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一：应用题专题

一、和差倍问题
（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个数。
方法①：（和－差）
2
较小数，和

较小数

较大数
方法②：（和

差）
2

较大数，和

较大数

较 小数
例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。
方法：
(155)25
，
(155)210
.
（二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：和

（倍数
1
）
1
倍数（较小数）
1
倍数（较小数）

倍数

几倍数（较大数）
或 和
1
倍数（较小数）

几倍数（较大数）
例如：两个数的和为50，大数是小数的4倍，求这两个数。
方法：
50(41)10

10440

（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：差

（倍数
1
）
1
倍数（较小数）
1倍数（较小数）

倍数

几倍数（较大数）
或 和
1
倍数（较小数）

几倍数（较大数）
例如：两个数的差为80，大数是小数的5倍，求这两个数。
方法：
80(51)20

205100

二、年龄问题
年龄问题的三大规律：
1．两人的年龄差是不变的；
2．两人年龄的倍数关系是变化的量；
3．随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量．
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄

大小年龄差

倍数差

小年龄，
几年前年龄

小年龄

大小年龄差

倍数差．
三、植树问题
（一）不封闭型（直线）植树问题
1 直线两端植树： 棵数

段数
1
全长

株距
1
；
全长

株距

（棵数
1
）；
株距

全长

（棵数
1
）；
2 直线一端植树： 全长

株距

棵数；
棵数

全长

株距；
株距

全长

棵数；
3 直线两端都不植树： 棵数

段数
1
全长

株距
1
；
株距

全长

（棵数
1
）；

（二） 封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题
棵数

总距离

棵距；
总距离

棵数

棵距；
棵距

总距离

棵数．
四、方阵问题

在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正 好排成一个正方形，就是所谓的
“方阵”。
方阵的基本特点是：
①方阵不论在哪 一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层，每边上的人数就少
2
，每层
总数 就少
8
．
②每边人（或物）数和每层总数的关系：
每层总数
[
每边人（或物）数
1]4
； 每边人（或物）数=每层总数
41
．
③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．
五、还原问题
已 知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新
数 为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还 原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙
述 顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
六、盈亏问题 < br>按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．
一般地，一批物品分给一定数量的人，第一种分配方法有多余的物品(盈 )，第二种分配方法则不足(亏)，
当两种分配方法相差
n
个物品时，那就有：
盈数

亏数

人数
n
，
这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．
解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：
(盈

亏)

两次分得之差

人数或单位数，
(盈

盈)

两次分得之差

人数或单位数，
(亏

亏)

两次分得之差

人数或单位数． < br>解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈，盈多少？什么情况下“亏”，“亏”多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．
另外在解题后，应进行验算．
七、假设问题
鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在现实生活中也是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼问题的解法——
假设法，并会将这种方法应用到一些实际问题中.
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
当然，也可以先假设全是鸡，那么就有：
兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数
八、牛吃草问题
（一）牛吃草的由来
在英国伟大的科学家 牛顿所著的《普通算术》一书中有一道非常有名的关于牛在牧场上吃草的题目：“12头
1
牛4 周吃牧草
3
格尔(格尔：牧场面积单位)，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔．问24格尔 牧草，多少头牛
3
吃18周吃完？”后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也称为“牛吃草 ”问题．
（二）牛吃草的解题步骤
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度

(对应牛的头数
较多天数

对应牛的头数

较少天数)

