生生互动交流．
二、操作观察，辨析理解
【操作思考】（投影显示）
首先按如下步骤进行操作：
（1）在一张纸上任意画一个角（角的边不要画得太短）∠AOB．
（2）剪下所画的角．
（3）折叠所画的角，使角的两边OA与OB重合，设折痕为Ox，如图3．

（4）在折叠形成的两层纸之间放入复写纸．
（5）在Ox上取一点P，并且过点P画OA的垂线．
（6）拿出复写纸，并且把折叠的纸展 开观察展开后的图形，并进行思考，上面的操作反映了哪条规律？

是课本上一节课中的那 个概念吗？
【教师活动】操作投影仪，巡视，参与学生的讨论，引导启发．
【学生活动】分四人小组合作学习，从操作中感悟知识和规律，得到结论：反映规律是：角的平分线
上的 点到角的两边距离相等．
【媒体使用】投影显示“操作思考”．
【教学形式】分四人小组合作学习，动手动脑，互动交流．
三、课堂演练，系统跃进
1．已知：如图4，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF．求证：（1）AE= CF；（•2）AB∥CD．

[提示]应用HL证Rt△ABC≌Rt△CED
2．已知：如图5，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， •垂足分别是M、N，
求证PM=PN．
A
M
P
D
N
C

B
[提 示]∵∠ABD=∠CBD，AB=CB，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，又PM ⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．
四、课堂总结，发展潜能
由学生分四人小组进行学习反思，然后各小组汇报学习情况．
五、布置作业，专题突破
1．课本P51习题12．3第4、5题．
【总结反思】：

第十二章 全等三角形复习
教学内容
本节课主要进行系统的复习，让学生建构出完整的知识体系．
教学目标
1．理解全等三角形的性质与判定定理，以及角的平分线性质，会应用在实际的问题中．
2． 经历探究全等三角形有关性质和判定等概念，掌握几何的分析思想，能应用“综合法”表达问题．
3．发展学生的逻辑思维，提高合情推理能力，体会几何学的实际应用价值．
重、难点与关键
1．重点：应用全等三角形性质与判定定理解决实际问题．
2．难点：分析思路的形成．
3．关键：明确全等三角形的应用思想，养成说理有据的意识．
教具准备 投影仪、幻灯片．
教学方法 采用“精讲─精练”的教学方法，让学生自主构筑知识体系．
教学过程
一、回顾交流，系统跃进
【交流讨论】
教学形式：分四人小组，回顾小结．然后，教师请三位同学谈谈他是怎么总结的．
【知识结构图】见课本，用投影显示．
教师提问：
1．举一些全等形的实例，全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？
【学生活动】踊跃举手，发言：全等三角形对应角相等，对应边相等．
【媒体使用】投影显示一些生活中的全等图形，配合学生的认知．
【教师提问】一个三角形有 三条边，三个角，从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判定
的？哪些是不能够判定的？
【学生活动】小组讨论，互动交流．
形成共识：（1）边边边；（2）边角 边；（3）角边角；（4）角角边；（5）斜边、直角边（证Rt△）等能
够判定两个三角形全等．（1 ）SSA，（2）AAA，是不能够判定两个三角形全等的．
【教师提问】
1．你对角的平分线有了哪些新的认识？•你能用全等三角形证明角的平分线性质吗？
2．你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？

【学生活动】小组讨论，形成共识．
二、课堂演练，巩固学习
【演练题1】如图1 ，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，求∠DFB和∠DGB的度数．（85°，60°）

(1) (2) (3)
【演练题2】如图2，点A，B，C，D在一条直线上，△ACE≌△BDF.
求证：（1）AE∥BF；（2）AB=CD．
[（1）∵△ACE≌△BDF，∴∠A=∠DBF，∴AE∥BF；
（2）∵△ACE≌△BDF，•∴AC=BD，∴AB=CD]
【演练题3】若△ ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A°，∠B=∠B′，且∠C=50°，∠B′=75°，AC=4cm；< br>求∠A，∠B的度数及A′C′的长．（∠A=55°，∠B=75°，A′C′=4cm）
【教师活动】操作投影仪，巡视、关注学生的思维，请三位学生上台演示．
【学生活动】书面练习，与同伴交流，踊跃上台演示．
【媒体使用】投影显示“演练题”，和学生的练习（实物投影）．
【教学形式】自主、合作、交流．
【教师活动】和学生一起总结，认识，提高．
【评析】上述演练题主要是复习全等三角形性质．
【演练题4】已知如图3，AD与CB交于O，AO =OD，CO=OB，EF过O与AB、CD•分别交于E、F，求证：
∠AEO=∠DFO．
【思路点拨】观察图形，分析已知条件和结论，欲证∠AEO=∠BFO，•只需证AB•∥D C，由已知条件易
知△AOB≌△DOC，必有∠A=∠D，这样就可解得AB∥CD，•从而证明∠A EO=∠DFO．
三、随堂练习，巩固深化
课本P26复习题第4、7、10题．
四、布置作业，专题突破
1．课本P55--56复习题第2，3，5，6，9，11题．
2．选用课时作业设计．

疑难解析
如图4，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=60°，求证：CD+BE=BC．
证明：在BC上截取BF=BE，连接IF．
∵BI=BI，∠1=∠2，BF=BE，
∴△BFI≌△BEI，∴∠5=∠6．
∵∠1=∠2．∠3=∠4，∠A=60°，
∴∠BIC=120°，∴∠5=60°．
∴∠7=∠5=60°，∠6=∠5=60°，∠8=120°-60°=60°，∴∠7=∠8．
∵∠3=∠4，CI=CI，∠7=∠8，∴△IDC≌△IFC，∴CD=CF．
∴CD+BE=CF+BF，即CD+BE=BC．
从上述例子可以归纳：证明m=b+c时 ，常用两种方法，（1）截长法，即在m•上截取一段等于b（或c），
证明剩下一段等于c（或b）； （2）补短法：延长b（或c），•证明它们的和等于a，上述例子由于∠1=∠2，
因此，在BC上截 取BF=BE，连接HTY3IF是较为常用的方法．

第十三章轴对称
13.1.1轴对称（一）
教学目标：
1．在生活实例中认识轴对称图．
2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．轴对称图形的概念 3.在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。
4．使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。
教学重点：理解轴对称的概念
教学难点；能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．
教具准备： 三角尺
教学过程
一．创设情境，引入新课
1.举实例说明对称的重要性和生活充满着对称。
2. 对称给我们带来多少美的感受！初步 掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还
可以使我们感受到自然界的美与和谐．
3.轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！
二．导入新课
1.观察：几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征．
强调：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们
都可 以找到对称的例子．
练习：从学生生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．
2.观察： 如图12．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．你能发现它们有什么共同的特点吗？
3.如果一个图形沿一 直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直
线就是它的对称轴．我们 也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
4.动手操作： 取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意
刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？
归纳小结：由 此我们进一步了解了轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形
完全重合．
5.练习：你能找出它们的对称轴吗？分小组讨论．

思考：大家想一想，你发现了什么？


小结得出：.像这样，•把一个图形 沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两
个图形关于这条直线对称，•这条直 线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

三．随堂练习
1、课本60练习 1、 2。
四．课时小结
这节课我们主要认识 了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区
分了轴对称图形和两个图 形成轴对称．
五．课后作业
习题13.1． 1、2、6题．
【总结反思】：

13.1.1轴对称（二）
教学目标
1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．
2．探究线段垂直平分线的性质．
教学重点：
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质
教学难点 ：
1．轴对称的性质． 2．线段垂直平分线的性质．3.体验轴对称的特征．
教具准备：圆规、三角尺、
教学过程
一．创设情境，引入新课
1.什么样的图形是轴对称图形呢？
2.轴对称图形有哪些性质，从图形中能得到结论？
二．导入新课
1.如下图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别
是点A、•B、C对称点，线段AA′、 BB′、CC′与直线MN有什么关系？为什么？（学生思考并做小范围讨
论）
对称 轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于
这条线段 的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
2.画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．
3.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．
归纳图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，•那么对称轴是任何一对对称点所 连线段
的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂
直平分线．
下面我们来探究线段垂直平分线的性质．
[探究1]如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直 平分AB，P
1
，P
2
，P
3
，…是L
上的点， •分别量一量点P
1
，P
2
，P
3
，…到A与B的距离，你 有什么发现？

证法一：利用判定两个三角形全等．

如下图，在△APC和△BPC中，

PCPC




PCAPCBRt

ACBC


△APC≌△BPC

PA=PB.
证法二：利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA
与PB是重合的，• 因此它们也是相等的．
带着探究1的结论我们来看下面的问题．
[探究2]
如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央 的孔射出去，
怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
探究结论：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
上述两个探究问题的结果就 给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两
个端点的距离相等；反过来，与 这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．•所以线段的垂直
平分线可以看成是与线段两端 点距离相等的所有点的集合．
三．随堂练习 课本P34练习
1．如下图，AD ⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、
AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与 DE有什么关系？
2．如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 四．课时小结：
这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，•了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学
们应灵活运用这 些性质来解决问题．
五．课后作业课本习题13．1 、3、4、9题．

13.1.2 线段的垂直平分线的性质
教学目标：
1． 探索作出轴对称图形的对称轴的方法．掌握轴对称图形对称轴的作法．
2．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．
3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；
4.在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说< br>理和进行简单推理的能力。
教学重点： 轴对称图形对称轴的作法．
教学难点：探索轴对称图形对称轴的作法．
教具准备：圆规、三角尺
教学过程
一．提出问题，引入新课
1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不 折叠图形，•你能比较准备地作出轴对称图形的
对称轴吗？
2.轴对称图形性质．如 果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直
平分线．轴对称图形的对称 轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．
4.问题：如何作出线段的垂直平分线？
二．导入新课
1.要作出线段的 垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的
垂直平分线上，又由 两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才
能确定已知线段的垂 直平分线．
[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

