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解：分析：题中已给出

a< br>n

的第1项即
a
1
1
，递推公式：
a< br>n
1
1
a
n1

解：据题意可知：
a
1
1,a
2
1
[补充例题]
112158
2,a
3
1
，
a
4
1,a
5


a
1
a
2
3a
3
35
例4 已知
a
1
2
，
a
n1
2a
n
写出前5项，并猜想
a
n
．
23n
2
法一：
a
1
2

a
2
222

a
3
222
，观察可得
a
n
2

法二：由
a
n1
2a
n
∴
a
n
2a
n1
即
a
n
2

a
n1
∴
a< br>n
aa
a

n1

n2



2
2
n1

a
n1
a
n 2
a
n3
a
1
n1n
∴
a
n
a
1
22

Ⅲ.课堂练习
课本P36练习2
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a
1
＝1,
a
n1
＝
2a
n
(n∈N)；
a
n
2
(3)
a
1
＝3,
a
n1
＝3
a
n
－2 (n∈N).
解：(1)
a
1
＝0,
a
2
＝1,
a
3
＝4,
a
4
＝9,
a
5
＝16, ∴
a
n
＝(n－1);
(2)
a
1
＝1,
a
2
＝
2
1212
2 22
,
a
3
＝

,
a
4
＝,
a
5
＝

, ∴
a
n
＝;
35
2436n1
012
(3)
a
1
＝3＝1+2
3
,
a
2
＝7＝1+2
3
,
a
3
＝19＝1+2
3
,
a
4
＝55＝1+2
3
3
,
a
5
＝163＝1+2
3
4
, ∴
a
n
＝1＋2·3
n1
;
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数 之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或
n
项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A组的第4、6题

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课题:
§2.2等差数列

授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列 的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;
正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。
情感 态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新
知 的创新意识。
●教学重点
等差数列的概念，等差数列的通项公式。
●教学难点
等差数列的性质
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
上两 节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、
图象 法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起 ，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等
——应指明作差的顺 序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
Ⅱ.讲授新课
1．等 差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做
等 差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n1
=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为
公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2．等差数列的通项 公式：
a
n
a
1
(n1)d
【或
a
n

a
m
(nm)d
】
等差数列定义是由一数列相邻 两项之间关系而得若一等差数列

a
n

的首项是
a
1
，公差是d，则据其定

义可得：
a
2
a
1
d
即：
a
2
a
1
d

a
3
a
2
d
即：
a
3
a
2< br>da
1
2d

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a
4
a
3
d
即：
a
4a
3
da
1
3d

……
由此归纳等 差数列的通项公式可得：
a
n
a
1
(n1)d
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通项
a
n
。
由上述关系还可得：
a
m
a
1
(m1)d

即：
a
1
a
m
(m1)d

则：< br>a
n

a
1
(n1)d
=
a
m
(m1)d(n1)da
m
(nm)d

即等差数列的第二通项公式
a
n

a
m
(nm)d
∴ d=
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由
a
1
8,d58253
n=20，得
a
20
8(201)(3)49

⑵由
a
1
5,d9(5)4
得数列通项公式为：
a
n
54(n1)

由题意可知，本题 是要回答是否存在正整数n，使得
40154(n1)
成立解之得n=100，即- 401是这个
数列的第100项
例3 已知数列{
a
n
}的通项公 式
a
n
pnq
，其中
p
、
q
是常数， 那么这个数列是否一定是等差数列？若是，
首项与公差分别是什么？
分析：由等差数 列的定义，要判定

a
n

是不是等差数列，只要看
an
a
n1
（n≥2）是不是一个与n无关
的常数。
解：当n≥2时, （取数列

a
n

中的任意相邻两项< br>a
n1
与
a
n
（n≥2））
a
m
a
n

mn
a
n
a< br>n1
(pnq)[p(n1)q]
pnq(pnpq)p为常数
∴{
a
n
}是等差数列，首项
a
1
 pq
，公差为p。
注：①若p=0，则{
a
n
}是公差为0的等 差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{
a
n
}是关于n的 一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,
一次项的系数是公差,直线 在y轴上的截距为q.

