六年级下册人教版数学鸽巢问题(1)
闰年的算法-卢森堡大学
鸽巢问题（1）
教学导航：
【教学内容】
最简单的鸽巢问题（教材第68页例1和第69页例2）。
【教学目标】
1.理解
简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式，引导学生采用操
作的方法进行枚举及假设法探究“鸽巢问题”。
2.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识。
【重点难点】
了解简单的鸽巢问题，理解“总有”和“至少”的含义。
【教学准备】
实物投影，每组3个文具盒和4支铅笔。
教学过程：
【情景导入】
教师
：同学们，你们在一些公共场所或旅游景点见过电脑算命吗？
“电脑算命”看起来很深奥，只要你报出自
己的出生年月日和性别，一
按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子。通过今天的学习，我
们掌握了“鸽巢问题”之后，你就不难证明这种“电脑算命”是非常可笑
和荒唐的，是不可相信的鬼把戏
了。(板书课题：鸽巢问题)
教师：通过学习，你想解决哪些问题？
根据学生回答，教师把
学生提出的问题归结为：“鸽巢问题”是怎
样的？这里的“鸽巢”是指什么？运用“鸽巢问题”能解决哪
些问题？
怎样运用“鸽巢问题”解决问题？
【新课讲授】
1.教师用投影仪展示例1的问题。
同学们手中都有铅笔和文具盒，现在分小组形式动手操作
：把四
支铅笔放进三个标有序号的文具盒中，看看能得出什么样的结论。
组织学生分组操作，并在小组中议一议，用铅笔在文具盒里放一
放。
教师指名汇报。
学生汇报时会说出：1号文具盒放4支铅笔，2号、3号文具盒
均放0支铅笔。
教师：不妨将这种放法记为（4,0,0）。〔板书：（4,0,0）〕
教师提出：（4，0，0）（0，4，0）（0，0，4,）为一种放法。
教师：除了这种放
法，还有其他的放法吗？教师再指名汇报。学
生会有（4，0，0）（0，1，3）（2,2,0）（2
,1,1）四种不同的放法。教
师板书。
教师：还有不同的放法吗?
教师：通过刚才的操作，你能发现什么?（不管怎么放,总有一个
盒子里至少有2支铅笔。）
教师:“总有”是什么意思?（一定有）
教师:“至少”有2支什么意思?（不少于两只,可能是2支,也可能是
多于2支）
教师：就是不能少于2支。(通过操作让学生充分体验感受)
教师进一步引导
学生探究：把5支铅笔放进4个文具盒，总有一
个文具盒要放进几支铅笔？指名学生说一说，并且说一说
为什么？教
师:把4支铅笔放进3个盒子里,和把5支铅笔放进4个盒子里,不管怎
么放,总有
一个盒子里至少有2支铅笔。这是我们通过实际操作发现
的这个结论。那么,我们能不能找到一种更为直
接的方法,只摆一种情
况,也能得到这个结论呢?
学生思考——组内交流——汇报
教师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下?
学生会说:我们发现如果每个盒子里放1支铅笔
,最多放3支,剩下
的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。
教师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)
教师:同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗?
教师:这种分法,实际就是先怎么分的?
学生：平均分。
教师:为什么要先平均分?(组织学生讨论)
学生汇报：要想发现存在着“总有一个盒子里一
定至少有2支”,
先平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子
里一
定至少有2支”。
这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几支笔了?
教师:同意吗?那么把5支铅笔放进4个盒子里呢?(可以结合操作,
说一说)
教师:哪位同学能把你的想法汇报一下？
学生:(一边演示一边说)5支铅笔
放在4个盒子里,不管怎么放,总
有一个盒子里至少有2支铅笔。
师:把6支铅笔放进5个盒子里呢?还用摆吗?
生:6支铅笔放在5个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有
2支铅笔。
师:
把7支铅笔放进6个盒子里呢?把8支铅笔放进7个盒子里呢?
把9支铅笔放进8个盒子里呢?……
教师：你发现什么?
学生：铅笔的支数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至
少有2支铅笔。
教
师:你们的发现和他一样吗?(一样)你们太了不起了!同桌互相
说一遍。把100支铅笔放进99个文
具盒里会有什么结论？一起说。
巩固练习：教材第68页“做一做”。
A组织学生在小组中交流解答。
B指名学生汇报解答思路及过程。
2.教学例2。
①出示题目:把7本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉
里至少有几本书?请同学们
小组合作探究。探究时，可以利用每组桌
上的7本书。
活动要求：
a.每人限独立
思考。b.把自己的想法和小组同学交流。c.如果需要
动手操作，可以利用每桌上的7本书，要有分工
，并要全面考虑问题。
(谁分铅笔，谁当抽屉，谁记录等)
d.在全班交流汇报。(师巡视了解各
种情况)
学生汇报。
哪个小组愿意说说你们的方法？把你们的发现和大家一起分享，
学生可能会有以下方法：
a.动手操作列举法。
学生：通过操作，我们把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至
少放进3本书。
b.数的分解法。
把7分解成三个数，有多种情况。在任何一种情况下，总有一个
数不小于3。
教师：
通过动手摆放及把数分解两种方法，我们知道把7本书放
进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进几本书?(
3本)
②教师质疑引出假设法。
教师：同学们通过以上两种方法，知道了把7本书放进3个
抽屉，
总有一个抽屉至少放进3本书，但随着书的本数越多，数据变大，如：
要把155本书放
进3个抽屉呢？用列举法、数的分解法会怎么样？（繁
琐）我们能不能找到一种适用各种数据的方法呢？
请同学们想想。如
果有8本书会怎样？10本书呢？
板书:7÷3=2……1(总有一个抽屉里至少有3本书)
8÷3=2……2(总有一个抽屉里至少有3本书)
10÷3=3……1(总有一个抽屉里至少有4本书)
师:3本、3本、4本是怎么得到的?
