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五 相交线与平行线
5.1相交线 （邻补角与对顶角）
一、教学目标
1. 通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和
有条理表达能力
2. 在具体情境中了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角，理解对顶
角相等，并能运用它解决一些简单问题
二、教学重点与难点
重点:邻补角与对顶角的概念.对顶角性质与应用
难点:理解对顶角相等的性质的探索
三、教学流程
（一） 导入新课：
在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，本章要研究相交线所成的角和它的
特征 。
1、在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。
2、互为邻补角：
（1）定义：如果两个角有一条公共边且有一个公共顶点，它们的另一边互为反向延长线，具
有 这种关系的两个角互为邻补角。
（2）性质：从位置看：互为邻角；
从数量看：互为补角；
3、互为对顶角：
（1）定义：如果两个角有有一个公共顶点且它们 的两边互为反向延长线，具有这种关系的两
个角互为对顶角。
（2）性质：对顶角相等
°
四、课堂小结
学生活动：表格中的结论均由学生自己口答填出．


角的名称


对顶角



邻补角


特征 性质 相同点 不同点
①两条直线相交面成的角
对顶角没有公共边而
对顶角
都是两直线相
②有一个公共顶点
邻补角有一条公共边；
相等
交而成的角，都
③没有公共边
两条直线相交时，一个
有一个公共顶
有的对顶角有一个，而
①两条直线相交面成的角
它们都是成
邻补角
点，
一个角的邻补角有两
②有一个公共顶点
对出现。
互补
个。
③有一条公共边
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5.1.2 垂线及其性质
教学目标
1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺量角器过一点画已知直线的垂线。
2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。
教学重点与难点
1．教学重点：垂线的定义及性质。
2．教学难点：垂线的画法。
教学流程
一. 预习检测
1、叙述邻补角及对顶角的定义。
2、对顶角有怎样的性质。
二．： 新课导入：前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角
时 ，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我
C
们就来研 究这个问题。
4、垂直：
（1）定义：垂直是相交的一种特殊情形。当两条直线相交所形成 的四个
角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。它们交点叫做垂足。
A
其中的 一条直线叫做另一条直线的垂线。
（2）性质：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
（3）表示方法：用符号“⊥”表示垂直。
5、任何一个“定义”既可以做判定，又可以做性质。
6、垂线是一条直线，垂线段是垂线的一部分。
7、垂线段的性质：连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线段最短（简单说成：垂
线段最短）。
8、区分：点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
两点间的距离：连接两点间的线段的长度。
“两点间的距离”和“点到直线的距离”是两个不同的概念 ，但是“点到直线的距离”是“两
点间的距离”的一种特殊情况。
六：小结：
1. 掌握垂线、垂线段、点到直线的距离这几个概念；
2. 要清楚垂线是相交线的特殊情况，与上节知识联系好，并能正确利用工具画出标准图形；
3. 垂线的性质为今后知识的学习奠定了基础，应该熟练掌握。




O
D
B
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5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
一、教学目标
通过动手、操 作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有
条理表达能力
在 具体情境中了解同位角、内错角、同旁内角，能找出图形中的一个角的同位角、内错角、
同旁内角，并能 运用它解决一些简单问题
二、教学重点与难点
重点同位角、内错角、同旁内角:的概念.对顶角性质与应用
难点:理解同位角、内错角、同旁内角性质的探索
三、教学流程
（一） 导入新课：
在我们的生活的世 界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，本章要研究相交线所成的角和它的
特征。
9、内错角的定义：两个角都在截线的两侧，都在被截直线之间。这样的两个角叫做内错角。
10、同位角的定义：两个角都在截线的同侧，都在被截直线的同一方。这样的两个角叫做同
位角。 < br>11、同旁内角的定义：两个角都在截线的同侧，都在被截直线之间。这样的两个角叫做同旁
内角 。
12、截线与被截直线的定义：截线就是截断两条同一方向直线的直线，被截直线就是被截线
所截断的两条同一方向的直线。
13、相交线的定义：在平面内有一个公共交点的两条直线
直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直
线EF所截），构成八个角。 < br>其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的
同侧，像这样位置相同的一对角 叫做同位角；
∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像
这样位置的两 个角叫做内错角；
∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。


注意：1、同位角、内错角、同旁内角都是成对出现，完全由相对位置决定。
2、上图中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。


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5．2．1 平行线
[教学目标]
1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系；
2．理解并掌握平行公理及其推论的内容；会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线；
3．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角；
4．了解平行线在实际生活中的应用，能举例加以说明．
[教学重点与难点]
1．教学重点：平行线的概念与平行公理；
2．教学难点：对平行公理的理解．
[教学过程]
一、复习提问
相交线是如何定义的？
二、新课引入
平面内两条直线的位置关系除平行外，还有哪些呢？
制作教具，通过演示，得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念．
三、同一平面内两条直线的位置关系
1．平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b平行，记作a∥b．
（画出图形）
2．同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）相交；（2）平行．
3．对平行线概念的理解：
两个关键：一是“在同一个平面内”（举例说明）；二是“不相交”．
一个前提：对两条直线而言．
四、平行公理
1．利用前面的教具，说明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．
2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
提问垂线的性质，并进行比较．
3．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行．即：如
果b∥a，c∥a，那么b∥c．
五、三线八角
由前面的教具演示引出．
如图，直线a，b被直线c所截，形成的8个角中，其中同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．

六：小结：
（1）定义：在平面内不相交的两条直线，叫做平行线。
（2）表示方法：用符号“∥”表示平行。
（3）公理：经过直线外一点，有且只有一条直线 与已知直线平行（这个公理说明了平行线的
存在性和唯一性）。
（4）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

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5.2.2平行线的判定
一．教学目标
(1)使学生进一步理解并掌握判定两条直线平行的方法；
(2)了解简单的逻辑推理过程.
二．教学重点与难点
重点：判定两条直线平行方法的应用；
难点：简单的逻辑推理过程.
三．教学过程
1、两条直线被第三条直线所截，如果 同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，
两直线平行。
2、两条直线被第三条直线 所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，
两直线平行。
3、两条直线被 第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角
互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：
判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线互相平行
（简单说成：同位角相等，两直线平行）。
判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线互相平行
（简单说成：内错角相等，两直线平行）。
判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行
（简单说成：同旁内角相等，两直线平行）。
判定4：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。


解题方法总结：
1、 由角的相等或互补的关系识别两直线平行。


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5.2.3平行线的画法

[教学目标]
3. 借助用直尺和三角板画平行线的过程,,得出直线平行的条件.
4. 会用直线平行的条件来判定直线平行.
5. 激发学生学习数学的兴趣.
[教学重点与难点]
重点: 理解直线平行的条件.
难点: 直线平行的条件的应 用
平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问
题．方 法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一
边），三“移” （沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”
（沿三角板过已知点 的边画直线）．
六、尺规作图：（考试
中涉及较少，也常常融合到综合题中进行考察，需要用 到这个作图的方法而已）

复习题：
1．如图，已知四条直线AB、AC、DE、FG
（1）∠1与∠2是直线_____和直线 ____被直线________所截而
成的________角.
(2) ∠3与∠2是直线_____和直线____被直线________所截而成
的________角.
(3) ∠5与∠6是直线_____和直线____被直线________所截而成
的________角.
(4) ∠4与∠7是直线_____和直线____被直线________所截而成
的________角.
(5) ∠8与∠2是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角.