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③数列{a
n
}为等差数列的充要条件是其通项
a
n
=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
Ⅲ.课堂练习
课本P45练习1、2、3、4
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解 ：根据题意可知：
a
1
=3,
d
=7－3=4.∴该数列的通项公式 为：
a
n
=3+（
n
－1）×4,即
a
n
=4
n
－1（
n
≥1,
n
∈N*）∴
a
4
=4×4－1=15,
a
10
=4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：
a
1
=10,
d
=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：
a
n
=10+（
n
－1）×（－2 ）,即：
a
n
=－2
n
+12,∴
a
20
=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. < br>分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数
n
值， 使得
a
n
等于这
一数.
解：根据题意可得：
a
1
=2,
d
=9－2=7. ∴此 数列通项公式为：
a
n
=2+（
n
－1）×7=7
n
－5.
令7
n
－5=100,解得：
n
=15, ∴100是这个数列的第15项.
1
，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
2
177
解：由题意可知：
a
1
=0,
d
=－3 ∴此数列的通项公式为：
a
n
=－
n
+,
222
774777
令－
n
+=－20,解得
n
= 因为－
n
+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
2222
7
Ⅳ.课时小结
（4）－20是不是等差数列0，－3
通 过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：
a
n
－
an1
=d ，（n≥2，n∈N）.其次，
要会推导等差数列的通项公式：
a< br>n
a
1
(n1)d
，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要 关系式：

a
n

a
m
(nm)d
和
a
n
=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
Ⅴ.课后作业
课本P45习题2.2[A组]的第1题
●板书设计
●授后记

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课题:
§2.2等差数列

授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图
像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程 与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的
运 用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内 在联系，从而渗透特殊与
一般的辩证唯物主义观点。
●教学重点
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
●教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一 项与它前一项的差等于同一个常数，即
a
n
－

a
n1< br>=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表
示）
2．等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(n1)d
(
a
n< br>
a
m
(nm)d
或
a
n
=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
① d=
a
n
－
a
n1
② d=
a
n
a
1
aa
m
③ d=
n

n1nm
Ⅱ.讲授新课
问题：如果在
a< br>与
b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差数列数 列，那么A应满足什么条件？
由定义得A-
a
=
b
-A ，即：
A
反之，若
A
ab

2
ab
，则A-
a
=
b
-A
2
ab
a,b,
成等差数列 由此可可得：
A
2
[补充例题]
例 在等差数列{
a
n
}中，若
a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7, 求
a
3
,
a
9
.
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中 的
至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项， 和另一
个双项关系式，想到从这双项关系式入手……

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解：∵ {a
n
}是等差数列
∴
a
1
+
a
6
=
a
4
+
a
3
=9

a
3
=9－
a
4
=9－7=2
∴ d=
a
4
－
a
3
=7－2=5
∴
a
9
=
a
4
+(9－4)d=7+5*5=32
[范例讲解]
课本P44的例2 解略
课本P45练习5
已知数列{
a
n
}是等差数列
∴
a
3

=2,
a
9
=32
（1）2a
5
a
3
a
7
是否成立？
2a
5
a
1
a
9
呢？为什么？
（2）
2a
n
a
n1
a
n1
(n1)
是否成立？据此你能 得到什么结论？
（3）
2a
n
a
nk
a
n k
(nk0)
是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列 中，若m+n=p+q，则，
a
m
a
n
a
p
 a
q

即 m+n=p+q

a
m
a
n
a
p
a
q
(m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由
a
m
a
n
a
p
a
q
推不出m+n=p+q ，②
a
m
a
n
a
mn

探究：等差数列与一次函数的关系
Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列

a
n

中，已知
a
5
10
，
a
12
31
，求首项
a
1
与公差
d

2. 在等差数列

a
n

中, 若
a
5
6

a
8
15
求
a
14

Ⅳ.课时小结
节课学习了以下内容：
1．
A
ab
a,A,b,
成等差数列
2
2．在等差数列中， m+n=p+q

a
m
an
a
p
a
q
(m, n, p, q ∈N )
Ⅴ.课后作业
课本P46第4、5题
●板书设计
●授后记

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课题: §
3.3 等差数列的前
（第1课时）
n项和

授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和 公式解决一些简单的与前
n项和有关的问题
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学 生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步
形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通 过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的
训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
●教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应
●教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3； 3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小 就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律
性的东西。
（2 ）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”
法。
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列的前
n
项和公式1：
S
n

n(a
1
a
n
)

2
证明：
S
n
a
1
a
2
a
3


a
n1
a
n
①

S
n
a
n
a
n1
 a
n2


a
2
a
1
② ①+②：
2S
n
(a
1
a
n
)(a2
a
n1
)(a
3
a
n2
)
(a
n
a
n
)

∵
a
1
a
n
a
2
a
n1
a3
a
n2


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∴
2S
n
n(a
1
a
n
)
由此得 ：
S
n

n(a
1
a
n
)

2
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
na
1

n(n 1)d

2
用上述公式要求
S
n
必须具备三个条件 ：
n,a
1
,a
n

但
a
n
a
1
(n1)d
代入公式1即得：
S
n
na
1

n(n1)d

2此公式要求
S
n
必须已知三个条件：
n,a
1
,d （有时比较有用）
[范例讲解]
课本P49-50的例1、例2、例3
由例3得与
a
n
之间的关系：
由
S
n
的 定义可知，当n=1时，
S
1
=
a
1
；当n≥2时，
a
n
=
S
n
-
S
n1
，
即
a
n
=


S
1
(n1)
.

