黄柏的功效-安全生产心得体会

八年级数学下学期教学工作计划


一、 指导思想
在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神 通过数学课
的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知
识和基本技 能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。
二、学情分析
八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是 否能升学。
我班优生稍少，学生非常活跃，有少数学生不求上进，思维不紧跟老师。有的学生思想单纯< br>爱玩，缺乏自主学习的习惯，有部分同学基础较差，厌学无目标。要在本期获得理想成绩，
老师和 学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，
注重方法，培养能力 。
三、 教材分析
本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下：
《义务教育教科书 •数学》八年级下册包括二次根式，勾股定理，平行四边形，一次函数，数
据的分析等五章内容，学习内 容涉及到了《义务教育数学课程标准（2013年版）》（以下简
称《课程标准》）中“数与代数”“图 形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个
领域。其中对于“综合与实践”领域的内容，本册书 在第十九章、第二十章分别安排了一个
课题学习，并在每一章的最后安排了两个数学活动，通过这些课题 学习和数学活动落实“综
合与实践”的要求。
第16章“二次根式”主要讨论如何 对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的
加、减、乘、除运算。通过本章学习，学生将建立起 比较完善的代数式及其运算的知识结构，
并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备 。
第17章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和
应用。
第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定，还研究了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。
第19章是“一次函数”，其主要内容包括： 常量与变量的意义，函数的概念，函数的三
种表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函 数与二元一次方程等内容的关
系，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。
第20章“数据的分析”主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及方差

1

等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过 研
究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想。
本学期全书共需约62课时，具体分配如下：
第十六章 二次根式 约9课时 第十七章 勾股定理 约9课时
第十八章 平行四边形 约15课时
第十九章 一次函数 约17课时
第二十章 数据的分析 约12课时
四、提高学科教育质量的主要措施：
1、认真做好教学六认真工作。把教学六认真作为 提高成绩的主要方法，认真研读新课程
标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课， 批改作业，认真辅导，认
真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。
2、兴趣是 最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，
介绍相应的数学趣题，给 出数学课外思考题，激发学生的兴趣。
3、引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和 谐、平等、自主、探究、合作、交流、
分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学 习。引导学生写学后总结，
写复习提纲，使知识来源于学生的构造。
4、引导学 生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本
质，提高学生举一反三的能 力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，
让学生处于一种思如泉涌的状态。
5、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带来不同的教育效果。
6、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培 养习惯，有助于学生稳步提高学习
成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。
7、开展分层教学，布置作业设置A、B、C三类分层布置分别适合于差、中、好三类学
生，课堂上的提 问照顾好好、中、差三类学生，使他们都等到发展。
8、进行个别辅导，优生提升能力，扎 实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差
生过关，为差生以后的发展铺平道路。
9、 培养学生学习数学的良好习惯。这些习惯包括①认真做作业的习惯包括作业前清理好
桌面，作业后 认真检查；②预习的习惯；③认真看批改后的作业并及时更正的习惯；④认真
做好课前准备的习惯；⑤在 书上作精要笔记的习惯；⑥妥善保管书籍资料和学习用品的习惯；
⑦认真阅读数学教材的习惯。

2

二次根式

课 题
课 时
16.1二次根式
第 1 课时（总 2 课时） 课 型 新授
知识
教
学
目
标
能力
目标
情感
目标
教学重点
目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：
a0(a0)
和
(a)
2
a(a0)

发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。
培养积极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。
二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
教学难点
综合运用性质
a0(
a
0)
和
(a)
2
a(a0)
。
板书

设计
16.1 二次根式
a0(a0)(a)
2
a(a0)

教学环节
自学导航（课
前预习）






合作交流（小
组互助）






2
教 学 过 程 设 计
（1）已知
x a
，那么
a
是
x
的______;
x
是
a
的______, 记为_____,
a
一定是____数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数
a
的算
4
术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子
a0( a0)
的
意义是 。
(1)
16
的平方根是 ；
(2)一个物体从高处自由落下 ，落到地面的时间是
t
(单位：秒)与开始下落
时的高度
h
(单位： 米)满足关系式
h5t
。如果用含
h
的式子表示
t
，则
t
= ；
(3)圆的面积为S，则圆的半径是 ；
(4)正方形的面积为
b3
，则边长为 。
3
2
二次备课

（三）展示提
升（质疑点
拨）















思考：
16
，
特征.
s
h
，,
b3
等式子的实际意义.说一说他们的共同

5
定义: 一般 地我们把形如
_____________。
a
（
a0
）叫做二次 根式，
a
叫做
。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3
，
 16
，
3
4
，
5
，
a
(a0)
，
x
2
1

3
2、当
a
为正数时
a
指
a
的 ，而0的算术平方根是 ，
负数 ，只有非负数
a
才有算术平 方根。所以，在二次根式
a
中，
字母
a
必须满足 ,
a
才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：
(1)
(4)
2
(2) （3）
(0.5)
2
（4）
(
根据计算结果，你能得出结论：
(a)
2
________
，其中
a0
,
4 、由公式
(a)
2
a(a0)
，我们可以得到公式
a
=
(a)
2
,利用此公式
可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如(
5
)=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(
5).
22
(3)
2
1
2
)

3
练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：
6 0.35
(2)在实数范围内因式分解
x
2
7
4
a
2
-11
例：当
x
是怎样的实数时，
x2
在实数范围内有意义？
练习：1、
x
取何值时，下列各二次根式有意义？
①
3x4
②
2
1
2
x
③


2x
3
2、（1）若
a33a
有意义，则a的值为___________．
（2）若
x
在实数范围内有意义，则
x
为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
3、(1)在式子
12x
1x
中，
x
的取值范围是____________.
4

达标检测









教学
反思



课 题
课 时
(2)已知
x< br>2
4
+
2xy
＝0，则
xy
_______ ______.
x32
,则
y
x
= _____________。 (3)已知
y3x
(一)填空题：

3


1、



5


2、若
2x1y10
，那么
x
= ，
y
= 。

3、当
x
= 时，代数式
是 。

2
4x5
有最小值，其最小值

16.1二次根式2
第 2 课时（总 2 课时）
2
课 型 新授
知识
教
学
目
标
情感
能力
1、掌握二次根式的基本性质：
aa
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
会用二次根式的性质进行化简与计算
培养积极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。
教学重点
二次根式的性质
aa
．
2
教学难点
综合运用性质
aa
进行化简和计算
2
教学准备
多媒体课件

5

板书
设计
16.1二次根式2
a
2
a
化简 例题
教学环节
自学导航（课
前预习）






合作交流（小
组互助











展示提升（质
疑点拨）


















教 学 过 程 设 计
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式
二次备课
2
有意义，则
x
。
x5
22< br>2
（3）在实数范围内因式分解：
x6x
( )=（
x
+

）
(
y
- )
1、计算：
4
4
2


0.2
2


()
2


20
2


5
a
2

观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得 到：当
a0时,
2、计算：
4
(4)
2


(0.2)
2


()
2


(20)
2


5
观察其结果与根号内幂底数的关系 ，归纳得到：当
a0时,a
2


3、计算：
0
2

当
a0时,a
2



1、归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要
的性质：
a 0

a

a
2
a

00


aa0

2、化简下列各式：
2
2
（1）、
0.3
2

（2）、
(0.5)
（3）、
(6)
（4）、

2a

2
= （
a0
） < br>2
3、请大家思考、讨论二次根式的性质
(a)
2
a(a0)与
aa
有什
么区别与联系。
1、化简下列各式
（1）
4x
2
(x0)
(2)


