季羡林散文-网管工作总结

《函数奇偶性》教学设计

教材分析：
在学习函数奇偶性之前，已 经学习了函数的概念及函数的图像，使得学生具备
了利用函数解析式研究数形性质的基本知识，同时联系 初中所学的图形中心对
称和轴对称。但只是从图象上直观观察图象的对称,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的
转变对高一的学生来 说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.奇
偶性的证明是学生在函数内容中接触到的代数论 证内容,学生在代数论证推理
方面的能力是比较弱的,还没有意识到它的重要性,所以奇偶性的证明自然 就
是教学中的难点.
学情分析：
学生在初中学习了二次函数和反比例函数,学生已 经知道这两个图象的对称性,
而且有了前面函数的概念及表示法,为准确描述自变量互为相反数时对应的 函
数值的关系扫清了障碍，可顺利得出函数奇偶性的定义。该班的学生较活跃，
课堂上发言积极 ，并且学生已经学习了函数的概念、图像和对称的概念，大部
分学生都能在教师的诱导下发现规律，达到 掌握的目的。
一、教学目标：
知识与技能： 结合具体函数了解奇偶性的含义，能 利用函数的图像
理解奇函数、偶函数；能判断一些简单函数的奇偶性。
过程与方法： 体验奇函数、偶函数概念形成的过程，体会由形及数、
数形结合的数学思想，并学会由特殊到一般的归纳 推理的思维方法。
情感、态度、价值观： 通过绘制和展示优美的函数图像，可以陶冶
我们的情操，通过概念的形成过程，培养我们探究、推理的思维能力。
二、教学重点、难点：
重点 ： 奇偶性概念的理解及应用。
难点 ： 奇偶性的判断与应用。
三、教学方法：探究式、启发式。
四、课堂类型：新授课
五、教学媒体使用：多媒体（计算机、实物投影）
六、教学过程：
教
学
教学内容 师生互动 设计意图
环
节

问
复习在初中学习的为学生认识
题教师提出问题，学生回
轴对称图形和中心对称奇、 偶函数的图象
引答.
图形的定义 特征做好准备.
领
1．要求学生同桌两1．教师指导，学生
人分别画出函数
f
(
x
) 作图，学生作完图后教师
=
x
3
与
g
(
x
) =
x
2
的图象. 提问：观察我们画出的两
2． 多媒体屏幕上展个函数的图象，分别具有1．要求学生动
示函数
f
(
x
) =
x
3
和函数怎样的对称性？ 手作图以锻炼学生
g
(
x
) =
x
2
的图象，并让学生回答：
f
(
x
) =
x
3
的动手实践能力，
学生分别求出
x
=±3，
x
关于原点成中心对称图为下一步问题的提
=±2，
x
=±
1
，… 的函形；
g
(
x
) =
x
2
关于
y
轴出做好准备. 并通
2
数值，同时令两个函数图成轴对称图形. 过问题来引导学生
象上对应的点在两 个函2．老师边让学生计从形的角度认识两
数图象上闪现，让学生发算相应的函数值，边操作个函数各自 的特
现两个函数的对称性反课件，引导学生发现规征.
映到函数值上具有的特律，总结规律，然后要求2．通过特殊值
性： 学生给出证明；学生通过让学生认识两个函
自
f
(–
x
) = –
f
(
x
)，
g
观察和运算逐步发现两数各自对称性实
主
(–
x
) =
g
(
x
). 然后通个函数具有的不同特征：质：是自变量互为
探
过解析式给出证明，进一 相反数时，函数值
究
步说明这两个特性对定
f
(–
x
) = –
f
(
x
)，互为相反数和相等
义域内的任意一个
x
都 这两种关系.
成立.
g
(–
x
) = –
g
(
x
). 3．通过引例使
3．奇函数、偶函数3.教师引导归纳：这学生对奇函数和偶
的定义： 时我们称函数
f
(
x
) =
x
3
函数的形和数的特
奇函数：设函数
y
= 这样的函数为奇函数，像征有了初步的认
f
(
x
)的定义域为
D
，如函数
g
(
x
) =
x
2
这样的函识，此时再让学生
果对
D
内的任意一个< br>x
，数为偶函数，请同学们根给奇函数和偶函数
都有 据对奇函数和偶函数的下定义应是水到渠
f
(–
x
) = –
f
(
x
)， 初步认识加以推广，给奇成.
则这个函数叫奇函函数和偶函数分别下一
数. 个定义.
偶函数：设函数
y
= 学生讨论后回答，然
g
(
x
)的定义域为
D
，如后老师引导使定义完善.