S
n
S
n1
(n2)
Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2、3、4
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前
n
项和公式1：
S
n

n(a
1
a
n
)

2
2.等差数列的前
n
项和 公式2：
S
n
na
1

Ⅴ.课后作业
课本P52-53习题[A组]2、3题
●板书设计





●授后记
n(n1)d

2

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课题: §2.3
等差数列的前
（第２课时）
n项和

授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和 前
n
项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们
解决一些相关问题；会利用等差 数列通项公式与前

项和的公式研究

的最值；
过程与方法：经历公式应用的过程；
情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用， 使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的
实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题 ，并数学地解决问题。
●教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式
●教学难点
灵活应用求和公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前
n
项和公式1：< br>S
n

n(a
1
a
n
)
2
2.等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
na
1

Ⅱ.讲授新课
探究：——课本P51的探究活动
n(n1)d

2
2
结论：一般地，如果一个数列
a
n

,
的前n项和为
S
n
pnqnr
，其中p、q、r为常数，且
p0
，那么
这个数列一定是等差数列吗？如果 是，它的首项与公差分别是多少？
2
由
S
n
pnqnr，得
S
1
a
1
pqr

当
n 2
时
a
n
S
n
S
n1
=
(pnqnr)[p(n1)q(n1)r]
=
2pn(pq)

22
da
n
a
n1
[2pn(pq)][ 2p(n1)(pq)]
=2p
对等差数列的前
n
项和公式2：S
n
na
1

n(n1)d
可化成式子：
2
S
n

d
2
d
n(a
1
 )n
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
22
[范例讲解]
等差数列前项和的最值问题
课本P51的例4 解略
小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

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（1） 利用
a
n
:
当
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且
a
n1
≤0，求得n的值
当
a
n
<0，d>0，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n1
≥0，求得n的值
（2） 利用
S
n
：
由
S
n

d
2d
n(a
1
)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
22
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的 差是27，求这个等差数列的通项公式。
2．差数列{
a
n
}中,
a
4
＝－15, 公差d＝3, 求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的最小值。
Ⅳ.课时小结
2
1．前n项和为
S
n
pnqnr< br>，其中p、q、r为常数，且
p0
，一定是等差数列，该数列的
首项是
a
1
pqr

公差是d=2p
通项 公式是
a
n



S
1
a
1< br>pqr,当n1时

S
n
S
n1
2p n(pq),当n2时

2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且< br>a
n1
≤0，求得n的值。
当
a
n
<0，d>0 ，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n1
≥0，求得 n的值。
（2）由
S
n

d
2
d
n( a
1
)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
22
Ⅴ.课后作业
课本P53习题[A组]的5、6题
●板书设计





●授后记

学习必备 欢迎下载





课题: §2.4
等比数列

授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例 ，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情
境中，发现数列的等 比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
情感态度与价值观：充分感受数列是反 映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活
的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无 味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比数列的定义及通项公式
●教学难点
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义：
a
n
－
a
n1
=d ，（n≥2，n∈N）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，

1111
，，，，…
24816
234
③1，20，
20
，
20
，
20
，…
④
100001.0198
，
100001.0198
，
100001. 0198
，
100001.0198
，
100001.0198
，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课
1 ．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数
列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q
表示（
q
≠0），即：
1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛
a
n
｝成等比数列

2345
a
n
=
q
（< br>q
≠0）
a
n1
a
n1

=
q
（
nN
,
q
≠0）
a
n

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2 隐含：任一项
a
n
0且q0

“
a
n
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
3 q= 1时，{a
n
}为常数。
n1
2.等比数列的通项公式1:
a
n
a
1
q(a
1
q0)

由等比数列的定义，有：
a
2
a
1
q
； a
3
a
2
q(a
1
q)qa
1
q
2
；
a
4
a
3
q(a
1
q
2
)qa
1
q
3
；
… … … … … … …
a
n
a
n1
qa
1
q
n 1
(a
1
q0)

m1
3.等比数列的通项公式2:
a
n
a
m
q(a
1
q0)