( 较多天数

较少天数)；
⑶原来的草量

对应牛的头数

吃的天数

草的生长速度

吃的天数；

⑷吃的天数

原来的草量

(牛的头数< br>
草的生长速度)；
⑸牛的头数

原来的草量

吃 的天数

草的生长速度．
（三）牛吃草的变式题
“牛吃草”问题有很多的 变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和
解题思路，才能以不变应 万变，轻松解决此类问题．
（四）多块草地的牛吃草问题
多块草地的“牛吃草”问题，一般 要将草地面积变得统一，一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数，
这样可以避开小数分数运算，但 如果数据较大时我们一般把面积统一为“1”相对会简单些。
九、工程问题
工程问题，究其 本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方
法可以称作是一 种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。
1.解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运 用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人
员）或其组合在统一标准和单位下的工 作效率。
2.利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”， 和“时间”，抓住题
目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的 假设“把整个工程看成一
个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。
有的 情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。
十、浓度问题
将糖溶于 水就得到了糖水，糖水甜的程度是由糖与糖水二者重量的比值决定的．糖与糖水重量的比值叫
糖水的浓度 ，这个比值一般我们将它写成百分数．其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液．不光是糖水中存
在着浓度 ，我们日常生活中的盐水、酒精等溶液只能够都存在着浓度的问题．
⑴浓度问题相关公式：
溶液溶质溶剂
；
浓度
溶质溶质
100%100%
．
溶液
溶质溶剂
⑵常用方法：
①抓不变量：一般情况下在经济问题中成本是 不变量，浓度问题中溶剂是不变量，我们可以用画图来分析；
②方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解是简便、有效的方法；
③十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)；形象表达：

④浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有用．
十一、利润问题
商店出售商品 时，为了获得最大的利润，商家总是“低进高出”，只有这样才能赚取差价，这个差价就会产
生利润．实 际上，在商品贸易上的许多数学问题都会涉及到三个量：成本、利润及定价．
成本——购进商品所需的本钱，又叫进价或成本价；
定价——商品出售的价格，又叫售价或卖卖价；
利润——产品定价中高于成本以上的那一部分．
为了衡量获得利润的大小，通常采用：“利润百分数”或“利润率”这个量：
售价成本利 润，利润率
利润
售价成本

售价

100%10 0%

1

100%
由上面的公式还可以引申出下面两个公式 ：
成本成本成本

售价=成本（1+利润率）
，
成本
售价
．
1+利润率

二：习题
1.
商店进了300支钢笔，每售出1支，可获
40%
的利润当这批钢笔售出芸时，共获得利润750元，求每支钢笔
的进货价.



2.
商场以每个
3.2
元的价格购进了一批文具盒，每个售价5 元，还剩下80个没售出时，除了成本已经获利500
元．问这批文具盒一共有多少个?




3.
人民商厦运来一批彩电，按定价出售可以获利
2.8
万元，如果按定价的九五折出售，则仍可获利2000元．问
彩电的成本价共是多少元?




4.
红星商场进了一批玩具，六月一日这天以定 价的八折出售，当天售出的玩具仍可获得
10%
的利润，问这批玩
具定价时的利润是百 分之几?




5.
一批商品，按照能获得
50%
的利润定价，结果只销掉了
70%
的商品．为尽快将剩下的商品销售出去，商店 决
定打折出售，这样所获得的全部利润是原来能获利润的
82%
．问剩下的商品打了多 少折出售?




6.
有300克浓度为
1 0%
的盐水．现在要将这盐水的浓度变为
8%
，问应加入多少克水?





7.
要从含糖
16%
的20千 克糖水中蒸去水分，制出含糖
20%
的糖水，问应当蒸去多少千克水分?





8.
要配制浓度为
20%
的硫酸溶液10 00克，需要用浓度为
18%
和
23%
的硫酸溶液各多少克?




9.
大瓶酒精溶液是小瓶酒精溶液的2倍，大瓶酒精溶液的 浓度为
20%
，小瓶酒精溶液的浓度为
35%
．将两瓶酒
精溶液混合 后，酒精溶液的浓度是多少?

10.
在甲、乙、丙三 缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占
48%
、
62.5%
和
2
．已知三缸酒精溶液总量是100千
3
克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的 总量．三缸溶液混合后，听含纯酒精的百分数将达
56%
，
那么，丙缸中纯酒精的量是 多少千克?(1997年小学数学奥林匹克预赛C卷第12题)






11.
甲瓶中有纯酒精11升，乙瓶中有水15升，第一次将甲瓶中的 一部分酒精倒入乙瓶中，使酒精和水混合．第
二次将乙瓶中的一部分混合液倒入甲瓶中．这样，甲瓶中的 纯酒精含量为
62.5%
，乙瓶中的纯酒精含量为
25%
．问第二次从乙瓶倒 人甲瓶的混合液是多少升?







