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第六单元 有余数的除法
一、教学目标
1．通过操作、观察、对比等活动 ，使学生发现日常生活中在分物时存在着
分不完有剩余的情况，借此理解余数及有余数的除法的含义，初 步培养学生全面
思考问题的意识。
2．通过操作、计算、比较等活动，让学生经历除法竖式（ 含表内除法的竖
式）的书写过程，理解竖式中每个数所表示的意思，初步培养学生的观察、分析
能力以及恰当地进行数学表达的能力。
3．使学生初步掌握试商的基本方法，并能较熟练地进行有余数 的除法的口
算和笔算，培养学生的运算能力。
4．使学生初步学会用有余数的除法解决生活中 的简单问题，初步感受数学
与生活的联系，继续掌握解决问题的基本思路和基本方法。
二、内容安排及其特点
1．教学内容和作用
在日常生活中平均分物时，结果包含两 种情况：一种是恰好分完的情况，这
时没有剩余（即余数为0），表内除法涉及的就是这样的内容；一种 是平均分后
还有剩余的情况(余数不为0)，这是有余数的除法要研究的内容。
在除法计算中 ，能够整除的是少数，有余数的除法是大量存在的。从小学生
学习的角度看，“有余数的除法”是表内除 法知识的延伸和拓展。鉴于有余数的
除法与表内除法的这种密切联系，以及考虑到通过操作和对比更有利 于学生对这
部分内容的理解，修订后的教材将本单元从三年级上册调整到了二年级下册。相
应地 ，具体内容也进行了一些调整。
本单元的学习内容主要有两部分：第一部分是有余数的除法的含义和计 算；
第二部分是解决问题。教材具体编排结构如下。

有余数的除法 是今后继续学习一位数除多位数等除法的重要基础，因为用
一位数除、商是一位数的有余数的除法是除法 试商的基础，并且这部分内容在日
常生活中也有着重要的应用。
因此，这部分知识的学习具有 承上启下的作用，学好这部分知识对于学生继
续学习有着至关重要的作用。
正是因为教学年段 的调整，教材在编排的层次上有以下变化。首先，不断将
有余数的除法与刚学习的表内除法的两种情况对 比呈现，并借助大量的操作帮助
学生理解余数及有余数的除法的含义，理解余数和除数的关系，同时体会 有余数
的除法与表内除法的关系。其次，将除法竖式的教学安排在理解了有余数的除法
的含义、 明白了余数与除数的关系之后，突出了引入除法竖式的必要性和作用，
同时为试商的教学作好准备。最后 ，单独编排试商的例题，突出试商的方法：求
商时要想几和除数相乘的积最接近被除数而且小于被除数， 并且保证余数小于除
数。同时，为保证试商的准确性和速度，教材在练习中还增加了单项练习，如练习十四第4题和第6题等。
2．教材编排特点
在教材内容的具体编排上，教材体现了如 下的编排特点，从而使得知识更容
易为学生所理解，也体现了更科学的数学知识的结构。
(1)注重操作直观等促进学生对相关知识的理解。
与表内除法单元借助动手操作理解平均分 的概念、理解除法的编排一致，本
单元教材的编排继续借助操作等直观，帮助学生理解所学知识，并建立 操作过程、
语言表达和符号表征之间的关系，实现学生对数学概念的真正理解。如，例1
中对余 数概念的理解、对有余数的除法含义的理解，都是借助操作来进行的，由
直观操作到符号表征，使学生从 多方面、多角度理解所要学习的知识。又如，对
于除法竖式的理解，也是借助操作，使学生清楚地看到竖 式中的每个数所对应的
操作中的具体对象，以加深学生的理解。另外，在解决问题的例6中，同样借助< br>画图这一直观手段，帮助学生分析题意，理解其中余数所代表的事物，进而帮助
学生学会解决问题 。
(2)通过对比帮助学生理解有余数的除法的含义和计算。
为帮助学生理解，修订后的教 材将“有余数的除法”安排在学习完“表内除