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
n1
等比数列｛
a
n
｝的通项公式
a
n
a
1
q(a
1
q0)
,它的图象是分布在曲线
y
a
1
x
q
（q>0）上的一
q
些孤立的点。
当
a
1
0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递增数列；
当
a
1
0
，
0q1
，等比数列｛
a
n
｝是递增数列； 当
a
1
0
，
0q1
时，等比数列｛
a< br>n
｝是递减数列；
当
a
1
0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递减数列；
当
q0
时，等 比数列｛
a
n
｝是摆动数列；当
q1
时，等比数列｛
a< br>n
｝是常数列。
[范例讲解]
课本P57例1、例2、P58例3 解略。
Ⅲ.课堂练习
课本P59练习1、2
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是
41
，公比是－，求它的第1项（答案：
a
1
=2916）
93

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（2） 一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：
a
1
=
Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
Ⅴ.课后作业
课本P60习题A组1、2题
●板书设计





●授后记

课题: §2.4
等比数列

a
2
=5,
a
4
=
a
3
q
=40）
q
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：灵 活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并
系统了解判断 数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 < br>情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活
的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比中项的理解与应用
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列 从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列.这个常数叫做等 比数列的公比；公比通常用字母
q
表示（
q
≠0），即：
a
n
=
q
（
q
≠0）
a
n1
n1nm
(a
m
q0)
2.等比数列的通项公式:
a
n
a
1
q(a
1
q0)
， < br>a
n
a
m
q
3．｛
a
n
｝成等 比数列

条件
a
n1

=
q
（
nN
,
q
≠0） “
a
n
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分
a
n
4．既是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列
Ⅱ.讲授新课

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1．等比中项：如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使a
,
G
，
b
成等比数列，那么称这个数
G
为< br>a
与
b
的等
比中项. 即
G
=±
ab
（
a
,
b
同号）
如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
,
G
，
b
成等比数列，则
反之，若
G
2
=< br>ab
,则
[范例讲解]
课本P58例4 证明：设数列

a
n

的首项是
a
1
，公比为
q
1
;

b
n

的首项为
b
1
，公比为q
2
，那么数列

a
n
b
n
的第n项与第n+1项分别为：
Gb
G
2
abGab
，
aG
Gb< br>
，即
a
,
G
,
b
成等比数列。∴
a
,
G
,
b
成等比数列

G
2
=
ab
（
a
·
b
≠0）
aG
a
1
q
1
n1
b
1
q
2
n1
与a
1
q
1
b
1
q
2
即为a1
b
1
(q
1
q
2
)
nn
n 1
a
n1
b
n1
a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n
与a
1
b
1< br>(q
1
q
2
)

q
1
q
2
.

a
n
b
n
a
1
b1
(q
1
q
2
)
n1
n
它是一个与 n无关的常数，所以

a
n
b
n

是一个以q< br>1
q
2
为公比的等比数列
拓展探究：
对于例4中的等比数 列{
a
n
}与{
b
n
}，数列{
a
n}也一定是等比数列吗？
b
n
a
n
a
，则
c
n1

n1

b
n
b
n1
探究：设数列{
a
n
}与{
b
n
}的公比分别为
q
1
和q
2
，令
c
n


c
n1
b
n1
ab
a
q
(
n1
)(
n1
)
1
，所以，数列{
n
}也一定是等比数列。
a
n
c
n
a
n
b
n
q
2
b
n
b
n
a
n1
课本P59的练习4
22
已知数列{
a
n
}是等比数列，（1）
a
5
 a
3
a
7
是否成立？
a
5
a
1
a
9
成立吗？为什么？
2
（2）
a
n
a
n1
a
n1
(n1)
是否成立？你据此能得到什么结论？
2
a
n
a
nk
a
nk
(nk0)
是否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
a< br>m
a
n
a
p
a
k

在等比数列中 ，m+n=p+q，
a
m
,a
n
,a
p
,a
k
有什么关系呢？
m1n1
p1
由定义得：
a
m
a
1
q a
n
a
1
q

a
p
a
1
q a
k
a
1
q
k1

a
m
a
n
a
1
q
mn2
，
a
p
a
k
a
1
q
pk2
则
a
m
a
n
a
p
a
k

Ⅲ.课堂练习
课本P59-60的练习3、5
2
2

学习必备 欢迎下载
Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q，
a
m
a
n
a
p
a
q