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§5.3平行线的性质（一）
教学目标
1．使学生理解平行线的性质和判定的区别
．

2．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理
．

重点难点
重点：平行线的三个性质
．

难点：平行线的三个性质和怎样区分性质和判定
．

关键：能结合图形用符号语言表示平行线的三条性质
．

教学过程
性质1：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等
（简单说成：两直线平行，同位角相等）。
性质2：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等
（简单说成：两直线平行，内错角相等）。
性质3：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角相等
（简单说成：两直线平行，同旁内角相等）。
平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
解题方法总结：
1、 若给了平行线，则利用平行线的性质得到角的关系。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
小结
我们是如何得到平行线的性质定理？通过 度量，运用从特殊到一般的思维方式发现性质
1(公理)，然后由公理通过演绎证明得到后面两个性质定 理．从因果关系和所起的作用来看性
质定理和判定定理的区别与联系
．








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5.3.2命题 定理 证明
[教学目标]
6. 经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条件表达能力
7. 理解两条平行线的距离的含义，了解命题的含义，会区分命题的题设和结论
8. 能够综合运用平行线性质和判定解题
[教学重点与难点]
重点:平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念
难点:平行线性质和判定灵活运用
[教学设计]
（1）定义：表示判断一件事情的语句，叫做命题。
（2）分类：命题分为 真命题：正确的命题。
假命题：错误的命题。
（3）组成：命题是 由条件（题设）和结论两部分组成。条件（题设）是已知事项，结论是由
已知事项推出的事项。
（4）定理：通过推理证实过的真命题叫做定理。定理也可以作为继续推理的依据。

3．命题和它的构成
下列语句，分析语句的特点
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
（2）对顶角相等
（3）等式两边同加上同一个数，结果仍是等式
（4）如果两条直线不平行，那么同位角不相等
这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断

命题：判断一件事情的句子，叫做命题

（1）命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，
题设是已知项，
结论是由已知项推出的事项
（2）形式：通常写成“如果…,那么…”的形式，

三、尝试反馈理解新知
明确命题有正确与错误之分：
命题的正确性是我们经过推理 证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可
以作为继续推理的依据.



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5.4平移
[教学目标]
9. 了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问题
10. 培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题.
[教学重点与难点]
重点:平移的概念和作图方法.
难点:平移的作图.
[教学设计]
平移：
（1）定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动 称为平
移变换，简称平移。
（2）性质1：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
性质2：经过平移对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应
角相等。
（3）作图步骤：
1、按照题目要求，确定平移方向和距离；
2、找出所作图形的关键点，例如顶点；
3、沿确定的方向和距离平移所有关键点；
4、联结平移后的关键点并标出对应字母。
[小结]
1. 在平移 过程中,对应点所连的线段也可能在一条直线上,当图形平移的方向是沿着一
边所在直线的方向时,那么 此边上的对应点必在这条直线上
2. 利用平移的特征,作平行线,构造等量关系是接7题常用的方法.


两线
条相
直交
平线
面的
内位
两置
条关
直系
相
交
两三
条条
直直
线线
被所
第截
平行公理
平移
判定
邻补角,对 顶角
垂线及其性质
对顶角相等
点到直线的距离
同位角,内错角,同旁内角性质
平
行





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第六章 实数
6.1.1
算术
平方根
【教学目标】
知识与技能：
通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；
过程与方法：
通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根， 真正掌握算
术平方根的意义。
情感态度与价值观：
通过学习算术平方根，认识数与 人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象
思维，为学生以后学习无理数做好准备。
教学重点：算术平方根的概念和求法。
教学难点：算术平方根的求法。
教具准备: 三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。
教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作
【教学过程】
一、情境引入：
问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想 裁出一块面积为
25dm
的正方形画布，
画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画 布的边长应取多少？
二、探索归纳：
1.探索：
学生能根据已有的知识即正方形 的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长
为
5dm
。
2.归纳：
⑴算术平方根的概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。
⑵算术平方根的表示方法：
a的算术平方根记为
a
，读作“根号a”或“二次很号a”，a叫做被开方数。
三、应用：
求下列各数的算术平方根：
49
7
1
⑴
100
⑵
64
⑶
9
⑷
0.0001
⑸
0

2
10100,
所以
100
的算术平方根是
10
，即
10010
； 解：⑴因为
2
497
749497

( )
2

648
；
64
，所以
64
的算术 平方根是
8
，即⑵因为
8
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7164
7164164
7
1
1,()< br>2

1
993
；
9
，所以
9
的算 术平方根是
3
，即⑶因为
993
2
⑷因为
0.010.0 001
，所以
0.0001
的算术平方根是
0.01
，即
0 .00010.01
；
2
⑸因为
00
，所以
0
的算术平方根是
0
，即
00
。
注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；
②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；
③0的算术平方根是0。
由此例题教师可以引导学生思考如下问题：
你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？
归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。
即：只有 非负数有算术平方根，如果
xa
有意义，那么
a0,x0
。
注：
a0
且
a0
这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在 以后的教学中
慢慢渗透。
五、课堂小结
本节课是本章的第一节课，主要是要建立算 术平方根的概念为了使学生体会引入算术平方根
的必要性，感受新数（无理数）的产生是实际生活和科学 技术发展的需要，也为了激发学生
的学习热情，所以章前图的学习不要省略．能使学生理解引人算术平方 根符号的必要性，明
确有些正数的算术平方根不能容易地求得，为下节课的学习做准备．




















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6.1.2平方根
【教学目标】
知识与技能：
会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问
题。
过程与方法：
通过折纸认识第一个无理数
2
，并通过估计它的大小认识无限 不循环小数的特点。用计算器
计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方 根，再通过一些
特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活中的 应
用。
情感态度与价值观：
通过探究
2
的大小，培养学生的估算 意识，了解两个方向无限逼近的数学思想，并且锻炼学
生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
教学重点：
①认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。
②会用算术平方根的知识解决实际问题。
教学难点：
认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。
教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作
教学过程：
一、通过实验引入：
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？

如图，把两个小正 方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积
为2的大正方形。你知道这个大 正方形的边长是多少吗？
2
设大正方形的边长为
x
，则
x2，由算术平方根的意义可知
x2
，
所以大正方形的边长为
2
。
二、讨论
2
的大小：
由上面的实验我们认识了
2
，它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们讨< br>论
2
的大小。
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22
11,24,
1
2
＜
2
＜
22
，所以
1
＜
2
＜
2
. 因为
22< br>因为
1.41.96
，
1.52.25
，所以
1.4＜
2
＜
1.5
。
22
因为
1.411.9 881
，
1.422.0164
，所以
1.41
＜
2＜
1.42

22
因为
1.4141.999396
，
1.4152.002225
，所以
1.414
＜
2
＜
1.415

……
如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分 不循环，像这样的数我们成为无限
不循环小数。
2
=
1.41421356< br>……
注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教
师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍。
2
=
1.41421356
……，是个无限不循环小数，但
是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多， 比如
3,5,7
等，
圆周率π也是一个无限不循环小数。
三、用计算器求算术平方根：
大多数计算器都有“”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值。
用计算器求下列各式的值：
(1)3136
；
(2)2
（精确到
0.001)

解：（1）依次按键
（2 ）依次按键
3136
，显示：56.所以
313656

2=， 显示：
1.414213562
，这是一个近似值。所以
21.414.

