祖国不会忘记简谱-圣诞节是什么时候

六下 人教版 同步奥数 第五单元 数学广角——鸽巢问题 能力提升 思维突破 挑战极限
第五单元 数学广角——鸽巢问题（抽屉原理）
一、最不利原则：
为了保证能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能达到目标。
二、抽屉原理：
形式1：把n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里；
形式2：把m×n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有m+1个苹果放在一个抽屉里。
模块一 抽屉原理
【例题1】把3个苹果放到两个抽屉中，有（ ）种放法。


【练习1】把4支铅笔放进3个笔筒中，有（ ）种放法。


【例题2】把8个桃子放到7个果盘里，一定有一个果盘里至少放进了（ ）桃子。


【练习2】把7本书放进6个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进（ ）本书。


【例题3】五年级一班有28个学生，保证至少有几个同学在同一个月出生？


【练习3】在任意25个人中，至少有几个人的星座相同？


【例题4】把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球？


【练习4】把17本书最多放到（ ）个空书架上，才能保证至少有一个书架上有5本书。



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【例题5】平安路 小学组织862名同学去参观甲、乙、丙3处景点。规定每名同学至少参观
一处，最多可以参观两处，至 少有多少名同学参观的景点相同？



【练习5】中国奥运代表团的17 3名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、
橙汁、味全和矿泉水6种饮料，每人各买两种 不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相
同？



【例题6 】国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项。那么至
少有多少个学生，才能 保证至少有4个人参加的活动完成相同？



【练习6】桂苑小学六年级 每名学生都订阅了《数学小灵通》、《小学生作文》、《英语天
地》、《科学画报》这4种报刊中的2种 ，他们当中至少有34名学生订阅的报刊种类相同。
你知道桂苑小学六年级至少有多少名学生吗？



【例题7】从1，2，3，……，21这些自然数中，最多可以取出多 少个数，使得其中每两个
数的差都不等于4？



【练习7】1 至70这70个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等
于6？



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【例题8】从1，4，7，10，……37，40这14个自然数，至少任 取多少个数才能保证其中至
少有2个数的和是41？



【练习 8】从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的
和是50？



【例题9】从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能 保证其中一定有两个数的
和是7的倍数？如果要保证是6的倍数呢？



【练习9】从1至99这99个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5
的 倍数，至少要取多少个？



【例题10】某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有多少
人的头发根数一样多？



【练习10】49名同学共同参加体 操表演，其中最小的8岁，最大的11岁。参加体操表演的
学生中至少有几名同学在同年同月出生？





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模块二 最不利原则
【例题1】盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少
要摸出几个球？


【练习1】有红、绿、蓝三种颜色的小球各5个，至少取出几个能保证有2个同色的？


【例题2】布袋里有4种不同颜色的小球若干个，最少取出多少个小球，就能保证其中一定< br>有3个小球的颜色相同？


【练习2】盒子里放有三种不同颜色的筷子各若干根，最少摸（ ）根，才能保证至少有3
根筷子是同色的。


【例题3】盒子里有8个黄球，5个红球，至少摸 次一定会摸到红球。


【练习3】有一叠包含20张红色、20张绿色及10张蓝色的纸片，请问至少要抽取 张
纸片，才能保证其中有12张纸片的颜色相同。


【例题4】一个口袋 中装有500粒珠子，共有黑、白、红、蓝、绿五种颜色，每种颜色各100
粒，如果闭上眼睛取珠子。
（1）至少一次性取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？


（2）至少一次性取出多少粒珠子才能保证每种珠子各有不少于5个？



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【练 习4】桌子上有5个黑球，4个红球，3个白球，艾迪闭上眼睛取，要想保证获得2个白
球，至少要一次 取出多少个？