12.
李明和王林在周长为400米的环形跑道上练习跑步，李明每分钟跑200米，是王林 每分钟跑的
8
，如果两
9
人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过 几分钟两人才能相遇?





13.
从3 60米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑步，甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米，两人起跑
后，问第一次相遇在离起点多少米处?



14.
绕湖一周 是
21.1
千米，小明和小华从湖边同一地点同时相背而行小明以每小时
4.6
千米的速度每走1小时后
就休息5分钟，小华以每小时
5.4
千米的速度每走50分 钟后就休息10分钟，问两人出发后多少小时相遇?





15.
12点整时，钟面上的时针、分针和秒针刚好重合．那么，再过多长时间，钟面上的时 针和分针再次重合?
重合时，时针、分针分别走了几圈几格?(钟面一圈分成60格)




16.
有一个台式钟，在3月29日零时比标准时间慢4分 半，它一直走到4月5日上午7时，比标准时间快3
分钟，那么这个台钟所指时间是正确的时刻在几月几 日几时?

17.
小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红有________岁,妈妈< br>有 __岁.





18. 甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件,如果把甲做的个数加2,乙做的个数减3,丙做的个数乘2, 丁做
的个数除以2,四个人做的零件个数正好相等,问四个人各做多少个零件?




19.
叔叔比小华大20岁，明年叔叔的年龄是小华的3倍，小华今年_______岁.




20.
女儿今年(1994年)12岁，妈妈对女儿说：“ 当你有我这么大岁数时，我已经60岁喽!”问：妈妈12岁时，
是哪一年？





21.
五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最 小的大6岁，已知他们的平均年龄为85岁，其中年龄
最大的一位老人为________.





22.
今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，2 0年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，儿子今年_______岁。




23.
今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过年 后爷爷的等于三个孙了的年龄的和。





24.
四个人年龄之和是77岁，最小的10岁，他与最大的年龄之和比另外二人年龄之和大7岁，那么最大的 岁
数是_______。

25.
有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22 岁；当乙的年龄是丙的2倍，甲是31岁；当甲
60岁时，丙是________岁。





26.
甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是64 岁，甲21岁时，乙17岁；甲18岁时，丙的年龄是丁的3倍，丁
现在的年龄的________岁。





27.
今年，小明的父母年龄之和是 小明的6倍，4年后小明的父母亲年龄之和是小明的5倍，已知小明的父亲
比他的母亲大2岁，那么，今 年小明父亲________岁。



28.
有甲、乙、丙三 人，丙的年龄是甲年龄的
31
，乙今年14岁，又知丙的年龄是甲、乙年龄之差的，丙今
3
16
年________岁。


29.
爸爸在过 50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之和正好等于那时爸
爸的年 龄。”那么哥哥现在_________岁。






30.
甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是 你现在的岁数时，你将
50，”那么甲现在________岁，乙现在_________岁。




31.
六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票9 9张，共花28元，其中单程票每张0.2元，往返票每张.4元。那
么单程票和往返票相差_____ ___张。




32.
三种昆虫共18只，它们共 有20对翅膀116条腿，其中每只蜘蛛是无翅8条腿，每只蜻蜓是2对翅膀6条
腿，蝉是1对翅膀6条 腿，问这三种昆种各多少只？

33.
启蒙书社五天内卖出<中学生手册>和<小学生手册>共1 20本。<中学生手册>第本5元，<小学生手册>每本
3.75元，营业员统计的结果表明：这五天所 卖<中学生手册>的收入比卖<小学生手册>的收入多162.5元，这
五天内启蒙书社卖出的<中学生 手册>和<小学生手册>各多少本？