注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。
七、课堂小结
1、被开方数增 大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹
值的方法来求出算术平方根 的近似值；
2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；
3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？
4、怎样的数是无限不循环小数？
5.学生体验“无限不循环”小数的特点（学生对无限的体 会没有障碍，但对不循环会因计算
实际的局限无法体会）．
【1】平方根：
2x
1.如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当
a(a 0)
时，
我们称x是a的平方根，记做：
xa(a0)
。因此：
2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
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xa
。3.当a＞0时，也就是a为正数 时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：
当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
6.1.3平方根
与算术平方根

教学目标：
1、知识与技能目标：了解平方根与算术平方根的区别与联系。
2、过程与方法目标：通过学生的自主归纳过程，培养学生归纳问题的能力。
3、情感态度与 价值观目标：让学生自己归纳总结，激励学生积极参与教学活动，提高大家学
习数学的热情。
重点难点：平方根与算术平方根的区别与联系。
教学方法：归纳总结与练习相结合
教学过程：
一、复习导入
教师提问学生回答算术平方根与平方根的概念与性质。
1.平方根：如果一个数
x
的平方等于
a
，即
x
2
=
a
，那么这个
x
就叫
a
的平方根，表示为±a
，
也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9 的平方
根有两个3和－3，即±
9
±3.
2.算数平方根： 若一个正数 x的平方等于a，即x
2
=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.
记为“
a
”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即
0
=0.
9的算术平方根只有一个是3.即
93
.
3.平方根的性质： 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没
有平方根.
4.算数平方根的性质：非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根. 即用式
子表示为
a
(
a
≥0)一定为非负数
二、归纳总结

平方根与算术平方根的区别与联系
1、联系：
(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.
(3)0的平方根，算术平方根都是0.
2、区别：
(1)定义不同：“如果一个 数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方
根叫a的算术平方根”.
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
(3)表示法 不同：正数a的平方根表示为±
a
，正数a的算术平方根表示为
a
.
(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个
三.平方根，算术平方根





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（四）平方根的求法：
逆运算法，式子计算
（i）被开方数的小数点要两位两位地移动，移动到使被开方数成为有一位或两位整数的数
(ii)被开方数的小数点每移动两位，算出的算术平方根的小数点要向相反方向移动一位

四、课堂小结
平方根与算术平方根的区别与联系
1、联系：
(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.
(3)0的平方根，算术平方根都是0.
2、区别：
(1)定义不同：“如果一个 数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方
根叫a的算术平方根”.
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
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(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±
a
，正数a的算术平方根表示为
a
.
(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。



【算术平方根】：
2
1.如果一个正数x的平方等于a，即< br>xa
，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：
“
a
”，读 作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：
a0(a0)
。
3.算 术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构
成了平方根。因此 ，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：
a
；而平方根具
有两个互为相 反数的值，表示为：
a
。



























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6.1.4开平方
一、教学目标
1、通过认知冲突，感受开方运算引进的必要性 ，从而经历平方根概念的产生过程，感受平方
运算与开平方运算的关系。
2、了解平方根和算术平方根的概念，会用根号表示平方根和算术平方根。
3、了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求实数的平方根和算术平方根。
4、学习从 特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主
义观点。
二、重点与难点
重点：平方根的概念和求法。
难点：平方根的概念和平方根的表示 方法较为抽象，同时出现了新的符号表示，是本节课的
难点。
三、教学过程
创设情境，设疑引新
1.已知底数和指数，求幂，叫乘方运算
2.已知指数和幂，求底数，就构成了乘方的逆运算。
观察：
3.求幂的运算叫乘方运算，a是x的平方幂
4.求底数的运算叫开方运算，X是a的平方根。
5.乘方和开方互为逆运算

概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根。
根据填空中的等式，请同学们说出9、14和0的平方根，并概括一下平方根的性质：
结论：平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
零有一个平方根，它是零本身；
一个数的平方根的表示方法：


正的平方根表示为：
2

＋
非负

数a
2



±

2
负的平方根表示为：

－






即 m的平方根表示为
：
±
2
简写为
±


（m≥0）


3的平方根是：

±
如：49 的平方根是

则：
±
=±7 ±

m
m
m
m
m
49
49
3
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总结：开平方：
1、求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方，开平方运算是已知指数和幂，求底数。
2、是不是所有的数都能进行开平方运算？
不是，只有正数和零才能进行开平方运算。 3、由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过平方运算来求一个数的平方根也可以通过平
方运算 来检验一个数是不是另一个数的平方根。





















6.1.5
平方根的估算
【教学目标】
知识与技能
了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根； 了解开平方与平方互为逆运算，会用平方
运算求某些非负数的平方根
过程与方法
通 过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通过对正数平方根特点的探究，
了解平方根与 算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，
提高学生对问题的迁移能力 。
情感、态度与价值观
通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联 系着的。通过探究活动
培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
教学重点: 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。
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教学难点:平方根与算术平方根的区别和联系。
教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作
教学过程
一、探索归纳：
1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个 数就叫做a的平方根．即：如果
x
=a，
那么x叫做a的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
例如：

3的平方等于9，9的平 方根是

3，所以平方与开平方互为逆运算．

2、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
一个是正数有两个平方根， 即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即
负数不能进行开平方运算，符号：正数a 的算术平方根可用
a
表示；正数a的负的平方根可
用-
a
表示． < br>3.归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它
的算 术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算
术平方根可以立即 写出它的负平方根。
三、小结
本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等 式x2=a和已有算术平方根概念
为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，把握了 这些平方根的有关概
念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了．
四.归纳
1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.
一个非负数a的平方根记做
a

正数的正平方根和零的平方根,统称为算术平方根.
一个非负数a的算术平方根记做
a
，0的算术平方根是0
2、平方根的性质 ：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数
没有平方根。
3、开方运算：求一个数的平方根的运算叫做开平方.










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2

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6.2 立方根
【教学目标】
知识与技能：
了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根；
会用计算器求一个数的立方根。
过程与方法：
从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立 方根的特征，
最后介绍实用计算器求立方根的方法。
情感态度与价值观：
通过探索 立方根的特征，培养学生独立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的比较
使学生学会类比学习的 数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，
可以将求负数的立方根转化为求正数 的立方根的问题，培养学生的转化思想。
教学重点：立方根的概念和求法
教学难点：立方根的求法。
教学过程：
一、情景引入：
要制作一种容积为
27m
的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
二、探索归纳：
3
xm
x
1.探索：设这种包装箱的边长为，则
27
，
3
这就是要求一个数，使它的立方等于27.
3
因为
327
，所以
x3
，即这种包装箱的边长应为
3m
。
2.归纳：
立方根的概念：
一般地，如果一个数的立方等于
a
， 那么这个数叫做
a
的立方根或三次方根。
立方根的表示方法：
33
3
如果
xa
，那么
x
叫做
a
的立方根。记作< br>xa
，
a
读作三次根号
a
。
3
a
其中是被开方数，3是根指数，
a
中的根指数3不能省略。
开立方的概念：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据 这种关系求一
个数的立方根。
3、探索立方根的特点：
根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？
3
（1）因为
28
，所以8的立方根是（ ）；
3
)
(
（2）因为
0.125
，所以
0.125
的立方根是（ ） ；
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3
)
(
（3）因为
0
，所以0的立方根是（ ）；
3
)
(
（4）因为
8
，所以
8
的立方根是（ ）；
（5）因为
(

)
3

88

27
，所以
27
的立方根是（ ）。
学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。
归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
。
注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的
绝对值的立方根，然后再确它的相反数。
分析：在用计算器求立方根时按键顺序是：
这样即可显示出计算结果
362933 162
33333
解：
1010
，
1010
，< br>1010
，
1010
，
1010

3
、被开立方的数字、=，
由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大或缩小10倍。
3
0. 000216
0.06
，
3
21600060
。
【立方根】
1.如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：< br>a
，读作，3
次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写 根的次数，但是，
当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。
2.平方根与立方根：每个数 都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只
有非负数才能有平方根。

3

















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平方根与立方根的联系与区别.联系：
(1)0的平方根、立方根都有一个是0.
(2)平方根、立方根都是开方的结果.
区别：
(1)定义不同：“如果一个数的 平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等
于a，这个数就叫做a的立方根.”
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个
负数有一个立方根.
(3)表示法不同
正数a的平方根表示为±
a
，a的立方根表示为
3
a
.
(4)被开方数的取值范围不同
±
a
中的被开方数a是非负数；
3
a
中的被开方数可以是任何数.
五、课堂小结
1.立方根和开立方的定义．
2.正数、0、负数的立方根的特征．
3.立方根与平方根的异同．
4.我将本节课定位为探究式教学活动，通过对教材进行适当的 整合，让学生带着原有的知识
背景、生活体验和理解走进学习活动，并通过自己的主动探索，与同学交流 、反思等，构建
对知识的形成和运用。突出以学生的“数学活动”为主线，激发学生学习积极性，向学生 提
供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握基本的
数 学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。这样的安排符合掌握知识与
发展思维、能力 相统一的原则、教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。


