合
作
交
流
果对
D
内的任意一个
x
，在屏幕展示奇函数和偶
都有 函数的定义.
g
(–
x
) = –
g
(
x
)，老师：根据定义，哪
些同学能举出另外一些
则这个函数叫做偶奇函数和偶函数的例
函数. 子？
学生：
f
(
x
) =
1
x
，
2

f
(
x
) = –
x
6
–
4
x
4
，….
教师设计以下问题
（1）强调定义中“任
组织学生讨论思考回答.
意”二字 ，说明函数的奇
问题1：奇函数、偶
偶性在定义域上的一个
函数的定义中有“任意”< br>整体性质，它不同于函数
二字，说明函数的奇偶性
的单调性 .
是怎样的一个性质？与通过对三个问
（2）奇函数与偶函
单调性有何区别？ 题的探讨 ，引导学
数的定义域的特征是关
问题2：–
x
与
x
在生认识 到：（1）函
于原点对称.
几何上有何关系？具有数的奇偶性 是函
（3）奇函数与偶函
奇偶性的函数的定义域数在定义域上的一
数图象的对称性：
有何特征？ 个整体性质，它不
如果一个函数是奇
问题3：结合函数
f
同于单调性.（2）
函数，则这个函数的图象
(
x
) =
x
3
的图象回答以下函数的定义域关于
以坐标原点为对称中心
问题： 原点对称是一个函
的中心对称图形. 反之，
（1）对于任意一个数为奇函数或偶函
如 果一个函数的图象是
奇函数
f
(
x
)，图象上的数的必要条件.
以坐标原点为对称中心
点
P
(
x
，
f
(
x
))关于原点（3）奇函数的
的中心对称图形，则这个
对称点
P
′的坐标是什图象关于原点对
函数是奇函数.
么？点
P
′是否也在 函数称，偶函数的图象
如果一个函数是偶
f
(
x
)的图象上？由此可关于
y
轴对称.
函数，则它的图形是以
y
得到怎样的结论.
轴为对称轴的轴对称图
（2）如果一个函数
形；反之，如果一个函数
的图象是以坐标原点为
的图象关于
y
轴对称，则
对称中心的中心对称图
这个函数是偶函数.
形，能否判断它的奇偶

成
果
展
示
性？
学生通过回答问题3
可以把奇函数图象的性
质总结出来，然后老师让
学生自 己研究一下偶函
数图象的性质.
例1 判断下列函数1．选例1的第（1）1．通过例1解
的奇偶性； 小题板书来示范解题的决如下问题：
（1）
f
(
x
) =
x
+
x
3
+
x
5
；步骤，其他例题让几个学①根据定义判
（2）
f
(
x
) =
x
2
+1； 生板演，其余学生在下面断一个函数是奇函
（3）
f
(
x
) =
x
+ 1；（4）自己完成，针对板演的同数还是偶函数的方
f
(
x
) = 0. 学所出现的步骤上的问法和步骤是：第一
学生练习： 题进行学生做好总结归步先判断函数的定
判断下列函数的是纳. 义域是否关于原点
否具有奇偶性： 2．例2可让学生来对称；第二步判断
(1)
f
(
x
) =
x
+
x
3
； 设计如何研究函数的性
f
(–
x
) =
f
(
x
)
(2)
f
(
x
) = –
x
2
； 质和图象的方案，并根据还是判断
f
(–
x
) =
(3)
h
(
x
) =
x
3
+1； 学生提供的方案，点评方–
f
(
x
).
(4)
f
(
x
) = (
x
+ 1) (
x
案的可行性，并比较哪种②通过例1中
– 1)； 方案简单. 的第（3）小题说明
例2 研究函数
y
3．做完例1和例2判 断函数既不是奇
=
1
2
的性质并作出它的后要求学生做练习，及时函数也不是 偶函
x
图象. 巩固. 在学生练习过程数.
学生练习： 中，教师做好巡视指导. ③ 例1中的
1．判断下列论断是例1 解答案 第（4）小题说明判
否正确： （1）奇函数 断函数的奇偶性先
（1） 如果一个函数（2）偶函数 要看一下定义域是
的定义域关于坐标原点（3）非奇非偶函数 否关于原点对称.
对原对称，则这个函数关（4）既奇又偶函数 ④
f
(
x
) = 0
于原点对称；则这个函数学生练习答案 既不奇函数又是偶
为奇函数； （1）奇函数 函数的函数是函数
（2）如果一个函数（2）偶函数 值为0的常值函
为偶函数，则它的定义关（3）非奇非偶函数 数. 前提是定义域
于坐标原点对称， （4）偶函数 关于原点对称.
（3）如果一个函数例2 偶函数（图略） ⑤总结：对于