34.
王村小学举行数学竞赛，共10道题，每做对一道题得10分，每做错一道题倒扣2分 ，小明得了64分，他
做错了几道题？



35.
某 次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣3分，小聪得了60分，他做对了_____ ___
道题。





36.
某小 学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明共得72分，他做
对 了________道题。





37.
春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答
了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了________道题。





38.
箱子里面有红、白两种玻璃球 ，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球，53只红球，
那么，箱子里原有红球数_ _______只。






39. 原有男、女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少
5%
，总人数增加16人，那 么现有男同________
人。




40.
一根木料长21米，把它据成3米长的一段，每据一段用6分钟，共用________分钟。

41.
科 学家进行一项实验，每隔五小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟时针恰好指向9，问做第一次记
录 时，时针指向几？





42.
从运动场 一端到另一端全长96米，从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面
小红旗 ，问可以不拔出来的小红旗有多少面？





43.
有一块三角形地，三条边分别为120米、150米、80米，每10米种一颗树，那么三条边上共种_ _______
棵树。





44. 园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树。他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完< br>30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一颗树。这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？





45.
四年级三班上操正好排成人数 相等的三行，小明排在中间一行，从前从后数都是第八个。那么这个班有学
生________人。






46.
四年级三个班的同 学在河堤上种了一排树共80棵。从左往右数，第58棵起往右数都是一班种的；从右往
左数，第63棵 起往左都是三班种的；那么二班种了________棵。







47.
在田径运动会上，甲、乙、丙三人沿400米环形跑 道进行800米跑比赛．当甲跑完1圈时，乙比甲多跑
1
圈，
7

丙比甲少跑
1
圈．如果他们各自跑步的速度始终不变．那么 ，当乙到达终点时，丙离终点还有_________米.
7
4
48.
六 (1)班和六(2)班同学买同一种电影票．六(1)班48人共付16
5
元，六(2)班共付 了15
3
元，问六年级两
4
班共有多少人?






49.
某运输队运一批大米．第一天运走总数的
1
多60袋，第二天运走总数的
1
少60袋．还剩下220袋没有运
54
走。这批大米原来一共有多少袋？(只列式，不计算)






1
50.
某市派出60名选手参加1998年“贝贝杯”少年田径邀请赛 ，其中女选手占．正式比赛时，有几名女选手因
4
2
故缺席，这样就使女选手人数变为 参赛选手总数的．正式参赛的女选手只有 名．
11

2、提高篇


31
.
7
.
5

32
.
500

33
.
49
.
2

34
.
37
.
5

35
.
8

36
.
75
.
37
.
4

38
.
400

39
.
25

40
.
12

41
.
6

42
.
16

43
.
60

44
.
2

45
.
65
5
1 1
分钟，
5
5
11
格，
46
.
4
月
2
日
9
时
47
.
32

48
.
41
,
80
,
85
,
164

49
.
9

50
.
1970

第三篇：参考答案
圈
5
5
11
格

1

51
.
88

52
.
10

53
.
6

54
.
90

55
.
32

56
.
8

57
.
37

58
.
6

59
.
25

60
.
20

61
.
17

62
. 蜘蛛
4
只，蝉
63
．
70

64
．
3

65
．
15

66
．
11

67
．
20

68
．
106

69
．
170

70
．
36

71
.
2

72
.
9

73
.
35

8
只，蜻蜓
6
只

74
.
54

75
.
45

76
.
39

77
.
200

78
.
93

11
79
.
（2206060）（1）
54
80
.
10


3、竞赛篇

81
．
150

82
.
20:39

83
.
57

84
.
7

85
.
7

86
.
3
，
15

87
.
80.2
兆
88
.
50%

89
.
6

90
.
2

91
.
102

92
.
99

93
.
753

94
.
17

95
.
34

96
.
10

97
.
12
.
25

98
.
60

99
.
3

100
.
2
.
70