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6.3.1实数
的分类

【教学目标】
知识与技能：
了解无理数和实数的概念以及实数的分类；
知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
过程与方法：
在数的开方的基础上引 进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总
结出实数的分类，接着把无理数在数 轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应
的关系。
情感态度与价值观：
通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；
敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。
教学重点：
了解无理数和实数的概念；
对实数进行分类。
教学难点：对无理数的认识。
【教学过程】
一、复习引入无理数：
34795
3,,,,
58119
写成小数的形式，它们有什么特征？ 利用计算器把下列有理数
发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式
即：< br>33.0,
3479

1

,
5
0. 5

0.6,5.875,0.8
58119

归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，
反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。
通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，
把无限不循环小数叫做无理数。
3
比如
2,5,3
等都是无理数 。

3.14159265
…也是无理数。
二、实数及其分类：
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
2. 实数的分类
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3、实数与数轴上点的关系：
我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。
归纳：①实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
三、应用：
2
(4)
①带根号的数不一定是无理数，比如，它其实是有理数4；
②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。
比如
10.112
。
五、课堂小结
1、无理数、实数的意义及实数的分类.
2、实数与数轴的对应关系 .
关于无理 数的认识是非常抽象的，只要求学生了解无理数和实数的意义即可，学生对实数的
认识是逐步加深的，以 后还要讨论，所以本节课不易过难，教师要把握好难度。
【无理数】
1.无限不循环小数 的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在
初中阶段，无理数的表现形式主 要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率

以及含
3
2,5,9< br>等；



有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如 :（3）特殊结构的
数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0 ）等。应当要注意的是：带根号的
数不一定是无理数，如：
9
等；无理数也不一定带根 号，如：


2. 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环 小数，而无理数则是无限
不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1的分数），而
无理数则不能写成分数形式。

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6.3.2 实数
的运算

【教学目标】
知识与技能：
掌握实数的相反数和绝对值；
掌握实数的运算律和运算性质.
过程与方法： 通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算
律、运算 性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。
情感态度与价值观：
通过建 立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充
中所体现的一致性， 让学生充分感受数的不断发展。
教学重点：
会求实数的相反数和绝对值；
会进行实数的加减法运算；
会进行实数的近似计算。
教学难点：
认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。
【教学过程】
一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律：
1、相反数：有理数
a
的相反数是
a
。
2、绝对值：当
a
≥0时，
aa
，当
a
≤0时，
aa
。
3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。
二、实数的运算：
1.实数的相反数：数
a
的相反数是
a
。
2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
3 、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负实数的开方运算，还有任
意实数的开立 方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用。
三、课堂小结
1、实数的运算法则及运算律。
2、实数的相反数和绝对值的意义
3.当数的范围由有理数扩充到实数后有理数的概念和运算（包括运算律和运算性质）在实数
范围内仍然 成立。教学时要注意突出这种早数的扩充中体现出来的一致性；同时，教学中也
要注意，随着数的范围的 不断扩大，在扩大的数的范围内可以解决更多的问题，这一点在以
后的教学中会更加充分的体现。


【实数】
1.有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数 ，也没有最小的实数；绝对值最
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小的实数是0，最大的负整数是-1。

a(a0)
1

2.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是
a
（a≠0）；实数a的绝对值| a|=

a(a0)
，
它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，
0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在
数轴上 ，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的
平方或者立方的大 小。
4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。




















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七平面直角坐标系

7.1.1序数对
[教学目标]
理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法
培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣.
[教学重点与难点]
重点:有序数对及平面内确定点的方法.
难点:利用有序数对表示平面内的点.
教学过程：
（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对：
1、记作（a ，b）；
2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。
（二）平面直角坐标系：
1、构成坐标系的各种名称；
2、各种特殊点的坐标特点。
（三）坐标方法的简单应用：
1、用坐标表示地理位置；
2、用坐标表示平移。
▲基本要求：在平面直角坐标系中
给出一点，能够写出该点坐标
给出坐标，能够找到该点
▲建系原则：原点、正方向、横纵轴名称（即x、y）
√ 语言描述：以…（哪一点）为原点，以…（哪一条直线）为x轴，以…（哪一条直线）为
y轴建立直角坐 标系
基本概念：有顺序的两个数组成的数对称为（有序数对）

三.方法归类
常见的确定平面上的点位置常用的方法
（1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小 正方形的方格，利用点所在的行和列的
位置来确定点的位置。
（2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。










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7.1.2平面直角坐标系
[教学目标]
理解平面直角坐标系的应用意义，了解平面上确定点的常用方法
培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣.
[教学重点与难点]
重点:平面内确定点的方法.
难点:表示平面内的点.
教学过程：
平面直角坐标系
（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对：
y
1、记作（a ，b）；
第二象限 第一象限
2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。

（二）平面直角坐标系：
X
O
1、构成坐标系的各种名称；

2、各种特殊点的坐标特点。
第三象限 第四象限

（三）坐标方法的简单应用：

1、用坐标表示地理位置；
2、用坐标表示平移。



假设在平面直角坐标系上有一点P（a，b）


1. 如果P点在第一象限，有a>0，b>0 （横、纵坐标都大于0）



2. 如果P点在第二象限，有a<0，b>0 （横坐标小于0，纵坐标大于0）


3. 如果P点在第三象限，有a<0，b<0 （横、纵坐标都小于0）



4. 如果P点在第四象限，有a>0，b<0 （横坐标大于0，纵坐标小于0）


5. 如果P点在x轴上，有b=0 （横轴上点的纵坐标为0）


6. 如果P点在y轴上，有a=0 （纵轴上点的横坐标为0）



7. 如果点P位于原点，有a=b=0 （原点上点的横、纵坐标都为0）







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7.1.3坐标平面内点的坐标特点
[教学目标]
理解平面直角坐标系的应用意义，了解平面上确定点的常用方法
培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣.
[教学重点与难点]
重点:平面内确定点的方法.
难点:表示平面内的点.
教学过程：
二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：
平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：
第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；
第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。
四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：
关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数
关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数
关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数
五、特殊位置点的特殊坐标：
连线平行于坐点P（x，y）在各象限的
坐标轴上点P（x，y）
标轴的点 坐标特点
X轴 Y轴 原点 平行平行Y第一第二第三第四
X轴 轴 象限 象限 象限 象限
象限角平分线
上的点
第一、第二、
三象四象
限 限
(x,0) (0,y) (0,0)
纵坐横坐标x＞0 x＜0 x＜0 x＞0
(m,m) (m,-m)
标相相同
同
横坐纵坐标y＞0 y＞0 y＜0 y＜0
标不不同
同










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7.2坐标方法的简单应用
7.2.1 用坐标表示地理位置的方法
[教学目标]
1．知识技能
了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程；培养学生解决实际问题的能力．
2．数学思考
通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生的空间观念．
3．解决问题
通过学习，学生能够用坐标系来描述地理位置．
4．情感态度
通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生的认真、严谨的做事态度．
[教学重点与难点]
1．重点：利用坐标表示地理位置．
2．难点：建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．
[教学过程]
一、利用平面直角坐标绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：
建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
二．1.轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；
2.于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
三．第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；
第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。
四．关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数
关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数
关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数













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7.2.2 用坐标表示平移
[教学目标]
1．知识技能
掌握坐标变化 与图形平移的关系；能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图
形上点的坐标的变化，来判定图 形的移动过程．
2．数学思考
发展学生的形象思维能力，和数形结合的意识．
3．解决问题
用坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用．
4．情感态度
培养学生探究的兴趣和归纳概括的能力，体会使复杂问题简单化．
[教学重点与难点]
1．重点：掌握坐标变化与图形平移的关系．
2．难点：利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题．
[教学过程]
一、引言
上节课我们学习了用坐标表示地理位置，本节课我们继续研究坐标方法的另一个应用．
二、新课
规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以 得到
对应点（x+a，y）（或（ ， ））；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，
可以得到对应点（x，y+b）（或（ ， ））．
教师说明：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化 ；反过
来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移．
引导学生动手操作，按要求画出图形后，解答此例题．

