维也纳大学-什么叫出柜

第四节：年龄问题
年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个
关键。
年龄问题的类型：
⑴转化为和差问题的年龄问题；
⑵转化为和倍问题的年龄问题；
⑶转化为差倍问题的年龄问题．
在一些数学问题 中要讨论年龄的变化和几个人的年龄的关系，我们知道随
着时间的往后或往前推移，人的年龄就会增加或 减少，如果有几个人，时间往
后推移，几个人年龄的和随着年数增加而增加年数的几（按人数）倍，但这 几
个人年龄间的差却是不变的。在解答有关年龄变化的问题时这是必须牢记的。

例：父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍？
⑴ 父子年龄的差是多少？
54 – 18 = 36（岁）
⑵ 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍？
7 - 1 = 6
⑶ 几年前儿子多少岁？
36÷6 = 6（岁）
⑷ 几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍？
18 – 6 = 12 (年)
答：12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。
年龄问 题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应
用题，叫做年龄问题。

例1：小华今年12岁，他妈妈今年48岁，多少年以前妈妈的年龄是小华的5倍？
多少年以后妈妈的年龄是小华的3倍？
解：首先，不管是今年或今年前、今年后的若干年，小华和 他妈妈年龄的差
都是相同的，妈妈的年龄比小华大48－12=36（岁）。
当妈妈的年龄是 小华的5倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是
这样的5份，比小华多5－1=4（份），所 以那时小华是：36÷4=9（岁），是在今
年前12－9=3（年）。
当妈妈的年龄是小华 的3倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是
这样的3份，比小华3－1=2（份），所以那时 小华是：36÷2=18（岁），是在今年
后18－12=6（年）。
答：3年以前，妈妈的年龄是小华的5倍，6年以后，妈妈的年龄是小华的
3倍。

例2：小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大4岁，今年全家年龄

的和是72岁，10年前这一家全家年龄的和是44岁。今年三人各是多少岁？
解：一家人年 龄的和今年与10年前比较增加了72－44=28（岁），而如果按
照三人计算10年后应增加3×1 0=30（岁），只能是小芬少了2岁，即小芬8年前
出生，今年是8岁，今年父亲是（72－8＋4） ÷2=34（岁），今年母亲是34－4=30
（岁）。
答：今年父亲34岁，母亲30岁，小芬8岁。

例3：父亲今年38岁，母亲今年 36岁，儿子今年11岁，多少年后，父母亲的
年龄之和是儿子的年龄的4倍？
解：今年父母 年龄之和为38＋36=74（岁），儿子年龄的4倍是44岁，今年
父母年龄之和比儿子年龄的4倍多 74－44=30（岁），而每过一年父母年龄增加2
岁，过一年儿子年龄增加数的4倍为4岁，就是说 每过一年父母年龄的增加比儿
子年龄增加数的4倍少4－2=2（岁），当父母年龄之和为儿子年龄的4 倍时，要
过30÷2=15（年）。
答：15年后，父母亲的年龄之和是儿子的年龄的4倍。

例4：今年张老师的年龄是小华年龄的5倍，过8年，张老师的年龄是小华年龄
的3 倍，小华今年多少岁？
解：今年张老师的年龄是小华年龄的5倍，是把今年小华年龄的作为1份，今年张老师的年龄是这样的5份，张老师今年的年龄比小华多5－1=4（份），过
8年，张老师的 年龄是小华年龄的3倍，是把那时小华的年龄作为1份，张老师
那时的年龄是这样的3份，张老师那时的 年龄比小华多3－1=2（份）。今年和过
8年后张老师与小华年龄差的岁数是相同的，因此过8年的1 份是今年的4÷2=2
（份），那么，今年的1份的岁数是8÷（2－1）=8（岁），就是今年小华8 岁。
答：今年小华8岁。

例5：今年大华20岁，大明18岁，小芬12岁，小 玲8岁，多少年后大华、大
明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍？
解：今年大 华、大明年龄的和的2倍是（20＋18）×2=76（岁），小芬、小
玲年龄的和的3倍是（12＋8 ）×3=60（岁），大华、大明年龄的和的2倍比小芬、
小玲年龄的和的3倍多76－60=16（岁 ），而每过一年，大华、大明增加年龄的
和的2倍比小芬、小玲增加年龄的和的3倍少2×3－2×2= 2（岁），使大华、大明
年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍，过的年数是16÷2=8（年 ）。
答：8年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍。