【例题5】一副扑克牌有四种花色，每种花 色各13张，另外还有两张王牌，共54张。问：
至少从中摸出多少张牌才能保证：
（1）至少有2张牌有相同的点数；


（2）至少有5张牌的花色相同；


（3）四种花色的牌都有。


【练习5】一副扑克 牌有54张，去掉大小王还剩52张，有黑桃、红桃、方片、草花四种花
色，每种花色都有1～13的1 3张，问：
（1）最少要拿出几张，才能保证抽到两张黑桃？



（2）最少要拿出几张，才能保证四种花色都有？








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【例题6】有黄色袜子9只，绿色袜子7只，白色袜子4只，红色袜子2只 ，黑色袜子1只，
艾迪闭着眼睛摸袜子。
（1）至少摸出几只袜子才能保证凑出1双袜子？



（2）至少摸出几只袜子才能保证凑出2双袜子？



（3）至少摸出几只袜子才能保证凑出2双同色袜子？



（4）至少摸出几只袜子才能保证凑出2双为不同色袜子？




【练习6】桌子上有8根黑筷子，7根红筷子，6根白筷子，闭上眼睛至少抽几根才能保证得
到4双筷子（同色两根才算一双）？











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挑战极限
1.至少取出多少个正整数，才能保证其中一定有两个数的和或差是100的倍数？





2.在边长为2的正六边形中，放入50个点，任意三点不 共线，请证明：一定能从中选出三个
点，以它们为顶点的三角形面积不大于1.






3.能否在88的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1 ,或2,或3,要使每行、每列及两条对
角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由.






4.将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色（每 一列的三小格涂的颜色不同），不论如何涂色，
其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？
































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考试真题
1.（2016•广州）选择。
（1）小东 玩掷骰子游戏（掷一枚骰子），要保证掷出的骰子数至少有两次是相同的，小东至
少应该掷（ ）次，
A.5 B.6 C.7 D.8


(2)李阿姨 给幼儿园的孩子买衣服，有红、黄、白3种颜色，结果总是至少有2个孩子的衣服
颜色一样，她至少给（ ）个孩子买衣服。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6


2.（2015•三帆分班考试真题）有7双白手套，8双黑手套，9双红手 套放在一只袋子里，一
位小朋友在黑暗中从袋中摸取手套，每次摸一只，但无法看清颜色，为了确保能摸 到至少6
双手套，他最少要摸出手套 只，（手套不分左、右手，任意两只可成一双。）


3.（2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛-决赛-中年级组-第 8题）布袋中有60个彩
球，每种颜色的球都有6个。蒙眼取球，要保证取出的球中有三个同色的球，至 少要取出 个
球。


4.（2014年第十五届中环杯初赛第5题 ）一次中环杯比赛，满分为100分，参赛学生中，最
高分为83分，最低分为30分（所有的分数都是 整数），一共有8000个学生参加，那么至少
有_____个学生的分数相同。







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巩固练习
1.在任意13个人中，至少有几个人的星座相同？



2.金 星小学六年级有30名学生是2月份出生的，所以六年级至少有2名学生的生日是在2月
份的同一天，为 什么？



3.大风车幼儿园大班有25个小朋友，班里有60件玩具。 若把这些玩具全部分给班里的小朋
友，则会有小朋友得到3件或3件以上的玩具吗？


4.把36名同学最多分成几个小组，才能保证至少有1个小组有8名同学？


5.学校图书馆有科普读物、故事书、连环画这3种图书。每名学生从中任意借阅2本，那么
至少要几名学生借阅才能保证其中一定有2名学生所借阅的图书种类一样？

6.中国奥运代表团的83名运动员到超市买饮料。超市有可乐、雪碧、芬达和橙汁。每人各买
两种 不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？


7.校运动会共有4个项目， 每个学生至多参加3项，至少参加1项。那么至少有多少个学生，
才能保证至少有5个人参加的活动完成 相同？





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8.1至30这30个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6？