解：如图（2），所得三角 形A
1
B
1
C
1
与三角形ABC的大小、形状完全相同，三 角形A
1
B
1
C
1
可以看作将三角形ABC向左平移6个单 位长度得到．类似地，三角形A
2
B
2
C
2
与三角形ABC
的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到．
思考题：
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由学生动手画图并解答．
归纳：

．七、用坐标表示平移：见下图






P（x－a，y）











P（x，y＋a）
向上平移a个单位长度
向左平移a个单位长度 向右平移a个单位长度
P（x，y）
向下平移a个单位长度
P（x＋a，y）
P（x，y－a）
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8.1 二元一次方程组
[教学目标]
1、弄懂二元一次方程、二元一次方程组 和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二
元一次方程组的解；
2、学会用类比的方法 迁移知识；体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受数学
的乐趣．
[教学重点与难点]
重点: 弄懂二元一次方程组解的含义。.
难点：元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。
一.教学过程：
以古老的数学名题引入，可以增强学生的民族自豪感，激发学好数学的感情
古老的“鸡兔同笼问题”
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”

引导学生利 用一元一次方程进行知识的迁移与奚比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，
符合建构主义理念
通过探究活动得出结论：
1、二元一次方程的解是成对出现的；
2、二元一次方程的解有无数多个．这与一元一次方程有显著的区别．
通过对比，让学生体脸 到从算术方法到代数方法是一种进步．而当我们遇到求多个未知量，
而且数量关系较复杂时，列二元一次 方程组比列一元一次方程容易，它大大减轻了我们的思
维负担．
二.二元一次方程组知识点
1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫
做 二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成 了一个
二元一次方程组。
注意 ：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一
个或多个二元一次方程单独组成。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二 元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二
元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程
组的解 。

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1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89②
x=-247 y=597
为方程组的解

2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12②
因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”) ，所以此类方程组
有无数组解。

3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，
因为方程②化简后为 x+y=5
这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

三．课堂小结
本课的设计是从提出 “鸡兔同笼”的求解问题人手，激发学生的学习兴趣与民族自豪感，让
学生经历从不同角度寻求不同的解 决方法的过程，体现出解决问题策略的多样性，激发了学
生的学习兴趣．以算术的方法衬托出方程解法的 优越性，以列一元一次方程解法衬托出列二
元一次方程组解法的优越性，更使学生感到二元一次方程组的 引人顺理成章．
本课内容是在学生已经掌握了一元一次方程的基础知识，初步具有提取数学信 息、解决
实际问题的能力后展开的．根据建构主义理念，学生完全有能力利用自己原有的知识去同化新知识，主动地将其纳人自己的知识体系中．所以本课的通篇整体设计，突出了一元一次方
程的样板 作用，让学生在类比中，主动迁移知识，建立起新的概念．使得基础知识和基本技
能在学生头脑中留下较 深刻的印象是很有必要的。

















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8.2 消元
[教学目标]
1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组；
2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法；
3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想．
[教学重点与难点]
重点: 代入消元法，“加减法“解二元一次方程组。
难点：能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组
一.教学过程：
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：

代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含 另一个未知数的式子表示出来，再
代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个 方法叫做代入消元法，
简称代入法。
例：解方程组x+y=5①
6x+13y=89②
解：由①得 x=5-y③
把③带入②，得 6(5-y)+13y=89
y=597
把y=597带入③， x=5-597
即x=-247
∴x=-247
y=597 为方程组的解
基本思路：未知数又多变少。
消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个 方程中的一个未知数（例如y）
用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的 形式，即“变”
2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
5、把x、y的值用｛联立起来即“联”
加减消元法：像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
例：解方程组x+y=9①
x-y=5②
解：①+② 2x=14
即 x=7
把x=7带入① 得7+y=9
解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解
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用加减消元法解二元一次方程组的解
6、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么
就用适当的 数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
7、把两个方程的两边分别相加 或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，
即“加减”。
8、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。
9、将这个求得的未知数的值代 入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的
值即“回代”。
10、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
注意：用加减法或者用代入消元法 解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计
算错误。
(一)加减- 代入混合使用的方法.
例1, 13x+14y=41 (1)
14x+13y=40 (2)
解:(2)-(1)得 x-y=-1
x=y-1 (3)
把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入(3)得 x=1
所以:x=1, y=2
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.
(二)换元法
例2， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为 m+n=8 m-n=4
解得 m=6, n=2
所以 x+5=6, y-4=2
所以 x=1, y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+ 5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原
因。
（三）另类换元
例3， x:y=1:4 5x+6y=29
令x=t, y=4t
方程2可写为：5t+6*4t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4


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★重点★
一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组的解 法;方程的有关应用题（特别是行程、工
程问题）
☆ 内容提要☆
二、 解方程的依据—等式性质
1．a=b←→a+c=b+c
2．a=b←→ac=bc (c≠0)
三、 小结
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
2． 元一次方程组的解法：
⑴基本思想：“消元
⑵方法：①代入法 ②加减法
小结代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数一般步骤为：
①从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程．将这个方程中的一个未知数，例如y，
用含x的式子表 示出来，也就是化成y=ax＋b的形式；
②将y=ax＋b代人方程组中的另一个方程中，消去y,得到关于二的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x的值；
④把求得的x值代人方程y=ax＋b中，求出y的值，再写出方程组解的形式；
⑤检验得到的解是不是原方程组的解．这一步不是完全必要的，若能肯定解题无误，这
一点可以省略
①对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时，应选择未知
数的系 数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便．②列方程解应用题的方法
与步骤．③整体代入 法等．



















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8.3 实际问题与二元一次方程
教学目标：
1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是 刻画现实世界中含有多个未知数的问题
的有效数学模型；
2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；
3、学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答；
4、培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。

教学难点：确定解题策略，比较估算与精确计算。
知识重点：以方程组为工具分析，解决含有多个未知数的实际问题。

教学过程：

一.开门见山，
直接提出本节学习目标，强化本章的中心问题 ．以学生身边的实际问题展开讨论，突出
数学与现实的联系．
引导学生探寻解题思路，并对各 种方法进行比较，方法一主要是要估算的运用，而方法
二是方程思想的应用

二.列方程（组）解应用题其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，
问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
① 直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
② 一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问 题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，
未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是 先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在
由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、 写出答案）。在这个过程中，列方程起着
承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
三、 小结
从实际问题出发，通过分析实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组这种数学模
型，通过 对方程组解的检验，让学生认识到检验不仅要检查求得的解是否适合方程组中的每
一个方程，而且还要考 查所得的解答是否符合实际问题的要求，初步体验用方程组解决实际
问题的全过程．







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8.4 三元一次方程组的解法
教学目标：
1. A．了解化归思想在解三元一次组中的作用
B.理解三元一次方程组及其解的概念
C.会按照解方程的步骤解简单的三元一次方程组
2.继续体会运用化归、消元等思想方法。
教学重点难点：会用正确的方法和步骤解简单的三元一次方程组。
一教学过程：
一、 回顾：
二元一次方程组
1.二元一次方程：像x＋y＝2这样的方程 中含有两个未知数（x和y），并且未知数的
指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫
做二元一次方程的 解.
3.二元一次方程组：把两个方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合写在一起为像这
样 ，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组
的解.
5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的
式子表示出来，再 代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种
方法叫做代入消元法，简称代入法.
6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程
的两边 分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加
减消元法，简称加减法 .
·二元一次方程具备以下四个特征：
（1）是方程；
（2）有且只有两个未知数；
（3）方程是整式方程，即各项都是整式；
（4）各项的最高次数为1.
2．二元一次方程组
含有两个未知数的两个 一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，它有两
个特点：一是方程组中每一个方程都是一次方程 ；二是整个方程组中含有两个且只含有
两个未知数，
3．二元一次方程的一个解
符合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
一般地二元一次方程的解有 无数个，例如x+y=2中，由于x、y只是受这个方程的约束，
并没有被取某一个特定值而制约，因此 ，二元一次方程有无数个解．
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4．二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．
定义中的公共解是指同时使二元 一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而
不是使其中一个或部分左右两边的值相等，由于未知 数的值必须同时满足每一个方程，
所以，二元一次方程组一般情况下只有惟一的一组解，即构成方程组的 两个二元一次方
程的公共解．
二. 新课展开：
1.三元一次组定义：这个方程组 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，
并且一共有三个方程，像这样的方程组就是< br>三元一次方程组
.