法”之后不久进行教学，并且以表内除法为 基础，通过对比加以编排，主要体现
为下面4次对比。
第一次是例1中平均分物过程的对比。 教材通过“将一些草莓，每2个一份，
可以怎么分”，帮助学生感受平均分物的过程中有两种情况。在对 比中拓展学生
对除法的认识，并更好地理解余数的含义、有余数的除法的含义。
第二次是例1 、例2中有余数的除法和表内除法的横式的对比。通过结合操
作过程，使学生在对比中理解有余数的除法 的横式中各部分的名称及每个数的含
义，理解余数比除数小的道理。
第三次是有余数的除法的 横式和有余数的除法的竖式的对比。借助平均分的
操作过程及与横式的对比，使学生理解有余数的除法的 竖式的书写方法，理解竖
式中每个数的含义。
第四次是有余数的除法的竖式与表内除法的竖式 的对比。借助操作，在对比
中帮助学生继续理解除法竖式的写法，理解竖式中余数0的含义。
由上面的叙述可以看出，通过这样的对比，不仅可以唤起学生已有的知识经
验，加深学生对有余数的除法 的理解，还可以使学生感受到知识之间的联系，为
建构合理的知识结构网络提供支撑点，同时，还能培养 学生分析、比较、归纳的
能力。
(3)针对难点增加教学试商的例题，帮助学生经历数学化的过程，为后续学
习作好铺垫。 < br>本单元在求商的方法上的编排，与表内除法的试商是一致的：都是先通过操
作分物得到商，然后再 探索求商的方法并进行相应的计算。在本单元中，例1～
例3中的商都是通过操作分物得出来的，从例4 开始离开具体情境直接用竖式计
算，这就必然要用到算法。这个算法，就是有余数的除法的求商方法。在 编排上，
例4直接利用除法竖式，要求学生想乘法口诀，找出与除数相乘积最接近被除数
而且小 于被除数的那个数，这个数即为商（通过余数小于除数加以判定）。这样
的数学，既教给了学生有余数的 除法的求商方法，又为后面继续学习除法的笔算
打好了基础，因为多位数除以一位数等笔算除法的计算过 程，就是多次进行有余
数的除法的过程。
(4)注重解决问题策略的培养，并继续落实“四能”目标。

加强对解决问题 能力的培养，将培养学生“四能”的教学与各部分数学知识
的教学有机地结合起来是修订后教材的一大特 色。通过这样的编排，为培养学生
解决问题的能力提供了清晰的线索和可操作的教学思路。具体到本单元 ，教材安
排了两个例题。例5是用有余数的除法的知识解决简单的实际问题，并用“进一
法”确 定问题的答案；例6是用有余数的除法的知识解决与按规律排列有关的问
题。在具体编排上，教材继续通 过“知道了什么？”“怎样解答？”“解答的正确
吗？”等提示，使学生经历审读题意、分析数量关系、 寻找策略解决问题、回顾
与反思等全过程，并通过呈现不同思维水平、不同思考角度的解决问题的方法，
既尊重学生的发展现实，允许学生用适合于自己的方法解决问题，又可使学生了
解解决问题方法 的多样性，有助于提升学生解决问题的能力，促进学生思维能力
的发展。
此外，结合相关的例 题和习题，教材尽可能地给学生提供机会，让学生经历
了从现实生活或具体情境中发现并抽象出数学问题 的过程，以此为学生积累发现
问题、提出问题的经验。长此以往，有利于培养学生的问题意识，以及对数 学问
题的敏感性。
三、教学建议
结合前面的阐述及本单元知识的特点，下面对教师 教学提出一些总体的教学
建议，供教师进行实际教学时参考。
(1)借助（几何）直观促进学生的理解。
几何直观是《标准(2011)》提出的十大核心 概念之一，主要是指利用图形来
描述和分析问题，用通俗的话说，就是用图想事，借图促思，据图说理。 由于小
学生的思维发展正处于具体运算阶段向形式运算阶段的过渡期，离不开具体事物
的支撑。 而几何直观正好凭借其直观的特点将抽象的数学语言与形象的图形语言
有机地结合起来，将抽象思维与形 象思维结合起来，把复杂的数学问题变得简明、
形象，从而有助于学生思考、探索，突破学习难点，揭示 问题本质。因此，在教
学时应注意充分运用（几何）直观，具体体现如下。
首先，借直观帮助 学生建立最基础的概念。例1～例3的教学内容是本单元
的基础知识，这些例题的教学都是建立在直观的 基础上的。因此，教学时教师要
充分运用直观和对比，帮助学生理解余数及有余数的除法的含义，理解余 数与除

