南京解放军国际关系学院-双11促销

一：应用题专题

一、和差倍问题
（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求
这两个数。
方法①：（和－差）
2

较小数，和

较小数

较大数
方法②：（ 和

差）
2

较大数，和

较大数
< br>较小数
例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。
2
全长

株距

（棵数
1
）；
株距

全长

（棵数
1
）；
直线一端植树： 全长

株距

棵数；
棵数

全长

株距；
株距

全长

棵数；
直线两端都不植树： 棵数

段数
1
全长

株
距
1
；
3
株距

全长

（棵数
1
）；

方法：
(155)25
，
(155)210
.
（二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数
关系，求这两个数。
方法：和

（倍数
1
）
1
倍数（较小数）
1
倍数（较小数）

倍数

几倍数（较
大数）
或 和
1
倍数（较小数）

几倍数（较大
数）
例如：两个数的和为50，大数是小数的4倍，
求这两个数。
方法：
50(41)10

10440

（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关
系，求这两个数。
方法：差

（倍数
1
）
1
倍数（较小数）
1倍数（较小数）

倍数

几倍数（较大
数）
或 和
1
倍数（较小数）

几倍数（较大数）
例如：两个数的差为80 ，大数是小数的5倍，求
这两个数。
方法：
80(51)20

205100

二、年龄问题
年龄问题的三大规律：
1．两人的年龄差是不变的；
2．两人年龄的倍数关系是变化的量；
3．随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的
量．
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄

大小年龄差

倍数差

小年龄，
几年前年龄

小年龄

大小年龄差

倍数差．
三、植树问题
（一）不封闭型（直线）植树问题
1 直线两端植树： 棵数

段数
1
全长

株距
1
；
（二） 封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题
棵数

总距离

棵距；
总距离

棵数

棵距；
棵距

总距离

棵数．
四、方阵问题
在方阵问题中，横 的排叫做行，竖的排叫做列，如
果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就
是所谓的“方 阵”。
方阵的基本特点是：
①方阵不论在哪一层，每边上的人（或
物）数量都相 同．每向里一层，每边
上的人数就少
2
，每层总数就少
8
．
②每边人（或物）数和每层总数的关系：
每层总数
[
每边人（或物）数
1]4
；
每边人（或物）数=每层总数
41
．
③实心方阵：总人（或物）数=每边人
（或物）数×每边人（或物）数．
五、还原问题 < br>已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新
数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常 是
以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这
种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就 是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用
加减互为逆运算和乘除互为逆运 算的道理，根据题意
的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相
反的运算，逐步逆推．
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原
来相反；二是运算方法与原来相反．
六、盈亏问题
按不同的方法分配物品时，经常发生不能均
分的情况．如果有物品剩余 就叫盈，如果物品不
够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．
一般地，一批物品分给一定数量的人 ，第一
种分配方法有多余的物品(盈)，第二种分配
方法则不足(亏)，当两种分配方法相差< br>n
个

物品时，那就有：
盈数

亏数

人数
n
，
这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．
解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概
括：
(盈

亏)

两次分得之差

人数或单位数，
(盈

盈)

两次分得之差

人数或单位数，
(亏

亏)

两次分得之差

人数或单位数． < br>解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会
盈，盈多少？什么情况下“亏”，“亏”多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．
另外在解题后，应进行验算．
七、假设问题
鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在现实生
活中也是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼问题的
解法——假设法，并会将这种方法应用到一些实
际问题中.
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数- 实际脚数）
÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
当然，也可以先假设全是鸡，那么就有：
兔数=（实际脚数- 每只鸡脚数×鸡兔总数）÷
（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
鸡数=鸡兔总数- 兔数
八、牛吃草问题
（一）牛吃草的由来
在英国伟大的科学家牛顿所著的《普通 算术》一
书中有一道非常有名的关于牛在牧场上吃草的题目：
“12头牛4周吃牧草
3
1
3
格尔(格尔：牧场面积单位)，
同样的牧草，21头牛9周吃10格尔． 问24格尔牧草，
多少头牛吃18周吃完？”后来人们就把这类题目称为
“牛顿问题”，也称为 “牛吃草”问题．
（二）牛吃草的解题步骤
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可
总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度