2、若

a
n

,

b
n

是项数相同的等比数列，则

a
n
b
n

、{
Ⅴ.课后作业
课本P60习题2.4A组的3、5题
●板书设计






●授后记





课题: §2.5
等比数列的前
a
n
}也是等比数列
b
n
n项和

授课类型：新授课（2课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比 数
列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的 求和方法，并能在具体的问题情境中发
现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与 价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻
苦求是的 精神。
●教学重点
等比数列的前n项和公式推导
●教学难点
灵活应用公式解决有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
[分析 问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，
求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导< br>等比数列的前n项和公式。
1、 等比数列的前n项和公式：

学习必备 欢迎下载
aa
n
q
a
1
(1q
n
)
当
q1
时，
S
n

① 或
S
n

1
②
1q
1q
当q=1时，
S
n
na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列
a
1
,a
2a
3
,a
n

它的前n项和是
S
na
1
a
2
a
3
a
n

S
n
a
1
a
2
a
3
a
n
由


n1
aaq
1
n
2n2n1


S
n
a
1
 a
1
qa
1
q

a
1
qa
1
q
得


23n1n


qS
n
a
1
qa
1
qa
1
q
a
1
qa
1
q
(1q)S
n
a
1
a
1
q
n

aa
n
q< br>a
1
(1q
n
)
∴当
q1
时，
S
n

① 或
S
n

1
②
1q
1q
当q=1时，
S
n
na
1

公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
a
a
2
a
3



n
q

a
1
a< br>2
a
n1
a
2
a
3


a
n
Sa
1

n
q

a
1
a
2


a
n1
S
n
 a
n
根据等比的性质，有
即
S
n
a
1
q

(1q)S
n
a
1
a
n
q< br>（结论同上）
S
n
a
n
围绕基本概念，从等比数列的定义 出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：

S
n
a
1
a
2
a
3
a
n
＝
a
1
q(a
1
a
2
a
3
an1
)

＝
a
1
qS
n1＝
a
1
q(S
n
a
n
)


(1q)S
n
a
1
a
n
q
（结 论同上）
[解决问题]

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有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由
a
1
1,q2,n64
可得
a
1
(1q
n
)
1(12
64
)
64
S
n

==
21
。
1q
12
2
6 4
1
这个数很大，超过了
1.8410
19
。国王不能实现他的 诺言。
[例题讲解]
课本P65-66的例1、例2 例3解略
Ⅲ.课堂练习
课本P66的练习1、2、3
Ⅳ.课时小结
a
1
a
n
q
a
1
(1q
n
)
等比 数列求和公式：当q=1时，
S
n
na
1
当
q1
时，
S
n

或
S
n


1q
1q
Ⅴ.课后作业
课本P69习题A组的第1、2题
●板书设计






●授后记






课题: §2.5
等比数列的前
课类型：新授课（第２课时）
●教学目标
知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的
S
n
,a
n
,a
1
,n,q
中知道三个数求另
外两个数的一些 简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
●教学难点
n项和

学习必备 欢迎下载
灵活使用公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
aa
n
q
a
1
(1q
n
)
当
q1
时，
S
n

① 或
S
n

1
②
1q
1q
当q=1时，
S
n
na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
22
求证：
S
n
S
2n
S
n
(S
2n
S
3n
)

2、设a为常数，求数列a，2a，3a，…，na，…的前n项和；
（1）a=0时，S
n
=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+ 3+…+n=
n-1n
23n
1
n(n1)

2
若a≠1，S
n
-aS
n
=a（1+a+…+a-na），Sn=
Ⅲ .课堂练习



Ⅳ.课时小结



Ⅴ.课后作业



●板书设计



●授后记
a
nn1
[1(n1)ana]

2
(1a)

学习必备 欢迎下载
课 题：
数列复习小结
2课时
教学目的：
1．系统掌握数列的有关概念和公式。
2．了解数列的通项公式
a
n
与前n项和公式
S
n
的关系。
3．能通过前n项和公式
S
n
求出数列的通项公式
a
n
。
授课类型：复习课
课时安排：2课时
教学过程：
一、本章知识结构

二、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
三、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，
a
1
、
a
n
、n、d
(
q
)、
S
n
“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有

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时用到换元法．
3．求等比数列的前
n
项和时要考虑公比是否等 于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序 相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
四、知识精要：
1、数列
[数列的通项公式]
a
n



2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列

a
n

，若
a
n1
a
n
d
(常数)，则数列
a
n

是等差数列。
2．等差中项：对于数列

a
n

，若
2a
n1
a
n
 a
n2
，则数列

a
n

是等差数列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列

a
n

的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数列的通项为
a
n
a
1
(n1)d
。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1．
Sn

n(a
1
a
n
)
n(n1)
d
2.
S
n
na
1

2
2

a
1
S
1
(n1)
[数列的前n项和]
S
n
a
1
a
2
a3
a
n

SS(n2)
n1

n
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]
如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做a
与
b
的等差中项。即：
A
ab
或
2A ab