拓
展
延
伸
定义域关于坐标原点对学生练习 一个函数来说，它
称，则这个函数为偶函1．（1）错 的奇偶性有四种可
数； （2）错 能：是奇函数但不
（4）如果一个函数（3）错 是偶函数；是偶函
的图象关于
y
轴对称，则（4）对 数但不是奇函数；
这个函数为偶函数. 2．不能为奇函数但既是奇函数又是偶
2．如果
f
(0) =
a
可以是偶函数 函数；既不是奇函
≠0，函数
f
(
x
)可以是3．偶函数 数也不是偶函数.
奇函数吗？可以是偶函∵
f
(–
x
) =
f
(
x
) 2．对于例2主
数吗？为什么？
g
(–
x
) =
g
(
x
) 要让学生体会学习
3.如果函数
f
(
x
)、∴
F
(–
x
) =
F
(
x
) 了函数的奇偶性后
g
(
x
)为定义域相同的偶4．
f
(–4) = –
f
(4) 为研究函数的性质
函数，试问
F
(
x
) =
f
(
x
) = –2. 带来的方便. 在此
+
g
(
x
)是不是偶函数？5．∵
f
(–3)＞
f
问题的处理上要先
是不是奇函数？为什(–1) 求一下函数的定义
么？ 又
f
(–3) =
f
(3) 域，这是研究函数
4．如图，给出了奇
f
(–1) =
f
(1) 性质的基础，然后
函数
y
=
f
(
x
)的局总图∴
f
(3)＞
f
(1) 判断函数图象的对
y
象，求
f
(– 4). 称性，再根据奇、
2
偶函数在
y
轴一侧
的图象和性质就可
x
O 4
以知道在另一侧的
5．如图，给出了偶图象和性质.
函数
y
=
f
(
x
)的局部图
象，试比较
f
(1)与
f

(3) 的大小.
y

2



x
– 3 – 1
O

设函数
f
(
x
)是定义证明：
F
(
x
)在（–
联系单调性的
在(–∞，0)∪(0，+∞)∞，0）是中增函数，以
知识，进一步加深
上的奇函数，又
f
(
x
)在下进行证明：
对奇偶性的理解。
(0，+∞)上是减函数，且设
x
1
，
x
2
(–∞，

f
(
x
)＜0，试判断函数
F
0)，且
x
1
＜
x
2
.
(
x
) =
1
在(–∞，0)上∵
f
(
x
)在（0，+∞）
f(x)
的单调性，并给出证明. 上是减函数，∴
f
(–
x
2
)
–
f
(–
x
1
)＞0
①
又∵
f
(
x
)在 (–
∞，0)∪(0，+∞)上是奇
函数，∴
f
(–
x
1
) = –
f
(
x
1
)，
f
(–
x
2
) = –
f

(
x
2
)，
由①式得 –
f
(
x
2
)
+
f
(
x
1
) ＞0，
即
f
(
x
1
) –
f
(
x
2
)
＞0. 当
x
1
＜
x
2
＜0时，
F
(
x
2
) –
F
(
x
1
)
=
1

1

f(x
1
)f(x
2
)
，
f(x
2
)f(x
1
)f(x
1
)f(x
2
)
又∵
f
(
x
) 在(0，+
∞)上总小于0，
∴
f
(
x
1
) = –
f

(–
x
1
)＞0，
f
(
x
2
) = –
f

(–
x
2
)＞0，
f
(
x
1
)·
f
(
x
2
)
＞0，
又
f
(
x
1
) –
f
(
x
2
)
＞0，∴
F
(
x
2
) –
F
(
x
1
)
＞0且
△
x
= x
2
–
x
1
＞0，
故
F
(
x
) =
1
在(–
f(x)
∞，0)上是增函数.

归
从知识、方法两个方
纳让学生谈本节课的
面来对本节课的内容进
总收获，并进行反思.
行归纳总结.
结
布
置1.3习题 学生独立完成
作
关注学生的自
主体验，反思和发
表本堂课的体验和
收获.
通过分层作业
使学生进一步巩固
本节课所学内容.

业 并为学有余力和学
习兴趣浓厚的学生
提供进一步学习的
机会.

七、板书设计
函数的奇偶性
问题引领




自主探究


合作交流
成果展示


拓展延伸


归纳总结


作业布置

八、设计反思：根据课程改革的目标，实现以人的全面发展为本的教学理念，
并根据 诱思探究学科教学论，改变传统教学过于注重传授知识的倾向，让学生
在课堂上真正动起来，切实实现学 生的主体地位。但是函数奇偶性这节内容较
为抽象，对学生分析问题解决问题的能力要求比较高，所以创 设情景时联系函
数与图像产生一一对应的关系，环环相扣，并让学生小组合作、研究探索、互
相 补充、发现共性、找出规律。