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人教版初二数学教案


【篇一：人教版初二数学教案】

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m第十六章 分式

16．1分式

16.1.1从分数到分式

一、 目标

1． 了解分式、有理式的概念.

2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出 分
式有意义的条件，分式的值为零的条件.

二、重点、难点

1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.

2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.

3.认知难点与突破方法

难点是能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条 件.突破
难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究
出分式的有关概念， 同时还要讲清分式与分数的联系与区别.

三、例、习题的意图分析

本章从实际问题引出分式方程 = ，给出分式的描述性的定义：像这
样分母中含有字母的式子属于分式. 不要在列方程时耽误时间，列方
程在这节课里不是重点，也不要求解这个方程.

1．本节进一步提出p4[思考]让学生自己依次填出： ， ， ， .为下
面的[观察]提供具体的式子，就以上的式子 ， ， ， ，有什么共同点？
它们与分数有什么相同点和不同点？

p5[归纳]顺理成章地给出 了分式的定义.分式与分数有许多类似之处，
研究分式往往要类比分数的有关概念，所以要引导学生了解 分式与
分数的联系与区别.

希望老师注意：分式比分数更具有一般性，例如分式 可以表示为两
个整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数 .

2． p 5[思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意
义？由分数的分母不能为零，用类比的 方法归纳出：分式的分母也
不能为零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有
意义.即当b≠0时，分式 才有意义.

3． p5例1填空是应用分式有意 义的条件—分母不为零，解出字母
x的值.还可以利用这道题，不改变分式，只把题目改成“分式无意< br>义”，使学生比较全面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的
自变量的取值范围，打下良好 的基础.

4． p12[拓广探索]中第13题提到了“在什么条件下，分式的值为
0？”，下面补充的例2为了学生更全面地体验分式的值为0时，必
须同时满足两个条件：○1分母不能 为零；○2分子为零.这两个条件
得到的解集的公共部分才是这一类题目的解.

四、课堂引入

1．让学生填写p4[思考]，学生自己依次填出： ， ， ， .

2．学生看p3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米时，
它沿江以最 大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流
航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少 ？

请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.

设江水的流速为x千米时.

轮船顺流航行100千米所用的时间为 小时，逆流航行60千米所用
时间 小时，所以 = .

3. 以上的式子 ， ， ， ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点
和不同点？

五、例题讲解

p5例1. 当x为何值时，分式有意义.

[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解

出字母x的取值范围.

[提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎 么解题吗？
这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有
关概念.

(补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？

（1） （2） (3)

[分析] 分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○1分母不能为零；
○2分子为零，这样 求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的
解.

[答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1

六、随堂练习

1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？

9x+4, , , , ，

2. 当x取何值时，下列分式有意义？

（1） （2） （3）

3. 当x为何值时，分式的值为0？

（1） （2） (3)

七、课后练习

1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

(1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需
小时.

（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米时，轮
船的顺流速度是 千米时，轮船的逆流速度是 千米时.

(3)x与y的差于4的商是 .

2．当x取何值时，分式 无意义？

3. 当x为何值时，分式 的值为0？

八、答案：

六、1.整式：9x+4, , 分式： , ，

3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1

七、1．18x, ,a+b, , 整式：8x, a+b,

分式： ,

2． x = 3. x=-1

16.1.2分式的基本性质

一、目标

1．理解分式的基本性质.

2．会用分式的基本性质将分式变形.

二、重点、难点

1．重点: 理解分式的基本性质.

2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形.

3.认知难点与突破方法

教学难点是灵活应用分式的基本性质将分式变形. 突破的方法是通过
复习分数的通分、约分总 结出分数的基本性质，再用类比的方法得
出分式的基本性质.应用分式的基本性质导出通分、约分的概念 ，使
学生在理解的基础上灵活地将分式变形.

三、例、习题的意图分析
< br>1．p7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘
以或除以了什么整式，然后应 用分式的基本性质，相应地把分子

（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答 案，使分式
的值不变.

2．p9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进 行约分、
通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结
果要是最简分式； 通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一
般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积 ，作为最
简公分母.

教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学 生
在做提示加深对相应概念及方法的理解.

3．p11习题16.1的第5题是：不 改变分式的值，使下列分式的分
子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的
基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，
分式的值不变.
< br>“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性
质的应用之一，所以补 充例5.

四、课堂引入

1．请同学们考虑： 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？

2．说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程，并说出变形依据？

3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.

五、例题讲解

p7例2.填空：

[分析]应用分式的基本性质把 已知的分子、分母同乘以或除以同一个
整式，使分式的值不变.

p11例3．约分：

[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除 以同一个
整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结
果要是最简分式.

p11例4．通分：

[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取 系数的最小公倍数，
以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”
号.