已知：线段AB[如图（1）]．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：如图（2）
(1)．分别以点A、B为圆心 ，以大于
1
AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
2

(2)．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
2.[例]图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．
作法：
1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．
2．作出线段AA′的垂直平分线L．
则L就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．
三．随堂练习
（一）课本35练习 1、2、3
如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．

答案：与A成轴对称的是图形D（或B）．
四．课时小结

本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并据 此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的
方法：找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，• 作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是
这个轴对称图形的一条对称轴．
五．课后作业
课本P36-37习题12.1 5、10、11、12题．
【总结反思】：

课题：§12．2.1 画轴对称图形
教学目标
1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．
2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．
3．经历实际操作、认真体验的过程，发 展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中
的应用．
4．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点
1．轴对称变换的定义．
2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
教学难点
1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．
2．利用轴对称进行一些图案设计．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]上节课我们学习了轴对称变换的概念，•知道了一个图形经过轴对称变换可以得到它的轴对称图
形 ，那么具体过程如何操作呢？这就是我们这节课要学习的．•下面同学们来仔细观察一个图案．(小黑板
展示)
以虚线为对称轴画出图的另一半：

[生甲]这个图案（1）左右两边应该完全相同，画出的整个图案的形状应该是个脸．
[生乙]图案（2）画出另一半后应该是一座小房子．
[师]大家能把这两个图案的另一半画出来吗？
[师]我们利用方格纸来试着画一画．
……
[师]画好了吧？我们今天就来学习作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
Ⅱ．导入新课
[师]如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？我们知道：任何一个图形都是由点组成的．因为我们来< br>作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知< br>对称轴L和一个点A，要画出点A关于L的对应点A′，可采取如下方法：
（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B；
（2）在垂线上截取BA′，使BA′=AB．
点A′就是点A关于直线L的对应点．
好，大家来动手画一点A关于直线L对称的对应点，教师口述，
大家来画图，要注意作图的准确性． ……

[师]画好了没有？
[生]画好了．
[师]好，现在我们会画一点关于已知直线的对称点，那么一个图形呢？•
[例1]如图（1），已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形．

[师]同学们讨论一下．
……
[生甲]可以在已知图形 上找一些点，然后作出这些点关于这条直线的对应点，再按图形上点的顺序连
结这些点．这样就可以作出 这个图形关于直线L的对称图形了．
[师]说说看，找几个什么样的点就行呢？
[生乙]△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要找A、B、C三点就可以了．
[师]好，下面大家一起动手做．
作法：如图（2）．
（1）过点A作直 线L的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线L的对
称点；
（2）类似地，作出点B、C关于直线L的对称点B′、C′；
（3）连结A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求．
[师]大家做完后，•我们共同来归纳一下如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
归纳：
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结 这些对应点，
就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、•线段或射线组成的图形，只要作出图形 中的一些特殊点
（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．
[师]看来在作一个平面图形关于直线轴对称的图形，找一些特殊点是关键．下图中，要作出图形的另
一半，哪些点可以作为特殊点？并画出图形的另一半．

[师]大家作个简单讨论，共同来完成这个题．
[生]在图形（1）上找三个点，在图形（2）中找一个点就可以，如下图：

[师]现在我们来做练习．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P41练习 1、2．
1．如图，把下列图形补成关于直线L对称的图形．
提示：找特殊点．
答案：图（略）
2．用纸片剪一个三 角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，•看看哪些部分能够重合，哪些
部分不能重合．
答案：本题答案不唯一，要求学生尽可能用准确的数学语言将自己剪出的三角形的情况进行表述．
（二）阅读课本P127～P130，然后小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我 们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．在按要求作图时要注意作图的准
确性．
求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对 称
点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称 点，
连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P45习题12.2的1、5、8、9题．
（二）预习内容P42～P44．
Ⅵ．活动与探究
[探究1]
如图（1）．要在燃气管道 L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．•泵站修在管道的什么地方，可
使所用的输气管线最短？
你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？

过程：把管道L近似 地看成一条直线如图（2），设B′是B的对称点，•将问题转化为在L上找一点C
使AC与CB′的和 最小，由于在连结AB′的线中，线段AB′最短．因此，线结AB′与直线L的交点C的位
置即为所求 ．
结果：作B关于直线L的对称点B′，连结AB′，交直线L于点C，C为所求．

[探究2]
为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？
过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明AC+CB最小．
结果：

如上图，在直线L上取不同于点C的任意一点C′．由于B′点是B点关于L的对称点，所以BC′=B′
C′，故AC′+BC′=AC′+B′C′，在△A′B′C′中AC′+BC′>AB′，•而AB′=A C+CB′=AC+CB，则有
AC+CB 备课资料
参考练习
1．已知△ABC，过点A作直线L．
求作：△A′B′C′使它与△ABC关于L对称．

作法：（1）作点C关于直线L的对称点C′；
（2）作点B关于直线L的对称点B′；
（3）点A在L上，故点A的对称点A′与A重合；
（4）连结A′B′、B′C′、C′A′．
则△A′B′C′就是所求作的三角形．
2．已知a⊥b，a、b相交于点O，点P为a、b外一点．
求作：点P关于a、b的对称点M、N，并证明OM=ON（不许用全等）．

作法：（1）过点P作PC⊥a，并延长PC到M，使CM=PC．

（2）过点P作PD⊥b，并延长PD到N，使得DN=PD．
则点M、N就是点P关于a、b的对称点．
证明：∵点P与点M关于直线a对称，
∴直线a是线段PM的中垂线．
∴OP=OM．
同理可证：OP=ON．
∴OM=ON．
3．为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征 集设计方案，•要求设计的图案由圆、三角
形、矩形组成（三种几何图案的个数不限），并且使整个圆形 场地成轴对称图形，请你画出你的设计方案．
答案：略。
【总结反思】：

课题：§12．2．3 用坐标表示轴对称 新授课
教学目标
1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．
2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形．
3．在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生数形结合的思维意识．
4．在同一坐标系中，•感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．

教学重点
1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．
2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．
教学难点
用坐标表示轴对称．
教学方法
探索发现法．
课后反馈：
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[活动1]
1．如图：

（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？
（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，
1），左端点的坐标为（2，1）．
你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？
2．在平面直角坐 标系中，将坐标为（2，2），（4，2），（4，4），（2，4），（2，2）的点用线段依次连结
起来形成一个图案．
（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次 连结起来，所得的图案与原图案
相比有何变化？
（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以 -1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案又与原图
案相比有何变化？
设计意图：
通过有趣的轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点的好奇心，是一种形到数的 探究，接着又从对
坐标实施变化，引起图案的变化，•使学生在坐标的变化中产生对每对关于x轴、y轴 对称的点的坐标规律
的探究．
师生行为：
[生]1．（1）观察可发现图中的两个圆脸关于y轴对称．

（2）我们可以 设右脸中的左眼为A点，右眼为B点，则A（2，3），B（4，3），•嘴角的左右端为D（2，
1） ，C（4，1）．根据轴对称的性质，A与A
1
关于y轴对称，则A
1
到y轴 的距离和A•到y轴的距离相等，A
1
、
A到x轴的距离也相等，∵A
1在第二象限，∴A
1
的坐标为（-2，3）．
同理，B
1、C
1
、D
1
的坐标分别为（-4，3）、（-4，1）、（-2，1） ．
2．师生共同完成
[生]在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图． A（2，2），B（4，2），•C（4，4），D（2，
4）．

（1） 纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到相应四个点为A
1
（-2，2），B
1
（ -4，2），C
1
（-4，4）•，D
1
（-2，
4）．顺次连结所 得到的图案和原图案比较，不难发现它们是关于y轴对称的．
（2）横坐标不变，纵坐标乘以 -1，得到相应的四个点为A
2
（2，-2），B
2
（4，-2），C
2
（4，-4），D
2
（2，
-4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较 ，可得它们是关于x轴对称的．
[师]A（2，2）与A
1
（-2，2）关于y轴对称，
B（4，2）与B
1
（-4，2）关于y轴对称，
C（4，4）与C
1
（-4，4）关于y轴对称，
D（2，4）与D
1
（-2，4）关于y轴对称．
那么关于y轴对称的点具有什么规律呢？
A（2，2）与A
2
（2，-2）关于x轴对称，
B（4，2）与B
2
（4，-2）关于x轴对称，
C（4，4）与C
2
（4，-4）关于x轴对称，
D（2，4）与D
2
（2，-4）关于x轴对称．
那么关于x轴对称的点有何规律呢？
这节课我们就来研究关于x轴，y轴对称的每对对称点坐标的规律．
Ⅱ．导入新课
[活动2]
在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中． 看看每对对称点的
坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．
已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（
1
，1），E（4，0）．
2
关于x轴的对称点A′（____，____）B′（_____，______） C′（_____，_____）D′（____，_____）
E′（_____，_____）．

关于y轴的对称点A″（_____，____）B″（_____，____ __）C″（_____，_____）D″（____，_____）
E″（_____，_____ ）．
设计意图：
通过学生动手操作，分别作A，B，C，D，E关于x轴 、y轴的对称点A′，B′，C′，D′，E′；A″，
B″，C″，D″，E″，并且求出它们的坐标 ，观察，归纳它们坐标之间的关系．
师生行为：
教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律．
[生]如图，我们先在直 角坐标系中描出A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（
点．
1
2
，1），E（4，0）
C

.


