重庆邮电移通学院-打屁股作文1000字

案
例
名
称
科高等
目 数 学
课
时
1
一阶线性非齐次微分方程的解法与应用
提陈
供杨
者 林

教学对象 大一

一、教材内容分析
本节内容是继学生学习了一阶线性微分方程，对一阶线性微分方程的概念有 了一定了解，
掌握了一阶线性齐次微分方程的解法的基础上，进一步学习一阶线性非齐次微分方程的解法 。
本节课的内容可以为二阶常系数线性微分方程学习提供理论基础. 因此这节课有承前启后的
作用，是本章和本节的重点内容之一。
运用积分与一阶线性齐次微分 方程的解法通过假设一阶线性非齐次微分方程解，代入到
原方程当中，推导出一阶线性非齐次微分方程的 解。

二、
教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）

1. 知识与技能目标：
明确一阶线性非齐次微分方程的方程特点；了解一阶线性非齐次微分方程的通解公式 ；
掌握利用常数变易法求一阶线性非齐次微分方程的通解。
2. 过程与方法目标：
通过让学生积极参与一阶线性非齐次微分方程的判断加深学生对一阶线性非齐次微分方
程概念的认识； 引导学生积极思考，通过学习过的一阶线性齐次微分方程的通解利用常数变
易法推导出非齐次微分方程的 通解，从而进一步掌握一阶非齐次微分方程的通解公式，并进
行简单应用的能力。

三、教学策略选择与设计
本节课利用信息技术的先进教育手段，采用指导探究教学模式，引导 学生积极思维，推导
一阶线性非齐次方程求解方法和在专业上的简单应用，提高学生分析综合的逻辑思维 能力，
体会数学的美学价值。
五、教学环境及资源准备

多媒体电教室，多媒体课件
学具准备：每人准备好笔，书本，草稿纸

六、教学过程
教学
教师活动
过程
活动1：引入方程：
动 资源准备
学生活设计意图及
y

7xy0

y

7xy2x

引导学生在观察的基础上判断两个方程的不同 和相似
点，从而归纳出一阶线性非齐次方程的概念。



学生自己采用对比的方法概括一阶线性非齐次方程
问题
活动2：
引申
定义：
dy
P(x)yQ(x)
dx

Q(x)0


学生自
己解决
上述问
题。
激发学生兴
趣，引出本节
内容。

活动3：一阶线性非齐次微分方程的解法
对于一阶齐次线性微分方程
dy
P(x)y0
来说，可
dx
用最基本的变量分离解法进行求解：
dy
P(x)dx

y
p(x)dx
两端积分即可得方程通解为：
yCe


易见当非齐次线性微分方程的非齐次项
Q(x)0
时
便是齐次线性微分方程 ，但是，齐次方程的解不可能是非
齐次方程的解。
设
yy
1
(x )
是对应的齐次微分方程
y

P(x)y0
的一个特解，则Cy
1
(x)
是齐次微分方程的通解，对比一阶
线性齐次与非齐次微分方 程的结构形式以及导数的性质我
问题
们猜想：如果把
C
看成
x的函数
C(x)
，代入非齐次微分
引申
方程后求出
C(x)
，就可以得到非齐次微分方程的通解。
p(x)dx
假设
yC

x

e

为非齐次方程鉴于非齐次
方程与齐次方
程左端形式相
同，那么能否
寻求一种变
换，将其代入
到非齐次方程
中，使得
y
的
导数变为两
项，一 项抵消
掉另一项等于
学生自
己解决
上述问
题，然后
写出其< br>定义。
右端的
Q(x)
呢?正是在这
样的启发下，
便使学生 想到
了乘法的微分
法则，提出该
变换的正确形
式为那么将此
变换式代 入非
齐次微分方程
中而求出待定
函数进而求出
其通解的方法
即是常数 变易
法。

dy
P(x)yQ(x)
的解，将其带入方程，得到：
dx
 p(x)dxp(x)dxp(x)dx
C


x

e

C

x

e



p(x)

p(x)C

x

e

 Q

x


化简得到
C

(x)Q
x

e

p

x

dx

两边积分：
C(x)Q

x

e


p

x

dx
dxC

p (x)dx
带入
yC

x

e

，得到 一阶线性非齐次微分方程的
通解：

p

x

d x
dxC

e


p(x)dx

y

Qxe






活动4：一阶线性非齐次微分方程的解法举例
例： 求微分方程
xy

ycosx
的通解.
解 ：先运用常数变易 法求通解，原方程可写成
111
对应的齐次微分方程为
y

y0
，
ycosx
，
y


xxx
求得该齐 次微分方程的通解为
y
C
x
.
设所给的非齐次微分方程的通解为
y=C(x)
1
x
，则
y

C

(x)
1
x
C(x)

1


x
2


，
代入 原方程整理得
C'(x)
1
x

1
x
cosx，即
C'(x)cosx
，于是
C(x)

cosxdxsinxC
.
故原方程的通解为
y(sinxC)
1
x

Csinx
x
x




应用

举例

活动5：例设有一
RC
电路如图5-3所示，电阻

R10

，电容
C0.1F
，电源电压
u10sint(V)
，
开关
K
闭合前，电容电压
u
C
0
，求 开关
K
闭合后电
容电压随时间而变化的规律
u
C
(t)．
解 设开关
K
闭合后电路中的电流为
i(t)
，电容极< br>板上的电荷为
q(t)
，则有
qCu
C
，
i< br>dq
du
dt

d(Cu
C
)
dt
C
C
dt
，
根据回路电压定律：电容电压与电阻电压之和等于电
源电压，即
u
C
Riu
，于是有
u
C
RC< br>du
C
dt
u
．将
R10
，
C0.1
，
u10sint
代入，得
u

C
u
C
10sint
．又因为开关
K
闭合前，电容电压
u
C< br>0
，即
u
C
(0)0
．从而问题转化为：
< br>
u

C
u
C
10sint

u

C
(0)0
用通解公式求得通解

u
t
C
Ae5(sintcost)

将初始条件
u
C
(0)0
代入通解，求得
A5
．所以，所
求特解为
应用
t
拓展
u
C
5e5(sintcost)

此即为所求规律
u
C
(t)
的表达式．

对于一阶线性非齐次微分方程的求解问题如 果应
用matlab软件就更加简单了，不用进行繁琐的计
算只要键入命令就可以得到结果，配 上图像就更直
观形象了。
对于此题命令如下：

解题程序与命令
dsolve('Du+u-10*sin(t)=0','u(0)=0','t')
ans =
-5*cos(t)+5*sin(t)+5*exp(-t)

>> t=0:120;
>> u=-5*cos(t)+5*sin(t)+5*exp(-t);
>> plot(t,u)

画出2分钟的电压与时间的图像
应用
拓展



1.课后尝试：蹦极的路程与时间的关系

七、教学评价设计
目标完成：是否掌握一阶线性非齐次微分方程的定义，是否 掌握一阶线性非齐次微分方程
的求解方法。
学习过程：能否积极参与经历推导一阶线性非齐次 微分方程的定义的探索过程，能否应用
常数变易法推导一阶线性非齐次微分方程的通解并进行简单应用。
情感升华：学生是否学会自主学习，合作探究的学习方式，养成善于观察、分析、概括题
的习惯 。

八、帮助和总结
本节课采用指导探究教学模式，利用信息技术的先进教育手段 ，在师生互动中，要求学
生动脑、动手，学会分析问题的方法。