(对应牛的头数
较多天数

对
应牛的头数

较少天数)
< br>(较多天数

较少天数)；
⑶原来的草量

对应牛的头数< br>
吃的天数

草的
生长速度

吃的天数；
⑷吃的天数

原来的草量

(牛的头数

草的生长
速度)；
⑸牛的头数

原来的草量

吃的天数

草的生长
速度．
（三）牛吃草的变式题
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题 、检
票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本
质和解题思路，才能以不变应万变，轻 松解决此类问
题．
（四）多块草地的牛吃草问题
多块草地的“牛吃草”问题，一般 要将草地面积
变得统一，一般情况下可以找多块草地面积的最小公
倍数，这样可以避开小数分数 运算，但如果数据较大
时我们一般把面积统一为“1”相对会简单些。
九、工程问题
工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对
应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这< br>种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之
为“工程问题”。
1.解题关键 是把“一项工程”看成一个单位，运用公
式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工
程 队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作
效率。
2.利用常见的数学思想方法，如代换 法、比例法、列
表法、方程法等。抛开“工作总量”，和“时间”，
抓住题目给出的工作效率之 间的数量关系，转化出
与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把
整个工程看成一个单位 ”，求得问题答案，一般情况
下，工程问题求的是时间。
有的情况下，工程问题并不表现为两 个工程队在“修
路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经
济价格问题”等等，工 程问题不仅指一种题型，更是
一种解题方法。
十、浓度问题
将糖溶于水就得到了糖 水，糖水甜的程度是由
糖与糖水二者重量的比值决定的．糖与糖水重量的
比值叫糖水的浓度，这 个比值一般我们将它写成百
分数．其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液．不
光是糖水中存在着 浓度，我们日常生活中的盐水、
酒精等溶液只能够都存在着浓度的问题．
⑴浓度问题相关公式：
溶液溶质溶剂
；
浓度
溶质
溶 液
100%
溶质
溶质溶剂
100%
．
⑵常用方法：
①抓不变量：一般情况下在经济问题中成本是不
变量，浓度问题中溶剂 是不变量，我们可以用画图
来分析；
②方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解
是简便、有效的方法；
③十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)；
形象表达：

④浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有
用．

十一、利润问题
商店出售商品时，为了获得最大的利润，商家总
是“低进高出”，只 有这样才能赚取差价，这个差
价就会产生利润．实际上，在商品贸易上的许多
数学问题都会涉及 到三个量：成本、利润及定价．
成本——购进商品所需的本钱，又叫进价或成本
价；
定价——商品出售的价格，又叫售价或卖卖价；
利润——产品定价中高于成本以上的那一部分．
二：习题
1.
商店进了 300支钢笔，每售出1支，可获
40%
的利
润当这批钢笔售出芸时，共获得利润75 0元，求每
支钢笔的进货价.



2.
商场以每个< br>3.2
元的价格购进了一批文具盒，每个售
价5元，还剩下80个没售出时，除了成本已 经获利
500元．问这批文具盒一共有多少个?




3.
人民商厦运来一批彩电，按定价出售可以获利
2.8
万
元，如 果按定价的九五折出售，则仍可获利2000
元．问彩电的成本价共是多少元?




4.
红星商场进了一批玩具，六月一日这天以定价的八
折出售 ，当天售出的玩具仍可获得
10%
的利润，问
这批玩具定价时的利润是百分之几?





5.
一批商品，按照能获得
50%
的利润定价，结果只销
掉了
70%
的商品．为尽快将剩下的商品销售出 去，
商店决定打折出售，这样所获得的全部利润是原来
能获利润的
82%
．问 剩下的商品打了多少折出售?





6.
有300克浓度为
10%
的盐水．现在要将这盐水的浓
为了衡量获得利润的大小，通常 采用：“利润百分
数”或“利润率”这个量：
售价成本利润，利润率
利润售价成本

售价

成本
100%
成本
 100%


成本
1


100%
由上面的公式还可以引申出下面两个公式：
售价=成本（1+利润率）
，
成本< br>售价
1+利润率
．
度变为
8%
，问应加入多少克水?





7.
要从含糖
16%
的20千克糖水中蒸去水分，制出含糖
20%
的糖水，问应当蒸去多少千克水分?





8.
要配制浓度为
20%
的硫 酸溶液1000克，需要用浓度
为
18%
和
23%
的硫酸溶液各多少 克?




9.
大瓶酒精溶液是小瓶酒精溶液的2倍 ，大瓶酒精溶
液的浓度为
20%
，小瓶酒精溶液的浓度为
35%
．将
两瓶酒精溶液混合后，酒精溶液的浓度是多少?