我们先在坐标系中作出A点关于x轴的对称点，即过A作x轴的垂线交x轴于M点，M点的坐标 为（2，
0）．在AM的延长线上截A′M=AM，则A′就是A点关于x轴的对称点，所以A′在第一 象限，因为A′M=AM，
所以A′的纵坐标为3，因为AA′⊥x轴，即AA′∥y轴，•所以A′的 横坐标为2，即A′的坐标为（2，3）．
同理可求得B，C，D，E关于x轴的对称点B′，C′， D′，E′的坐标分别为B′（-1，-2），C′（-6，
5），D′（
1
，-1） ，E′（4，0）．列表如下：
2
A（2，-3）
A′（2，3）
B（-1，2）
B′（-1，-2）
C（-6，-5）
C′（-6，5）
已知点
关于x轴的对称点
续表
已知点
关于x轴的对称点
1
D（，1）
2
1
D′（，-1）
2
E（4，0）
E′（4，0）
[师]观察上表每对对称点坐标之间的关系，你发现什么规律？
[生]每对对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
[师]我们不仿再找几对关于x轴对称的点，写出它们的坐标，还有上面的规律吗？
学生亲自动手进一步尝试，在学生认可的情况下明确关于x轴对称的每对对称点的坐标的规律．
[师生共析]
关于x轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
接着我们再来作出A，B，C，D，E关于y轴的对称点，并求出它们的坐标．

[生]同样，我们先作出A关于y轴的对称点A″，并求出A″的坐标． 过A作y轴的垂线AN，垂足为N，则N点坐标为（0，-3），然后在AN的延长线上截A″N，使A″N =AN，
则A″就是所求的A关于y轴的对称点．A″在第三象限，AA″⊥y轴，•且AN=A″N， 所以A″的坐标为（-2，
-3），同理可求得B，C，D，E关于y轴的对称点B″，C″，D″，E ″的坐标分别为B″（1，2），C″（6，
-5），D″（-
1
，1），E″（-4 ，0）．列表如下：
2
A（2，-3） B（-1，2） C（-6，-5）

已知点
关于y轴对称点
续表
已知点
A″（-2，-3） B″（1，2） C″（6，-5）
关于y轴对称点
1
，1）
2
1
D″（，1）
2
D（
E（4，0）

E″（-4，0）
[师]观察上表，比较每对关于y轴的对称点的坐标，你能发现什么规律？
[生]关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．
例2(书P44)
Ⅲ．随堂练习（教科书P44练习）
Ⅳ．课时小结
本节课的主要内容（由学生在教师的引导下共同回忆总结）：
1．在直角坐标系中，探索了关于x轴，y轴对称的对称点坐标规律．
2．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，作已知图形的轴对称图形，体现了数形结合的数学思想．
Ⅴ．课后作业
教科书习题12．2─2、3、4题，第6题、第7题（学有余力的同学做）．
【总结反思】：

课题：§12．3．1.1 等腰三角形（一）新授课
教学目标
（一）教学知识点
1．等腰三角形的概念．等腰三角形的性质．等腰三角形的概念及性质的应用．
2．经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学方法
探究归纳法．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图
形 关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称
的 角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称
图 形？
[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
[师]那什么样的三角形是轴对称图形？
[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形， •也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完
全重合的就是轴对称图形．
[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
AA
B
I

可得到一个等腰三角形．
B
I
C

作一条直线L ，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则
[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．
[师]对，按这种方法我们可 以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按
自己设计的方法，也可以用课本 P49探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．
……
[师]按照我们的做 法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的
两边叫做腰，另一边叫 做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等
腰三角形中，注明它的 腰、底边、顶角和底角．
[师]有了上述概念，同学们来想一想．
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？
[生甲 ]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相
等，所以 把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的
直线．
[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．
[生丙]我把等 腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等
腰三角形的对称轴 是顶角的平分线所在的直线．
[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁 的部分互相重合，说明底边上的中线所
在的直线是等腰三角形的对称轴．
[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．
[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．
[生齐声]它们是同一条直线．
[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．
[生]我沿等腰三角形 的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的
两个底角相等，•而且还 可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
[师]很好，我们来总结等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，
得到两个全等的三角形，从 而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就
动手来写出这些证明过程）．
[生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
A

ABAC,



BDCD,


ADAD,

所以△BAD≌△CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
[生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
B
DC

ABAC,



BADCAD,


ADAD,

所以△BAD≌△CAD．
A
1
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
2
来看例题．
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．
[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到
B
DC
[师]很好， 甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们
A
D< br>B
C

∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
[师]这位同学分析 得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的
话，那么∠ABC、∠ C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P56练习 1、2、3．
（二）阅读课本P49～P51，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单 的应用．等腰三角形是轴对称图形，它
的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的 平分线，并且它的顶角平分线既是底边上
的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P56─1、3、4、8题．
（二）1．预习课本P141～P143．
2．预习提纲：等腰三角形的判定．
Ⅵ．活动与探究
如右图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．
求证：AE=CE．
B
D
A
E
C

过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质．
结果：
证明：延长CD交AB的延长线于P，如右图，在△ADP和△ADC中

12,



ADAD,

ADPADC,

B
P
D
A
E
C

∴△ADP≌△ADC．
∴∠P=∠ACD．
又∵DE∥AP，
∴∠4=∠P．
∴∠4=∠ACD．
∴DE=EC．
同理可证：AE=DE．
∴AE=CE．
备课资料
参考练习
一、选择题
1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）
A．某一条边上的高; B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线; D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．20° C．80°和20° D．80°或50°
答案：1．C 2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．
求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．
解得x=4．
所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．
【总结反思】：

课题：§12．3．1．2 等腰三角形（二） 新授课
教学目标
1.探索等腰三角形的判定定理．
2.探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．
3.通过对等 腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简
单应用，加 深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力．
教学重点
等腰三角形的判定定理及其应用．
教学难点
探索等腰三角形的判定定理．
教学方法
讲练结合法．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢？
[生甲]等腰三角形的两底角相等．
[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
[师]同学们回 答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三
角形是等腰三角形 呢？这就是我们这节课要研究的问题．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们看下面的问题并讨论：(书P51)
思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接 到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果
这两艘救生船以同样的速度同时出发，•能不能大约 同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
0
AB

在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
[生甲]应该能同时 赶到出事地点．因为两艘救生船的速度相同，同时出发，在相同的时间内走过的路
程应该相同，也就是O A=OB，所以两船能同时赶到出事地点．
[生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要，也 就是∠A如果不等于∠B，那么同时以同样的速度就不
一定能同时赶到出事地点．
[ 师]现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么
关系 ？
[生丙]我想它们所对的边应该相等．
[师]为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明．
[生丁]我是运用三角形全等来证明的．
[例1]已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．
求证：AB=AC．
证明：作∠BAC的平分线AD．
在△BAD和△CAD中
A
1
2
B
D
C


12,



BC,


ADAD,

∴△BAD≌△CAD（AAS）．
∴AB=AC．
[师]太好了．从丁 同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也
是相等，也就说这个三 角形就是等腰三角形．这个结论也回答了我们一开始提出的问题．也就是如何来判
定一个三角形是等腰三 角形．
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 也相等（简写成“等
角对等边”）．
[师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单
运用．
[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那
么这个三角形是等腰三角形．
[师]这个题是文字叙述的证明题，•我们首先得将文字语言转化成相应
的数学语言， 再根据题意画出相应的几何图形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．
求证：AB=AC．
[师]同学们先思考，再分析．
[生]要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C．
[师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容，很好!
[生]接下来，可以找∠B、∠C与∠1、∠2的关系．
[师]我们共同证明，注意每一步证明的理论根据．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
[师]看小黑板，同学们试着完成这个题．
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．
求证：AB=AD．
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD（等角对等边）．
[师]下面来看另一个例题．
[例3]如图（ 1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的
D、E两点拉 两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？
E
A< br>1
2
D
B
C
A
D
B
C

M
A
C
C
D
D
B
(1)
EB
N
(2)
E

[师]这是一个与实际生活相 关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在
等腰三角形中已知等腰三角形的 底边和底边上的高，求腰长的问题．
解：选取比例尺为1：100（即为1cm代表1m）．
（1）作线段DE=4cm；
（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；
（3）在MN上截取BC=2.5cm；
（4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长．
[师]同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P53 1、2、3．
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要探究 了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作了一定的了解．在利用定理
的过程中体会定理的重要 性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P56─2、4、5、9、13题．
（二）预习P53～P54．
Ⅵ．活动与探究
[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等．
过程：利用等腰三角形的性质即等边对等角，全等三角形的判定及性质．
结果：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分线．
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
∵∠1=
A
11
∠ABC，∠2=∠ACB，
22
∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2，
∴△BDC≌△CEB（ASA）．
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．
[探究2]等腰三角形两腰上的高相等．
过程：同探究1．
结果：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分别是△ABC的高．
E3
1
D
2
4
B
C
A
E
DB
C

求证：BE=CF．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
又∵BE、CF分别是△ABC的高，
∴∠BFC=∠CEB=90°．
在△BFC和△CEB中，
∵∠ABC=∠ACB，∠BFC=∠CEB，BC=CB，
∴△BFC≌△CEB（AAS）．
∴BE=CF．
[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等．
过程：同探究1．
结果：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的中线．
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
又∵CD=
A
11
AC，BE=AB，
22
E
D
∴CD=BE．
在△BEC和△CDB中，
∵BE=CD，∠ABC=∠ACB，BC=CB，
∴△BEC≌△CDB（SAS）．
∴BD=CE．
【总结反思】：
B
C