2、化简下列各式
6
x
4

达标检测






（1）
(a3)


2
(a3)
（2）

2x3

2
（
x
＜-2）
A组
2
1、填空：（1）、
(2x1)
-
(2x3)
2
(x2)
=_________.（2）、
(

4)
2
=
（3）
a
、
b
、< br>c
为三角形的三条边，则
(abc)bac
-
_____ ___.
2、已知2＜
x
＜3，化简：
(x2)x3


B组
3、 已知0＜
x
＜1，化简：
(x)4
－
(x

4、把

2x

2
2
1
x
2
1
2
)4

x
1
的根号外的

2x
适当变形后移入根号内，得（ ）
x2
A、
2x
B、
x2
C、
2x
D、



5、 若二次根式
 2x6
有意义，化简│
x
-4│-│7-
x
│

x2

教学

反思

课 题
课 时
16.2二次根式的乘除
第 1 课时（总 2 课时） 课 型 新授


7

知识
教
学
目
标
能力
目标
情感
目标
教学重点 < br>理解
a
·
b
＝
ab
（a≥0，b≥0），
a b
=
a
·
b
（
a
≥0，
b
≥0） ，并利用它们进
目标
行计算和化简

能用二次根式的性质以及乘法法则进行根式的化简.
通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法
掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
教学难点 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
16.2二次根式的乘除1
板书

设计
例题
a
·
b
＝
ab
（a≥0，b≥0），
ab
=< br>a
·
b
（
a
≥0，
b
≥0）
教学环节 教 学 过 程 设 计 二次备课
自学导航
（课前预
习）







合作交流
（小组互
助）




1．填空：（1）
4
×
9
=____，
49< br>=____；
4
×
9
__
49

（2）
16
×
25
=____，
1625
=___；
16
×
25
__
1625

（3）
100
×
36
=___，
10036
=___．
100
×

36
__
10036

1、 学生交流活动总结规律．
2、一般地，对二次根式的乘法规定为

a
·
b
＝
ab
．（a≥0，b≥0 反过来:
ab
=
a
·
b
（a
≥0，b≥0）
例1、计算
8

巩固练习





展示提升
（质疑点
拨）








达标检测









（1）
5
×
7
（2）
例2、化简
1
1
×
9
（3）3
6
×2
10
（4）
5a
·
ay
5

3
22
（1）
916
（2）
1681
（3）
81100

（4）
9xy
（5）
54

（1）计算： ①
16
×
8
②5
5
×2
15
③
12a
3
·
1
2
ay

3
（2）化简:
20
;
18
;
24
;
54
;
12a
2
b
2


判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
(4)(9)49

（2）
4
121 212
×
25
=4××
25
=4×
25
=4
12
=8
3

252525
展示学习成果后，请大家讨论：对于< br>9
×
27
的运算中不必把它变成
243

后再进行计算，你有什么好办法？
注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项 式法则进行计算：
即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解。
（2）分解后把能开尽方的开出来。

A组
1、选择题
（1）等式
x1x1x
2
1
成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
（2）下列各等式成立的是（ ）．A．4
5
×2
5
=8
5
B．5
3
×
4
2
=20
5
C．4
3
×3
2
=7
5
D．5
3
×4
2
=20
6

2
（3）二次根式
(2)6
的计算结果是（ ）A．2
6
B．-2
6

C．6 D．12
2、化简与计算：
（1）
360
； （2）
32x
； （3）
1830
； （4）
3
B组
1、选择题
4
2

75

9

若
a2b4b4cc22
1
0
，则
b
2
ac
=（ ）
4
A．4 B．2 C．-2 D．1

教学

反思
课 题
课 时

16.2二次根式的乘除2
第 2 课时（总 2 课时） 课 型 新授

知识
教
学
目
标
能力
目标
情感
目标
教学重点
目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
3.会判断二次根式是否为最简二次根式。
能用二次根式的性质以及乘除法法则进行根式的化简.
通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法
掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
教学难点 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简
16.2二次根式的乘除2
板书

设计
例题
最简二次根式
aa
aa
=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）
bb
bb
教学环节 教 学 过 程 设 计 二次备课

10

自学导航（课
前预习）


















合作交流（小
组互助）











展示提升（质
疑点拨）










达标检测

1、计算： （1）3
8
×（-4
6
） （2）
12ab6ab
3

2、填空：
（1）
99
99
=____，=____； 规律： ______；
1616
1616
1616
1616
=____，=____； ______；
3636
3636
（2）
一般地，对二次根式的除法规定：
aa
aa
=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）
bb
bb
1、计算：（1）

2、化简：
3111
1264
（2） （3） （4）

2841 6
8
3
3
64b
2
5x
9x
（1） （2） （3） （4）
64
9a
2
169y
2
64y
2

注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：
即系数之商作为商的系数， 被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母
中不含有二次根式。
阅读下列运算过程：

13322525
，

3 5
333555
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：
(1)
2
1
1
=________（ ２）=_________(３) =_____ ___ (４)
32
12

6
10
=___ ___
25
A组
1、选择题
（1）计算
12
1
3
12
1
的结果是（ ）．
35
A．
2
7
2
2

5
B． C．
2
D．
7
7
11

（2）化简
32
的结果是（ ）
27
A．-
2
6
2
B．- C．- D．-
2

3
3
3
2、计算：
（1）

（3）
2
48
（2）
2x
3
8x

11
9x
（4）

2
416
64y

B组
用两种方法计算：
（1）
646
（2）
8

43
教学

反思

课 题
课 时
16.3二次根式的加减
第 2 课时（总 2课时） 课 型 新授

知识
教
学
目
标
能力
目标
情感
目标
教学重点
目标
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

培养学生较熟练的运算能力
帮助学生正确对待学习，养成良好的学习习惯，寻找有效的学习方法
熟练进行二次根式的混合运算。
教学难点 混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

12

板书
设计
16.3二次根式的加减2
二次根式的混合运算
教学环节
自学导航（课
前预习）




（二）合作交
流（小组互
助）


















展示提升（质
疑点拨）











教 学 过 程 设 计
计算：
（1）
6
·
3a
·
（3）
238

1、探究计算：
（1）（
83
）×
6
（2）
(4236)22

2、探究计算：
（1）
(23)(25)
（2）
(232)
2

计算：
（1）
(

（3）
(3223)
2
（4）（
10
-
7
）（-
10
-
7
）

同学们，我们以前学过完全平方公式
(ab)a2abb
，
你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数
（包括0）都可以看作是一个数 的平方，如3=（
3
），5=（
5
），
22
二次备课
11
1

b
（2）

3416
11
1250

25
12
27243)12
（2）
(235)(23)

33

222
下面我们观察：
(21)
2
(2)
2
2121
2
2221322

反之，
3222221(21)
2
∴
322(21)
2

∴
322
=
2
-1
仿上例，求：（1）；
423



13

达标检测



（2）你会算
412
吗？

A组
1、计算：
（1）
(8090)5
（2）
243623



（3）
(a
3< br>b3abab
3
)(ab)
（a>0,b>0）
（4）
(26-52)(-26-52)

