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24、观察下面的几个算式，你发现了什么规律
①16×14=224=1×（1+1）×100+6×4；
②23×27=621=2×（2+1）×100+3×7；
③32×38=1216=3×（3+1）×100+2×8；
…
（1）按照上面的规律，依照上面的书写格式，迅速写出81×89的结果；
（2）用公式（ x+a）（x+b）=x
2
+（a+b）x+ab说明上面所发现的规律；
（提示：可设这两个两位数分别是10n+a和10n+b，其中a+b=10．）
（3）简单叙述以上所发现的规律．
考点：
规律型：数字的变化类．
专题：
规律型．
分析：
（1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十 位数字相同，个位数字和是10；则右边的结果
是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的 个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数
字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出8 1×89=7209；
（2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明；
（3）既要叙述等式左边的规律，还要叙述等式右边的规律，即（1）中的叙述．
解答：
解：（1）81×89=8×9×100+1×9=7209；

（2）设这两个两位数分别是10n+a和10n+b，其中a+b=10，
则（10n+a ）（10n+b）=100n
2
+10n（a+b）+ab=100n
2
+1 00n+ab=100n（n+1）+ab；

（3）两个十位数字相同，个位数字和是10 的两个两位数相乘，等于它们的十位数字与十位数字加1的数
相乘的100倍，再加上两个数的个位数字 的积．

22、如图所示，小明家买了一台74cm的电视机，电视机的长为xcm，宽为y cm（包括边缘部分），屏幕
外边缘部分长的方向厚度为8cm，宽的方向厚度为4cm，求屏幕的面积 ．

考点：
整式的混合运算．

分析：
此题可根据 等式“屏幕的面积=（电视机的长-2×屏幕外边缘部分长的方向厚度）×（电视机的长-2×
屏幕外边 缘部分长的方向厚度）”列出整式求解即可．
解答：
解：由题意得：屏幕的面积=（x-16 ）（y-8）=（xy-8x-16y+128）cm
2
．


2 1、（2007•衢州）下面的图是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式a
2
-b
2
=（a+b）（ a-b）．
（1）请你通过对图的剪拼，画出三种不同拼法的示意图．要求：
①拼成的图形是四边形；
②在图上画剪切线（用虚线表示）；
③在拼出的图形上标出已知的边长．
（2）选择其中一种拼法写出验证上述公式的过程．

考点：
作图—应用与设计作图；平方差公式的几何背景．
分析：
（1）①将原图片剪成两部分，它们分别是边长为a、a-b和b、a-b的矩形，可拼成一个边长为a-b、< br>a+b的矩形；
②沿对角线将原图分成两个直角梯形，将它们的高重合，拼成一个等腰梯形；
③将原图沿小正方形的边剪开，分成三个小矩形，然后三个小矩形又可拼成一个大矩形．
（2）利用拼接前后的图形面积相等即可证明．
解答：
解：（1）
①、

②、


③、

（2）利用图①证明，
因为拼接前后的两个图形面积相等，拼接前的面积=a
2
-b
2
，拼接后的面积=（a-b）（a+b）；


18、观察下列各式：
15
2
=1×（1+1）×100+5
2
=225
25
2
=2×（2+1）×100+5
2
=625
35
2
=3×（3+1）×100+5
2
=1225
…
依此规律，第n个等式（n为正整数）为
（10n+5）
2
=n（n+1）×100+5
2

．
考点：
规律型：数字的变化类．
专题：
规律型．
分析：
等式左边25=2×10+5，35=3×10+5，所以第n个等式的左边为10n+5的平方，进而得出等式 两边
的值．
解答：
解：由题中数据可得，第n

15、如下图， 是一个正方体的表面展开图，标注了字母A的面是正方体的前面，则该正方体的上、下面的
积与左、右面 的积之差为
-3m
2
+m+1
．

考点：
整式的混合运算；几何体的展开图．
分析：
由图象可得出正方体的上下，左右面标注的数，然后再进行整式的运算即可得出结果．

解答：
解：观察正方体的表面展开图，可得
正方体的上面标注的是m
2
，下面标注的是（m-2），
所以上下面的积为 m
2
•（m-2）=m
3
-2m
2

正方体的左边标注的是（m
2
-1），右边标注的是m+1
所以左右面的积 为（m
2
-1）（m+1）=m
3
+m
2
-m-1
所以该正方体的上、下面的积与左、右面的积之差为-3m
2
+m+1．

再填空：3
2
-1
2
=8×1，5
2
-3
2
=8×2．
①7
2
-5
2
=8× ；
②9
2
-（ ）
2
=8×4；
③（ ）
2
-9
2
=8×5；
④13
2
-（ ）
2
=8× ；…
（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．
（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？
考点：
平方差公式．
专题：
规律型．
分析：
（1）从上 式中可以发现等式左边：两数的平方差，前一个数比后一个数大2；等式右边：前一个因
数是8，后一个 是等式左边两数的和除4，所以可写成： (n+2)2-n2=8×(n+2)+n4(n≥1)；
（2）运用平方差公式计算此式，证明它成立．
解答：
解：
①3；
②7；
③11；
④11，6．
（1） (n+2)2-n2=8×(n+2)+n4(n≥1)；
（2）原式可变为（n+2+n）（n+2-n）=（2n+2）×2=8× 14（n+2+n）=8× (n+2)+n4．

已知ab=9，a-b=-3，求a
2
+3ab+b
2
的值．
考点：
完全平方公式．
分析：
应把所求式子整理为和所给等式相关的式子．
解答：
解：∵ab=9，a-b=-3，
∴a
2
+3ab+b
2
，
=a
2
-2ab+b
2
+5ab，
=（a-b）
2
+5ab，
=9+45，

在一次联欢会上，节目主持人让大家做一个猜数的游戏，游戏的规则是：主持人让观众每人在心里想好一个除0以外的数，然后按以下顺序计算：（1）把这个数加上2后平方．（2）然后再减去4．（3）再除以
原来所想的那个数，得到一个商．最后把你所得到的商是多少告诉主持人，主持人便立即知道你原来所想
的数是多少，你能解释其中的奥妙吗
考点：
整式的混合运算．
分析：本题只要依这个题的程序列出式子化简后就可知道，得到的商与这个数的关系，然后依此关系计算
即 可．
解答：
解：设这个数为x，据题意得，
[（x+2）
2
-4]÷x，