课题：§12．3．2．1 等边三角形（一）新授课
教学目标
1. 经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．
2.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
3.经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条
理 地、清晰地阐述自己的观点．
教学重点
等边三角形判定定理的发现与证明．
教学难点
1．等边三角形判定定理的发现与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
教学方法
探索发现法．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我 们知道，在等腰三角形中有一种特
殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面 的三个问题．
1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？
2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形 是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路
与同伴交流．
（教师应给学生自主探索、思考的时间）
[生甲]由等边对等角的性质可知，等边三角形的三 个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三
角形的三个角相等，并且都等于60°．
[生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了．
[生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°，我认为等腰三角形的三个内角都 等于60°，
也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了．
（此时，部分同学同意此 生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，•教师可让同学代表发
表自己的看法）
[生丁]我不同意这个同学的看法，•因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等
边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件
时便是等边三角形”，•我觉得他给的条件太多，浪费!
[师]给三个角都是60°，这个 条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？•下面同学们可以在小
组内交流自己的看法．
Ⅱ．导入新课
探索等腰三角形成等边三角形的条件．
[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．
[师]你能给大家陈述一下理由吗？
[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60°，等腰三 角形的两个底角的和就是180°-60°=120°，再
根据等腰三角形两个底角是相等的，所以每个 底角分别是120°÷2=60°，则三个内角分别相等，根据等
角对等边，则此时等腰三角形的三条边 是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．
[生]等腰三角形的底角是60°， 那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角
对等边、等边对等角的性质．
[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论底角是60°，还是顶 角是60°，

那么这个等腰三角形都是等边三角形．你能用更简洁的语言描述这个结论吗 ？
[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
（这个结论的证 明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种
情况．这是一种分 类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，
并有意识地向学 生渗透分类的思想方法）
[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？
[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：（ 1）这个角
是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．
[ 师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，•我们鼓掌表示对他们的鼓
励 ．
今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形 是等边三角
形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？
[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．
[师]下面就请同学们来证明这个结论．
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC（等角对等边）．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AC（等角对等边）．
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到．
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理．
例4(书P54)
[例5]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，
AP=BP =200m，•他们便得出一个结论：A、B之间距离不少于200m，他们的结论
对吗？
分析：我们从该问题中抽象出△APB，由已知条件∠APB=60°且AP=BP，•
由本节课探究结 论知△APB为等边三角形．
解：在△APB中，AP=BP，∠APB=60°，
所以∠PAB=∠PBA=
60
A
B
C
A
B
P
11
（180°-∠APB）=（180°-60°）=60°．
22
于是∠PAB=∠PBA=∠APB．
从而△APB为等边三角形，AB的长是200m，•由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P54练习 1、2．
（二）补充练习
如图，△AB C是等边三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD、CD•的垂直平分线分别交BC于E、F，
求证 ：BE=CF．

A
D
2
B
1
E
F
C

证明：连结DE、DF，则BE=DE，DF=CF．
由△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°．
同理∠DFE=60°，
故△DEF是等边三角形．
DE=DF，
因而BE=CF．
Ⅳ．课时小结
这节课 ，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，•并对这个结论的证明有意识地渗
透分类讨 论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P56─5、6、7、10题．
（二）预习P55～P56．
Ⅵ．活动与探究
探究：如图，在等边三角形ABC的 边AB、AC上分别截取AD=AE．△ADE
是等边三角形吗？试说明理由．
过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定．
结果：
已知：三角形ABC为等边三角形．D、E为边AB、AC上两点，且AD=AE．判断△ADE•是否是等边三 角形，
并说明理由．
解：△ADE是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°．
又∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形．
∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
参考例题
1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC．屋
椽 AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）．
∴∠B=∠C=
A
D
B
E
C
A
BDC
1< br>（180°-∠BAC）=40°（三角形内角和定理）．
2
又∵AD⊥BC（已知），
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）．
∴∠BAD=∠CAD=50°．

2．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．
求证：DB=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，且BD是中线，
∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E=
1
2
∠ACB=30°．
B
∴∠DBC=∠E．
∴DB=DE．
3．已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E．
求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形（已知），
∴∠A=∠B=∠C（等边三角形各角相等）．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．
∴∠A=∠ADE=∠AED．
∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．



























A
D
C
E
A
D
E
B
C

课题：§12．3．2．2 等边三角形（二） 新授课
教学目标
1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
3．经历“探索──发现──猜想─ ─证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和
相互补充的辩证关系．
4．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．
5．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．
教学重点
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
教学难点
1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
教学方法
探索发现法．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角 形，看它具有什么性质．大家可能
已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于 一般的直角三角形的性质呢？
问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎 样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？
说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角 形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论
吗？
Ⅱ．导入新课
（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操 作探索出来的结论，
还需要给予证明）
[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．
A
A
B
D
(1)
C

B
D
(2)
C

其中，图（1）是等边三角形，因 为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所
以∠ABD= 60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[生]图（1）中，∠B=∠C=6 0°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．
[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三 角形．由此你能得出在直角三角形中，30°
角所对的直角边与斜边的关系吗？
[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．
[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？
[生]可以，在图（1）中， 我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根

据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=
它所对的边BD是斜边AB的一半．
11
BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，
22
[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成
这 个定理的证明过程．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=
1
AB．
2
A
A
C
B
B
C
D

分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）
∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC=
11
BD=AB．
22
[师]这个定理在我们实际生活中 有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边
与斜边的关系，下面我们就来看一个 例题．
[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、
D E垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
分析：观察图 形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，
所以DE=
B
D< br>A
E
C
111
AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=A B．
224
解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知
11
AB，DE=AD，
22
1
所以BD=×7.4=3.7（m）．
2
1
又AD=AB，
2
11
所以DE=AD=×3.7=1.85（m）．
22
BC=
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．
[师]再看下面的例题．

[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD
是腰AB上的高．
求：CD的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a ，而∠DAC是
△ABC的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD．
解：∵∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．
∴CD=
D
A
B
C
1
AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半）．
2
[师]下面我们来做练习．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P56练习
（二）补充练习
1．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．
求证：BD=
1
AB．
4
C
证明：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=
1
AB．
2
B
D
A
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴∠BCD=30°．
∴BD=
11
BC． ∴BD=AB．
24
2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．
求证：其中一条是另一条的2倍．
已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．
求证：CD=2AD．
证明：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=60°，∠C=30°．
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=30°．
∴AD=
A
D
C
1
BD，BD=CD． ∴CD=2AD．
2
Ⅳ．课时小结
的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P58─11、12、13、14题．
（二）预习P60～P61，并准备活动课．
1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字．
2．思考镜子对实物的改变．
Ⅵ．活动与探究
B
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含3 0°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要

在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
过程 ：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从
辅助线的作法中得到启示．
结果：
已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=
求证：∠BAC=30°．
证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD．
∵CD=BC，
A
1
AB．
2
B
(1)
C
1
BD．
2
1
又∵BC=AB，
2
∴BC=
∴AB=BD．
∴AB=AD=BD，
即△ABD为等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
备课资料
参考例题
1．已知，如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是
三角形．
求证：AN=BM．
证明：△ACM与△CBN是等边三角形．
∴∠ACM=∠BCN．
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM，
即∠ACN=∠MCB．
在△ACN和△MCB中，
A
B
C(2)
N
M
D
等边
A
C
B

ACMC,



ACNMCB,


CNCB,

∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．
2．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，A B=10cm，•CB
1
⊥AB，B
1
C⊥AC
1
，垂足分
别是B
1
、C
1
，那么BC的长是多少？
解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm．
∴BC=
1
AB=5cm．
2
B
1
B
A
C
1
C

∵CB
1
⊥AB，
∴∠B+∠BCB
1
=90°．
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠BCB
1
=∠A=30°．
在Rt△ACB
1
中，BB
1
=
1
BC=2.5cm．
2
∴AB
1
=AB- BB
1
=10-2.5=7.5（cm）．
∴在Rt△AB
1
C
1
中，∠A=30°．
∴B
1
C
1
=
教后记：

































11
AB=×7.5=3.75（cm）．
22
1

课题：第十二章轴对称（一）复习课
教学目标
1．本章的所有基本概念. 2．本章的所有性质． 3．本章的所有基本概念及其性质的应用.
4. 通过学生的操作和思考，使学生掌握本章的基本概念，并在运用概念及其性质解题的过程 中培养学
生认真思考的习惯．
教学重点
1．本章的基本概念及性质．
2．本章性质的应用．
教学难点
本章性质的理解及其应用．
选择题：
1．下列图案是轴对称图形的有（ ）。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个




2．将写有字“B”的字条正对镜面，则镜中出现的会是（ ）。
（A）B （B） （C） （D）
3．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（ ）
（A）2 ㎝ （B）4 ㎝ （C） 6 ㎝ （D）8㎝
4．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为 （ ）
（A）（—1，2） （B）（－1，－2） （C）（1，－2） （D）（2，－1）
5．下列说法正确的是( )
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．顶角相等的两个等腰三角形全等
C．等腰三角形一边不可以是另一边的二D．等腰三角形的两个底角相等
6．如图（1），D E是

ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，
则

EBC的周长为（ ）厘米
A．16 B．28 C．26 D．18
E
C
A
D
7．等腰三角形的一个角是80°,则它的底角是（ ） 图（1）
B
(A) 50°或80° (B) 80° (C) 50° (D) 20°或80°
8.如图（2）,是屋 架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE等于 ( )
(A)1m (B) 2m
(C)3m (D) 4m

图（2） 图（3）

9.如图（3）,五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形 ,则∠AMB的度数为( )
(A)144° (B)120° (C)108° (D)100°
10.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （ ）
（A）75°或15° （B）75° （C）15° （D）75°和30°
一、 填空题
1、如图（4）,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,BD=5cm ,则CD=____________cm .
2、等腰三角形一个底角是30°,则它的顶角是__________度.
3、等腰三角形的腰长是6，则底边长3，周长为______________________。
4、等腰三角形一个外角为50°，则此等腰三角形顶角是________度，底角是_______ _度。
5、如图（5），△ABC中,∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC,DE∥BC, 则图中等腰三角形有_____________个.