数的关系，理解除法竖式中各数的含义。
其次，在解决问题中注意借助 直观帮助学生理解题意、分析数量关系、明白
解题的缘由。在实际解决问题的过程中，理解题意和分析数 量关系往往是难以截
然分开的，学生理解题意的过程，实质上也包含了对数量关系的分析，这些往往都需要借助直观。如例6中题目的呈现、对数量关系的分析，乃至最后对余数含
义的说明，都借助了 直观的手段。因此，在教学时应充分借助直观，让学生学会
利用图来描述和分析问题，将数学问题转化成 直观、形象的图，以清晰地“看到”
数量关系，明晰解决问题的思路，并最终得到解决问题的方案。
(2)将操作、口算、竖式相互结合，实施“有来有回”的教学。
在实际教学过程中，学生学 习除法常常经历如下面左图的表征过程。这种表
征是单向的、有去无回的，学生只经历了由具体到抽象的 过程，却没有经历由抽
象回到具体的过程。因此，当学生遇到竖式不会书写时，不能用具体的动作表征< br>来支撑。笔算是“直观的算理，抽象的算法”，若不能沟通学具操作、口算与竖
式表示的笔算之间 的关系，尤其是不能将直观的学具操作转化为头脑中的形象的
表象操作，学生就难以真正掌握算法、理解 算理。为此，建议在帮助学生理解用
除法竖式计算除法的过程中，让学生经历下面右图的表征过程。

在上面右图中，横框中所表示的是除法意义的语义表征、动作表征、符号表
征， 这是学生已有的知识基础；斜框中所表示的是符号表征中三种不同的表现形
式；竖框中则是本节课要建立 的动作表征与另外两种符号表征之间的关系。

按照这样的教学思路，学生在操作体验中 应建立分的过程（操作表征）、口
算的过程、竖式的书写过程（符号表征）以及语言表达过程（语义表征 ）间的一
一对应关系，使学生在理解有余数的除法的意义的同时，进一步理解算理，降低
学习难 度，此种方法特别适合于中等及中等以下学生的学习。
(3)认真了解学生学习除法竖式前的知识基础。
正如前面在编排特点中所叙述的，本单元教 学的重要知识基础是学生对于平
均分及表内除法的理解，因此，其掌握情况直接影响本单元的学习。为此 ，在教
学之前，教师应通过复习唤起学生的已有知识经验，同时通过复习对学生的情况
有一个直 接的了解，确定好教学的起点。
尤其是在教学除法竖式时，更应该对学生进行一些前测，了解学生对除 法竖
式都有多少了解，以确定教学时需要突破的“点”。比如，在教学前，我们曾通
过如下题目 对学生进行过前测。题目如下：有15枝花，一个花瓶插5枝，可以
插几个花瓶？
调研时，要 求学生分别通过操作、算式表达、写出心目中的竖式三种表征方
式解决上面的问题。其中算式表达和写竖 式两种表征方式的调研结果如下。
在算式表达方面，学生列出的横式有：15÷5＝3（个），15－ 5－5－5＝0。
其中，第一个式子是一般的除法横式；第二个式子用的是减法，体现了逐次减的
过程，虽然没有写出结果，但能看出学生理解了除法的意义，能得到正确的结果。
在让学生用自己心目中的除法竖式表征时，学生列出了如下的除法竖式。

从上述几 个竖式中可以看出，学生列竖式时明显受到了加、减法竖式的影响。
第四个算式虽然出现了“”号，但从 表达的形式上看，这位学生仅仅是

见过除法竖式，但对这种算式各部分的含义并没有理解 。
从综合调研结果可以看出，学生能够解决需要用除法解决的问题，但基本上
都不了解除法竖 式。究其原因，这与除法竖式的特殊性有关。这也是除法竖式的
教学之所以成为教学重点与教学难点的原 因之一。教学时，应对此加以重点处理，
可以根据实际教学的需要增加课时，以使学生有更充分的时间掌 握除法竖式的写
法，真正地理解除法竖式中各数的含义。也可以补充一些除法竖式形式演变的史
料，以促进学生的理解。
(4)建议用8课时教学。

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