莱姆顿学院-暑假周记

1、数学教学设计的基本过程包括哪些？
数学教学设计是一个系统性活动，由于教学任务或教学目标不同，数学教学
设计又有多种类型 。尽管如此，数学教学设计的基本过程却大致相同，即有：确
立目标、分析任务、了解学生、设计活动、 评价结果等五个环节。就一个完整的
数学教学设计而言，上述五个环节缺一不可，每一个环节的意义和作 用不尽相同。

2、完成数学概念（复数）教学的设计案例
一、教学目标： （1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数
相等、复平面、实轴、虚 轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的
集合之间的一一对应关系。
（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．
二、教学建议：
（一）教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相 等的充要条件，接着介
绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．
2、重点、难点分析
（1）正确复数的实部与虚部
对于复数

一定有

数。
说明：对于复数的定义，特别要抓住

这一标准形式以及

是实数
实部是

，虚部是

，

，虚部是

注意在说复数

．

时，

，否则，不能说实部是

,复数的实部和虚部都是实
这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数
集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：
①设

②

为虚数

③

④

为纯虚数


且


，则

为实数




。

且





且


且


其中


。

，求

。
（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：
① 化为复数的标准形式

即：

例如：

例1： 已知


的充要条件是


的充要条件是

② 实部、虚部中的字母为实数，即

x与y.
解：根据复数相等的意义，得方程组：

∴



, 例2：m是什么实数时，复数

(1) 是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数.
解：

(1) ∵

∴

∴

(3) ∵

z是纯虚数. ∴

① 任何一个复数

序实数对(



都可以由一个有

,或

.

时，z

，且


时，z

是实数,
是虚数,

时，
(2) ∵



且

（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

)唯一确定．这就是说，复数的实

) 质是有序实数对．一些书上就是把实数对(

叫做复数的几何表示．
② 复数

用复平面内的点Z(

)表
示．复平面内的点Z的坐标是(

)，而不是(

)，
也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是

．由于

=0＋1·

，
所以用复平面内的点(0，1)表示

时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单
位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚 数

时，不能以为这一点
到原点的距离就是虚数单位

，或者

就是纵轴的单位长度．

③ 当

的点(

)(

时，对任何

，

是纯虚数，所以纵轴上

)都是表示纯虚数．但当b=0

时，

是实数．所以，
纵轴去掉原点后称为虚轴．
由此可见，复平面(也叫高斯平面)与 一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的
区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、 纵坐标轴的公
共点．
④ 复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写
时大写．要学生注意．
（5）关于共轭复数的概念
设

反数（不能认为

教师可以提一下当


，则


与或


，即

与

的实部相等，虚部互为相

是共轭复数）．

时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对

时，

与

互为共轭虚称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当

数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情形．
①当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这 两个复数叫做互为共轭复数。
（虚部不为零也叫做互为共轭复数）
②复数z的共轭复数用

表示．若

，则：

；
③实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．
④复平面内表示两个共轭复数的点z与

关于实轴对称．
（6）复数能否比较大小
教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，
要注意：
①根据两个复数相等地定义，可知在

成立，那么

而不能比较它们的大小．
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样 定义两
个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条
性质”：
(i)对于任意两个实数a， b来说，a＜b， a=b， b＜a这三种情形有且仅
有一种成立；
(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；
(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；
(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)
（二）教法建议
只要有一个不

两式中，

．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，

1．要注意知识的连续性：复数

一个点


是二维数，其几何意义是

，因而注意与平面解析几何的联系．
2．注意 数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了
一一对应关系，所以用“形”来解决“数 ”就成为可能，在本节要注意复数的几
何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．
3． 注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就
不能本节它们的大小”没有证明，如 果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学
生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．
三、小结：
1．在理解复数的有关概念时应注意：
（1）明确什么是复数的实部与虚部；
（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；
（3）弄清复平面与复数的几何意义；
（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。
2．复数集与复平面上的点注意事项：
（1）复数

写时大写。
（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平
面内的纵 坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

四、课堂练习及作业

五、板书设计：
§8,2 复数的有关概念
1定义： 例1 3定义: 4几何意义: 小结及思考
…… …… …… ……
2定义： 例2 5共轭复数:
…… …… …… ……