6、如图（6）,△ABC中,DE 是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为___________ _.
A



A
E
D
A
E
B
D
C
图（4） 图（5） 图（6）
7、到三角形各顶点距离相等的点是三角形 的交点。
8、在直角坐标系内有两点A(-1，1)、B(3，3)，若M为x轴上一点，且MA+M B最小，则M的坐标是________。
三、解答题(第1-- 6每题6分,第7题10分，共46分)
1、如图,根据要求回答下列问题：
解：（1）点A关于x轴对称点的坐标是 ；
点B关于y轴对称点的坐标是 ；
点C关于原点对称点的坐标是 ；
（2）作出与△ABC关于
x
轴对称的图形（不要求写作法）
2、等腰△ABC中，∠A=70度，求∠B、∠C的度数。
3、如图,在△ABC中,AB =AC,点D在AC上,且BD=BC=AD，求∠A，∠ADB的度数.
4、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠ADC.
A
BDC
B
C
D
B
C

A
B< br>D
C

5、如图，在△ABC中，∠ACB=90，DE是AB的垂直平分线， ∠CAE：∠EAB=4：1．求∠B的度数．

A
D
B
E
C

十四章 整式的乘除与因式分解
14.1.1同底数幂的乘法
教学目标
1．在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用．
2．经历探索同底 数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能
力．3．在小组合作 交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心．
重、难点与关键
1．重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用．
2．难点：同底数幂的乘法的法则的应用．
3．关键：幂的运算中的同底数幂的乘法教学，要突破这个难点，•必须引导学生，循序渐进， 合作交
流，获得各种运算的感性认识，进而上各项到理性上来，提醒学生注意－a与（－a）的区别．
教学方法
采用“情境导入──探究提升”的方法，让学生从生活实际出发，认识同底数幂的运算法则．
教学过程
一、创设情境，故事引入
【情境导入】
“盘 古开天壁地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来
一个巨人 ，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，
从此宇 宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛
发变成 了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流．
【教师提 问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距
离是多少？
光的速度为3×10千米秒，太阳光照射到地球大约需要5×10秒，•你能计算出地球距离太 阳大约有
多远呢？
【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式：
3×10×5×10=15•×10×10=15×？（引入课题）
【教师提问】到底10×10=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨论．
【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示．
计算过程：10×10=（10×10×10×10×10）×（10×10）
=10×10×10×10×10×10×10
=10
【教师活动】下面引例．
1．请同学们计算并探索规律．
（1）2×2=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2
34( )
7
52
52
5252
52
22
；

（2）5×5=_____________=5
76
34( )
；
( )
（3）（－3）×（－3）=___________________=（－3）
（4）（
；
111
）×（）=___________=（）
101010
3
4( )
( )
；
（5）a·a=________________a
3
．
提出问题：①这几道题目有什么共同特点？
②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？
【学生活动】独立完成，并在黑板上演算．
【教师拓展】计算a·a=？请同学们想一想．
【学生总结】a·a=
(agaggga)g(agaggga)(agagagg ga)
=a
1424314243
m个an个a
14243
(mn )个a
m+n
这样就探究出了同底数幂的乘法法则．
二、范例学习，应用所学
【例】计算：
（1）10×10； （2）a·a； （3）a·a·a； （4）x·x+x·x
【思路点拨】（1）计算结果可以用幂的形式表 示．如（1）10×10=10=10，但是如果计算较简单时
也可以计算出得数．（2）注意a是a的 一次方，•提醒学生不要漏掉这个指数1，x+x得2x，提醒学生应
该用合并同类项．（3）上述例题 的探究，•目的是使学生理解法则，运用法则，解题时不要简化计算过程，
要让学生反复叙述法则．
【教师活动】投影显示例题，指导学生学习．
【学生活动】参与教师讲例，应用所学知识解决问题．
三、随堂练习，巩固深化
课本练习题．
【探研时空】
据不完全统计，每个人每年最少要用去10立 方米的水，1立方米的水中约含有3.34×10个水分子，
那么，每个人每年要用去多少个水分子？
四、课堂总结，发展潜能
1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相 同，且是相乘关系，•使用方法：乘积中，幂的底数
不变，指数相加．
2．应用时可 以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立，•底数和指数，它既可以取
一个或几个具体 数，由可取单项式或多项式．
3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．
五、布置作业，专题突破
1．课本P96习题14．1第1（1），（2），2（1）题．
2．选用课时作业设计．

619
333
343+47
3433522

【总结反思】：





教学反思
本节课的教学过程是探索发现性学习过程，注意同底数幂的乘法法 则的推导过程，而不单单是要求记住结
论，在导出的过程中，从具体到抽象，有层次地进行概括，归纳推 理，学生不是被动地接受，而是在已有
经验的基础上创新，从而培养学生的动手能力和创新意识．







14.1.2 幂的乘方
教学目标
1．理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过 推理得出幂的乘方的运算性质，并且
掌握这个性质．
2．经历一系列探索过程，发展 学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应
用能力．
3．培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：幂的乘方法则．
2．难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用．
3．关键：要突破这个难点，在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导，要求对性质深入地理解．
教学方法
采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幂的乘方法则．
教学过程
一、创设情境，导入新知
【情境导入】
大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的10
2

倍，太阳的半径是地球半径的10倍，假如地球的半径为r，那么，•请同学们计算一下太阳和 木星的体积
是多少？（球的体积公式为V=
3
4

3
r）
3
【学生活动】进行计算，并在黑板上演算．
解：设地球的半径为1，则木星的半径就是10，因此，木星的体积为
V
木星
=
2
4

3
·（10）=？（引入课题）．
23
23
【教师引导】（10）=？利用幂的意义来推导．
【学生活动】有些同学这时无从下手．
【教师启发】请同学们思考一下a代表什么？（10）呢？
【学生回答】a=a×a×a，指 3个a相乘．（10）=10×10×10，就变成了同底数幂乘法运算，根据
同底数幂乘法运算法则， 底数不变，指数相加，10×10×10=10
【教师活动】下面有问题：
利用刚才的推导方法推导下面几个题目：
（1）（a）；（2）（2）；（3）（b）；（4）－（x）．
【学生活动】推导上面的问题，个别同学上讲台演示．
【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a）的结果是多少？
【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：
（a）== a．
评析：通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则， 让学
生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
二、范例学习，应用所学
【例】计算：
（1）（10）；（2）（b）；（3）（x）；（4）－（x）．
【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则，准确地运用幂的乘方法则进行计算．
【教师活动】启发学生共同完成例题．
【学生活动】在教师启发下，完成例题的问题：并进一步理解幂的乘方法则：
解：（1）（10）=10=10； （3）（x）=x
（2）（b）=b
343×4127
353×515n3n×3
3534n377
mnmn
23 43n322
2222+2+2
323222
323
=10，•因此（10） =10．
6236
=x；
7×749
3n
=b； （4）－（x）=－x=－x．
7
三、随堂练习，巩固练习
课本P97练习．
【探研时空】
计算：－x·x·（x）+x．
【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生，媒体显示练习题．
【学生活动】书面练习、板演．
四、课堂总结，发展潜能
1．幂的乘方（a）=a（m，n都是正整数）使用范围：幂的乘方．方法：底数不变，指数相乘．
mnmn
222310

2．知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母，•也可以是单项式或多项式．
3．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，•一个是“指数相加”．
五、布置作业，专题突破
课本P104习题14.1第1、2题．
教学反思
由于幂的乘方较抽象，引入课题时也可以从国情教育引入，搜集关于希望工程的图片 展示给学生，如：
有一个棱长为10cm的正方体，我们计算一下，可以装长为20cm，宽为15cm ，厚为2cm的书多少本？




14.1.3 积的乘方
教学目标
1．通过探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义， 在推理得出积的乘方的运算性质的过
程中，领会这个性质．
2．经历探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力．
3．通过小组合作与交流，培养学生团结协作的精神和探索精神，有助于塑造他们挑战困难，挑战生活
的 勇气和信心．
重、难点与关键
1．重点：积的乘方的运算．
2．难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用．
3．关键：要突破这个难点，教师应该在 引导这个推导过程时，步步深入，•层层引导，而不该强硬地
死记公式，只有在理解的情况下，才可以对 积的乘方的运算性质灵活地应用．
教学方法
采用“探究──交流──合作”的方法，让学生在互动中掌握知识．
教学过程
一、回顾交流，导入新知
【教师活动】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的乘方运算法则的内容以及区别．
【学生活动】踊跃举手发言，解说老师的提问．
【课堂演练】
计算：（1）（x） （2）a·a （3）x·x（x）
【学生活动】完成上面的演练题，并从中领会这两个幂的运算法则．
【教师活动】巡视，关注学生的练习，并请3位学生上台演示，•然后再提出下面的问题．
同学们思考怎样计算（2a），每一步的根据是什么？
34
4357923
2