生：完成除法算式。
7÷3=2……1(商加1)
8÷3=2……2(商加1)
10÷3=3……1(商加1)
师:观察板书你能发现什么?
学生：“总有一个抽屉里的至少有3本”，只要用“商+1”就可以得
到。
师:如果把5本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至
少有几本书?
学生:“总有一个抽屉里至少有3本”只要用5÷3=1……2,用“商+2”
就可以了。 <
br>学生有可能会说：不同意!先把5本书平均分放到3个抽屉里,每
个抽屉里先放1本,还剩2本,
这2本书再平均分,不管分到哪两个抽屉
里,总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。
师
:到底是“商+1”还是“商+余数”呢?谁的结论对呢?在小组里进行
研究、讨论、交流、说理活动。
可能有三种说法：a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有
一个抽屉里至少有2本书,
不是3本书。
b.把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,余下的2
本可以在
2个抽屉里再各放1本,结论是“总有一个抽屉里至少有2本
书”。
c.我们
组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里,“总有一个抽屉
里至少有2本书”用“商加1”就可以了,不
是“商加2”。
教师:现在大家都明白了吧?那么怎样才能够确定总有一个抽屉
里至少有几个物体呢?
学生回答：如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所
得的商加1,就会发现“总有一个抽
屉里至少有商加1本书”了。
教师讲解：同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称<
br>“鸽笼原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又
称“狄里克雷原理”,
也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有
着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的,
用它可以解决许多有
趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一
原理解
决问题。
提问：尽量把书平均分给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，
你们能用什么方式
表示这一平均的过程呢？
学生在练习本上列式：7÷3=2……1。
集体订正后提问：这个有余数的除法算式说明了什么问题？
生：把7本书平均放进3个抽屉，
每个抽屉有两本书，还剩一本，
把剩下的一本不管放进哪个抽屉，总有一个抽屉至少放三本书。
③引导学生归纳鸽巢问题的一般规律。
a.提问：如果把10本书放进3个抽屉会怎样？13本呢？
b.学生列式回答。
c.教师板书算式：10÷3=3……1（总有一个抽屉至少放4本书）
13÷3=4……1（总有一个抽屉至少放5本书）
④观察特点，寻找规律。
提问：观察3组算式，你能发现什么规律？
引导学生总结归纳出：把某一数量（奇数）的书放
进三个抽屉，
只要用这个数除以3，总有一个抽屉至少放进书的本数比商多一。
⑤提问：如果把8本书放进3个抽屉里会怎样，为什么？
8÷3=2……2
学生汇
报。可能出现两种情况：一种认为总有一个抽屉至少放3
本书；一种认为总有一个抽屉至少放4本书。
学生讨论。讨论后，学生明白：不是商加余数2，而是商加1。
因为剩下两本，也可能分别放进
两个抽屉里，一个抽屉一本，相当于
数的分解（3,3,2）。所以，总有一个抽屉至少放3本书。
⑥总结归纳鸽巢问题的一般规律。
要把a个物体放进n个抽屉里，如果a÷n=b……c（c
≠0），那么
一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。
【课堂作业】
教材第69页“做一做”。
（1）组织学生在小组中交流解答。
（2）指名学生汇报解答思路及过程。
答案：
（1）因为11÷4=2（只）……3（只） 2+1=3(只)
所以一定有一个鸽笼至少飞进3只鸽子。
（2）因为5÷4=1（人）……1（人） 1+1=2(人)
所以一定有一把椅子上至少坐2人。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有哪些收获？
【课后作业】
教材第71页练习十三第1题。
教学板书：
鸽巢问题（1）
（4，0，0）（0，1，3）（2,2,0）（2,1,1）
学生铅笔的支数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少
有2支铅笔。
7÷3=2……1(总有一个抽屉里至少有3本书)
8÷3=2……2(总有一个抽屉里至少有3本书)
10÷3=3……1(总有一个抽屉里至少有4本书)
13÷3=4……1（总有一个抽屉至少放5本书）
要把a个物体放进n个抽屉里，如果a÷
n=b……c（c≠0），那么
一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。
教学反思：
1.小组活动很容易抓住学生的注意力，让学生觉得这节课要探究
的问题既好玩又有意义。
2.理解“鸽巢问题”对于学生来说有着一定的难度。
3.大部分学生很难判断谁是物体，谁是抽屉。
4.学生对“至少”理解不够，给建模带来一定的难度。
5.培养学生的问题
意识，借助直观操作和假设法，将问题转化为
“有余数的除法”的形式。可以使学生更好地理解“抽屉原
理”的一般思
路。
6.经历将具体问题“数学化”的过程，有利于培养学生的数学思维
能力，让学生在运用新知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中进一步
体验数学的价值，感受数学的魅力
，激发学习的兴趣。