1,2,3,4,

中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书

3、完成命题（线面垂直的判定）教学的设计案例
一、内容和内容解析
直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就称直
线与平面互相垂直。 定义中的“任意一条直线”就是“所有直线”。
直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂
直，则该直线与此平面垂直。定理体现了转化的数学思想：将“直线与平面垂直”的问题转化为“直线与直线垂直”的问题。
直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况， 它是空间中线线垂直
位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是点、直线、平面间位置
关系中的核心概念之 一。

对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展
开 ，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、
初步运用”的认知过程展 开，通过该内容的学习，能进一步培养学生空间想象能
力，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能 力，同时体会“平面化”思想
和“降维”思想。

教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
二、目标和目标解析
目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。
目标解析：
1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。
2、通过直观感知、操作确认，归纳、概括出直线与平面垂直的判定定理。
3、能运用直线与 平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单
命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与 平面外的直线垂直。
4、能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于
另一条直线所在的平面。
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了直线、平面平行的判定及 性质，学习了两直线（共面或异面）
互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得 数学结论”
的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。
在直线与平面 垂直的判定定理中，为什么至少要两条直线，并且是两条相交
直线，学生的理解有一定的困难，因为定义 中“任一条直线”指的是“所有直线”，
这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维 障碍。同时，由
于学生的空间想象能力、推理论证能力有待进一步加强，在直线与平面垂直判定
定理的运用中，不知如何选择平面内的两条相交直线证线面垂直（抑或选择平面
证线面垂直从而得到线线 垂直）导致证明过程中无从着手或发生错误。
教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
四、教学支持条件分析
为了有效实现教学目标，条件许可准备投影仪，多媒体课件，三角板。学生
自备学具：三角形纸 片、铁丝、三角板。
五、教学过程设计
（一）、观察归纳直线与平面垂直的定义
1、直观感知
问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

设计意图：从实际背景 出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，使学生
在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步 的数学抽象做准备。
师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内
直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面
的位置关系等，由此引 出课题。
2、观察思考
思考：如何定义一条直线与一个平面垂直呢？
我们已经学 过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可
转化为考察直线和平面内直线平行的关系 , 直线和平面垂直的问题同样可以转
化为考察一条直线和一个平面内直线的关系，然后加以解决。
问题2：（1）如图1，在阳光下观察直立于地面旗杆
AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直
线位置关系是什么？
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的
直线B
1
C
1
的位置关系又是什么？
设计意图：引导学生 用“平面化”的思想来思考问题，通过观察，感知直线
与平面垂直的本质属性。
师生活动：教 师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移
动的过程，引导学生得出旗杆所在直线与地 面内的直线都垂直。
3、抽象概括
问题3、通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂
直？
设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。
师生活动：学生思考作答，教师补充 完善，指出定义中的“任意一条直线”
与“所有直线”是同意词，定义是说这条直线和平面内所有直线垂 直。同时给出
线面垂直的记法与画法。
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平
面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂
面． 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与
表示平面的平行四边形的一边垂直，如图2。
4、辩析举例
辨析：下列命题是否正确，为什么？

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个
平面垂直。
（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任
一直线。
设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。
由（1）使学生明确定义 中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，定
义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直。
由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线
垂直与线面垂直可以相互转 化。
师生活动：命题（1）判断中引导学生用铁丝表直线，用三角板两直角边表
两垂直直线， 桌面表平面举出反例。教师利用三角板和教鞭进行演示，将一块大
直角三角板的一条直角边AC放在讲台 上演示，这
时另一 条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三
角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌
面垂直.在此基础上在讲台上放一根和AC平行的教
鞭EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但它
不一定和讲台桌面垂直，最后教师用多媒体课件展示反例的直观图，如图3。
由命题（2）给出下列常用命题：

这个命题体现了平行关系与垂直关系的联系，它是判断线线垂直的常用方
法。
（二）、探究发现直线与平面垂直的判定定理
1、观察猜想
思考：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？
虽然可以根据定义判定直线与平面 垂直，但这种方法实际上难以实施。有没
有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
问题4、观察跨栏、简易木架等实物，你能猜想出判断一条直线与一个平面
垂直的方法吗？