例6：小云问刘老师今年多少岁。刘老师说：“当我像你这么大的时候，你只有3
岁，当你像我这么大的 时候，我已经39岁了。”刘老师今年多少岁？
解：把小云和刘老师年龄的变化情况画成下面的线段图：
刘老师比小云大的岁数用1个“→” 所指的线段表示，当刘老师的年龄往回推
移到小云今年的年龄时，推移了这样的一段，小云的年龄也同样 往回推移这样的
一段，这样小云只有3岁；当小云的年龄往后推移这样一段到刘老师今年的年龄
时，刘老师的年龄也往后推移这样的一段，这样，刘老师就有39岁。从图中看
到39岁比3岁多了3个 这样的一段，每段（就是两人的年龄差）是（39－3）÷3=12
（岁），刘老师今年的年龄是39－ 12=27（岁）。

答：刘老师今年27岁。







第五节：盈亏问题

基 本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一
种标准分组，又产生一种结果，由 于分组的标准不同，造成结果的差异，由它
们的关系求对象分组的组数或对象的总量．盈亏问题的特点是 问题中每一同类
量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少
分，则物品就有余(也 就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研
究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的
变化，根据这个关 系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型： 总数量=每次分配的数量×份数+盈=每次分的数量×
份数-亏
①一次有余数，另一次不足(一盈一亏)；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数（双盈）；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足（双亏）；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。


板块一、直接计算型盈亏问题
例1：三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果 每人搬4块砖，还剩7块；
如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块 ？
解析：比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬
5块，就少 2块．这两次搬砖，每人相差
541
（块）．第一种余7块，第二种
少2块，那么 第二次与第一次总共相差砖数：
729
（块），每人相差1块，结
果总数就相差9 块，所以有少先队员
919
（人）．共有砖：
49743
（块）．

例2：（
2007
年“走进美妙的数 学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴
王开始分配．若大猴分
5
个 ，小猴分
3
个，猴王可留
10
个．若大、小猴都分
4
个，猴 王能留
下
20
个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只． < br>解析：当大猴分
5
个，小猴分
3
个时，猴王可留
10
个．若大、小猴都分
4
个，猴王能留下
20
个．也就是说在大猴分
5
个，小猴分
3
个后，每只大猴都拿出
1
个，分给每只小猴
1
个后，还
剩下
201010
个，所以大猴比小猴多
10
只．

例3：某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7
人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?
【解析】 由已知条件
每间5人 少14个床位
每间7人 多4个床位
比较两次分 配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住
(75)2
人，
一共要多出
(144)18
个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，
可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．
解：
解：
(414)(75)=9
(间)

591459
(人)，或
79459
(人)

板块二、条件关系转换型盈亏问题
例4：猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8 条鱼，每只小猫分11条鱼则正好
分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？
解 析猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配
之差是
11101
（条），由盈亏问题公式得，有小猫：
818
（只），猫妈妈有< br>810888
（条）鱼．

例5：甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信
纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，
乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？
【解析】 由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，
盈亏总额为(20＋30)张信纸， 两次分配的差为(3－2)张信纸，所以 有信封(20＋
30)÷(3－2)＝50(个)，有信纸2×50＋20＝120(张)．

例6：幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，

则余下10个。如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。已知大班
比小班多3 人，问：这筐苹果共有多少个？
解析:先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少3人，则苹果又 收回
3515
个苹果，人数一样，根据盈亏问题公式，小班人数为：
(1510 2)(85)9
人，
苹果总数是
89270
个。

例7：有一些糖，每人分
5
块则多
10
块，如果现有人数增加到原有 人数的
1.5
倍，那么每人
4
块就少两块，这些糖共有多少块？
解 析:第一次每人分
5
块，第二次每人分
4
块，可以认为原有的人每人拿出541
块糖分给
新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可 分到
2
块糖果，这些
人每人还差
422
块，一共差了
1 0212
块，所以新增加了
1226
人，原有
6212
人．糖果数为：
1251070
(块)．

例 8：四(2)班在这 次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学
们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老 师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一
小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分 完时橡皮
还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，
刘老师 一共买了多少块橡皮?多少支铅笔?
【解析】 如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正 好分完；而按3块
橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔 分，
则正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块) ，
铅笔数为：15×6—10=80(支)．





第六节：周期循环数
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平 年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除.

< br>例1：a是大于0的整数，a×a×a的个位数字与a的各位数字一样，例如1×1
×1＝1，4 ×4×4＝64，这样的整数a有很多，如果把它们从小到大排列，第41
个这样的整数是多少？

分析与解：符合条件a的整数是根多，要找出第41个这样的整数，从发现的 规
律中去找，规律的发现又要从较小数中依次去找，我们不妨从1～10这10个数
中去找：
1×1×1＝1 2×2×2＝8 3×3×3＝27 4×4×4＝64
5×5×5＝125 8×8×8＝512 9×9×9＝729 10×10×10＝1000
不难发现，上面这些算式中，1、4、5、6、9、10这六个数具有 a×a×a的各位
数字一样，也就是在1～10中，又6个符合条件的数，三个相同的多位数相乘，积个位只与这个相同的多位数的各位有关，这样就能很快找到从小到大排列第
41个这样的 整数是多少了。
1～10中符合条件的数又6个，即1、4、5、6、9、10，周期是6。
11～20，21～30，31～40，41～50„„各分数段中都有6个。 41÷6＝6„„5， 说明
的41个数在第7次周期循环中的第5个数，即60～70中符合条件的第5个数，
是69 。