2、已知
a
B组
1、计算：（1）
(321)(321)

（2）
(310)
2009
(310)
2009


教学

反思


1
21
,b
1
21
，求
ab10
的值。
22



学 科
课 题
课 时
数学 年 级 八 主备人
16.3二次根式的加减
第 1 课时（总 2 课时） 课 型 新授
编 号 5
知识
教
学
目
标
能力
目标
情感
目标
目标
1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式
2、理解和掌握二次根式加减的方法．
3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再
总结经 验，用它来指导根式的计算和化简．

经历整式加减运算与二次根式加减运算的比较体会类比 思想，探究二次根式加减的方法，
培养学生观察、探索、归纳的能力。
通过类比学习，培养学生分析问题解决问题的能力和团队合作精神。

14

教学重点
二次根式的加减运算．
教学难点 探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算。
16.3二次根式的加减
板书
设计
同类二次根式
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•
再将同类二次根式进行合并
教学环节
自学导航（课
前预习）


合作交
流（小组互
助）


















展示运用







教 学 过 程 设 计
计算．（1）
2x3x
；（2）
2x3x5x
；
（3）
x2x3y
；（4）
3a2aa

学生活动：计算下列各式．
（1）2
2
+3
2
= （2）2
8
-3
8
+5
8
=
（3）
7
+2
7
+3
97
= （4）3
3
-2
3
+
2
=
由此可见 ，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2
2
与
8
表面上看是不相同的 ，但它们可以合并吗？也可以．（与整数中同类项的
意义相类似我们把
33
与
23
，
3a
、
2a
与
4a
这样的几个二
次根式，称为同类二次根式）
3
2
+
8
=3< br>2
+2
2
=5
2

3
3
+
27
=3
3
+3
3
=6
3

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再
将同类二次根式进行合并．
例1．计算
（1）
8
+
18
（2）
16x
+
64x


例2．计算
（1）3
48
-9
222

222
二次备课

1
+3
12
(2）（
48
+
20
）+（
12
-
5
）
3
归纳： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；
第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
（三）展示提升（质疑点拨）
15

达标检测













(1)
12(
11
)
(2)
(4820)(125)

327
(3)
x
21x
1x1
2
（4）
x9x(x6x)

4yy
3x4
x2y
22
例3．已知4x+y-4x-6y+10=0，求（
的值．
（一）、选择题 < br>2
x9x
+y
2
3
y
1
x
2
）-（x-5x）
3
x
x
y
1．以下二次根式：①
12
；②
2
2
；③
2
；④
27
中，与< br>3
是
3
同类二次根式的是（ ）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③
和④
2．下列各式：①3
3
+3=6
3
；②
1
7
③
2
+
6
=
8
=2
2
；
7
=1；
④
24
=2
2
，其中错误的有（ ）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0
3
个
3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )
(A)
3
和
18
(B)
3
和
二、填空题
1．在
8
、
1
(C)
a
2
b和
ab
2
(D)
a1
和
a1

3
122
1
75a
、
9a
、
125
、
3a
3
、3
0.2
、-2中，
33a
8
与
3a
是同类二次根式的有________．
2．若最简二次根式
32x 1
与
3x1
是同类二次根式，则
x
＝
______．

教学

反思






16

勾股定理
18.1 勾股定理（1）
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。
重点：勾股定理的内容及证明。
难点：勾股定理的证明。
学习过程：
一.预习新知（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。）
1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系？
2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的 大正方形的面积之间有什么关
系？
归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系
A
B
D
C
C
b
A
c
a
B

(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？

(2)组织学生小组学习， 在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外
作三个正方形，并分别计 算其面积。

(3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？

(4)对于更一般的情形将如何验证呢？
二.课堂展示
方法一；

17

如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。
S正方形＝_______________＝____________________

方法二；
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a
2
＋b
2
=c
2
。
分析：左右 两边的正方形边长相等，则两个正方形的面
b
a
左边S=_____________ _

右边S=_______________
左边和右边面积相等，
即

化简可得。

方法三：
a
c
c
b
a
积相等。
a
b
c< br>a
b
c
c
a
a
b
c
b
C< br>D
a
A
b
a
b
c
b
E
c< br>a
b
B
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于
直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.
∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于
1
ab. 把这两个
2
1
2
c.
2
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于_________________


归纳：勾股定理的具体内容是 。


三.随堂练习
1.如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
A
⑴两锐角之间的关系： ；
(2)若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；
D
(3)三边之间的关系：
2.完成书上P69习题1、2
C
B


四.课堂检测新课 标 第 一 网
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；

18

②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则S
Rt△ABC
=________。
2.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。（已知a、b，求c）
⑵a= 。（已知b、c，求a）
⑶b= 。（已知a、c，求b）
3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A、56 B、48 C、40 D、32


五.小结与反思


18.1 勾股定理（2）
学习目标：
1．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
重点：勾股定理的应用。
难点：实际问题向数学问题的转化。
一.预习新知（阅读教材第66至67页，并完成预习内容。）

1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长．
问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？

C
A

A

C
2m

B
O
C
图1
A
B

1m
B D
O
O
二.课堂展示
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.

19
D
例：如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
三.随堂练习
1.书上P68练习1、2

2．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡 路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离
地面的高度是 米。

3．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是
43
米，则这两株树之间的垂直距离是
米，水平距离是 米。


B
C




30

B
A
A
C

3题图 1题图 2题图
四.课堂检测
1．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
2．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地 直
接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC= 80公里，
BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

A
3．如图 ，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使
AC垂直江岸，测得BC=50米 ，
∠B=60°，则江面的宽度为 。
R
BC

4．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞
口，则圆形盖半径至少为 米。

P
Q
5．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点 ，PQ=16厘米，
且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。

6.如图3，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S
1
、 S
2
、S
3
表示，容易得出S
1
、
S
2< br>、S
3
之间有的关系式 ．
变式：书上P71 -11题如图4．





五.小结与反思
S
3
A
S
1
C
S
2
B
S
2
S
3
S
1
图4
图3

18.1 勾股定理（3）
学习目标:
1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。
2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。
3、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。
重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。
难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。

20

一.预习新知（阅读教材第67至68页，并完成预习内容。）
1.探究：我 们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示
13
的点吗？ < br>2.分析：如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示
13
的点。容 易知道，长为
2
的线段是
两条直角边都为______的直角边的斜边。长为
13
的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？
利用勾股定理，可以发现，长为
13
的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。
3.作法：在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线l
垂直于OA，在
l
上取点B，使AB=_____，以原点O
为圆心， 以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示
13
的点。
4.在数轴上画出表示
17
的点？（尺规作图）

二.课堂展示
例1已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。


例2已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S
△
ABC
。



三.随堂练习
1.完成书上P71第9题


2．填空题
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
(4)已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。


2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。

四.课堂检测
1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是
23
cm，则另一条直角边的长是（ ）A. 4cm B.
A

B


C

D

43
cm C. 6cm D.
63
cm
2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米. 如果梯子的顶端沿墙下滑4
分米，那么梯足将滑动( )

21

A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米
4． 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷
走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），
“路”
草．
3m

4m
5. 等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高
积为 .
6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．
径”，在花铺内
却踩伤了花
为 ，面
7．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，
AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。