设计意图：通过问题思考与实例分析，寻找具有可操作性的判定方 法，体验
有限与无限之间的辩证关系。
师生活动：引导学生观察思考，给出猜想：一条直线与 一个平面内两相交直
线都垂直，则该直线与此平面垂直。
2、操作确认
问题5：如图4，请同学们拿出准备好的
一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做
一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得
到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察
并思考：
（1）折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面
垂直？
（ 2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变
化吗？由此你能得到什么 结论？
设计意图：通过实验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件，培养学生
的动手操作 能力和几何直观能力。
师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次
折纸，进而探究直线 与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折
痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折 后折痕AD就与桌面垂直，再利用多
媒体演示翻折过程，增强几何直观性。
3、合情推理 < br>问题6：根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给
出直线与平面垂直的判 定方法吗？
设计意图：引导学生根据直观感知及已有知识经验，进行合情推理，获得判
定定理。
师生活动：教师引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面”，以及直观
过程中获得的感知，将“与平 面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相
交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理 。同时指出要判断一条直
线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线
垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.定理充分体
现了“直线与平 面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。
定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂
直。

用符号语言表示为：

4、质疑深化
辨析：如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所
在的平面吗？
设计意图：通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。
师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件。
（三）、直线与平面垂直的判定定理的初步应用
尝试练习1、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。
设计意图：初步感 受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，
明确运用线面垂直判定定理的条件。
师生活动：学生根据题意画图（如图6），将其
转化为几何命题：不妨设a⊥AC,a⊥BC求证：a⊥AB。
请两位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共
同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相
交”的条件。
尝试练习2、如图7，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。
设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判
定定理证明线面垂直，体会转化思想在证题中的作用，发
展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。
师生活动：教师引导学生分析思路，可利用线 面垂直的定义证，也可用判定
定理证，提示辅助线的添法，将思路集中在如何在平面内α内找到两条与直 线b
垂直的相交直线上。另外，再引导学生将已知条件具体化的过程中，逐步明确根
据异面直线 所成角的概念解决问题。学生练习本上完成，对照课本P73例1,完善
自己的解题步骤。同时指出：本 例结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定定
理.这样判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线 垂直于平面两条相交直
线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明.
尝试练习3：如图8，直四棱柱
满足什么条件时，？

（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形
设计意图：能合理寻找平面证线面垂直从而得出线
线垂直，体会转化思想在证题中的作用。

师生活动：学生思考讨论，请一位同学用投影仪展示并分析其思路，教师参
与讨论。
（四）、总结反思
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思想？
（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？
设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。
师生活动：学生发言，互 相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂
直的方法，给出框图（投影展示）。

六、目标检测设计
1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一
点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.
求证：PO⊥平面ABCD
2、课本P74 练习1、2
3、课本P86 A组10
4、如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，
C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为
三棱锥中最多有几个直角三角形？
（板书设计）

4、何为“合作学习”？在合作学习中教师的作用是什么？
合作学习是指学生为了完成共同的 任务，有明确的责任分工的互助性学习。
合作学习鼓励学生为集体的利益和个人的利益而一起工作，在完 成共同任务的过
程中实现自己的理想。
教师作用：
一、教师是合作学习课题的设计者
二、教师是合作学习的组织者和管理者
三、教师是学习发展的促进者、咨询者和参与者
1、教师要在师生人际关系上，摒弃权力与服从，建立真诚、接受、理解的
新型的师生关系；
2、教师要规范学生在合作学习中的行为；
3、教师要及时排除学生在合作学习中的障碍；
4、教师要善于发现学生思维的火花；
四、教师要合理分配时间，培养合作技能
1、学生必须懂得掌握运用合作技能的必要性；
2、学生必须理解这些技能是什么，应在什么时候运用；
3、为了掌握合作技能，必须让学生反复练习，可以使用角色扮演的方式练
习多次；
4、学生必须经常讨论、描述和思考他们运用合作技能的情况和表现，通过
评议提高质量；
5、坚持练习合作技能以达到完全运用自如的程度；
五、教师是合作学习的调控者
总之，合作学习充分开发和利用了教学系统的人力资源，发展了课堂互动理
论，注重并发挥了课堂教学的 情意功能，使学生在智力品质与非智力品质方面都
得到了和谐发展。作为新课程倡导的重要的学习方式之 一，加强对合作学习的研
究与实践，对于推进新一轮基础教育课程改革，顺利实现课程改革目标具有十分
重要的意义。