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课题：三角函数模型的简单应用
学校 莱钢高中 姓名 李红
一、教学目标：
（1）通过对三角函数模型的简单应用的学习 ，使学生初步学会由图象求解析式
的方法，根据解析式作出图象并研究性质；
（2）体验实际 问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周
期变化现象的重要函数模型；
（ 3）让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而
培养学生的建模、分析问题、 数形结合、抽象概括等能力。
二、教学重点、难点：
重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．
难点：将某些问题抽象为三角函数模型。
三、教学方法：
数学是一门培养人的思维 、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函
数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析 问题，然后由老师启发、总结、
提炼，升华为分析和解决问题的能力。
四、教学过程：
（一）课题引入
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云 卷云
舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就
来学习如 何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.6三角函数模型的
简单应用。
（二）典型例题
（1）由图象探求三角函数模型的解析式

例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数错误!未找到引
用源。．
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式
30
20
10
O
T

C
6
8
10
1214
th

设计意图：切入本节课的课题 ，让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探
索的方式导入新课，创设情境，激发思维，做好基础铺垫 ，让学生带着问题，
有目的地参与后续教学活动。
解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是
20

C
；
（2）从图可以看出：从6～14是
yAsin(

x

)b
的
半个周期的图象，
∴
T

14

6

8
∴
T16

2
2

∵< br>T

，∴



8

30

10

A

10


A

10

2
又∵

∴


30

10
b

20


b

20

2

∴
y10sin(

8x

)20

3



)1
，
4
将点
( 6,10)
代入得：
sin(
∴
3

3



2k

,kZ
，
42
3

3

，
,kZ
，取


44
∴

2k



3< br>
∴
y10sin(x)20,(6x14)
。
84
【问题的反思】：
①一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因
此应当特
别注意自变量的变化范围；
②与学生一起探索

的各种求法；（这是本题的关键！也是难点！）
设计意图：提出问题，有学生动脑分析，自主探究，培养学生数形结合的数学思
考习惯。

③如何根据
yAsin(

x
)b
图像求解析式中的待定参数
A,b;

;

?< br>
设计意图：通过总结归纳出解题的思路方法，培养学生的概括能力。

< br>

6





6






2
或

2
等 ④探究其他解法：



14






14




0

2

设计意图：培养学生多角度考虑问题的习惯，培养学生的发散思维，培养学生
的 学习兴趣。
⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。
设计意图：升华为思想方法。
变式（或跟踪）训练：某动物种群数量1月1日低至最小值70 0,7月1日高至最大
值900，其总量在此两值之间变化，且总量与月份的关系可以用函数
y Asin(

x

)b
（
A0,

0,



0
）来刻画，试求该函数表达式。

（2）由解析式作出图象并研究性质
例2．画出函数
ysinx
的图象并观察其周期．
设计意图：通过画函数的图象来 研究性质。由已知函数模型来研究函数，培养
学生应用已知函数解决问题方法。
解：法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；
法2：图象变换——对称变换，可类比
yx
的作法．




从图中可以看出，函数
ysinx
是以

为周期的波浪形曲线．
反思与质疑：
①利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研究数学问
题的常用
y
1
2






2
o
1

2

2

x

< br>
方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证：

f(x

)sin(x

)sinxsinxf(x)

∴
f(x)sinx
的周期是

．（体现数形结合思想！）
变式（或跟踪）训练：
f(x)sinxsinx
的周期是 ．

f
(
x
)

sin(
x

3
)
的周期是 ．

f(x)2sinx
的周期是 ．
设计意图：变式练习，开阔思路，启迪思维，培养能力。数行结合求周期。
（三）拓展提升
例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为

，

为此时太阳直 射纬度，

为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是

90





．当地夏半年

取
正值，冬半年

取负值．






如果 在北京地区(纬度数约为北纬
40
)的一幢高为
h
0
的楼房北面盖一 新楼，要
使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
解：A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼
顶在地面上的投影点。要使新 楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太
阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为 －23°26′，依题意，两楼的
间距不小于MC，根据太阳高度的定义，有：
∠C＝90°－|40°－（－23°26′）|＝26°34′
MC＝