2
[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项 除外）都是它的前一项与后一项的
等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中 项。
[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果
a
n是等差数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
项，且
mn
，公差为
d
，则有
a
n
a
m
(nm)d

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2． 对于等差数列

a
n

，若
nmpq
，则
a
n
a
m
a
p
a
q< br>。
a
1
a
n

a,a2
,a
3
,

,a
n2
,a
n1
,a
n

a
2
a
n1
a
3
a
n2

，如图所示：
1
< br>a
2
a
n1
*
3．若数列

a
n

是等差数列，
S
n
是其前n项的和，
kN
， 那么
S
k
，
S
2k
S
k
，
S< br>3k
S
2k
成等差数列。如
也就是：
a
1
a
n
下图所示：
S
3k
 
a
1
a
2
a
3

< br>a
k
a
k1


a
2k
 a
2k1


a
3k

 
S
k
S
2k
S
k
S
3k
S
2k
3、等比数列
[等比数列的概念]
[定义 ]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（
q0
）。
[等比中项]
如果在
a
与
b
之间插入一个数
G
，使
a< br>，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么
[等比数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列

a
n

，若
a
n1
q(q0)< br>，则数列

a
n

是等比数列。
a
n< br>Gb
2

，即
G
aG
ab
。
2
2．等比中项：对于数列

a
n

，若
a
n
a
n2
a
n1
，则数列

a
n< br>
是等比数列。
[等比数列的通项公式]
n1
如果等比数列
a
n

的首项是
a
1
，公比是
q< br>，则等比数列的通项为
a
n
a
1
q
。
[等比数列的前n项和]
aa
n
q
a
1
(1 q
n
)
(q1)

○
(q1)
○
1
S
n

2
S
n

13当
q
○
1q
1q
1
时，
S
n
na
1

[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系 ：如果
a
n
是等比数列的第
n
项，
a
m
是 等差数列的第
m
项，且
mn
，公比为
q
，则有
a
n
a
m
q
nm

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3． 对于等比数列

a
n

，若
n muv
，则
a
n
a
m
a
u
a< br>v

a
1
a
n

a ,a
2
,a
3
,

,a
n2
,a
n1
,a
n

a
2
a
n1
a
3
a
n2

。如图所示：
1
 
a
2
a
n1
也就是：
a
1
a
n
4．若数列

a
n

是等比数列，
S< br>n
是其前n项的和，
kN
*
，那么
S
k
，
S
2k
S
k
，
S
3k
S
2k
成等比数列。如下图
所示：
S
3k
 
a
1
a
2
a
3

a
k
a
k1


a
2k< br>a
2k1


a
3k

 
S
k
S
2k
S
k< br>S
3k
S
2k
4、数列前n项和
（1）重要公式：
123n
n(n1)
；
2
n(n1)(2n1)
；
6
1
2
22
3
2
n
2

333
1
12 n[n(n1)]
2

2
（2）等差数列中，
S
m n
S
m
S
n
mnd

nm
（3） 等比数列中，
S
mn
S
n
qS
m
S
m
qS
n

（4）裂项求和：
111

；（
nn!(n1)!n!
）
n(n1)nn1

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第三章不等式

课题:
§3.1不等式与不等关系

第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：通过具体情 景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的
实际背景，掌握不等式的 基本性质；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系 的问题。理解不等式（组）
对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】
1.课题导入
在现 实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之
和 大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述
某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系

引例1：限速40kmh的路标，指示司机在前方路段 行驶时，应使汽车的速度v不超过40kmh，写成不等式就
是：
v40

引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3% ，写
成不等式组就是——用不等式组来表示

f2.5%

< br>p2.3%

问题1：设点A与平面

的距离为d,B为平面

上的任意一点，则
d|AB|
。
问题2：某种杂志原以每本2.5元 的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售
量就可能相应减少2000本 。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20
万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为
(8
仍不低于20万元”可以表示为不等式
x2.5
0.2)x
万元，那么不等关系“销售的总收入
0.1
(8
x2.5
0.2)x20

0.1
问题3：某钢铁厂 要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能

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超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

500x600y4000;

3xy;



x0;


y0.

