纳西族服饰-感动中国十大人物颁奖词

《一笔画问题》教学设计
石家庄市东风西路小学 史林博
教学目标：
知识技能
1、让学生体会用数学知识解决问题的方法。
2、通过实际问题抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。
过程与方法：
1、生活中的许多问题，可以用数学方法解决，但首先要通过抽象化和理想化建
立数学模型。
2、通过“一笔画”的数学问题，解决实际问题。
情感态度价值观
1、通过探究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见
解的好习惯。
2、通过“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴
趣。
教学重点：运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。
教学难点：探究“一笔画”的规律。
教学过程：
[引入]
第一 次,第一次和同学们一起上课一起学习,你们以前在这里上
过课吗?上过几次?是吗,那说明你们是非常 非常优秀的,你叫什么名
字?
我想大家对“签名”这个词一定都不陌生，拿起笔，刷 刷几下，
一个彰显个性的签名就产生了。大家听说过穆罕默德吗？伊斯兰教创
始人。据说这穆罕 默德他不识字，那么大一人物经常要签主席令之类
的文件啊，得签字吧?咋签？于是就以这个图形作为他 的签名。如果
是你要画这个图形，你打算用几笔画成？人家穆罕默德每次签名都只用一笔。
这类“一笔画”问题中最著名的当属“哥尼斯堡七桥问题”了。
一、展示问题引入新课
1、介绍七桥问题
故事发生在18世纪风景秀丽的哥尼斯堡，城中有一条河，河的中间有两个
小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥，（停顿，数桥）城中的居民经常沿河
过桥散步，不知 从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题
在居民中传开了（停，递话筒）：谁能够 一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都
只通过一次？最后是否仍能回到出发点？




2、同学实验：我估计大家都特想试试？试试吧（同学们多次试验均不成功）

3、问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，
始终未能解决。最后，人 们只好把这个问题向那个年代最伟大的数学家欧拉提出，
请他帮助解决。
(设计意图:通过故 事的形式把问题引出来，一方面激发学生的学习兴趣，另一方面也可以让
学生感受到他们今天探讨的课题 就是当年困扰千百人的问题，这样可以增进学生的求知欲。
接着让学生通过对七座桥的观察，在图上试走 等活动，留给学生一个悬念，为后面的探究活
动埋下伏笔，同时也把学生的求知欲望推上了一个高潮。)
二、简介欧拉，分析问题
1、我们来认识一下欧拉。
欧拉是迄今为止，世界上最伟 大的四位数学家之一，另外三位分别是亚里士
多德、牛顿和高斯。高斯曾说。。。。。。
今天我们就重温欧拉研究之路，希望能对你更好地了解数学这门学问有所帮
助。
2、 公元1737年，欧拉接到了“七桥问题”。他心里想：先试试看吧。第一
次尝试宣告失败，第二次换一 种走法再次宣告失败,接着第三次。。。。。。
欧拉连试了好几种走法都不行，这问题可真不简单！他 算了一下，走法很
多，共有7×6×5×4×3×2×1=5040（种）。
好家伙，这样一 种方法，一种方法试下去，腿都累细了也未必能得到答案.
他想：不能这样呆笨地试下去，得想别的方法 。
3、建立数学模型
聪明的欧拉终于想出一个巧妙的办法。他认为：人们关心的只是一次不 重复
地走遍这七座桥，而并不关心岸的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一
个点，（下 桥在岸上走两步再上另一座桥，岸可以看成桥与桥之间的点）而桥则
可以看成是连接这些点的一条线。这 样，七桥问题就转化为能否一笔画成的问题
了。若能一笔画成这个图形，就可以一次走遍七座桥，否则不 能。
（设计意图：了解欧拉利用几何的抽象化和理想化来观察生活，建立了准确的数学模型。）
三、活动探究
1、明确研究目的
什么样的图形能够一笔画？
欧拉没有一下子得出结论，他通过研究首先排除了什么样的图形不能一笔画
2、同学们快速判断下面哪些图形不能够一笔画

像图2、图3、图5这样各部分连在一起的图形，叫做连通图。（板书：连通图）
能一笔画的图形必须是连通图，一笔画的基础。
3、是不是所有的连通图都能一笔画呢？ < br>每幅图形是由若干条线（或者线段或者曲线等）组成的，能否一笔画和组成图形
的这些线的数量有 关？答案是无关。接下来，他又花了大量的图来进行进一步的
研究，发现了构成所有的图形的交点，不是 奇点就是偶点。
让我们先来了解这两个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。如：



● ● ●
②有偶数条边相连的点叫偶点。如：


● ●

跟进练习：辨别奇、偶点





（设计意图：让学生充分理解这三个概念为下面探究规律做准备。）

4、小组合作探究
下面请你也做做实验，认真观察分析比较这些图形，看看能不能像欧拉那样
研究出结果？

观察下列图形，完成统计表

图形

奇点个数

偶点个数

能否一笔画

明确要求：
咱们观察下列图形同时，还需要你在统计表中完成每幅图的奇点个数，偶点个数以及能否一笔画,可以写能、不能也可以用√×。我们以小组合作的形式来完
成这项研究。
（1）、小组合作试验，填好试验单
（2）、小组汇报试验单
可以一笔画的图形有图1 2 3 6 7，和你们的研究结果相同吗？奇偶的个数呢？
（3）、议一议：能够一笔画的图形有什么特点？不知刚才你们有没有得出结论？
和你周围的同学议一议：能够一笔画的图形有什么特点？
4、汇报研究结果，总结一笔画规律
（1）板书：奇点的个数是0或2的连通图。

（2）老师整理了一下奇点的个数是0的图形,他们在一笔画时,起点和终点有什
么特点?
谁愿意到前边来画一画? 把起点圈起来,终点也作个标记 .