五．小结与反思
B
A
D
C

18.2 勾股定理的逆定理（一）
学习目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。
难点：勾股定理的逆定理的证明。
一.预习新知（阅读教材P73 — 75 , 完成课前预习）

1.三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？
你是怎样得到的？
2.你能证明以6cm、8cm、10cm为三边长的三角形是直角三角形吗？



3.如图18.2-2，若△ABC的三边长
a
、
b
、< br>c
满足
a
△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．
4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
（1）什么叫互为逆命题

（2）什么叫互为逆定理

（3）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __
5.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？
C
（1） 两直线平行，内错角相等；
（2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
5km
13km
（3） 全等三角形的对应角相等；
（4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
12km
B
二．课堂展示

22
2
b
2
c
2
，
图18.2-2
试证 明
A

例1：判断由线段
a
、
b
、
c
组成的三角形是不是直角三角形：
（1）
a15,b8,c17
； （2）
a
（3）
a
13,b14,c15
．
7,b24,c25
； （4）
a1.5,b2,c2.5
；
三.随堂练习
1.完成书上P75练习1、2
2.如果三条线段长a,b,c满足
a
2< br>c
2
b
2
，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
3.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
4.思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地 ，
如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？

四.课堂检测
1.若△ABC的三边a，b，c满足条件a
2
+b
2
+c
2
+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．
2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？

C
3.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD
2
=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。

五.小结与反思


18.2勾股定理逆定理（2）
学习目标：
1.进一步掌握勾股定理的 逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理
解勾股定理及其逆定理的 区别与联系，掌握它们的应用范围。
2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
3.在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。
4.培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
重点：勾股定理的逆定理
难点：勾股定理的逆定理的应用
一.预习新知
已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD的面积。
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形
二.课堂展示
例1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“ 远航”号每小时航行16海
里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海 里．如果知道“远航”号沿东
北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

A
D
B
D
A





C
D
C
B
B

E

图18.2-3
23
A

例2．如图，小明的爸 爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，
以便计算一下产量。小 明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
三.随堂练习
1.完成书上P76练习3
2.一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为
A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:12 D 10:8:2
3.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式
a2b18
+（b-18）
2
+
c30
=0则△ABC是 _______三角
形。
四.课堂检测
1.若△ABC的三边a、b、c，满足（ a－b）（a
2
＋b
2
－c
2
）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形。
2.若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：
2
，试判断△ABC的形状。
D
A
313
3.已知：如图，四边 形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC。
4
4
BC
求：四边形ABCD的面积。
4.小强在操场上向东走8 0m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走
60m的方向是 。
5.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边 短1米，
请你试判断这个三角形的形状。
6.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b= 4，ab=1，c=
14
，试判定△ABC的形状。
7.如图，在正方形ＡＢＣＤ中 ，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝
1
。
ＢＣ，求证：∠ＥＦＡ＝90.
4

五.小结与反思



勾股定理复习（1）
学习目标
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.
2.勾股定理的应用.
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
重点：掌握勾股定理及其逆定理.
难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.
一.复习回顾

24

在本章中，我们探索了直角三角形的 三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验
证勾股定理，介绍了勾股定理的用途 ；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构
如下：

1.勾股定理：
(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就 是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条
直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：
— ———————————
.这就是勾股定理．
(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据． a
2
c
2
b
2
,b
2
c
2
a
2
,ca
2
b
2
,
ac< br>2
b
2
,bc
2
a
2
．
勾 股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而
得 出或验证勾股定理．

2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三 边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆
定理.它可以帮助我们判断三 角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明
222
采用了构造 法.利用已知三角形的边a,b,c(a+b=c)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定
理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.

3.勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的两边，求第三边；
(2）在数轴上作出表示
n
（n为正整数）的点．
勾股定理的逆定理是用来 判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是
否垂直,勾股定理是直角 三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以
判定三角形是否为直角三 角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：
利用勾股定理的逆定理， 通过计算来证明，体现了数形结合的思想．
(3)三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边， 若
abc
，则三角形是直角三角形；若
222
a
2
b
2
c
2
，则三角形是锐角三角形；若
a
2
b< br>2
c

，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的
逆定理时首先 要确定三角形的最大边．
二.课堂展示
例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?
例2：如图，在四边形ABCD中，∠C=90 °，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．


三.随堂练习
1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )

25

A．7，24，25 B．3
11111
，4，5 C．3，4，5 D．4，7，8
22 222
2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
3.三个正方形的面积如图1，正方形A的面积为（ ）
A． 6 B． 36 C． 64 D． 8
4.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）
100
图1
64
A
3060
A．6cm B．8．5cm C．cm D．cm
13
13
是直角三角形吗？若是，哪个角是直角

四.课堂检测
5.在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n
2
－1，b＝2n，c＝n
2
+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形
1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方 挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后
两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm
2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下 端拉开5m后，发
现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
3．在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝＿＿＿
4．等腰△AB C的面积为12cm
2
，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．
5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．
6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿
7 ．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等
于 门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
8．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原
长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的 吗？


五.小结与反思



勾股定理复习(2)
8m
图3
学习目标
1.掌握直角三角形 的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．
2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．
3.熟悉勾股定理的历 史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．
重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用．
难点：应用勾股定理以及逆定理．
考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为______．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

26

3．在数轴上作出表示
10
的点．
4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；②ΔABC的面积．


考点二、利用列方程求线段的长
1 ．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15 km，CB=10km，
现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相 等，则E站应建在离A站多
少km处？
2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为 300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要
在公路上建一个小商店（C点），使之与该校 A及车站D的距离相等，求商店
与车站之间的距离．

D

C



A B
E


考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1 ）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17
（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有
2222
2.若三角形的三别是a+b,2ab,a-b(a>b>0),则这个三角形是 .
3.如图1，在△ABC中，AD是高，且
ADBDCD
，求证：△ABC为 直角三角形。
考点四、灵活变通
1.在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=
2.直角三 角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7
cm
，8
cm
，则以斜边为 边长的正方形的面积
为_________
cm
．
2
22
2
B

3.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外
6 8
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
A
4.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （

取3）
5.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么
它所爬行的最短路线 的长是
6.若一个三角形的周长12
c
m,一边长为
3
c
m,其 他两边之差为
c
m,则这个三角形是______________________．
7.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，
则该地毯的长度至少是 米。
考点五、能力提升
1.已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．
求证：AB
2
-AC
2
=BC(BD-DC)．




27
D
C
B
E
A

2.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，
且
CE
1
BC
．你能说明∠AFE是直角吗？
4

3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将 直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜
边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
三.随堂检测
1．已知△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则它的三条边之比为（ ）．
A．1：1：1 B．1：1 ：2 C．1：2 ：3 D．1：4：1
2．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
3．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）．
2222
A．
3
cm B．2 cm C．3 cm D．4cm
4.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）
A．6cm B．8．5cm C．30／13cm D．60／13 cm
5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树 的树梢飞到另一棵树的树梢，
至少飞了＿＿＿米．
6.一座桥横跨一江，桥长12m，一般小 船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现
已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿ ＿＿m．
7.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿．
8.已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是 ． 9.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于< br>门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
10.如图1所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的 距离
为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的 顶端B下降
到B′，那么BB′也等于1m吗?