3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P82的练习1、2
4.课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第4、5题
【板书设计】




【授后记】




第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
abacbc

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（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
ab,c0acbc

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
ab,c0acbc

2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：
1）∵(a＋c)－(b＋c)
＝a－b＞0，
∴a＋c＞b＋c
(ac)(bc)ab0
，
∴
acbc
．
2）
实际上，我们还有
ab,bca c
，（证明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a－b)＋(b－c)＞0，
即a－c＞0，
∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
ab,bcac

（2）
abacbc

（3）
ab,c0acbc

（4）
ab,c0acbc

2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）
ab,cdacbd
；

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（2）
ab0,cd0acbd
；
nn
（ 3）
ab0,nN,n1ab;
n
a
n
b
。
证明：
1）∵a＞b，
∴a＋c＞b＋c． ①
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋d．
由①、②得 a＋c＞b＋d．
2）
ab,c0acbc
cd,b0bcbd


acbd

3）反证法）假设
n
a
n
b
，
nn
则 ：若
abab
这都与
n
a
n
bab
a b
矛盾，
∴
n
a
n
b
．

[范例讲解]：
例1、已知
ab0,c0,
求证

cc
a

b
。
证明：以为
ab0
， 所以ab>0,
1
ab
0
。
于是
a
1
ab
b
111
ab
，即
b
a

由c<0 ，得
c
a

c
b

3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（
3
＋
2
）
2
６＋2
6
；
（2）（
3
－
2
）
2
（
6
－1）
2
；
②

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（3）
11
；
5265
22
(4)当
a
＞
b
＞0时，log
1
a
log
1
b

答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜

[补充例题]
例2、比较(
a
＋3)（
a
－５）与（
a
＋2）（
a
－4）的大小。
分析：此题属于 两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，
判断差值正 负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来
得出两 个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（
a
＋3）（
a
－５）－（
a
＋2）（
a
－ 4）
22
＝（
a
－2
a
－1５）－（
a
－2
a
－８）
＝－７＜0
∴（
a
＋3）（
a< br>－５）＜（
a
＋2）（
a
－4）
随堂练习2

1、 比较大小：
2
（1）（
x
＋５）（
x
＋７ ）与（
x
＋６）
（2）
x5x6与2x5x9

22
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的 不等式，还研究了如何比较两个实数（代
数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是
n
个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
【板书设计】





课题: §
3.2一元二次不等式及其解法
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握 图象法解一元二次不等式的方
法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和 逻辑思维能力；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象 探究一元二次不等式与
相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

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3．情态与价值：激发学习数学的热情 ，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的
辩证思想。
【教学重点】
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模 型：
x5x0
…………………………(1)
2
2.讲授新课
1）
一元二次不等式的定义
象
x5x0
这样，只含有一个未知 数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
2
2）
探究一元二次不等式
x
2
5x0
的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
x
1
0,x
2
5

二次函数有两个零点：
x
1
0,x
2
5

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数
yx5x
的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即
x5x0
；
当0x5x0
；
所以，不等式
x5x0
的解集是

x|0x5

，从而解决了本节开始时提出的问题。
2
2
2
2
3）
探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
axbxc0,(a0)或axbxc 0,(a0)

一般地，怎样确定一元二次不等式
axbxc
>0 与
axbxc
<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线
y
axbxc
与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次 方程
axbxc
=0的根的情况
22
22
22

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(2)抛物线
y
axbxc
的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线
y
axbxc
（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程
2
2
ax
2
bxc
=0的判别式
b
2
4ac
三种取值情况 (Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨
论
（2）a<0可以转化为a>0
分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式< br>axbxc
>0与
axbxc
<0的解集
一元二次不等式< br>axbxc0或axbxc0

a0

的解集： 22
22
2
设相应的一元二次方程
axbxc0

a0

的两根为
x
1
、x
2
且x
1< br>x
2
，
b4ac
，则不等式的解的
2
各种情 况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)


二次函数

0

0

0

yax
2
bxc

yax
2
bxc

yax
2
bxc

yax
2
bxc

（
a0
）的图象


一元二次方程
有两相异实根

有两相等实根


无实根

axbxc0
2

a0

的根
ax
2
bxc0
(a0) 的解集
ax
2
bxc0
(a0)的解集
[范例讲解] x
1
,x
2
(x
1
x
2
)

x
1
x
2

b

2a


xxx或xx


12

b

xx


2a





R






xx
1
xx
2


例2 (课本第87页)求不等式
4x4x10
的解集.
解：因为
0, 方程4x4x10的解是x
1
x
2

所以，原不等式的解集 是

xx
2
2
1
.
2


1



2


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例3 (课本第88页)解不等式
x2x30
.
解：整理，得
x2x30
.
因为
0,方程x2x30
无实数解，
所以不等式
x2
2
2
2
2x30
的解集是

.
从而，原不等式的解集是

.
3.随堂练习
课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
4.课时小结
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=
axbxc
>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式

，分析不等式的解的情况：
2

若A0，则xx
1
或x
2
；
ⅰ.