换一个起点可以吗?
当奇点个数是0的时候，一笔画时起点和终点有什么特点？
可任选一点为起点，起点和终点为同一点。
板：此起此终
（3）当奇点个数是2的时候，一笔画时起点和终点有什么特点？
谁来里画一画?
起点一定是其中的一个奇点，终点一定是另一个奇点。
板：此起彼终
5、小结：谁能归纳一下：我们应该如何来判断一幅图能否一笔画？
现在给你一幅图，你会判断他能否一笔画吗？如何判断？
6、（1）根据你的发现规律现在你能解决七桥问题了吗？
因为奇点个数为4，所以七桥问题 不能一笔画，也就是说，不能不重复地走过所有的七
座桥，再回到出发点。
（2）我们再来看看穆罕默德的签名有多少奇点？
四、课堂练习
一笔画在生活中有哪些应用呢？老师收集了一些和大家一起分享。
1、一辆洒水车要给某城市 的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水
车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再 回到出发点？（指名二人
说不同路线，为什么洒水车可以不重复地走过所有的街道，最后再回到出发点？ ）




超市
小广场





文具店
电器城

菜市场服装城 2、下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出
口又应设在哪儿？（能 给大家解释一下吗？）




E
●
●
G

3、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出 发以同样的速度走遍所有的街道，甲从
A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果要选择 最短的线路，谁
先回到邮局？ （A？有不同意见吗？师：我就不同意是A先回到邮局）





（设计意图：知识来源于生活，通过学以致用，把在 探究活动中学到的知识又服务日常生活
之中。在此设置三道练习题，让学生分析问题及解决问题的能力在 此得到升华，同时也增强
数学的趣味性。）

五、小结
今天我们研究的七 桥问题与一笔画等你们上了初中会去更加深入地去学习，
到时候会学习为什么只有奇点个数时0或2连通 图才能一笔画，当然课下你也可
以试着自己先去研究一下，等你上了高中还会继续研究欧拉定理，等你们 上了大
学，有机会还会去研究拓扑学，这个拓扑学正是欧拉通过研究七桥问题，开创的
数学一个 新的分支——图论与几何拓扑。
实话实说，今天我们一起研究的内容并不是我们冀教版课本里的内容， 他只
是人教版六年级下册95页的一点点课外延伸的内容而已。不认真找恐怕都找不
到。这么一 点点内容我们研究了一节课，你觉得有用吗？通过今天的学习，你有
没有什么感触也好、体会也好或者收 获跟大家一起分享一下？
我们了解了欧拉对一笔画问题的解决方法，图论的起源，他启示我们：只要善于用数学的眼光、方法去观察事物，分析问题，就能把生产、生活中的某些
问题转化为数学问题 ，并用数学方法来处理和解决。
我们今天学习欧拉的成果不应是单纯把它作为数学游戏，重要的是应该 知
道他怎样把一个实际问题抽象成数学问题。研究数学问题不应该为“抽象而抽
象”，抽象的目 的是为了更好的、更有效的解决实际产生的问题，欧拉对“七桥
问题”的研究就是值得我们学习的一个样 板。

《七桥问题》教学反思

《七桥问题》是一个实验与探究的课题。 这节课有两个重点：一是实验，二
是探究。所以在刚开始展示题目时，就让学生反复实验，最终仍是不能 一次不重
复地走过七座桥。然后，引出欧拉对七桥问题的建模，把实际问题转化成“一笔
画”的 数学问题，并让学生体会到转化的数学思想以及从具体到抽象的思想。生
活中的许多问题，可以用数学方 法解决，但首先要通过抽象化和理想化建立数学
模型。本节课的两个重要目标：1、通过探究“一笔画” 的规律的活动，锻炼学
生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。2、通过“一笔画”问题及其结论< br>的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。
我们今天学习欧拉的成果不应是单纯把它作 为数学游戏，重要的是应该知
道他怎样把一个实际问题抽象成数学问题。研究数学问题不应该为“抽象而 抽
象”，抽象的目的是为了更好的、更有效的解决实际产生的问题，欧拉对“七桥
问题”的研究 就是值得我们学习的一个样板。在参与观察、实验、猜想、证明等
活动中发展演绎推理能力，培养学生观 察问题、提出问题、分析问题、解决问题
的科学探究能力，养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质 疑的学习习惯，
形成严谨求实的科学态度。
反思课堂中的不足: 第一，学生在一张 图表中探究能一笔画成的图形的特点
规律还是有点儿难。可以将所有图形统计完成后，在进行能一笔画的 单项整理，
以便更好地发现一笔画规律。第二，缺乏趣味性，以及师生的互动。实际应用练
习中 ，多为居民小区平面图或公园路线图，让学生设计一个既不重复又不遗漏的
路线。看上去，情境创设合情 合理，因为在成人的思维中，这样效率最高，自然
也就是最优化的设计。但孩子却不这样想，为什么“既 不重复又不遗漏”？他可

能对此不感兴趣，至少在他没能理解其中的意义时，他是不会充 分投入进去的。
可以改成这样设计的，用一笔画画出了一匹马的图案或其他学生感兴趣的图案等
更能够吸引学生的活动，激发学生的学习热情。
教无定法，不断改进，力争精益求精。