【学生活动】先独立完成上面的问题，再小组讨论．
（2a）=（2a）·（2a）·（2a）·（2a）（乘方的含义）
=（2·2·2·2）·（a·a·a·a）（乘法交换律、结合律）
=2·a（乘方的意义与同底数幂的乘法运算）
=16a
【教师活动】提出应用以上分析问题的过程，再计算（ab），说出每一步的根据是什么？
【学生活动】独立思考之后，再与同学交流．
（ab）=（ab）·（ab）·（ab）·（ab）（乘方的含义）
=（aaaa）·（bbbb）（交换律、结合律）
=a·b（乘方的含义）
【教师提问】（1）请同学们通过计算，观察乘方结果之后，•你能得出什么规律？（2）如果设n为正
整数，将上式的指数改成n，即：（ab），其结果是什么？
【学生活动】回答出（ab）=ab．
【师生共识】我们得到了积的乘方法则：（ab）=a b（n为正整数），这就是说，积的乘方等于积的每
个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）==ab
【教师活动】
拓展训练：三个或三个以上的积的乘方，如（abc），
【学生活动】回答出结果是（abc） =a b c．
二、范例学习，应用所学
【例】计算：
（1）（2b）；（2）（2×a）；（3）（－a）；（4）（－3x）．
【教师活动】组织、讲例、提问．
【学生活动】踊跃抢答．
三、随堂练习，巩固深化
课本P98练习．
【探研时空】
计算下列各式：
（1）（－
33234
n n n n
n
nnn
nnn
nnn
n
44
4
4
12
41 2
3333
343333
33
）·（－）； （2）（a－b）·（a－b）；
55
2334
554
2n3n22 3
（3）（－a）； （4）（－2xy）；
（5）（3a）； （6）（xy）－[（2x）]；
（7）（x）－（x）； （8）－p·（－p）；
（9）（t）·t； （10）（a）·（a）．
四、课堂总结，发展潜能
本节课注重课堂引入，激发学生兴趣，“良好开端等于成功一半”．
m22332
46384

1．积的乘方（ab）=ab（n是 正整数），使用范围：底数是积的乘方．方法：把积的每一个因式分别
乘方，再把所得的幂相乘．
2．在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，•也可以是整式，对三个以 上因式
的积也适用．
3．要注意运算过程，注意每一步依据，还应防止符号上的错误．
4．在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系．
五、布置作业，专题突破
1．课本P104习题15．1第1、2题．

教学反思
计算（－2x）学生易错误得出－2x，本题错误在于：括号内应看 成－2·x两个因式，而上述结论显
然结积的乘方意义缺乏理解，－2漏乘方，正确的应是（－2）·x =－8x．

14.1.4 单项式乘以单项式

教学目标
1． 理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算．
2． 经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语
言表达 能力．
3．培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．
重、难点与关键
1．重点：单项式乘法运算法则的推导与应用．
2．难点：单项式乘法运算法则的推导与应用．
3．关键：通过创设一定的问题情境，•推导 出单项式与单项式相乘的运算法则，可以采用循序渐进的
方法突破难点．
教学方法
采用“情境──探究”的教学方法，让学生在创设的情境之中自然地领悟知识．
教学过程
一、创设情境，操作导入
【手工比赛】
让学 生在课前准备一张自己最满意的照片，自己制作一个美丽的像框．上课之后，首先来做游戏，“才
艺大献 ”，把自己的照片加一个美丽的像框，看谁在10分钟之内，可以装饰出美丽的照片，谁的最好，老
师就 送他个好礼物．
【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”．
333
33
nnn

【学生活动】完成上述手工制作，与同伴交流．
【教师引导】在学生完成之后，教师拿出一张 美丽的风景照片，提出问题：你们看这幅美丽的风景图
片，如何装饰它会更漂亮？
【学生回答】加一个美丽的像框．
【引入课题】假如要加一个美丽的像框，需要知道这幅图片 的大小，现在告诉你，图片的长为mx，宽
为x，你能计算出图片的面积吗？
【学生活动】动手列式，图片的面积为mx·x=？
【教师提问】对于mx·x=？的问题， 前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则，现在请你运
用已学知识推导出它的结果．
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流．
实际上mx·x=m（x·x）=m·x=mx．
【拓展延伸】请同学们继续计算mx·
22
5
x=？
4
【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃上台演示．
mx·
5555
x=m·x·x=m·x=mx．
4444
22
232
【教师活动】请部分学生上台演示，然后大家共同讨论．
【继续探究】计算：（1）x·mx； （2）2ab·3ab； （3）（abc）·bc．
【学生活动】独立完成，再与同学交流．
【教师活动】总结新知：我们根据自己做的题目的原 则，得到单项式与单项式相乘的运算法则：单项
式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘 ，其余字母连同它的指数不变，放在积的因式中．
二、范例学习，应用所学
【例1】计算．
（1）3xy·（－2xy） （2）（－5ab）·（－4bc）
【思路点拨】例1的两个小题，可先利用乘法交换律、•结合律变形成数与数相乘，同底数幂与 同底数
幂相乘的形式，单独一个字母照抄．
【例2】卫星绕地球运动的速度（即第一 宇宙速度）约为7.9×10米秒，•则卫星运行3×10秒所走
的路程约是多少？
【教师活动】：引导学生参与到例1，例2的解决之中．
【学生活动】参与到教师的讲例之中，巩固新知．
三、问题讨论，加深理解
【问题牵引】
1．a·a可以看作是边长为a的正方形的面积，a·ab又怎样理解呢？
2．想一想，你会说明a·b，3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗？
【教师活动】问题牵引，引导学生思考，提问个别学生．
32
23232

【学生活动】分四人小组，合作学习．

四、随堂练习，巩固深化
课本P145练习第1、2题．
五、课堂总结，发展潜能
本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上．
提问：（1）请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则．
（2）在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么？
六、布置作业，专题突破
1．课本P149习题15．1第3题．
2．选用课时作业设计．

教学反思


【思路点拨】对于单项式 与单项式相乘的应用问题，首先要依据题意，列出算式，含10的幂相乘同样
用单项式与乘法法则进行计 算，还应将所得的结果用科学记数法表示．


14.1.5 单项式与多项式相乘

教学目标
1．让学生通过适当尝试，获得一些直接的经 验，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的
整式乘法运算．
2．经历探 索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理地思考
及语言表达能 力．
3．培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：单项式与多项式相乘的法则．
2．难点：整式乘法法则的推导与应用．

3．•关键：应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来，注意知识迁移．
教学方法
采用“情境──探究”教学方法，让学生直观地理解单项式与多项式相乘的法则．
教学过程
一、回顾交流，课堂演练
1．口述单项式乘以单项式法则．
2．口述乘法分配律．
3．课堂演练，计算：
（1）（－5x）·（3x） （2）（－3x）·（－x） （3）
2
12
xy·xy
33
2
25
（4）－5m·（－
2
1
11
mn） （5）－xy－2xy·（－
2
35
462
xy）
【教师活动】组织练习，关注中下水平的学生．
【学生活动】先独立完成上述“演练题”，再相互交流，部分学生上台演示．
二、创设情境，引入新课
小明作了一幅水彩画，所用纸的大小如图1，她在纸的左右两边各留了
这幅画的画面面积是多少？
【学生活动】小组合作，讨论．
1
a
6
米的空白，请同学们列出

【教师活动】在学生讨论的基础上，提问个别学生．
【情境问题2】夏天将要来临，有3家超 市以相同价格n•（单位：元／台）销售A牌空调，他们在一
年内的销售量（单位：台）分别是x，y， z，•请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总
收入．
【学生活动】分四人小组，与同伴交流，寻求不同的表示方法．
方法一：首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量（单位：台），•再计算出总的收入（单位：元）．
即：n（x+y+z）．
方法二：采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入，•然后再计算出他们的总收入（单位：元）．
即：nx+ny+nz． 由此可得：n（x+y+z）=nx+ny+nz．
【教师活 动】引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘
多项式中的每 一项，再把所得的积相加．

三、范例学习，应用所学
【例1】计算：（－2a）·（3ab－5ab）．
解：原式＝（－2a）（3ab）－（－2a）·（5ab）
=－6ab+10ab
【例2】化简：－3x·（
322
2
3233
2223223
1
xy－y）－10x·（xy－xy）
3
222
322
解：原式=－xy+3xy－10xy+10xy
=－11xy+13xy
【例3】解方程：8x（5－x）=19－2x（4x－3）
40x－8x=19－8x+6x
40x－6x=19
34x=19
x=
22
322
19

34
四、随堂练习，巩固深化
课本P146练习．【探研时空】
计算：（1）5x（2x－3x+8） （2）－16x（x－3y）
（3）－2a（
2
2232
1
2
ab+b） （4）（
24
1
2
xy－16xy）·
2
3
23< br>xy
2
【教师活动】巡视，关注中差生．
五、课堂总结，发展潜能
1．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，•就是用单项 式去乘多项式的每一项，再把所得
的积相加．
2．单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”．
六、布置作业，专题突破
课本P104习题14．1第4、6题．
教学反思
教学中，应紧扣法则，注意多项式的各项是带着前面的符号的．在实施“情境──探究”教学 过程中，注
重引导学生在课堂活动过程中感悟知识的生成、发展与变化，培养学生主动探索、敢于实践、 善于发现的
科学精神．
【总结反思】：

14.1.6 多项式与多项式相乘

教学目标
1．让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．
2．经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．
3．通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯．
重、难点与关键
1．重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用．
2．难点：多项式与多项式的乘法法则的应用．
3．关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决．
教学方法
采用“情境──探索”教学方法，让学生在设置的情境中，通过操作感知多项式与多项式乘法的内涵．
教学过程
一、创设情境，操作感知
【动手操作】
首先，在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图1•所示的四部分，标上字母．
【学生活动】拿出准备好的硬纸板，画出上图1，并标上字母．

【教师活动】要求学生根据图中的数据，求一下这个矩形的面积．
【学生活动】与同伴交流，计算出它的面积为：（m+b）×（n+a）．
【教师引导】请同学们将纸 板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开，分成如下图两部分，如图2．剪
开之后，分别求一下这两部分 的面积，再求一下它们的和．