2.解三元一次方程组的基本思路是：通过代入或加减进 行消元，把三元转化为二元，将解三
元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程 。

3.分析：两两消去同一个未知数，转化为二元一次方程组，再求解
注：解三 元一次方程组的关键是目的明确，步骤清楚，解题前一定要策划好先消去哪个未知
数再消去哪个未知数。 三元一次方程组的解法基本思想是“消元”，其方法仍是代入法和加减
法。
三元一次方程组
三、 小结
（1）解三元一次方程组的基本思路是化三“元”为二“ 元”，再化二“元”为一“元”，即利
用代入法和加减法消“元”逐步求解。
（2）解三元 一次方程组，除了要考虑好选择哪种方法和决定消去哪一个未知数之外，关键的
一步是由三“元”化为二 “元”，特别注意两次消元过程中，方程组中每个方程至少要用到1
次，并且(1)，(2)，(3)3 个方程中先由哪两个方程消某一个未知数，再由哪两个方程（一个
是用过的）仍然消这个未知数，防止第 一次消去y，第二次消去z或x，仍然得到三元一次方
程组，没有达到消“元”的目的。















二元一次方程组

一元一次方程
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9.1.不等式
9.1.2 不等式的有关概念

教学目标：
1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质；
2、初步体会不等式与等式的异同；
3、通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参 与数学活动，提高学习数学的兴趣，
增进学习数学的信心，体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重 要性．
教学难点：正确运用不等式的性质。
知识重点：理解并掌握不等式的性质。
教学过程：
一.探究新知
通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。
二. 不等式定义：
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．如：
x12
，3-4

4-3，
a0
，
a
2
0
等
都是不等式 ．

五种不等号的读法及意义：
(1)“

”读作“不等于”， 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大哪个小；
(2)“>”读作“大于” ，表示其左边的量比右边的量大；
(3)“<”读作“小于” ，表示其左边的量比右边的量小；
(4)“

”读作“大于或等于” ，即“不小于” ，表示左边“不小于”右边；
(5)“

”读作“小于或等于” ，即“不大于” ，表示左边“不大于”右边；

三、 小结
我们可以看出不等号开口所对的数较大，不等号尖口所对的数较小．
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不
等式的解．
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这
个不等式的解集．
求不等式的解集的过程，叫做解不等式．













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9.1.2 不等式的性质
教学目标：
1、使学生熟练掌握一元一次不等式的解法，初步认识一元一次不等式的应用价值；
2、对比 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法，让学生感知不等式和方程的不同作用
与内在联系，体会其 中渗透的类比思想；
3、让学生在分组活动和班级交流的过程中，积累数学活动的经验并感受成功的喜 悦，从
而增强学习数学的自信心。
教学重点难点：熟练并准确地解一元一次不等式。
教学过程：
一. 直接导入：
不等式基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
不等式基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
不等式基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

二.用数轴表示不等式的方法
重点：掌握用数轴表示不等式的方法
难点：实心点和空心圈的区别
一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况，如下图所示：
(1)
xa
如图中
A
所示：

(2)
xa
如图中
B
所示：

(3)
xa
如图中
C
所示：

(4)
xa
如图中
D
所示：


用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：
1. 大于向右画，小于向左画，
2. 有等号(

，

)画实心点，
3. 无等号(>，<)画空心圈．

三、 小结
通过创设与学生实际生活密切联系的向 题情境，并由学生根据自己掌握的知识与经验列出不
等式，探究它的解法，可以激发学生的学习动力，唤 起他们的求知欲望，促使学生动脑、动
手、动口，积极参与教学的整个过程，在教师的指导下，主动地、 生动活泼地、富有个性地
学习．








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9.2一元一次不等式
9.2.1一元一次不等式的概念及解法
教学目标
1．知识与技能：掌握一元一次不等式的相关概念及其解法,能熟练的解一元一次不等式。
2．过程与方法：学生亲身经历探究一元一次不等式及其解法的过程，学生通过动手、
发现、分类、比较 等方法的学习，培养学生归纳总结知识的能力
3．情感态度与价值观：在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.
教学重点:掌握解一元一次不等式的步骤．
教学难点:必须切实注意遇到要在不等式两边都乘 以(或除以)同一负数时，必须改变不等号的
方向.
教学过程
一、概念导入
一般的，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式， 这
样的不等式叫做一元一次不等式．

二．探究新知
学生动手解一元一次方程：1－2x =x + 3并说出解一元一次方程的步骤。

三.一元一次不等式的解法：
１．去分母(同乘负数时，方向改变)
２．去括号
３. 移项
４. 合并同类项
５. 系数化为 系数化为1（同除以负数.方向改变)等步骤.
区别在哪里： 在去分母和系数化为1的两步中,要特 别注意不等式的两边都乘以(或除以)一个
负数时,不等号的方向必须改变.
四．小结
一元一次不等式的解法

1. 去分母

解
法
乘遍各项
2. 去括号 乘遍各项
不等式性质2
------不变号
不等式性质3
--------变号

注
意
事
项

步
骤
3. 移项

4. 合并

5. 系数化为1
要变号

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9.2.3列一元一次不等式解实际问题
教学目标：

1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；
2、通过观察、实 践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次
不等式解决实际问题的经验， 渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系；
3、在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识 一元一次不等式的应用价值，形成实事求是
的态度和独立思考的习惯。

教学难点：弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式。

知识重点：寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。

教学过程

一提出问题

某学校计划购实若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报 价均为6000
元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优 惠
25％；乙商场的优惠条件是：每台优惠20％．如果你是校长，你该怎么考虑，如何选择？
（多媒体展示商场购物情景）

通过买电脑这个学生非常熟悉的生活实例，引 起学生浓厚的学习兴趣，感受到数学来源于生
活，生活中更需要数学。

二．
探究新知

1、分组活动．先独立思考，理解题意．再组内交流，发表自 己的观点．最后小组汇报，派代
表论述理由．
2、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出以下三种采购方案：
(1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？
(2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？
(3)什么情况下，两个商场收费相同？
3、我们先来考虑方案：
设购买x台电脑，如果到甲商场购买更优惠．
问题1：如何列不等式？
问题2：如何解这个不等式？
在学生充分讨论的基础上，教师归纳并板书如下：解：设购买x台电脑， 如果到甲商场
购买更优惠，则6000＋6000（1－25％）（x－1）＜6000（1－20％） x
去括号，得
去括号，得：6000＋4500x－45004＜4800x
移项且合并，得：－300x＜1500
不等式两边同除以－300，得：x<5
答：购买5台以上电脑时，甲商场更优惠．
三.
总结归纳

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通过体验买电脑、选商场购物 ，感受实际生活中存在的不等关系，用不等式来表示这样的关
系可为解决问题带来方便．由实际问题中的 不等关系列出不等式，就把实际问题转化为数学
问题，再通过解不等式可得到实际问题的答案