9.从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数 ，才能保证其中一定有两个数的和为
12？


10.一副扑克牌（取出两张王牌）。
（1）一次至少要拿出多少张牌，才能保证有2张是相同花色的？


（2）一次至少要拿出多少张牌，才能保证4种花色都有？



11.有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出 个，
才能保证有5个小球是同色的。




12.一人 布袋中有40块相同的木块，木块上的号码是1，2，3，4的各有10块。一次至少取
出多少块木块， 才能保证其中至少有3块木块上的号码相同？







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参考答案
模块一 抽屉原理
【例题1】 2
解析： 3 3

3 0 1 2
【练习1】4
解析： 4 4 4 4

4 0 0 3 1 0 2 2 0 2 1 1
【例题2】2 解析：8÷7=1（个）……1（个） 1+1=2（个）
【练习2】2 解析：7÷6=1（个）……1（个） 1+1=2（个）
【例题3】28÷12=2……4 2+1=3（人）
【练习3】25÷12=2……1 2+1=3（人）
【例题4】5-1=4（个） （25-1）÷4=6（个）
【练习4】4 解析：（17-1）÷（5-1）=4（个）
【例题5】 共有6种参观方案：甲、乙、丙、甲+乙、甲+丙、乙+丙
862÷6=143（名）……4（名） 143+1=144（名）
答：至少有144名同学参观的景点相同.
【练习5】
C
2
6
=6×5=15(种） 173÷15=11……8 11+1=12（人）
【例题6】5+10=15（种） 15×（4-1）+1=46（个）
【练习6】
C
2
4
=6 (34-1)×6+1=199(人）
【例题7】把1，2，3，……，21，这21个数分成四组。
1，5，9，13，17，21.共6个。
2，6，10，14，18.共5个。
3，7，11，15，19.共5个。
4，8，12，16，20.共5个。
1～8中取前 4个数，9～16中取前4个数，17～21中取前4个数。
【练习7】把1，2，3，……，70，这 70个数分成六组。
1，7，13，19，25，31，37，43，49，55，61，67.共12个。

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×3=12（个） 4

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2，8，14，20，26，32，38，44，50，56，62，68.共12个。
3，9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69.共12个。
4，10，16，22，28，34，40，46，52，58，64，70.共12个。
5，11，17，23，29，25，41，47，53，59，65.共11个。
6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66.共11个。
6×6=36（个）
【例题8】8个。提示：将这14个数按下面的方式分成7组（1，40），（4 ，37），（7，34），
（10，31），（13，28），（16，25），（19，22）。 < br>【练习8】（1，49），（2，48），（3，47），（4，46），（5，45），（6，44）， （7，
43），（8，42），（9，41），（10，40），……（24，26）。共24组。
（25），（50）
24+1+1+1=27（个）
【例题9】46个；37个。
解析：（1）如果取出的数没有两个数的和是7的倍数。则：除 以7余1的数与除以7余6的
数不能共存，除以7余2的数与除以7余5的数不能共存，除以7余3的数 与除以7余4的
数不能共存.而除以7余0的数只能取1个，且100=14×7……2，所以最不利的 情况是取尽余
1、余2、余3和一个余0的数，共45个数，所以至少选出46个数才能满足要求。
（2）除以6余1的数有17个，除以6余2的数有17个，除以6余3的数有17个，除< br>以6余5的有16个，除以6余0的数有16个。最不利原则取尽余1、余2和一个余0、余3
的 数，共17+17+1+1=36个。所以至少选出37个数才能保证是6的倍数。
【练习9】除以5 余1的数有20个，除以5余2的数有20个，除以5余3的数有20个，除
以5余4的数有20个，除 以5余0的数有19个。最不利原则取尽余1、余2和一个余0的
数，共20+20+1=41（个）， 再任选一个数一定符合题意，所以至少取出42个数。
【例题10】将4千万人按头发的根数进行分类 ：0类，1根，2根，……，150000根，共150001
类。40000000÷（150000 +1）=266（人）……99744（根） 266+1=267（人）
【练习10】4×12=48 49÷48=1（名）……1（名） 1+1=2（人）
模块二 最不利原则
【例题1】2+1=3（个）
【练习1】3+1=4（个）
【例题2】4×（3-1）+1=9（个）
【练习2】3×2+1=7（根）