【学生活动】分四人小组，合作探究，求出第一块的 面积为m（n+a），第二块的面积为b（n+a），它们
的和为m（n+a）+b（n+a）． 【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3，然后再求这四块长方形
的面积．

【学生活动】分四人小组合作学习，求出S
1< br>=mn；S
2
=nb；S
3
=am；S
4
=ab，它 们的和为S=mn+nb+am+ab．
【教师提问】依据上面的操作，求得的图形面积，探索（m+b）（n+a）应该等于什么？
【学生活动】分四人小组讨论，并交流自己的看法．
（m+b）×（n+a）=m（n+a） +b（n+a）=mn+nb+am+ab，因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个
矩形的面积进 行了计算，那么，两次的计算结果应该是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）< br>=mn+nb+am+ab．
【师生共识】多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每 一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得
的结果相加．
字母呈现：
二、范例学习，应用所学
【例1】计算：
（1）（x+2）（x－3） （2）（3x－1）（2x+1）
【例2】计算：
（1）（x－3y）（x+7y） （2）（2x+5y）（3x－2y）
【例3】先化简，再求值：
（a－3b）+（3a+b）－（a+5b）+（a－5b），其中a=－8，b=－6．
【教师活动】
例1～例3，启发学生参与到例题所设置的计算问题中去．
【学生活动】参与其中，领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题．
三、随堂练习，巩固新知
课本P148练习第1、2题．
【探究时空】
一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a•米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样 大小），
问台面面积是多少？
四、课堂总结，发展潜能
1．多项 式与多项式相乘，•应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，利用乘法分
配律来理解 （m+n）与（a+b）相乘的结果，导出多项式乘法的法则．
2．多项式与多项式相乘，第 一步要先进行整理，•在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一
项时，要“依次”进行，不重复 ，不遗漏，且各个多项式中的项不能自乘，多项式是几个单项式的和，每
一项都包括前面的符号，在计算 时要正确确定积中各项的符号．
五、布置作业，专题突破
2222
=ma+mb+na+nb．

课本P104习题14．1第5、6、7（2）、9、10题．
教学反思
在实施情境 探究教学过程中，应注意让学生感知问题的生成、发展与变化，培养学生善于发现的科学精神
以及合作交 流的精神和创新意识．

【总结反思】：




14.2.1平方差公式（二）
教学目标
1．探究平方差公式的应用，熟练地应用于多项式乘法之中．
2．经历平方差公式的运用过程，体会平方差公式的内涵．
3．培养良好的运算能力，以及观察事物的特征的能力，感受到学习数学知识的实际价值．
重、难点与关键
1．重点：运用平方差公式进行整式计算．
2．难点：准确把握运用平方差公式的特征．
3．关键：弄清平方差公式的结构特点，左边： （1）两个二项式的积；（2）两个二项式中一项相同，另
一项互为相反数．右边：（1）二项式；（2 ）两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方．
教学方法
采用“精讲．精练”分层递推的教学方法，让学生在训练中，熟练掌握平方差的特征．
教学过程
一、回顾交流，课堂演练
1．用平方差公式计算：
（1）（－9x－2y）（－9x+2y） （2）（－0.5y+0.3x）（0.5y+0.3x）
（3）（8ab－1）（1+8ab） （4）2008－2009×2007
2．计算：（a+
222
1
2
b）（a－
1
2
b）－（3a－2b）（3a+2b）
【教师活动】请部分学生上讲台“板演”，然后组织学生交流．
【学生活动】先独立完成课堂演练，再与同学交流．
二、范例学习，巩固深化
【例1】计算：

（1）（
1
3
y+2
2< br>4
x）（2
1
2
x－
3
y）；
4
2
（2）（－
55
x－0.7ab）（x－0.7ab）；
66
2
2244
（3）（2a－3b）（2a+3b）（4a+9b）（16a+81b）．
535325
2
9
x+y）（x－y）=
x
y
2424416
55
（2）原式=（－0.7ab－x）（－0.7ab+x）
66
5
25
=（－0.7ab）－（x）=0.4 9ab－x
6
36
解：（1）原式=（
2
22
222422
（3）原式=（4a－9b）（4a+9b）（16a+81b）
=（16a－81b）（16a+81b）
=256a－6561b
88
4444
222244
31
×8
44
3111
【思路点拨】因为7可改写为8－，8可改写成8+，这样可用平方差公式计算．
4444
31111115
解：7×8=（8－）（8+）=8－（）=64－=63．
444441616
【例2】运用乘法公式计算：7
22
【教师活动】边讲例边引导学生学会应用平方差公式．
【学生活动】参与到例1～2的学习中去．
三、课堂演练，拓展思维
【演练题1】想一想：（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特征．

68 ?


77?

1315?


1414?

6163?


6262?

5961?


6060?

（2）从以上的过程中，你能寻找出什么规律？
（3）请你用字母表现你所发现的规律，并得出结论．
【演练题2】
1．计算：（1）118×122 （2）105×95 （3）1007×993
2．求（2－1）（2+1）（2+1）（2+1）…（2+1）+1的个位数字．
【教师活动】组织学生进行课堂演练，并适时归纳．
【学生活动】先独立完成上面的演练题，再与同伴交流．
四、随堂练习，巩固提升
【探研时空】
1．计算：[2a－（a+b）（a－b）][（－a－b）（－a+b）+2b]；
2．解不等式：（3x+4）（3x－4）<9（x－2）（x+3）；
22
2432

3．利用平方差公式计算：1.97×2.03；
4．化简求值：x－（1－x）（1+x）（1+x）其中x=－2．
【教师活动】引导学生通过探究，领会平方差公式的真正意义．
【学生活动】分四人小组合作学习，互相交流．
五、课堂总结，发展潜能
提问式总结：
1．什么叫做平方差公式？它有什么特征？
2．你在应用过程中有什么感想？
3．在应用平方差公式时，应注意什么？举例说明．
六、布置作业，专题突破
选用补充作业．

14.2.1平方差公式（一）

教学目标
1．会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．
2．经历探索特殊形式的多 项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公
式．
3． 通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创
造性．
重、难点与关键
1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．
2．难点：平方差公式的应用．
3．关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导， 学生观察、总结、猜想，然后得出结论来
突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关 键．
教学方法
采用“情境──探究”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差公式．
教学过程
一、创设情境，故事引入
【情境设置】
教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事
【学生活动】1位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事，•其他学生认真听着，不时补充．
【教师归纳】听了这则故事之后，同学们应该懂得这么一个道理，学习千万不能像狗熊掰棒子一 样，
前面学，后面忘，那么，上节课我们学习了什么呢？还记得吗？
42

【学生回答】多项式乘以多项式．
【教师激发 】大家是不是已经掌握呢？还是早扔掉了呢？和小狗熊犯了同样的错误呢？下面我们就来
做这几道题，看 看你是否掌握了以前的知识．
【问题牵引】计算：
（1）（x+2）（x－2）； （2）（1+3a）（1－3a）；
（3）（x+5y）（x－5y）； （4）（y+3z）（y－3z）．
做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．
【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果：
（1）（x+2）（x－2）=x－4；
（2）（1+3a）（1－3a）=1－9a；
（3）（x+5y）（x－5y）=x－25y；
（4）（y+3z）（y－3z）=y－9z．
【教师活动】请一位学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果，寻找规律．
【学生活动】讨论
【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结 果的规律，这些是一类特殊的多
项式相乘，那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相 乘的规律呢？
【学生回答】可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以表示成a －b了，即（a+b）（a－b）
=a－b．
用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
【教师活动】表 扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字
母含义．
二、范例学习，应用所学
【教师讲述】
平方差公式的运用，关键是正确寻 找公式中的a和b，只有正确找到a和b，•一切就变得容易了．现
在大家来看看下面几个例子，从中得 到启发．
【例1】运用平方差公式计算：
（1）（2x+3）（2x－3）；
（2）（b+3a）（3a－b）；
（3）（－m+n）（－m－n）．
填表：
(a+b)(a－b)
(2x+3)(2x－3)
(b+3a)(3a－b)
(－m+n)(－m－n)
a
2x


b a－b



(2x)－3


22
22
22
22
22
22
2
2
结果

【例2】计算：
（1）103×97
（2）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y）
通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b．
三、随堂练习，巩固新知
课本P108练习第1、2题．
四、课堂总结，发展潜能
本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的 两个二项式积的性质．运用平方
差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，•第二个数b；二是 两数和乘以这两数差，这也是判断
能否运用平方差公式的方法．
五、布置作业，专题突破
课本P112第1、2题．
【总结反思】：






14.2.2 完全平方公式（二）
教学目标
1．引导学生通过观察、分析使他们掌握每一个乘法公式的结构特征及公式的含义，会正确地运用这些
公 式．
2．通过探索和理解乘法公式，感受乘法公式从一般到特殊的认知过程，拓展思维空间．
3．培养良好的分析思想和与人合作的习惯，体会到数学算理的重要价值．
重、难点与关键
1．重点：正确应用乘法公式（平方差公式，完全平方公式）．
2．难点：对乘法公式的结构特征以及内涵的理解．
3．关键：对公式的结构特征进行具体的分析，•从中感悟公式的特点并加以概括．
教学方法
采用“精讲．精练”的教学方法，增强教学的有效性．
教学过程
一、回顾交流，拓展延伸

