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礼贤小学数学科组中高年级课题《“五环节”练习教学模式》教学案例及反思
六 年级 数学 科《数学广角 鸽巢问题》教学案例及反思

执教者： 陈秀引 2016年 4 月 28 日（第 11 周 三 第 2 节） 上课班级： 六1班

设计理念 ：《鸽巢问题》即鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数
学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷 明确提出来的，因
此，也称为狄利克雷原理。
首先，用具体的操作，将抽象变为直观。“总有 一个筒至少放进
2支笔”这句话对于学生而言，不仅说起来生涩拗口，而且抽象难以
理解。怎样 让学生理解这句话呢？我觉得要让学生充分的操作，一在
具体操作中理解“总有”和“至少”；二在操作 中理解“平均分”是
保证“至少”的最好方法。通过操作，最直观地呈现“总有一个筒至
少放进 2支笔”这种现象，让学生理解这句话。
其次，充分发挥学生主动性，让学生在证明结论的过程中 探究方
法，总结规律。学生是学习的主动者，特别是这种原理的初步认识，
不应该是教师牵着学 生去认识，而是创造条件，让学生自己去探索，
发现。所以我认为应该提出问题，让学生在具体的操作中 来证明他们
的结论是否正确，让学生初步经历“数学证明”的过程，逐步提高学
生的逻辑思维能 力。
再者，适当把握教学要求。我们的教学不同奥数，因此在教学中
不需要学生说理的严 密性，也不需要学生确定过于抽象的“鸽巢”和
“物体”。
教材分析：《鸽巢问题》这是 一类与“存在性”有关的问题，如
任意13名学生，一定存在两名学生，他们在同一个月过生日。在这< br>类问题中，只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了，并不需
要指出是哪个物体(或哪个 人)，也不需要说明通过什么方式把这个存
在的物体(或人)找出来。这类问题依据的理论，我们称之为 “鸽巢问
题”。
通过第一个例题教学，介绍了较简单的“鸽巢问题”：只要物体
数比鸽巢数多，总有一个鸽巢至少放进2个物体。它意图让学生发现
这样的一种存在现象：不管怎样放， 总有一个筒至少放进2支笔。呈
现两种思维方法：一是枚举法，罗列了摆放的所有情况。二是假设法，< br>用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。通过前一个例题的两个层
次的探究，让学生理解“平均 分”的方法能保证“至少”的情况，能
用这种方法在简单的具体问题中解释证明。
第二个 例题是在例1的基础上说明：只要物体数比鸽巢数多，总
有一个鸽巢里至少放进(商+1)个物体。因此 我认为例2的目的是使学

生进一步理解“尽量平均分”，并能用有余数的除法算式表示思 维的
过程。
学情分析：可能有一部分学生已经了解了鸽巢问题，他们在具体
分析过程 中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结
论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知 其所以然”，为什么平
均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。还有部分学生完全没有
接触 ，所以他们可能会认为至少的情况就应该是“1”。
教学内容：人教版六年级数学下册教材第68-69页《数学广角 鸽
巢问题》例1、例2。
教学目标：
1.知识目标：通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，经历“鸽
巢问 题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢原理”解
决简单的实际问题。
2.能力 目标：经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、
有条理地进行思考和推理的能力。
3 .情感目标：通过“鸽巢原理”的灵活应用，渗透“建模”思想，
提高学生解决数学问题的能力和兴趣， 感受到数学文化及数学的魅
力。
教学重点、难点：
1.重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。

2.难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型
化”。
教具准备：相关课件 相关学具(若干笔和筒)。
教学过程 ：
一、基础练习。
1.填一填。
3＝（ ）+（ ）＝（ ）+（ ）
4＝（ ）+（ ）＝（ ）+（ ）＝（ ）+（ ）＝（ ）+
（ ）
5＝（ ）+（ ）+（ ）＝（ ）+（ ）+（ ）＝（ ）+
（ ）+（ ）＝（ ）+（ ）+（ ）
2.魔术游戏（5人小组玩一玩并作讨论、验证）。
一副牌，取出大小王，还 剩52张牌，你们5人每人随意抽一张，
至少有2张牌是同花色的。相信吗？
[设计意图：联系学生的生活实际，激发学习兴趣，使学生积极
投入到后面问题的研究中。]
3.引入新课。