>0时，求根
x1
<
x
2
，


若A0，则xxx.< br>12


若A0，则xx
0
的一切实数；
ⅱ.

=0时，求根
x
1
＝
x
2
＝< br>x
0
，

若A0，则x

；


若A0，则xx.
0


若A0，则xR；
ⅲ.

<0时，方程无解，


若A0，则x

.

③ 写出解集.
5.评价设计
课本第89页习题3.2[A]组第1题
【板书设计】

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课题: §
3.2一元二次不等式及其解法
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一 步熟练解一元二次不等式的解
法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一< br>事物思想
【教学重点】
熟练掌握一元二次不等式的解法
【教学难点】
理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【教学过程】
1.课题导入
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格
2.讲授新课
[范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x kmh有如下的关系：
s
11
2
xx

20180< br>在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到
0.01kmh）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x kmh，根据题意，我们得到
移项整理得：
x9x71100

显然
0
，方程
x9x71100
有两个实数根，即
2
2
11
2
xx39.5

20180
x
1
88.94,x
2
79.94
。所以不等式的解集为< br>
x|x88.94,或x79.94


在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94kmh.
例4、一 个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价
值y （元）之间有如下的关系：
y2x
2
220x

若这家工厂 希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩
托车 ？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
2x
2
220x6000

移项整理，得

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x
2
110x30000

因为
1000
，所以方程
x110x30000
有两个实数根
2
x
1
50,x
2
60

由二次函数的图象，得不等式的解为：50因为x只能取正整数，所以，当这条摩 托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，
这家工厂能够获得6000元以 上的收益。
3．随堂练习1
课本第89页练习2
[补充例题]
▲ 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
2
例：设不等式
axbx 10
的解集为
{x|1x
1
3
}
，求
a b
?
▲ 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
例：设
A{x| x4x30},B{x|x2xa80}
，且
AB
，求
a
的取值范围.
改：设
x2xa80
对于一切
x(1,3 )
都成立，求
a
的范围.
2
改：若方程
x2xa8 0
有两个实根
x
1
,x
2
，且
x
13
，
x
2
1
，求
a
的范围.
2
22
随堂练习2
22
1
1、已知二次不等式
a xbxc0
的解集为
{x|x
1
求关于
x
的不等式
cxbxa0
的解集.
3
或x
2
}
，< br>2、若关于
m
的不等式
mx(2m1)xm10
的解集为空 集，求
m
的取值范围.
改1：解集非空
改2：解集为一切实数
2
4.课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系
5.评价设计
课本第89页的习题3.2[A]组第3、5题
【板书设计】

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课题: §
3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
【教学重点】
用二元一次不等式（组）表示平面区域；
【教学难点】

【教学过程】
1.课题导入
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第91页的“银行信贷资金分配问题”

教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：

2.讲授新课
1．建立二元一次不等式模型
把实际问题
转化
数学问题：
设用于企业贷款的资金为
x
元，用于个人贷款的资金为
y
元。
（把文字语言
转化
符号语言）
（资金总数为25 000 000元）

xy25000000
（1）
（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）

(12%)x+(10%)y30000
即
12x10y3000000
（2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）

x0,y0
（3）
将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：

xy 25000000


12x10y3000000


x0,y0

2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（ 3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所< br>有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

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（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（ 组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看
成是平面内点的坐标 ，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
（2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使 它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本
第93页的表格，
横坐标x
点P的纵坐标
y
1

点A的纵坐标
y
2

-3


-2


-1


0


1


2


3


并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直 角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的
左上方；反过来，直线 x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界
由特殊例子推广到一般情况：
（3）结论：
二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0在平面直角坐标系中表 示直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点组成的平面区域. （虚
线表示区域不包括边界直线）
4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线
Ax
+
By
+
C
=0同一侧的所有点(x,y
)，把它的坐标（
x,y
)代入
Ax
+
By+
C
，所得到实数的符号
都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（
x
0
,
y
0
)，从
Ax
0
+
B y
0
+
C
的正负即可判断
Ax
+
By
+< br>C
＞0表示直线
哪一侧的平面区域.（特殊地，当
C
≠0时，常把原点 作为此特殊点）
【应用举例】

例1 画出不等式
x4y4
表示的平面区域。
解：先画直线
x4y4
（画成虚线）.