【教师提问】
1．请同学们说一说平方差公式与完全平方公式的内容．
2．这两个公式有什么区别？如何使用？
【学生活动】踊跃发言．
平方差公式：（a+b）（a－b）=a－b
完全平方公式：（a±b）=a±2ab+b
这里的字母a、b可以是数、单项式、多项式．
二、范例学习，拓展知识
【例1】计算（2a－3b－4）（2a+3b+4）
该题关键在于正确的分组，一般规律是：把完全相同的项分为一组，符合相反、绝对值相等的项
分为另一 组．
【例2】例a=－1，b=2时，求代数式[（
222
22
1
2
2
a+b）+（
2
1
2
a－b）]（
2
1
2
a－2b）的值．
22
【例3】已知a+b=－2，ab=－15，求a+b的值．
解：∵（a+b）=a+2ab+b，变形后可有a+b=（a+b）－2ab．
把a+b=－2，ab=－15代入上式，则
a+b=（－2）－2×（－15）=34．
三、随堂练习，巩固深化
【课堂演练】
演练题1：应用乘法公式计算：1995－1994×1996．
演练题2：已知a+b=－6，ab=8，求（1）a+b；（2）（a－b）．
四、课堂总结，发展潜能
1．本节课应理解乘法公式是一种特殊形式的乘法，•注意平方差公式与完全平方公式的区别．
2．在乘法计算中，能用公式简便计算的应该使用公式，•要注意公式的应用条件，记住公式的模样，
在 此前提下对具体题目进行细致观察，想办法将题目调整或变形，使之能使用公式，当然，有些不能使用
公 式的整式乘法计算就只能运用一般的多项式乘法来进行了．
五、布置作业，专题突破
课本P112第5、6、7题．
【总结反思】：
222
2
222
222222
2

14.2.2 完全平方公式（一）
教学目标
1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，形成推理能力．
2．利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式．掌握完全平方公式的计算方法．
3．培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．
重、难点与关键
1．重点：完全平方公式的推导和应用．
2．难点：完全平方公式的应用．
3．关键：从多项式与多项式相乘入手，推导出完全平方公 式，•利用几何模和割补面积的方法来验证
公式的正确性．
教具准备
制作边长为a和b的正方形以及长为a宽为b的纸板．
教学方法
采用“情境──探究”教学方法，让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵．
教学过程
一、创设情境，导入新知
【激趣辅垫】
寓言故事：请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事．
【学生活动】由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事，其他学生补充．
【教师 活动】提出：你们从故事中学到了什么道理？（寓德于教）【学生发言】比喻没有真才实学的
人，混在行 家里充数，或以次货充好货．
【教师引导】对！所以我们在以后的学习和工作中，千万别滥竽 充数，一定要有真才实学．好．今天
同学们喊得很响亮，我要看看有没有南郭先生，请同学们完成下面的 几道题：
（1）（2x－3）； （2）（x+y）； （3）（m+2n）； （4）（2x－4）．
【学生活动】先独立完成以上练习，再争取上讲台演练，
（1）（2x－3）=4x－12x+9； （2）（x+y）=x+2xy+y；
（3）（m+2n）=m+4mn+4n； （4）（2x－4）=4x－16x+16．
【教师活动】组织学生通过上面的运算结果中的每一项，观察、猜测它们的共同特点．
【学生 活动】分四人小组，讨论．观察，探讨，发现规律如下：（1）•右边第一项是左边第一项
的平方，右边 最后一项是左边第二项的平方，中间一项是它们两个乘积的2倍．（2）左边如果为“+”号，
右边全是 “+”号，左边如果为“－”号，它们两个乘积的2•倍就为“－”号，其余都为“＋”号．
【教师提问】那我们就利用简单的（a+b）与（a－b）进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的
意义进行计算．
【学生活动】计算出（a+b）=a+2ab+b；（a－b）=a－2ab +b，完成后，一位学生上讲台板演．
222222
22
22222
222 22
2222

【教师活动】利用学生的板演内容，引出本节课的教学内容──完全平方公式．
归纳：完全平方公式：
（a+b）=a+2ab+b；
（a－b）=a－2ab+b．
语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
为了让学生直观理解公式，可做下面的拼图游戏．
【拼图游戏】
解释：（1）现有 图1所示的三种规格的硬纸片各若干张，•请你根据二次三项式a+2ab+b，选取相应
种类和数量的 硬纸片，拼出一个正方形，并探究所拼出的正方形的代数意义．
22
222
222

（2）你能根据图2，谈一谈（a－b）=a－2ab+b吗？
【课堂活动】第（1）题由小组合作， 在互动中完成拼图游戏，比一比，哪个四人小组快？第（2）题，
可以借助多媒体课件，直观地演示面积 的变化，帮助学生联想到
（a－b）=a－b－2b（a－b）=a－2ab+b．
二、范例学习，应用所学
【例1】运用完全平方公式计算：
（1）（－x－y）； （2）（2y－
2
2
22222
222
1
）
3
2
2
2
（1）解法一：（－x－y）=[（－x）+（－y）]
=（－x）+2（－x）（－y）+（－y）
=x+2xy+y；
解法二：（－x－y）=[－（x+y）]=（x+y）=x+2xy+y．
（2）解法一：（2y－
2 2222
22
2
111
）=（2y）－2·2y·+（）
333
222
=4y－
2
4
3
y+
1
．
9
2 2
11
）=[2y+（－）]
33
11
=（2y）+2·2y·（－）+（－）
33
解法二：（2y－
22

=4y－
2
4
3
y+
1
．
9
2
【例2】运用乘法公式计算9999．
解：9999=（10－1）=10－2×10+1
=100000000－20000+1
=99980001．
三、随堂练习，巩固新知
【基础训练】
24284
ab
－）； （2）（2xy+3）；
32
1
（3）（－ab+）； （4）（7ab+2）．
3
（1）（
22
22
【拓展训练】
（1）（－2x－3）； （2）（2x+3）；
（3）（2x－3）； （4）（3－2x）．
【教师活动】在学生完成“拓展训练”之后，让学生观察一下结果，看看有什么规律．
【学生 活动】分四人小组合作交流，寻找规律如下：把以上所有的题目都看作两个数的和的完全平方
（把减去一 个数看作加上一个负数），如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项都是正的，如果两个数
具有不同 的符号，•则它们乘积的2倍这一项就是负的．
【探研时空】
已知：x+y=－2，xy=3，求x+y．
四、课堂总结，发展潜能
本 节课学习了（a±b）=a±2ab+b，两个乘法公式，在应用时，（1）要了解公式的结构和特征．让住每一个公式左右两边的形式特征，记准指数和系数的符号；（2）掌握公式的几何意义；（3）弄清公式的变
化形式；（4）注意公式在应用中的条件；（5）应灵活地应用公式来解题．
五、布置作业，专题突破
课本P112习题14．2第3、4、8、9题．

【总结反思】：
222
22
22
22

14.3.1 同底数幂的除法
教学目标
1．了解同底数幂的除法的运算性质，并会用其解决实际问题．
2． 经历探究同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表
达能力．
3．感受数学法则、公式的简洁美、和谐美．
重、难点与关关键
1．重点：同底数幂的除法法则．
2．难点：同底数幂的除法法则的推导．
3．关键：采用数学类比的方法，引入幂的除法法则．
教学方法
采用“问题解决”教学方法．
教学过程
一、创设情境，导入新知
【情境引入】教科书P159问题：
一种数码照片的文件大小是2K，一个 存储量为2M（1M=2K）的移动存储器能存储多少张这样的数码
照片？你是如何计算的？
【教师活动】组织学生独立思考完成，然后先组内交流（4人小组），•接着再全班交流，鼓励学生积
极 探索，应用数学转化的思想化陌生为熟悉，鼓励学生算法多样化，同样强调算理的叙述．
【学生活动 】完成课本P159“问题”，踊跃发言，利用除法与乘法的互逆关系，求出2÷2=2=256．
【继续探究】 根据除法的意义填空，并观察计算结果，寻找规律：
（1）7÷7=7
12
72( )
1688
8610
；
( )
（2）10÷10=10
（3）x÷x=x
73( )
7
；
．
mnm－n
【归纳法则】一般地，我们有a÷a=a
（a≠0，m，n都是正整数，m>n）．
文字叙述：同底数的幂相除，底数不变，指数相减．
【教师活动】组织学生讨论为什么规定a≠0？
二、范例学习，应用所学
【例1】计算：
（1）x÷x； （2）m÷m；
（3）（xy）÷（xy）； （4）（m－n）÷（m－n）．
【特殊性质】探究课本P160“探究”题．
根据除法的意义填空，并观察结果的规律：
7284
937

（1）7÷7=（ ）； （2）100÷100=（ ）
（3）a÷a=（ ）（a≠0）
【课堂活动】在学生完成上面的填空题之后，教师引导学生观 察结论：（1）7÷7=7
100÷100=100=100；
（3）a÷a=a
0
nnn－n
555－50
222－2
nn
2255
=7； （2）
0
=a（a≠0）
0
规定a=1（a≠0），文字叙述如下：
任何不等于0的数的0次幂都等于1．
【法则拓展】一般，我们有a÷a=a
mnm－n
（a≠0，m，n都是正整数，并且m≥n），•即文字叙述为：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
三、随堂练习，巩固深化
课本P104练习第1、2、3题．
【探研时空】
下列计算是否正确？如果不正确，应如何改正？
（1）（－xy）÷（－xy）=－xy；
（2）6
2m+1
6244
÷6=6=216；
21010
m3
（3）x÷x÷x=x÷x=10．
四、课堂总结，发展潜能
教师提问式总结：
1．同底数幂的除法法则？
2．a=1（a≠0）意义？
3．到目前为止，我们学习了哪些幂的运算法则？谈谈它们的异同点．
五、布置作业，专题突破
课本P112第1题．
【总结反思】：
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