φ-δ< br>θ
φ
δ
太阳光
h
0
h
0

＝2h
0

tanCtan26

34'

即盖楼时，为命使后楼不被前楼遮挡，要留出当于楼高两倍的间距。
（四）归纳小结
本节课学习了三角函数模型的简单应用，进一步突出了函数来源于生活应用于
生活的思想，体 验了一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想。
五、作业布置
1.书面作业：（1）习题1.6 1---3
（2）一半 径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知
y
水轮每分钟转动4圈,如果当水 轮上P点从水中浮现时(图中P0)点开始计算时间.
求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;
P点第一次达到最高点约要多长时间?

P
O
-2
P
0
x
2.探究性作业：请学生分小组对以下的问题或自选问题进行合作探究，并 将各
组的结果（无论成与败）制成PPT在下节课上进行交流。
问题1 电视台的不同栏目 播出的时间周期是不同的。有的每天播出，有的隔
天播出，有的一周播出一次。请查阅当地的电视节目预 告，统计不同栏目的播出周
期。
问题2 请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方
案。
问题3 一个城市 所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集
其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论。
这一过程是探究活动在时间上的延续，是对课堂学习的必要补充。
六、教学反思
以 问题引导教学，让学生听有所思，思有所获，获有所感。问题串的设计，使
学习内容在难度和强度上循序 渐进而又螺旋上升，并通过互动逐一达成教学目标，
突出重点，突破难点，较好的提高了课堂教学的有效 性。
七、超级链接
1、设
yf(t)
是某港口水的深度关于时间
t
(时)的函数，其中
0t24
,下表是该
港口某一天从0至24时记 录的时间
t
与水深
y
的关系.
t
0 3 6 9 12 15 18 21 24

12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数
yf(t)
的图象可以 近似地看成函数
ykAsin(

t

)
的图象.
根据上述数据，函数
yf(t)
的解析式为（ ）
A．y

12

3sin
C．
y

12< br>
3sin
y

t
6
,t

[0,24]
B．
y
123sin(
,t

[0,24]
D ．
y
123sin(

t
6


),
t
[0,24]


t
12
),
t
[0,24]

12 2

t

2、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价 格时发现：该商
品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高
为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上
按月随正弦曲线波动 的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6
元，假设某商店每月购进这种商品m件， 且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并
说明理由.


3、 如图表示电流 I 与时间t的函数关系式： I =
Asin(t)
在同一周期内的
图象。
（1）根据图象写出I =
Asin(t)
的解析式；
1
（2）为了使I =
Asi n(t)
中t在任意－段
100
秒
的时间内电流I能同时取得最大值和 最小值，那么正整数

的最小值是多少？

4、如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地
满足函数< br>yAsin(x)b

（1）求这段时间的最大温差
（2）写出这段曲线的函数解析式。



1.6三角函数模型的简单应用同步试题答案
1、A
2、由条件可得：出厂价格函数为
y
1

2sin(
销售价格函数为
y
2

2sin(
则利润函数为:

4
x


4
)

6
,

4
x

3

)

8,

4

3

y

m(y
2

y
1
)

m[2sin(x

)

8

2sin(x

)

6]

m(2

22sinx)

44444
所以，当
x=6
时 ，Y=（2+
22
）m，即6月份盈利最大.
3、解：（1）由图知A＝300，< br>t
1

11
t
3

300
，150

111

T

2(t
3
< br>t
1
)

2(

)

150300 50
2



100

T

由

t
1



0
得



t
1


3

3

T1T1

（2）问题等价于
2100
，即

100< br>


100

，∴正整数

的最小值为314。
4、解：（l）由图4知这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）

I

300sin(100

t


)

（2）在图4中，从6时到14时的图象是函数
yAsin(x)b
的半个周
期的图象
12



14

6


2

8
，解得
1
A(3010)10
2
由图4知
b
1
(3010)20
2

y10sin(x

)20
8
这时
将
x6，y10
代入上式，可取
综上所述，所求解析式为：



3

4


3

y10sin(x)20，x[6，14]
84

.