10.
在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分
别占
48%
、
62.5%
和
2
3
．已知三缸酒精溶液总量是
100千克 ，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸
酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，听含纯酒精的
百分 数将达
56%
，那么，丙缸中纯酒精的量是多少
千克?(1997年小学数学奥林匹克 预赛C卷第12题)

11.
甲瓶中有纯酒精11升，乙瓶中有水15升，第一
次将甲瓶中的一部分酒精倒入乙瓶中，使酒精和水
混合．第二次将乙瓶中的一部分混合液倒入甲瓶
中．这样，甲瓶中的纯酒精含量为
62.5%
，乙瓶中
的纯酒精含量为
25 %
．问第二次从乙瓶倒人甲瓶的
混合液是多少升?







12.
李明和王林在周长为400米的环形跑道上练习跑




17.
小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是
小红年龄的4倍,小红有_ _______岁,妈妈
有 __岁.





18.
甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件,如果
把甲做的个数 加2,乙做的个数减3,丙做的个数乘
2,丁做的个数除以2,四个人做的零件个数正好相等,
8
步，李明每分钟跑200米，是王林每分钟跑的，
问四个人各做多少个零件?
9

如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至

少要经过几分钟两人才能相遇?




19.
叔叔比小华大20岁，明年叔叔的年龄是小华的3

倍，小华今年_______岁.




13.
从360米长的环形跑道上的同一地点向相同方向

跑步，甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米，两

人起跑后，问第一次相遇在离起点多少米处?
20.
女儿今年(1994年)12岁，妈妈对女儿说：“当你

有我这么大岁数时，我已经60岁喽!”问：妈妈12

岁时，是哪一年？


14.
绕湖一周是
21.1
千米，小明和小华从湖边同一地

点同时相背而行小明以每小时
4.6
千米的速度每走1

小时后就休息5分钟，小华以每小时
5.4
千米的速度

每走50分钟后就休息10分钟，问两人出发后多少

小时相遇?
21.
五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年

龄最小的大6岁，已知他们的平均年龄为85岁，其

中年龄最大的一位老人为________.






15.
12点整时，钟面上的时针、分针和秒针刚好重

合．那么，再过多长时间，钟面上的时针和分针再

次重合?重合时，时针、分针分别走了几圈几格?(钟
22.
今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的
面一圈分成60格)
年龄为儿子的年龄的2倍，儿子今年_______岁。








16.
有一个台式钟，在3月29日零时比标准时间慢4
23.
今年爷爷78岁，三个孙子 的年龄分别是27岁，
分半，它一直走到4月5日上午7时，比标准时间
23岁，16岁，经过 年后爷爷的等于三个孙了的年龄
快3分钟，那么这个台钟所指时间是正确的时刻在
的和。
几月几日几时?

24.
四个人年龄之和是77岁，最小的10岁，他与最
大的年龄之和比 另外二人年龄之和大7岁，那么最
大的岁数是_______。





25.
有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时，
丙是 22岁；当乙的年龄是丙的2倍，甲是31岁；
当甲60岁时，丙是________岁。





26.
甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是64 岁，甲
21岁时，乙17岁；甲18岁时，丙的年龄是丁的3
倍，丁现在的年龄的______ __岁。





27.
今年，小明的父母 年龄之和是小明的6倍，4年
后小明的父母亲年龄之和是小明的5倍，已知小明
的父亲比他的母 亲大2岁，那么，今年小明父亲
________岁。



28.
有甲、乙、丙三人，丙的年龄是甲年龄的
3
16
，乙
今年14岁，又知丙的年龄是甲、乙年龄之差的
1
3
，
丙今年______ __岁。


29.
爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥< br>现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之和正好等于
那时爸爸的年龄。”那么哥哥现在______ ___岁。






30.
甲对 乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才
5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将50，”那么甲现在________岁，乙现在_________
岁。




31.
六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票99张，共< br>花28元，其中单程票每张0.2元，往返票每张.4
元。那么单程票和往返票相差______ __张。




32.
三种昆虫共18只，它们共有 20对翅膀116条腿，
其中每只蜘蛛是无翅8条腿，每只蜻蜓是2对翅膀
6条腿，蝉是1对翅 膀6条腿，问这三种昆种各多
少只？





33.
启蒙书社五天内卖出<中学生手册>和<小学生手
册>共120本。<中学生 手册>第本5元，<小学生手
册>每本3.75元，营业员统计的结果表明：这五天
所卖<中学 生手册>的收入比卖<小学生手册>的收入
多162.5元，这五天内启蒙书社卖出的<中学生手
册>和<小学生手册>各多少本？