B

B′



O
A′ A

图1

11.已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．
求：BD的长．
四.小结与反思

复习第一步：：
勾股定理的有关计算
例1： （2006年甘肃省定西市中考题）下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ． < br>析解：图中阴影是一个正方形，面积正好是直角三角形一条直角边的平方，因此由勾股定理得正方形边长< br>平方为：172-152=64，故正方形面积为6
勾股定理解实际问题
例2．（2004年吉林省中考试题）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）． 其中 矩形ABCD
是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗 杆垂直插在操场
上，旗杆旗顶到地面的高度为220cm．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②． 求彩旗下垂时最低处
离地面的最小高度h．
析解：彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF
的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，
得DE=

28

h=220-150=70(cm)
所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm
与展开图有关的计算
例3 、（2005年青岛市中考试题）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．
析解：正方体是由平面图形折叠而成，反之，一个正方体也可以把 它展开成平面图形，如图是正方体展
开成平面图形的一部分，在矩形ACC’A’中，线段AC’是点A 到点C’的最短距离．而在正方体中，
线段AC’变成了折线，但长度没有改变，所以顶点A到顶点C’ 的最短距离就是在图2中线段AC’的
长度．
在矩形ACC’A’中，因为AC=2，CC’=1
所以由勾股定理得AC’= ．
∴从顶点A到顶点C’的最短距离为
复习第二步：
1．易错点：本节同学们的易 错点是：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另
外不论是否是直角三角形就用 勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边
和斜边，同时要弄清楚解题中 的三角形是否为直角三角形．
例4：在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c．
错解：因为a=6，b=10，根据勾股定理得 c=
剖析：上面解法，由于审题不仔细， 忽视了∠B=90°，这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角
边，错把c当成了斜边．
正解：因为a=6，b=10，根据勾股定理得，c=
温馨提示：运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用c2=a2+b2
例5：已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是
错解：因为Rt△ABC的两边长分别为3和4，根据勾股定理得: 第三边长的平方是32+42=25
剖析：此题并没有告诉我们已知的边长4一定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类讨论．
正解：当4为直角边时，根据勾股定理第三边长的平方是25；当4为斜边时，第三边长的平方为：42-32 =7，
因此第三边长的平方为：25或7．
温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论．
例6：已知a，b，c为⊿ABC三边，a=6，b=8，b错解：由勾股定理得c=
剖析：此题并没有告诉你⊿ABC为直角三角形，因此不能乱用勾股定理．
正解：由b13．
温馨提示：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形．
2．思想方法：本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；
例7：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠 ，使
它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
析解：因两直角边AC=6cm，BC=8cm，所以由勾股定理求得AB=10 cm，设CD=x， 由题意知则DE=x，
AE=AC=6，BE=10-6=4，BD=8-x．在Rt△BDE由勾股定 理得：42+x2=(8-x)2，解得x=3，故CD的长能求
出且为3．
运用中的质疑点 ：（1）使用勾股定理的前提是直角三角形；（2）在求解问题的过程中，常列方程或方程
组来求解；（ 3）已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能
确定时，要分 类讨论．
复习第三步：
选择题
1．已知△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则它的三条边之比为（ ）．

29

A．1：1： B．1： ：2 C．1： ： D．1：4：1
2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）．
A． B．3 C． D．
3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
4．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）．
A． cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．4cm2
6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（ ）．
7．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）
A．6cm B．8．5cm C． cm D． cm
8．两只小鼹鼠在地下打洞 ，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后
两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm
9、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞 到另一棵树的树
梢，至少飞了＿＿＿米．
10．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥 北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发
现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m ．
11．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿． < br>12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线BE＝13，另一条中线AD2＝331，则AB＝＿＿＿ ．
13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就 恰好等
于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
14．如图3，台风过后，一希望 小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆
原长16m，你能求出旗杆在离 底部什么位置断裂的吗？请你试一试．
15．如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离
为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A ′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B
下降到B′，那么BB′也等于1m吗?
16． 在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数) ，这个三
角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究．
15、参考
在Rt△ABO中，梯子AB2＝AO2+BO2＝22+72＝53．在Rt△A′B′O中，梯子A′B′ 2＝53＝A′O2+B′
O2＝32+B′O2，所以，B′O＝ ＝ ＝2 ＞2×3＝6．所以BB′＝OB－OB′＜1．
16、参考．因为a2＝n4－2n2+1，b2 ＝4n，c2＝n4+2n2+1，a2+b2＝c2，所以△ABC是直角三角形，∠C
为直角．
复习小结
通过教学，我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形 的条件，要创造直角
三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学 生的综合应用能力。
在不条件、不同环境中反复运用定理，要达到熟练使用，灵活运用的程度

第十九章 平行四边形

19.1.1 平行四边形及其性质(一)
教学目标：
1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．

30

2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
重点、难点
4． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．
5． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
教学过程
一.温故知新：
1.有两组对边__________________的四边形叫平形四边形，平行四边形用“______” 表示，平行四边形ABCD
记作__________。
2.如图
□
ABC D中，对边有______组，分别是___________________，对角有_____组，分别是
_________________，对角线有______条，它们是_____________ ______。
二.学习新知：
1.自学课本P83～P84，填空：平行四边形的性质
（1）边：_________________________________________ ________________
（2）角：________________________ _________________________________
例：
□
A BCD中，如果AB∥CD，那么AB=______，BC=______，∠A=______，∠B=__ ____.
2.看例1，完成课本P84的练习.
三.释疑提高：
1.
□
ABCD中，两邻角之比为1∶2，则它的四个内角的度数分别是____________. 2.
□
ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长是_____ _____.
3.如图，在
□
ABCD中，M
、
N是对角线BD上 的两点，BN=DM，请判断AM与CN有怎样的数量关系，
并说明理由.它们的位置关系如何呢？

A
N
M
BC
D
A
D
D
E
F
C
F
B
E
C
A
B


4.如图，在
□
ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60° ，BE=2cm，DF=3cm，求
□
ABCD的
周长和面积. 若问题改为CF=2cm，CE=3cm，求
□
ABCD的周长和面积.
5.
□
ABCD中，E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若 △FDE
的周长为8，△FCB的周长为22，求CF的长.
四.小结归纳：

五．巩固检测


19.1.1 平行四边形的性质(二)
教学目标：
理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．
培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
重点、难点
重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．

31

难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

教学过程
一.温故知新：
1.平行四边形的定义是：_____________ __________________________________.
2.所学平行四边形的 性质有：平行四边形的对边______________，平行四边形的对角______________.
A
M
3.如图，在
□
ABCD中，BC=2AB，M是AD的中点， 则∠BMC=___________.
D
二.学习新知：
1.自学课本P85～86内容，填空：
B
C
平行四边形的又一个性质是： ______________________________，当图形中没有
平行四边形的对角线 时，往往需作出对角线.
由此得到平行四边形的性质有：
（1）边：_____________ （2）角：_____________ （3）对角线：_____________
2.看例2，完成课本P86的练习.
三.释疑提高：
D
1.在
□
ABCD中，AC
、
BD交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长
C
是
18cm，那 么△AOD的周长是_____________.
O
2.
□
ABCD的 对角线交于点O，S
△
AOB
=2cm
2
，则S
□
ABCD
=__________.
A
B
3.
□
ABC D的周长为60cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，
则AB=____ __cm，BC=_______cm.
4.
□
ABCD中，对角线AC和BD交 于点O，若AC=8，AB=6，BD=m，那么m的取值范围是____________.
5.
□
ABCD中，E
、
F在AC上，四边形DEBF是平行四边形.求证：AE=CF.