， ， ， ， 。

[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其 中两个
符号同时改变，分式的值不变.

解： = ， = ， = ， = ， = 。

六、随堂练习

1．填空：

(1) = (2) =

（3) = (4) =

2．约分：

（1） （2） （3） （4）

3．通分：

（1） 和 （2） 和

（3） 和 （4） 和

4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

(1) (2) （3) (4)

七、课后练习

1．判断下列约分是否正确：

（1） = （2） =

（3） =0

2．通分：

（1） 和 （2） 和

3．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号.

（1） （2）

八、答案：

六、1．(1)2x (2) 4b （3） bn+n (4)x+y

2．（1） （2） （3） （4）-2(x-y)2

3．通分：

（1） = ， =

（2） = ， =

（3） = =

（4） = =

4．(1) (2) （3) (4)

16．2分式的运算

16．2．1分式的乘除(一)

一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.

二、重点、难点

1．重点：会用分式乘除的法则进行运算.

2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 .

3. 难点与突破方法

分式的运算以有理数和整式的运算为基础，以因式分解为手段，经
过 转化后往经过转化后往往可视为整式的运算.分式的乘除的法则和
运算顺序可类比分数的有关内容得到. 所以，教给学生类比的数学思
想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学
生的主体性，使学生主动获取知识.教师要重点处理分式中有别于分
数运算的有关内容，使学生规范掌 握，特别是运算符号的问题，要
抓住出现的问题认真落实.

三、例、习题的意图分析

1．p13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求 大拖拉机的
工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容
积的高是 ，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍.引出了
分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引 出p14[观察]从分数的乘
除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，
不易耽误太多时间.

2．p14例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能
约分，应化简到最简.

3．p14例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多 项式，应
先把多项式分解因式，再进行约分.

4．p14例3是应用题，题意也比较 容易理解，式子也比较容易列出
来，但要注意根据问题的实际意义可知a 1,因此(a-1)2=a2-2a+1 a2-
2+1,即(a-1)2 a2-1.这一点要给学生 讲清楚，才能分析清楚“丰收2号”
单位面积产量高.（或用求差法比较两代数式的大小）

四、课堂引入

1.出示p13本节的引入的问题1求容积的高 ，问题2求大拖拉机的
工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍.

[引入]从上面的问 题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论
数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的 乘除入手，类比
出分式的乘除法法则.

1．p14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.

3．[提问] p14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法
法则？

类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.

五、例题讲解

p14例1.

[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行 运算.应该注意的
是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先
判断运算符 号，在计算结果.

p15例2.

[分析] 这道例题的分式的分子、分母 是多项式，应先把多项式分解因
式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.

p15例.

六、随堂练习

计算

（1） （2） （3）

（4）-8xy (5) (6)

七、课后练习

计算

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

八、答案：

六、（1）ab （2） （3） （4）-20x2 （5）

（6）

七、（1） （2） （3） （4）

（5） （6）

16．2．1分式的乘除(二)

一、教学目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算.

二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.

2．难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.

3．认知难点与突破方法：

紧紧抓住分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算这一点，然后
利用上节课分式乘法运算的基 础，达到熟练地进行分式乘除法的混
合运算的目的.课堂练习以学生自己讨论为主，教师可组织学生对所
做的题目作自我评价，关键是点拨运算符号问题、变号法则.

三、例、习题的意图分析

1． p17页例4是分式乘除法的混合运算. 分式乘除 法的混合运算先
把除法统一成乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分
解因式，最后 进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

教材p17例4只把运算统 一乘法，而没有把25x2-9分解因式,就得
出了最后的结果，教师在见解是不要跳步太快，以免学习 有困难的
学生理解不了，造成新的疑点.

2， p17页例4中没有涉及到符号问题 ，可运算符号问题、变号法则
是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，突破符号问题.

四、课堂引入

计算

（1） (2)

五、例题讲解

（p17）例4.计算

[分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为
乘法运算，再把分子、分母中能因式分解 的多项式分解因式，最后
进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.

（补充）例.计算

(1)

= (先把除法统一成乘法运算)

= （判断运算的符号）

= （约分到最简分式）

(2)

= (先把除法统一成乘法运算)

= (分子、分母中的多项式分解因式)

=

=

六、随堂练习

计算

(1) （2）

（3） （4）

七、课后练习

计算

(1) (2)

(3) (4)

八、答案：

六.（1） （2） （3） （4）-y

七. (1) (2) （3） （4）

16．2．1分式的乘除(三)

一、教学目标：理解分式乘方的运算 法则，熟练地进行分式乘方的
运算.