例2：有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25.已知第一个数是3，第6个数是6，第11个数是7，问：这串数中第24个数是几？
分析与解：因为第1、2、3、4个数 的和等于第2、3、4、5个数的和所以第1
个和第5个数相同，进一步可知，第1、5 、9、13„„个数都相同。
同理：第2、6、10、14„个数相同，第3、7、11、15„个 数相同，也就是说，这
串数是按照每四个数为一个周期循环出现的，所以，第2个数等于第6个数是6，
第3个数等于第11个数是7，前三个数依次是3、6、7，则第4个数是25－（3+6+7）
＝9，这串数是按照3、6、7、9循环出现，第24个数和第4个相同，是9。

例3：3÷7商的小数点后面第2002个数字是几？
3÷7＝0.42857142„„ ，商是一个循环小数，循环节是“428571”，循环周期是6，
即4，2，8，5，7，1这个数字 在依次循环出现，现求小数点后第2002个数字是
几，就看按6个数字循环一次，共循环几次，余下几 个数，从而确定。 3÷7＝
0.428571 2002÷6＝333„4
所以3÷7商的小数点后面第2002个数字是5，

例4：紧接着1989后面 一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积
的个位数．例如8× 9=72，在9后面写2， 9× 2=18，在2后面写8，…得到一
串数字：1 9 8 9 2 8 6… 这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
考点： 数字串问题。
分析： 依照题述规则多写几个数字：86884… 可见1989后面的数总
是不断循环重复出现286884， 每6个一组， 即循环周期为6． 因为 （1989﹣
4） ÷ 6=3305， 正好除尽，286884所以所求数字是8． 解答： 解：依照题述规
则多写几个数字得到：86884286884… 可见1989后面的数总是不断
循环重复出现286884， 每6个一组， 即循环周期为6． 因为 （1989﹣
4） ÷ 6=3305， 所以286884的第四个数字为8，所求数字是8．

例5：1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末
两位数是多少？
考点： 简单周期现象中的规律。

分析： 本题问的是两积相加的和末两位数是多少，所以不必求出两个积，求出
两个积的末尾两 位数即可．可知1991 个1990相乘所得的积末尾两位是00； 1
个1991末两位数是91， 2个1991相乘的积末两位数是81， 3个1991 相乘的积
末两位数是71，4个至10个19 91相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，
21，11，01，11个 1991相乘积 的末两位数字是91，由此可见，每10个1991相
乘的末两位数字重复出现，即周期为10．因为 1990÷ 10=199，所以1990个1991
相乘积的末两位数是01．即可得答案．
解答： 解：因为1991个1990相乘所得的积末两位是0． 1个1991末两位数是
9 1，2个1991相乘的积末两位数是81，3个1991相乘的积末两位数是71，4个
至10 个1 991相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11，01，11个
1991相乘积 的末两位数字是91， 可知每10个1991相乘的末两位数字重复出现，
周期为10．因为1990÷ 10=199，所以1990个1991相乘积的 末两位数是01． 所
以两个积相加的和末两位是01． 答：再相加的和末两位是01．
点评： 做此题不能 被庞大的数字所迷惑，要看清问的是什么．要求两积相加和
的末两位数，只要知道每个积的末两 位数， 然后相加即可，不用算出两积的具
体得数．1991个1990相乘所得的积的末尾两位数很显然是00 ，求 1990个1991
相乘所得的积的末尾两位数，要靠推算，找出其中的规律，通过计算可知末尾 两
位数是呈周期 循环出现的．再根据循环现象求1990个1991相乘所得积的末尾
两位数即可


例6： 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再
2个黑，再1 个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白„„如此涂下去，到
2001个小球该涂什么颜色？
【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1
白，即5＋4＋ 3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷15=133„„6，
也就是经过133 个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球
涂黄色。

例7： 有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，…
（1）第81个数是多少？
（2）这81个数相加的和是多少？

分析 （1） 从排列可以看出这组数是按7，0，2，5，3依
次重复排列的，那么一个循环周期就有5个数。
（2） 之和是7+0+2+5+3=17。用每个循环各数之和可
以循环次数再加上余下的各数，即可得到答案。
解（1）81÷5=16……1
按照循环次序可知：第81个数为7。
（2）17×16+7=279
所以这81个数相加的和为279