A
D
E
A
B
F
C
B
C
D


6.如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A
、
B
、
C
、
D处均有一棵大桃树.田村准备开挖养鱼，想使
池塘的面 积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，画出
图形，说 明理由.
四.小结归纳：
五．巩固检测



19.1.2 平行四边形的判定（一）
教学目标：
在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．
重点、难点
重点：平行四边形的判定方法及应用．
难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．

32
B
E
C
C
A
D
F

教学过程
一.温故知新
1.如图在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠A=65°，CE⊥BD于E，则∠BCE= .
2.如图，在
□
ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，已知AE=4， AF=6，
□
ABCD的周长为40，试求
□
ABCD的面积。
二.学习新知
1.自学课本P86-P87，掌握平行四边形的判定定理，注意定理条件和结论，并会证明。
2.自学例子，并证明。 独立完成P87的练习。
A
三.释疑提高
D
C
1.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有 个。
2.一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且a
2
+b
2
+c
2
+d
2
=2ac+2bd，
E
B
这个四边形是 。
B
AE
3.如图，在△ABC的边AB上截取AE=BF，过E作ED∥BC交A C于D，
过F作FG∥BC交AC于G，求证：ED+FG=BC。
A
E
F
B
D
G
C
D
A
E
F
O
B
A
第5题图
E
B
B
第6题图
C
C
D
F
C
A
E
D
F
D
F
C

4.如图，线段AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别为OC、OD的中点 ，连结AF、BE，求
证AF∥BE。
5.如图，已知O是平行四边形ABCD对角线AC的 中点，过点O作直线EF分别交AB、CD于E、F两点，
（1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）填空，不填辅助线的原因中，全等三角形共有 对。
第3题图
第4题图


6.如图，在
□
ABCD中 ，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，（1）求证：
△ABE≌△DFE；（ 2）试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论。

四.小结归纳
五.巩固检测
．

19.1.2平行四边形的判定（二）
重点、难点
1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．
2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
一.温故知新
1.如 图在
□
ABCD中，EF∥AD，MN∥AB，EF、MN相交于点P，图中共有 个
平行四边形。
2.如果平行四边形的两条对角线长分别为8和12，那么它的边长不能取（ ）
A. 10 B. 8 C. 7 D. 6
3.如图，在
□
ABCD中，AC
、
BD交于点O，EF过点O分别交AB
、
CD 于E
、
F，AO
、
CO的中点分别为
G
、
H，求证 ：四边形GEHF是平行四边形。
二.学习新知

33

1.自学课本P88平行四边形的判定定理，注意定理条件和结论，并会证明。
2.自学例子，掌握三角形中位线概念和中位线定理，并会证明。
3.掌握平行线间的距离。 4.完成P90面练习1.2.3。
三.释疑提高
1.如图，△ABC是等边三角形，P是 其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，DE∥AC，若△ABC周长为8，则
PD+PE+PF= 。
2.四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC交AD于E， DF平分∠ADC交BC于点F，求证：四边形
BFDE是平行四边形。

3.已知
□
ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，求证 ：四边形EGFH
为平行四边形。
4.如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ A=120°，∠B=60°，∠BCD=150°，求AD的长。

A
D
E
P
G
A
D
D
F
H
O
C
B
C

B
F
C
AE
B

5.已知 BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，求证MN∥BC。

A
E
M
B
F
N
C
A
M
F
D
N
C
E

6.如图，在
□
A BCD中，EF∥AB交BC于E，交AD于F，连结AE、BF交于点M，连结CF、DE交于点
1< br>N，求证：（1）MN∥AD；（2）MN=AD
2
四.小结归纳
五.巩固检测
B
六、课堂练习
1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）．
（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D
（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD
2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由．
3．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、 ∠BCD
求证：四边形AFCE是平行四边形．

七、课后练习
1．判断题：
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( )
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( )
(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( )
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( )
(5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( )

34
的平分线．

(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． ( )
2．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形．
3 ．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5) DO＝BO；(6)AB＝CD．选
择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有_____ ___对．（共有9对）

19.1.2（三） 平行四边形的判定——三角形的中位线
一、 教学目标：
1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
4．能运用综合法证明有关 三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思
想方法．
二、 重点、难点
1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
三、例题的意图分析
例1是教材P98的例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念 与性质的方
法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要 把握好度．
建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线 的性质，
然后再讲例2．
例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质 与平行四边形的判定的混合应用
题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根 据学生情况适当的选讲例2．教
学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．
四、课堂引入
1． 平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？
2． 你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？
（答：平行四边形知识的运用包括三个方面 ：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角
的度数，线段的长度，证明角相等或线段相 等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行
等；三是先判定一个四边形是平行四边形， 然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）
3．创设情境
实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）
图中有几个平行四边形？你是如何判断的？





五、例习题分析
例1（教材P98例4） 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=
1
BC．
2

35

分析：所证明的结论既有平行关系，又有 数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一
个平行四边形中，利用平行四边形的对边平 行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就
需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得 AD∥FC，且AD=FC，
因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以 DF∥BC，DF=BC，因为DE=
所以DE∥BC且DE=
1
DF，
2< br>1
BC．
2
（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）
方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADC F是
平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC． 所以四边形ADCF
是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=
11
DF，所以DE∥BC且DE=BC．
22
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【思考】：
（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
（答：（1）一个三角形的中位线共有三条 ；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位
线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边 中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形
的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）




例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是
中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点， 可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH
的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形 分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，
构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得 证．
证明：连结AC（图（2）），△DAG中，
∵ AH=HD，CG=GD，
AB、BC、CD、DA的
1
AC（三角形中位线性质）．
2
1
同理EF∥AC，EF=AC．
2
∴ HG∥AC，HG=
∴ HG∥EF，且HG=EF．
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

36

六、课堂练习
1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB 外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的
中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由
是 ．
2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
七、课后练习
1 ．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三
角形的周长是 cm．
2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分 别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么
△ABC的周长是 cm．
3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行 四边形．



19.2.1 矩形(一)
教学目标：
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
重点、难点
1．重点：矩形的性质．
2．难点：矩形的性质的灵活应用．
教学过程
一、温故知新：回顾平行四边形有哪些性质？然后填空。
1、平行四边形的________ __相等。表示方法：若四边形ABCD是平行四边形，则___________;
2、平行四边形 的__________相等。表示方法：若四边形ABCD是平行四边形，则___________;
3、平行四边形的对角线________.表示方法：在
□
ABCD中，AC与BD相交于O，则______________
4、平行四边形的对称性：平行 四边形是___对称图形，而不是______对称图形，对角线的交点是平行四边
形的_______ __.
二、学习新知：自学P94-95页。
自学引导：①平行四边形活动框架在变化过程 中，哪些量发生了变化？哪些量没有变化？从中得到哪些结
论？你能试着说明结论是否成立？
②矩形的一条对角线把矩形分成两个什么三角形？矩形的两条对角线把矩形分成四个什么样的三角形？

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。由此可见，矩形是特殊的 ，它具有
．．．．．．．
平行四边形的所有性质。
2．结合上面两个图形说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？
．．．．