想知道这是为什么吗？通过今天的学习，你就能解释这个现象
了。下面我们就来研究这类问题，板题：数学广角——鸽巢问题。
二、自学例题，初次尝试。
1.学习例1。
（1）出示尝试题：3支笔，2个笔筒，可以怎么放？请同学们运
用 实物放一放，看有几种摆放方法?
①学生汇报结果：(3 , 0 ) (2，1)。
②师生交流摆放的结果，小结：不管怎么放，总有一个筒里至少
放进了2支笔。
（2）教学例 1：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总
有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么？
①具体操作，感知规律。
a.学生汇报结果。
(4，0,0) (3，1，0) (2，2，0) (2，1，1)
b.师生交流摆放的结果。
c.小结：不管怎么放，总有一个筒里至少放进了2支笔。
(学情预设:学生可能不会说，“不管怎么放，总有一个筒里至少
放进了2支笔。”)
[ 设计意图：鸽巢问题对于学生来说，比较抽象，特别是对“不
管怎么放，总有一个筒里至少放进了2支笔 ”这句话的理解。所以通
过具体的操作，枚举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中
数 量最多的筒，理解“总有一个筒里至少放进了2支笔”。让学生初
步经历“数学证明”的过程，训练学生 的逻辑思维能力。]
质疑：我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一次，也能得
到这个结论的方法呢？
②假设法，用“平均分”来演绎“鸽巢问题”。
a.思考，小组讨论：要怎么放，只放一次，就能得出这样的结论
呢？
学生思考——小组交流——汇报
b.汇报想法
预设生1：我们发现如果每个筒里放 1支笔，最多放3支，剩下
的1支不管放进哪一个筒里，总有一个筒里至少有2支笔。
③学生操作演示分法，明确这种分法其实就是“平均分”。
[设计意图：鼓励学生进行积极自主探索， 寻找不同的证明方法，
在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设
法渗 透平均分的思想。]
2.同类练习：5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进
了2只鸽子。为什么？

学生思考回答，教师借此进行小结：上面我们所证明的数学原理
就是最简单的“抽屉 原理”，可以概括为：把m个物体任意放到m-1
个抽屉里，那么总有一个抽屉中至少放进了2个物体。
三、深化例题，二次尝试。
1.以小组为单位，自由选择方法解决以下问题（例2）： 把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进
3本书。为什么？如果有8本书会怎 样呢？10本书呢？
（1）学生独立思考后，进行小组交流；
（2）教师巡视了解情况；
（3）组织全班交流，说说选择的方法：
①用列举的方法：把7分解成三个数，有（7，0， 0），（6，1，
0），（5，1，1），（4，1，2），（3，1，3），（3，2，2）这样六种情况，在任何一种情况中，总有一个数不小于3。
同学们，我们知道把7本书放进3个抽屉， 不管怎么放，总有一
个抽屉里至少放进3本书。但随着书的本数增多，数据变大，如果有
8本书 会怎样呢？10本书呢？甚至更多呢？如果还是用列举的方法，
就会觉得很繁琐。我们能不能找到一种适 用各种数据的一般方法呢？
小组讨论讨论。
②假设法：学生尝试把书尽量“平均分”给各个抽 屉，看每个抽
屉能分到多少本书，你们能用什么算式表示这一平均分的过程呢？
7÷3=2… …1（把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放2本书，
还剩1本；把剩下的1本不管放到哪个抽屉，总 有一个抽屉至少放3
本书。）
8÷3=2……2（把8本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放2 本书，
还剩2本；把剩下的2本中的1本不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉
至少放3本书。）
10÷3=3……1（把10本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放3本
书，还剩1本；把剩下的 1本不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉至少
放3本书。）
在这种方法中，你发现了什么？ < br>师生共同小结：要把a个物体放进n个抽屉，如果a÷n＝b……c
（c≠0），那么一定有一个 抽屉至少放（b+1）个物体。
[设计意图：在渗透研究问题、探索规律时，先从简单的情况开
始研究。证明过程中，展示了不同学生的证明方法和思维水平，使学
生既互相学习、触类旁通，又建立 “建模思想”，突出了学习方法。]
四、发展练习。
1.11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了几只鸽
子。为什么？

2.随意找13位老师，他们中至少有几个人的属相相同。为什么？
3.5个人坐4把椅子，总有一把椅子至少坐（ ）人。
4.张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少
有一镖不低于（ ）环。
五、综合练习。
1.1001只鸽子飞进50个鸽舍，无论怎么飞，我们一定
能找到 一个鸽子最多的鸽舍，它里面至少有（ ）只鸽子。
2.从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿， 我们一
定能找到一个拿出苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了
（ ）个苹果。
3.从（ ）（填最大数）个抽屉中拿出25个苹果，才能
保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了7个苹果。
六、课末总结，梳理提升。
通过这节课的学习，你有什么收获？（物体数除以抽屉
数 ，那么总会有一个抽屉里放进比商多1的物体个数。）

（附）板书设计:
鸽巢问题
7÷3=2……1 要把a个物体放进n个抽屉，如果
8÷3=2……2 a÷n＝b……c（c≠0），那么一定有
10÷3=3……1 一个抽屉至少放（b+1）个物体。


教后反思：
1.学生对“至少”理解不够，给“建模”带来了一定的难度；
2.培 养学生的问题意识，借助直观操作和假设法，将问题转化成
“有余数的除法”形式。可以使学生更好地理 解“抽屉原理”的一般
思路；
3.经历将具体问题“数学化”的过程，有利于提高学生的数学 思
维能力，让学生在运用新学知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中，
进一步体验数学的价值， 感受数学的魅力，培养学习数学的兴趣。

教学设计点评
想：每个鸽舍飞进( )鸽子，共飞进( )鸽子。剩下( )鸽子还要
飞进其中的1个或2个鸽舍，所以，至少有( )鸽子要飞进同一个鸽
舍里。