9.2.4列一元一次不等式解实际问题
教学目标：
1、会根据实际问题中的数量关系建立数学模型，学会用去分母的方法解一元一次不等式；
2 、通过去分母的方法解一元一次不等式，让学生了解数学中的化归思想，感知不等式与方程
的内在联系；
3、结合实际，创设活泼有趣的情境，提高学生的学习兴趣．让他们在活动中获得成功的体验，
激发起求知的欲望，增强学习的自信心．
教学难点：在实际问题中如何建立不等关系，并根据不等关系列出不等式。
知识重点：列不等式解决问题中如何建立不等式关系，并根据不等关系列出不等式。
教学过程
一.引入新课
前面我们结合实际问题，讨论了如何根据数量关系列不等式以及如何解不等式． 在本节课上，
我们将进一步探究如何用一元一次不等式解决生活中的一些实际问题．
二. 提出问题
某次知识竞赛共有20道题．每道题答对加10分，答错或不答均扣5分：小跃要想得分超过
90分，他至少要答对多少道题？
三. 探究新知
1、与题目数量有什么关系？
2、跃答对了x道题，则如何用含有x的式子表示
得分？
3、不等式应用题的解法．
教师在学生充分讨论的基础上板书解题过程，并指出：用 不等式解应用问题时，必须注
意对未知数的限制条件．
四. 解决问题
某班为了从 甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评活动．聘请
A,B,C,D,E五位老师为评 委，对演讲答辩进行评分；全班50位同学参与了民主测评．两项结
果见下表：
表一演讲答辩得分表（单位：分） 表二 民主测评得分表

好票数 较好票数 一般票数
A B C D E
甲 40 7 3
甲 90 92 94 95 88
乙 42 4 4
乙 89 86 87 94 91

规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分，再算平均分”的方法确 定；民主测
评得分一“好”票数×2分十“较好”票数×l分＋“一般”票数×．综合得分一演讲答辩得
分× (1－a)＋民主测评得分×a(0≤a≤0.8
(1)当a=0.6时，甲的综合得分是多少？
(2 )a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？
五.小结
设置挑 战性、兴趣的问题，营造生动活波的课堂氛围，更大限度地发挥学生的想像力和创造
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力，启发学生学会多角地认识问题、解决问题，从中感悟数学的奥妙与价值，增强创
造性地学数学、主动性地用数学的意识．


9.3.1 一元一次不等式组
教学目标：
1.了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的 解集的意义，掌握求一元一次不
等式组的解集的常规方法；
2.经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性；
3.逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想。
教学难点：一元一次不等式组解集的理解
知识重点：一元一次不等式组的解集和解法。
教学过程：
一.概念导入：

一元一次不等式组的概念：
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
当任何数
x
都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集．
二.一元一次不等式组的解法：
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
．③求不等式组公共解的一般规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找．
在数轴上表示的解
不等式组 解 集 口 诀
集

xa


xb


xa



xb

xa


xb

x＞a


大大（＞＞）取较大；
小小（＜＜）取较小；
大（＞）小小（＜）
大取中间；
大（＞）大小（＜）
小取不了。




空集（即无
解）

xa



xb
三.小结
本节课的重点内容是一元一次不等式组的正确 求解，关键却是不等式组求解的步骤总结，这
一总结让学生自己归纳比教师直接告之效果更好；创设实际 问题情境引出一元一次不等式组
的意义，让学生产生学习不等式组的需求，也对解不等式的方法有很自然 的联想．看似费时，
实是数学素养和数学思考的隐性提升．


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9.3.5 列一元一次不等式组解实际问题
教学目标：
1、熟练掌握一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的实际问题；
2、理解一元一次不等式组应用题的一般解题步骤，逐步形成分析问题和解决问题的能力；
3、体验数学学习的乐趣，感受一元一次不等式组在解决实际问题中的价值。
教学难点：正确分析实际问题中的不等关系，列出不等式组。
知识重点：建立不等式组解实际问题的数学模型。
教学过程：
一.创设情境引出话题
多媒体展示有关雅典奥运会射击比赛的场景，进而引出问题1：某射击 运动员在一次比赛中
前6次射击共中52环，如果他要打破89环（10次射击）的纪录，第7次射击不 能少于多少
环？
二.牛刀小试初享成功
引出话题后，由于问题本身并不复杂，在同 学解决此问题后，教师适当予以表扬后应及
时将问题变维发散，在探究中将思维引向深人．
（1）如果第7次射击成绩为8环，最后三次射击中要有几次命中10环才能破纪录？
（2） 如果第7次射击成绩为10坏，最后三次射击中是否必须至少有一次命中10环才能破纪
录？
三.扩大视野乘胜追击
媒体展示多种场景，除了射击比赛，在竞技场上还有许许多多扣人心弦 、精彩纷呈的比
赛，同学们有兴趣对他们也进行一些分析吗？
问题2：有A，B，C ，D，E五个队分同一小组进行单循环赛足球比赛，争夺出线权．比
赛规则规定：胜一场得3分，平一场 得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，
小组赛结束后，A队的积分为9分．你认为A队能出线吗？请说明理由．
学生充分发表意见，在辩论中发现此问题不能一概而论，需要考虑其他队的情况，于是
形成问题假设：
(1)如果小组中有一个队的战绩为全胜，A队能否出线？
(2)如果小组中有一个队的积分为10分，A队能否出线？
(3)如果小组中积分最高的队积9分，A队能否出线？
在讨论交流中形成问题、解决问题，在解决问题中自然涉及足球比赛的相关规则．
四.小结
1、了解部分体育比赛项目判定胜负的规则，复习并巩固不等式的相关知识；
2、以体育比赛 问题为载体，探究实际问题中的不等关系，进一步体会利用不等式解决问题的
基本过程；
3、 在利用不等关系分析比赛结果的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，发展逻辑思维
能力和有条理表 达思维过程的能力；
4、感受数学的应用价值，培养用数学眼光看世界的意识，引导学生关注生活、关注社会．


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10.1统计调查
10.1.1
收集数据

教学目标1、了解全面调查的概念
2、会设计简单的调查问卷，收集数据；
3、掌握划记法，会用表格整理数据；
4、会画扇形统计图，能用统计图描述数据；
5、经历统计调查的一般过程，体验统计与生活的关系.
教学重点：全面调查的过程（数据的收集、整理、描述）
教学难点：绘制扇形统计图
教学过程
一、问题导入
在日常生活中，我们可能遇到下面一些问题：
（1）中央电视台《青年歌手大奖赛》的收视情况怎样？
（2）班级里同学出生主要集中在哪一年？
（3）本年度最受欢迎的影片是哪几部？
要解决这些问题，需要进行统计调查。
二、数据的收集
问题1：现在我们如果要了 解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱
情况，你怎样才能知道结果？
举手表决、问卷调查等。
问卷调查是一种比较常用的调查方式，采用这种方式要设计好调查问卷。
你认为设计调查问卷应包括哪些内容？
问卷设计的内容应包括调查中所提的问题、答案选项以及要求等。
就上面的问题我们可以设计如下的调查问卷：、
调查问卷
年 月
在下面四类电视节目中，你最喜爱的是〔〕（单选）
A、新闻B、体育C、动画D、娱乐
填完后，请将问卷交数学课代表。

如果想了解男、女生喜爱节目的差异，问卷中还应该包含什么内容？
应加“男□女□（打勾）”这一项.
问卷设计好后，请每位同学填写，然后收集起来。例如，调查的结果是：
DCADBCADCD CDABDDBCDB
DBDCDBDCDB ABBDDDCDBD
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注意:用字母代替节目的类型,可方便统计.
三、数据的整理
从上面的数据中你容易看出全班同学喜爱各类节目的情况吗？为什么？
不容易。因为这些数据杂乱无章，不容易发现其中的规律。
为了更清楚地了解数据所蕴含的规 律，需要对数据进行整理。划“正”字。这就是所谓
的划记法。
全班同学最喜爱节目的人数统计表：