37

3．证明：矩形的四个角都是直角
已知：如图， 图形：画在下面
求证：___________________
证明：
4． 证明：矩形对角线相等
已知：如图， 图形：画在下面
求证：
证明：
三、探索活动
问题一 如图，矩形ABCD，对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？
A
O< br>B
C
B
D
A
O
C
B
D
A< br>E
D
A
E
F
D
C
B
C

问题二 将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？
证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”
已知： 图形：画在下面
求证：
证明：
问题三 上面结论的逆命题是： 。
是否正确？请给予证明。
四、例题学习
例：已知：如图，矩形ABCD的两条 对角线相交于点O，且AC=2AB。求证：△AOB是等边三角形。(注
意表达格式完整性与逻辑性)
拓展与延伸：本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结 论？
五、练习
1、P96面1
2、已知：如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC。求证：EA=ED.
六、本节课你的收获是什么？
七、提高训练：1.如图,矩形纸片ABCD,且AB=6cm ,宽BC=8cm，将纸片沿EF折叠，使点B与点D重合，
求折痕EF的长。
2.已知矩形 ABCD中,对角线交于点O,AB=6cm,BC=8cm,P是AD上一动点,PE⊥AC于E，PF⊥BD 于F，则
PE+PF的值是多少？这个值会随点P的移动（不与A、D重合）而改变吗？请说明理由.
3.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=4c m。求矩形对角线的
长。
4.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F在边BC上，
① 如果FE⊥AE，求证FE=AE。②如果FE=AE 你能证明FE⊥AE吗？
D
E
C
A
D
O
B
C
F
A
B



19.2.1 矩形(二)
教学目标：

38

理解并掌握矩形的判定方法．
使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
重点、难点
重点：矩形的判定．
难点：矩形的判定及性质的综合应用．
教学过程
一、温故知新：1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．
2 .在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△A BO的周长
为________．
3.想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.

边
角
对角线
平行四边形



矩形



二、学习新知：自学教材95—96页
1、矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?请说出最基本的方法：
矩形具有平行四边形不具有的性质是：
思考：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的
长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？（得到矩形的一个判定）
2.做一做：按照画“边 ―直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它是一个矩形吗?
说明理由. （探索得到矩形的另一个判定）
总结：矩形的判定方法． 矩形判定方法1：______________________________
矩形判定方法2：_______________________________
（指出：判 定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时
第四个角一定是 直角．）
3.议一议：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
(5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )
三、例题学习。例 1.：已知
□
ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求
这个平行四边形的面积．

A
O
B
C
D
A
G
F
E
B
H
C
D
A
E
D

例2 已知：如图，
□
ABCD的四个内角的平分线分别相交于 点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩
形．
例3
练习二：（选择）下列说法正确的是（ ）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形

39
B
C

2.满足下列条件（ ）的四边形是矩形。
A．有三个角相等 B.有一个角是直角 C.对角线相等且互相垂直 D.对角线相等且互相平分
判断：（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）
（3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）
（4）对角线相等的四边形是矩形； （×）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)
指出：
（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；
（2）所给四边形添加的条件是三 个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明
或举反例，才能下结论．

3 ．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，
则四边形ACBE为矩形．
4.已知：如图，在平行四边形A BCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD
是矩形。
四：处理教材96页练习2，102页习题2、3。
五：你学到了什么？相互说一说。
六、巩固训练：
1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是 某合作学习小组的4位同学
拟定的方案，其中正确的是（ ）．
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角
2、能判断四边形是矩形的条件是（ ）
A、两条对角线互相平分 B、两条对角线相等
C、两条对角线互相平分且相等 D、两条对角线互相垂直。
3、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD是矩形.
E
A
D
A
P
M
Q
C
D
A
O
B
D

4 、已知四边形ABCD中AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EF GH
是矩形。

5、如图，M、N分别是平行四边形ABCD对边AD、BC的中点，且AD=2AB，
求证，四边形PMQN是矩形。

19.2.2 菱形（一）
教学目的：

40
B
C
B
N
C

掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
重点、难点
教学重点：菱形的性质1、2．
教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
教学过程
一、研读教材，解读目标：
1、 叫做菱形。菱形是 的平行四边形。
2、探究菱形的性质，并用模式表述菱形的特殊性质：


3、解析教材97页探究与98页例题2与练习题1、2，102页习题5、11、12

二、知识梳理
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.与一般平行四边形相比，菱形具有哪些性质？
定理： （菱形的边） （菱形的角）
定理: ______________ （菱形的对角线）
三、定理证明：（小组合作，先交流命题证明方法和步骤，然后自己完成证明再与组长交流）

四、典型例题
例3. 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H 是上、下两排挂钩，根据需要可
以改变挂钩之间的距离(比如AC两点可以自由上下活动)，若菱形的边 长为13厘米，要使两排挂钩之间的
F
E
A
距离为24厘米，并在点B、M处 固定，则B、
A
M之间的距离是多少？
A
E
B
O
G
F
C
B
H
D
D
M
B
O
D

C
G
H
C

五、合作交流
1.证明：菱形的面积是它两条对角线长的乘积的一半.
2.已知：如图，在菱形ABCD中 ，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中
点，求证：OE=OF= OG=OH.

六、小结
菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质，有 关菱形的几何计算问题可以化为_______三
角形（_____三角形、等腰三角形），利用特殊三 角形的性质来计算。
七、课堂练习
1.己知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB ＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 .

2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，这个菱形的边 长是________cm．
3．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm．
4．四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm，则∠ABD的度数为____ ， ∠DAB的度数为______；
对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD 的面积为_______．

41

八、目标达成训练
1．下列图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是 （ ）
A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形
2.(09河北)如图，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
3.（09南宁）如图2，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩 形两邻边中点的连线
（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A．10cm
2
B．20cm
2
C．40cm
2
D．80cm
2

D D
D

A

A
A
C
C

P
E
E


B
B

F
C
F
B

第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
4．菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的面积为________，周长为_________。
5.（09宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的 中点，连接
OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
6．（选做，09杭州）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F
分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55° < br>7．（选做，07咸宁）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于 点E，交
AB于点F，F为垂足，连接DE，则∠CDE＝_________
8．求证：菱形的对角线的交点到各边的距离相等。


19.2.2 菱形（二）
教学目的：
理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
重点、难点
教学重点：菱形的两个判定方法．
教学难点：判定方法的证明方法及运用．
教学过程
一：复习：菱形有哪些特殊性质？
5． 边：_____________________ _____;______________________________
6． 角：____ ______________________;___________________________ ___
7． 对角线：_____________________________;_____ ______________________________
二、学习新知
目标一：会用菱形的定义判定一个四边形是否是菱形，并会用该种方法进行有关的证明.
1. （菱形的判定方法一）菱形的定义：
有 的 叫做菱形.
2.用符号语言可以表示为：

42

∵四边形ABCD是 四边形 ∵ ___ ＝____， ∴
□
ABCD是菱形
3.如图在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，过D作DE∥AC交AB于E点, 过D作DF∥AB交AC
于F点.
求证：（1）四边形AEDF是平行四边形 （2）∠2﹦∠3 （3）四边形AEDF是菱形