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【例题3】8+1=9（个）
【练习3】10+10+10+1+1+1=33（张）
【例题4】（1）4×5+1=21 （2）405
【练习4】5+4+2=11（个）
【例题5】（1）13+2+1=16 （2）4×4+2+1=19 （3）13×3+2+1=42
【练习5】（1）13×3+2=41（张） （2）13×3+1=40（张）
【例题6】（1）5+1=6 （2）6+1+1=8 （3）1+2+3+3+3+1=13 （4）9+1+1+1+1=13 13+1=14
【练习6】10根
挑战极限
1.52 解析：两个数的差是100的倍数，则这两个数除以100的余数相同，所以至少要取出
101个正整数才能满足要求。而如果取出的数除以100的余数都不同，可用除以100的所有
余数构造出51个组数：（1，99）、（2，98）、……、（49，51）、（50）、（0），每组两数之和是100倍数，只取出余数为每个数组中较小的数显然不能满足要求，所以至少要取
出52 个数，这时由抽屉原理知必定能取到某一个数组的两个数。
2.证明：先将正六边形分割成6个边长为 2的正三角形，再将每个三角形等分成4个边长为
1的正三角形，这样就把正六边形分割成24个边长为 1的正三角形，则由抽屉原理知，必有
3点在一个等边三角形中，以它们为顶点的三角形面积显然不大于 1，（边长是1的等边三角
形面积小于1）。
3.注意到8行、8列及两对角线共有18条“ 线”,每条线上有8个数字,要使每条线上的数字
和不同,也就是需要每条线上的数字和有18种以上的 可能.但我们填入的数只有1、2、3三种,
因此在每条线上的8个数字中,其和最小是8,最大是24 ,只有24-8+1=17(种).故不可能使得
每行,每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等.
4.9÷6=1……3， 1+1=2（种） 同意
考试真题
1.（1）C （2）C
2.14 解析：考虑最不利原则，考虑临界情况，他要6双，先给他5双，然后把尽可能多 的手
套拿出来，也就是总共10+3+1=14（只）。
3. 21 解析：60÷6=10（种） 2×10+1=21（个）
4. 149 解析：83-30+1=54 8000÷54=148……8 148+1=149（个）
巩固练习
1. 2

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2.30÷29=1（人）……1（人） 1+1=2（人）
3.60÷25=2（件）÷10（件） 2+1=3（件） 会
4.（36-1）÷（8-1）=5（个）
5.借阅种类：科普+故事 科普+连环 故事+连环 科普+科普 故事+故事 连环+连环
共有6种情况。
6+1=7（名）
答：至少要7名学生借阅才能保证其中一定有2名学生所借阅的图书种类一样.
6.83÷6=13……5 13+1=14（人）
32
7.
C
4
C
4
4
=14(种） （5-1）×14+1=57（人）
8.把1，2，3，……，30，这70个数分成六组。
1，7，13，19，25.共5个。
2，8，14，20，26.共5个。
3，9，15，21，27.共5个。
4，10，16，22，28.共5个。
5，11，17，23，29.共5个。
6，12，18，24，30.共5个。
1～12中取前6个数，13～24取前6个数，25～30取前6个数。 3×6=18（个）
9.可以分组为：（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7）共5组。考虑最差
情况：取出6和五组数据中的其中一个，再任意取出一个都会出现两个数的和是12，5+1+1=7
（个）
10.（1）4+1=5（张） （2）1+13+13+1=40（张）
11.3×4+1=13（个）
12. 2×4+1=9（块）

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