34.
王村小学举行数学竞赛，共10道题，每做对一道
题得10分，每做错一道题 倒扣2分，小明得了64
分，他做错了几道题？



35. < br>某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5
分，没做或做错都要扣3分，小聪得了60分，他 做
对了________道题。

36.
某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一
题得8分，每做错一题倒扣4分，小明共得72分，
他做对了________道题。





37.
春风小学3名云参加数学竞赛，共10道 题，答对
一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都
回答了所有的题，小明得了87分 ，小红得了74分，
小华得了9分，他们三人一共答对了________道题。





38.
箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球，53只
红球，那么，箱子里原有红球数_______ _只。






39.
原有男、 女同学325人，新学年男生增加25人，
女生减少
5%
，总人数增加16人，那么现 有男同
________人。




40.
一根木料长21米，把它据成3米长的一段，每据
一段用6分钟，共用________分钟。




41.
科学家进行一项实验，每隔五小时做一次 记录。
做第十二次记录时，挂钟时针恰好指向9，问做第
一次记录时，时针指向几？

47.




42.
从运动场一端到另一端 全长96米，从一端起到另
一端每隔4米插一面小红旗。现在要改成每隔6米
插一面小红旗，问 可以不拔出来的小红旗有多少
面？






43.
有一块三角形地，三条边分别为120米、150米、
80米，每10米种一 颗树，那么三条边上共种
________棵树。





44.
园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地
栽上树。他们先 沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，
当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽
一颗树。 这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？





45.
四年级三班上操正好排成人数相等的三行，小明
排在中间一行，从前从后数都 是第八个。那么这个
班有学生________人。






46.
四年级三个班的同学在河堤上种了一排树共80
棵。从 左往右数，第58棵起往右数都是一班种的；
从右往左数，第63棵起往左都是三班种的；那么二
班种了________棵。







在田径运动会上，甲、乙、丙三人沿400米环形跑
道进行800米跑比赛．当甲跑完1圈时， 乙比甲多
跑
11
圈，丙比甲少跑圈．如果他们各自跑步的速
77
度始 终不变．那么，当乙到达终点时，丙离终点还
有_________米.
48.
六 (1)班和六(2)班同学买同一种电影票．六(1)
4
班48人共付16
5
元，六(2)班共付了15
3
4
元，问六
年级两班共有多少人?

49.
某运输队运一批大米．第一天运走总数的
1
5
多60
袋，第二天运走 总数的
1
4
少60袋．还剩下220袋没
有运走。这批大米原来一共有多少袋 ？(只列式，不
计算)







50.
某市派出60名选手参加1998年“贝贝杯”少年田
1
径邀请赛， 其中女选手占．正式比赛时，有几名女
4
选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总< br>2
数的．正式参赛的女选手只有 名．
11

第三篇：参考答案
2、提高篇


31
.
7
.
5

32
.
500

33
.
49
.
2

34
.
37
.
5

35
.
8

36
.
75
.
37
.
4

38
.
400

39
.
25

40
.
12

41
.
6

42
.
16

43
.
60

44
.
2

45
.
6 5
5
11
分钟，
5
5
11
格，
46
.
4
月
2
日
9
时
47
.
32

48
.
41
,
80
,
85
,
164

49
.
9

50
.
1970

圈
5
5
11
格
51
.
88

52
.
10

53
.
6

54
.
90

55
.
32

56
.
8

57
.
37

58
.
6

59
.
25

60
.
20

61
.
17

62
. 蜘蛛
4
只，蝉
63
．
70

64
．
3

65
．
15

66
．
11

67
．
20

68
．
106

69
．
170

70
．
36

71
.
2

72
.
9

8
只，蜻蜓
6
只
1

73
.
35

74
.
54

75
.
45

76
.
39

77
.
200

78
.
93

79
.
（2206060）（1
11< br>5

4
）
80
.
10


3、竞赛篇

81
．
150

82
.
20:39

83
.
57

84
.
7

85
.
7

86
.
3
，
15

87
.
80.2
兆
88
.
50%

89
.
6

90
.
2

91
.
102

92
.
99

93
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753

94
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17

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34

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10

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12
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25

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60

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3

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2
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70