目标二：探究并掌握菱形的判定方法二
1.( 画图)自学99页最后三行的画图过程,
AB
用圆规画出菱形ABCD,图画在右边(保留作图痕迹)
2.你发现四边形ABCD四边的关系是：
3.（猜想）四边相等的四边形ABCD是一个_____形.
4.（证明）利用上图证明：“四边相等的四边形是菱形”
已知：如上图，在四边形_______中，____=____=____=____
求证：四边形ABCD是_____.
证明：
5.（总结）由上写出菱形的判定方法二:_______ .
利用上图用符号语言表示为：在四边形ABCD中，
∵ ____=____=____=____ ∴四边形ABCD是 形
目标三:探究并掌握菱形的判定方法三
阅读99页“探究”，利用自制的学具探究菱形的判定方法并完成下面各题
B

1.由“在一长一短的木条中点处固定一个小钉”可知： = ， =
C

A

∴四边形ABCD是 四边形
o
2.转动十字，当∠_____= °时即___ ⊥ ___时，四边形变成了菱形.
3. （猜想）对角线互相____ 的平行四边形是菱形.
D

4.请利用下图证明你的猜想：
已知：如图，在
□
ABCD中，AC和BD 是对角线，并且AC⊥BD于点O,求证：
□
ABCD是菱形.
B
O
D
C
B
O
D
C
A
D
F
AA
BEC

5.总结写出菱形判定方法三:
利用上图用符号语言可以表示为：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AC___BD，∴
□< br>ABCD是菱形
目标四：利用菱形判定方法进行计算和证明
1.自学99页例三完成 下题“在
□
ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，并且AB=9，OB=6，OA=3< br>5
.
求证：（1）AC⊥BD （2）
□
ABCD是菱形吗？说说你的理由. （3）求四边形ABCD的面积.

2.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
(4).对角线相等的四边形是菱形（ ）
三、小结：菱形的常用判定方法

四：拓展延伸
1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？

43

求证：（1）四边形ABCD是平行四边形
(2) 过A作AE⊥BC于E点, 过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.
(3) 求证：四边形ABCD是菱形.


2.已知：如图，顺次连接矩形ABCD各边中 点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。

3. 如图，AC⊥BC，AE平分∠CAB，CD⊥AB，EF⊥AB，连接FG，求证：CEFG为菱形.
C
G
A
1
2
A
E
E
D
H
C
F
B
DF
B
G



19.2.3 正方形
教学目的
1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2. 理解 正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联
系的教学对 学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
重点、难点
教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
性质 判定方法

边：
1.
角：
2.
矩形
对角线：
3.
对称性：
边：
1.
角
2.
菱形
对角线：
3.
对称性：

二.学习新知
自学教材100-101页，落实：

边：
角
对角线：
对称性：
性质 判定方法
正方形

三、释疑提高
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（ ）

44
F
A
B

②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）

3． 已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．
求证：∠AFE＝∠AEF．





4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．
四、课后练习
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE ⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE
是正方形．
3．已知：如图，正方形A BCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．
19.2.3 正方形学案2
一、温故知新
1.有一组邻边____ __，且有一个角____ __的平行四边形是正方形。
2.正方形的四边____ __，四角____ __，对角线____ __且____ __；正方形既是矩形，又是____ _；
既是轴对称图形，又是____ ______ __。
3.如图正方形ABCD的边长为8，DM=2，N为AC上一点，则DN+MN的最小值为 .
4.如图，正方形ABCD边长为2，两对角线交点为O，OEFG也为正方形，则图中阴影部分面积为 .
5.如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为 ．
6. 如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△ CEF的面积为200，
则BE的值是 .
A
A
D< br>M
N
C
M
G
D
F
AD
E
D
F
A
C
O
B
N
C
第4题图
EB
第5题图
C

B
第3题图

二、学习新知
作业精编55页例1、例2（独立写出过程）
三、释疑提高
1.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：BE+DF=AE. A
D
F
B
E
C
B
E
A
D第6题图
B
E

D
F
C
F
E
C
AB


45

2. 如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，DF=CF，DC+CE =AE，求证：AF平分∠DAE.

3.如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥ AE，求∠BCF.

四、小结归纳


五、巩固检测：
选学19．3 梯形（一）
教学目标：
1． 探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质．
2． 能够运用梯形的有 关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析问题能力和计算
能力．
3． 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化
的思 想．

重点、难点
重点：等腰梯形的性质及其应用．
难点：解决梯形问 题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知
识的应用．

教学过程
一、课堂引入
1．创设问题情境——引出梯形概念．
【观察】（教材P117中的观察）右图中，有你熟悉的图形吗？它们有什么共同的特点？
2．画一画：在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，
【思考】（1）怎样画才能得到一个梯形？
（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？




梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；② 上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置
来说的．）
（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．
（2）等腰梯形：
（3）直角梯形：


46

3．做—做——探索等腰梯形的性质（引入用轴对称解决问题的思想）．
在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线．
【问题一】 图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？学生画图并通过观察
猜想；
【问题二】 这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？
结论： ①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．
②等腰梯形同一底上的两个角相等．
③等腰梯形的两条对角线相等．
二、例习题分析
例1（教材P118的例1）略．
（延长两腰 梯形辅助线添加方法三）

例2（补充）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．
求CD的长．
分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点
A作 AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形
（ EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．
解（略）．

例3 （补充） 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC， BE⊥AC
于E．求证：BE＝CD．
分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线 ，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB
交BC于F，因此四边形ABFD是平行 四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此
Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS ），故可得出BE=CD．
证明（略）
另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．

三、随堂练习
1．填空
（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50° ，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．
（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 ．
（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则
AD= ．
2． 已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60° ，梯形
周长是20cm，求梯形的各边的长． （AD=DC=BC=4，AB=8）
3．求证：等腰梯形两腰上的高相等．
四、课后练习
1．填空：已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为 ，最小角为 ．

47

2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15 cm和49cm，求它的腰长和面积．
3．已知：如图，梯形ABCD中，CDAB，
A 40

，
B70

．
求证：AD=AB—DC．




4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB 的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．（延长DE
交CB延长线于点F，由全等可得结论）
19．3 梯形（二）
教学目标：
1．通过探究教学，使学生掌握“同一底上两 底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，及其此判定方
法的证明．
2．能够运用 等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，
会用分析法寻求 证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力．
3．通过添加辅助线，把梯形的问题转 化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转
化的思想．
重点、难点
1．重点：掌握等腰梯形的判定方法并能运用．
2．难点：等腰梯形判定方法的运用．
教学过程
一、温故知新
1.等腰梯形的两底差等于腰长，腰与下底边两夹角为_______________.
2.一个梯形的两底长分别为6和8，则这个梯形的中位线长为____________.
3.如图（1），等腰梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm. （1）求∠CBD的度
数；（2）求下底AB的长.

二、学习新知
1. 自学P107-108，填空：等腰梯形的判定定理___________________________ _________________
2.自学例2，并完成P108练习3、4，P109-110 3、7.
三、释疑提高
1．下列说法中正确的是（ ）．
（A）等腰梯形两底角相等
（B）等腰梯形的一组对边相等且平行
（C）等腰梯形同一底上的两个角都等于90度
（D）等腰梯形的四个内角中不可能有直角
2．已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为_______cm．
3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数．

4.下列命题中，是真命题的为（ ）
A、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 B、有一组对角互补的梯形是等腰梯形

48
A
D
60
C
B
(1)