二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.

2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.

3．认知难点与突破方法

讲解分式乘方的运算法则之前，根据乘方的意义和分式乘法的法则，
计算 = = = ， = = = ，……

顺其自然地推导可得：

= = = ，即 = . （n为正整数）

归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.

三、例、习题的意图分析

1． p17例5第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应
先判

断乘方的结果 的符号，在分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的
乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序 ：先做乘方，再做
乘除..

2．教材p17例5中象第（1）题这样的分式的乘方运 算只有一题，
对于初学者来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练
习.同样象第（ 2）题这样的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相应
的增加几题为好.

分式的乘除 与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补
充例题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提 高正确率，突破
这个难点.

四、课堂引入

计算下列各题：

（1） = =（ ） (2) = =（ ）

（3） = =（ ）

[提问]由以上计算的结果你能推出 （n为正整数）的结果吗？

五、例题讲解

（p17）例5.计算

[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断
乘方的结果的符号，再分 别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘
除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方， 再做乘
除.

六、随堂练习

1．判断下列各式是否成立，并改正.

（1） = （2） =

（3） = （4） =

2．计算

(1) （2） （3）

（4） 5)

(6)

七、课后练习

计算

(1) (2)

(3) (4)

八、答案：

六、1. （1）不成立， = （2）不成立， =

（3）不成立， = （4）不成立， =

2. （1） （2） （3） （4）

(5) (6)

七、(1) (2) （3） （4）

16．2．2分式的加减（一）

一、教学目标：（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.

（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.

二、重点、难点

1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.

2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.

3．认知难点与突破方法

进行异分母的分式加减法的运算是难点，异分母的分式加减 法的运
算,必须转化为同分母的分式加减法，，然后按同分母的分式加减法
的法则计算，转化的 关键是通分，通分的关键是正确确定几个分式
的最简公分母，确定最简公分母的一般步骤：（1）取各分 母系数的
最小公倍数；（2）所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式
都要取；（3） 相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.
在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘 的因式，这个因式
就是最简公分母除以原分母所得的商.

异分母的分式加减法的一般 步骤：（1）通分，将异分母的分式化成
同分母的分式；（2）写成“分母不便，分子相加减”的形式； （3）

分子去括号，合并同类项；（4）分子、分母约分，将结果化成最简
分式 或整式.

三、例、习题的意图分析

1． p18问题3是一个工程问题， 题意比较简单，只是用字母n天来
表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的 .这样引出分
式的加减法的实际背景，问 题4的目的与问题3一样，从上面两个
问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法
运算.

2． p19[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加< br>减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出
分式的加减法法则.

3．p20例6计算应用分式的加减法法则.第（1）题是同分母的分式
减法的运算，第二个分 式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的
问题，比较简单，所以要补充分子是多项式的例题，教师要强 调分
子相减时第二个多项式注意变号；

第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简 公分母就是两个分母的
乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，
题 型也过于简单，教师应适当补充一些题，以供学生练习，巩固分
式的加减法法则.

（4）p21例7是一道物理的电路题，学生首先要有并联电路总电阻
r与各支路电阻r1, r2, …, rn的关系为 .若知道这个公式，就比较容
易地用含有r1的式子表示r2，列出 ，下面的计算就是异分母的分式
加法的运算了，得到 ，再利用倒数的概念得到r的结果.这道题的数< br>学计算并不难，但是物理的知识若不熟悉，就为数学计算设置了难
点.鉴于以上分析，教师在讲这 道题时要根据学生的物理知识掌握的
情况，以及学生的具体掌握异分母的分式加法的运算的情况，可以< br>考虑是否放在例8之后讲.

四、课堂堂引入

1.出示p18问题3、问题4，教师引导学生列出答案.

引语：从上面两个问题可 知，在讨论实际问题的数量关系时，需要
进行分式的加减法运算.

2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算
的法则吗？

3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减
法法则？

4．请同学们说出 的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定
方法吗？

五、例题讲解

（p20）例6.计算

[分析] 第（1）题是同 分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子
相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项 式时，
第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式
加法的运算，最简公 分母就是两个分母的乘积.

（补充）例.计算

（1）

[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式
时，应把多项事看作一 个整体加上括号参加运算，结果也要约分化
成最简分式.

解：

=

=

=

=

(2)

[分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.

解：

=

=

=

=

=

六、随堂练习

计算

(1) （2）

（3） （4）

七、课后练习

计算

(1) (2)

(3) (4)

八、答案：

四.（1） （2） （3） （4）1

五.(1) (2) （3）1 （4）

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