节目类划记 人数 百分比

型

A新闻 4 10%

B体育 正正 10 25%

C动画 正 8 20%

D娱乐 正正正 18 45%

合计 40 40 100%

上表可以清楚地反映全班同学喜爱各类节目的情况。
四、数据的描述
为了更直观地看出上表中的信息，我们还可以用条形统计图和扇形统计图来描述数据。
绘制条形统计图[投影7]
20
人数
15
10
4
5
0
新闻
8
10
18
体育
动画 娱乐
节目类别

绘制扇形统计图
扇形图通过扇形的大小 来反映各个部分占总体的百分比。扇形的大小是由圆心角的大小
决定的，所以，我们只要知道圆心角的度 数就可以画出代表某一部分的扇形。
因为组成扇形图的各扇形圆心角的和是360
0
，所以只需根据各类节目所占的百分比就可
以算出对应扇形圆心角的度数。
00
新闻：360×10％≈36，
体育：360
0
×25％＝90
0
，
动画：360
0
×20％＝72
0
，
娱乐：360
0
×45％＝162
0
.
在一个圆中，根据算得的圆心角的度数画出各个扇形，并注明各类节目的名称及相应的
百分比。
娱乐
10％
45%
动画
25％
20%
体育
新闻

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在这个调查中，全班同学是要考察的全体对象，我们对全体对象都进行了调查，像这样考
察全体对象的调查叫做全面调查。
五、课堂小结
1、本节课我们经历了全面调查的一般过 程，知道了利用问卷调查来收集数据，利用表格
来整理数据，利用条形统计图和扇形统计图来描述数据。
2、学会了设计调查问卷和扇形统计图的画法。
10.1.2
总体、个体与样本（随机抽样）

教学目标1、经历较复杂问题的处理过程，感受分层抽样的必要性，掌握分层抽样的方法；
2、学会从样本中分析、归纳出较为正确的结论，增强用统计方法解决问题的意识。
教学重点：分层抽样的方法和样本的分析、归纳
教学难点：分层抽样方案的制定
教学过程
一.复习与概念导入：
全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
总体：要考察的全体对象称为总体。
个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
频率：频数与数据总数的比为频率。
组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成 若干各组，分成组的个数称为组数，
每一组两个端点的差叫做组距。
二.样本的处理
和全面调查一样，对收集的数据要进行整理。下面是某同学抽取样本容量为100的调查数
据统计表。
抽样调查100名学生最喜爱节目的人数统计表

节目类型 划记 人数 百分比

A新闻 正 8 8%

B体育 正正正正 24 24%

C动画 正正正正正正 30 30%

D娱乐 正正正正正正正 38 38%

合计 100 100 100%

由上表可以估计这个学校喜爱其他节目的学生人数的百分比。
表格中的数据也可以用条形统计图和扇形统计图来表示描述。
40
人数
30
30
24
20
8
10
0
38
娱乐
8％
38%
24％
30%
动画
节目类别
体育
新闻
新闻 体育
动画 娱乐

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五、课堂小结
1、个体、总体、样本、样本容量及抽样调查的概念；
2、抽取样本的要求：（1）抽取的样 本容量要适当；（2）要尽量使每一个个体被抽取到的机会
相等——简单随机抽样。
3、全面 调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调
查；抽样调查具有花 费少、省时的特点，但没有全面调查准确，受样本选取的影响比较大。
10.2直方图
教学目标：
1、理解频数、频数分布的意义，学会制作频数分布表；
2、学会画频数分布直方图和频数折线图。
教学重点：学会画频数分布直方图
教学难点：确定组距和组数
教学过程
一、导入新课
收集数据、整理数据 、描述数据是统计的一般过程。我们学习了条形图、折线图、扇形图
等描述数据的方法，今天我们学习另 一种描述数据的统计图——直方图。
二、频数分布直方图
问题4为了参加全校各年级之间的 广播体操比赛，七年级准备从63名同学中挑出身高相差
不多的40名同学参加比赛。为此收集到这63 名同学的身高（单位：㎝）如下：
111111111
58 58 60 68 59 59 51 58 59
111111111
68 58 54 58 54 69 58 58 58
111111111
59 67 70 53 60 60 59 59 60
111111111
49 63 63 62 72 61 53 56 62
111111111
62 63 57 62 62 61 57 57 64
111111111
55 56 65 66 56 54 66 64 65
111111111
56 57 53 65 59 57 55 64 56
选择身高在哪个范围的学生参加呢？
为了使选取的参赛选手身高比较整齐，需要知道数据（身 高）的分布情况，即在哪些身高
范围内的学生比较多。
为此我们把这些数据适当分组来进行整理。
1、计算最大值与最小值的差（极差）最小值是149，最大值是172，它们的差是23。
说明身高的变化范围是23㎝.
2、决定组距与组数
把所有的数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为
组距。
作等距分组（各组的组距相同），取组距为3㎝（从最小值起每隔3㎝作为一组）。
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最大值－最小值232
＝＝7

组距33
将数据分成8组：149≤ x＜152，152≤x＜155，…，170≤x＜173.
注意：①根据问题的需要各组的组距可 以相同或不同；②组距和组数的确定没有固定的标
准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定；③当数据 在100个以内时，按照数据的多少，
常分成5～12组，一般数据越多分的组数也越多。
3、频数分布表
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫做频数 ）。用表格整
理可得频数分布表：
频数分布表
身高分组 划记 频数
149≤x＜ 2
152
152≤x＜正一 6
155
155≤x＜正正 12
158
158≤x＜正正正 19
161
161≤x＜正正 10
164
164≤x＜正 8
167
167≤x＜ 4
170
170≤x＜ 2
173
从表格中你能看出应从哪个范围内选队员吗？
可以看出，身高在155≤x＜158，158 ≤x＜161，161≤x＜164三个组的人数最多，一共有
12＋19＋10＝41人，因此，可以 从身高在155～164㎝（不含164㎝）的学生中选队员。
4、画频数分布直方图
为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据上表画出频数分布直方图。
频数组距
7
6
5
4
3
2
1
0
149 152 155 158 161
164
167 170 173
身高（㎝）

上面小长方形的面积表示什么意义？
小长方形的面积＝组距×
频数
＝频数.
组距
可见，频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的多少。
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等距分组时，各小长方形的面 积（频数）与高的比是常数（组距）。因此，画等距分组的频
数分布直方图时，为画图与看图方便，通常 直接用小长方形的高表示频数。
这样，上面的频数分布图可画成下面的形式：
频数
2
1
10
5
0
149 152 155 158 161
164
167 170 173
身高（㎝）

三、频数分布折线图
在频数分布直方图的基础上，我们还可以用频数折线图来描述频数的分布情况。
首先取直方图 的每一个长方形上边的中点，然后在横轴上直方图的左右取两个频数为0的
点，它们分别与直方图左右相 距半个组距。
例如，在上面的直方图的左边取点（147.5，0），在直方图右边取点（174.5 ，0），将所取
的这些点用线段依次连接起来，就得到频数分布折线图。
频数
（学生人数）
20
15
10
5
0
149 152 155 158 161
164
167 170 173
身高（㎝）

四、课堂小结
用直方图描述数据的步骤（即做直方图的步骤）
1. 计算最大值与最小值的差
2. 决定组距与组数
原则：当数据在100个以内时，按照数据的多少，分成512组
组距：把所有的数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）
3. 列频数分布表
频数：各小组内数据的个数称为频数
4. 画频数分布直方图
5. 小长方形的面积表示频数。纵轴为
频数
。等距分组时，通常 直接用小长方形的高表示频数，
组距
即纵轴为“频数”
6. 频数分布折线图√根据 频数分布图画出频数分布折线图:①取每个小长方形的上边的中
点，以及x轴上与最左、最右直方相距半 个组距的点。②连线
7.频数分布直方图是描述数据的又一方式，画频数分布直方图的关键是确定组距 和组数，而
这一点没有固定的标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定。频数分布折线图也是描述< br>更多精品文档

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频数分布情况的一种方式。



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