弄清“至少”不容易
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弄清“至少”不容易
浅谈对人教版“数学广角”抽屉原理中“至少”的理解
在《现代汉语词典》的注释中,“至少”一词是这样定义的: 副词,表
示最小的限度。通俗的
理解就是最少的,不能比这更少了。如至少有
500人参加了音乐会;又如从这儿走到学校,至少要半个
小时。
在人教版小学数学新课标教材中,也经常在文字叙述中出现“至少”
一词。如六年级
（下册）“数学广角--抽屉原理”中例1
:把4枝铅笔
放进3个文具盒中,不管怎么放,总有一个文具盒中至少放进2枝铅笔。
我们发
现,在教学中学生很容易用字面的含义孤立地理解为把4枝铅
笔放进3个文具盒中，有一个盒子里至少放
进0枝才对呀！怎么会
是2枝呢？ 显然，他们是利用直觉经验或定势思维来给至少取值，
是比
较片面的。那么该如何理解这里的“至少”呢？下面谈谈个人的
一些思考。
一
、“物体数不少于抽屉数”--“至少”的前提
“物体数不少于抽屉数”是讨论抽屉原理中“至少”
含义的前提。抽
屉原理也正是在这个前提下,才有多样的变化,才有数学研究的价值。
试想。如
果物体数比抽屉数少,那么不管怎么放,总有抽屉会空着。如
3
枝铅笔任意放进4个盒子,可能有（3,0,0,0），（2,1,0,0），（1,1,1,0，）
三种放法,这里就不存在“总有一个抽屉至少有……”的多样化问题，
而是至少有一个
抽屉是空的。
二、“最多中找最少”--“至少”的关键
在物体数最多
的抽屉中找最少的物体个数,这是理解“至少”含义的
关键。我们来看下面这个“数学广角--
抽屉原理”的教学片段。
1 .把4枝铅笔放进3个铅笔盒中
出示题目:把4枝铅笔放进3个铅笔盒中,怎么放？ 有几种不同的放法？
学生先思考.然后在组内动手操作,教师强调不考虑盒子的顺序。
师:谁来展示一下你摆放的情况？
根据学生摆的情况,教师演示各种情况:
（4,0,0），（3,1,0），（2,2,0），
（2,1,1）。
师:铅笔盒中的枝数有哪几种不同的情况呢？
生: 0枝、1枝、2枝、3枝、4枝。
师:看来,不管怎么放,总有一个铅笔盒放的枝数是最多的，同学们能找
出来吗？
生1:第一种摆法中,总有一个铅笔盒要放进4枝铅笔。
生2:那第二种摆法中,总有一个铅笔盒要放进3枝铅笔。
……
师:
4枝铅笔放进3个铅笔盒中,不管怎么摆总有一个铅笔盒放的枝数
是最多的，可能是2枝、3枝或4枝。
2.把5枝铅笔放进4个铅笔盒中
师:把5枝笔放进4个铅笔盒中.你能根据刚才的操作直
接填写下表吗？
学生完成后汇报,教师出示完整表格。
摆法1
盒1
5
盒2
0
盒3
0
盒4
0
摆法2
摆法3
摆法4
摆法5
摆法6
4
3
3
2
2
1
2
1
2
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
师:观察表格,你又有什么发现呢？
生:不管怎么放,总有一个铅笔盒中放的枝数是最多的，2枝、3枝、4
枝或5枝铅笔。
师:“总有一个铅笔盒中放的枝数是最多的,2枝、3枝、4枝或5枝”
还可以怎样说？
生:总有一个铅笔盒中至少放进2枝铅笔。
师:至少是什么意思？
生:最少。
师:刚才我们将4枝铅笔放进3个铅笔盒中,你也能这样来描述一下吗？
生:将4枝铅笔放进3个铅笔盒中.总有一个铅笔盒中至少 放进2枝铅
笔。
……
在抽屉原理中,“总有一个”、“至少”这两个关键词的解读和为了达
到“至少”而进行“平均
分”的思路,以及把什么看做物体,把什么看
做抽屉,这样一个数学模型的建立,学生学起来颇具难度。
在上述片段
中,老师通过让学生直观操作、抽象列表,经历在“最多”中找“至少”
的过程,引
导学生用准确的数学语言来表达,较好地帮助学生理解了
“至少”的含义。
三、“一定没有意外”--“至少”的保证
抽屉原理的核心是解决存在性问题。“总有一个抽屉……
”或“一定
有一个抽屉……”或“保证有一个抽屉……”,其实均可认为是“一定
没有意外”地
存在一个抽屉满足要求。满足要求的抽屉可能有多个.
但是这里只需要证明一定没有意外地存在一种符合
要求的抽屉就可
以了。
要保证一定没有意外,我们常用的思路是“极端法”,即人们常说的最
不利原则。也就是说，我们只要能保证在最不利的情况下,某种现象
存在,那么一般情况下这种
现象就一定存在。
例如从一副扑克牌中取出大小王。在剩下的52张牌中至少要抽出（ ）
张,才能保证一定有两张牌是同花色的。
分析:最有利的情况是任意抽2张,恰好同色。但问题是如果第二张不
同色呢！所以至少 2张
是不能保证“一定没有意外”的。我们再从最
不利的情况来分析:抽第一张红桃,第二张方块,第三张梅
花,第四张黑
桃,前四张均不同花色,再看第五张,第五张不管是什么花色,都能保证
“一定没
有意外”地有两张同花色。所以至少要抽出5张,才能保证
一定有两张牌是同花色的。
抽屉原理中“至少”的理解.它不同于一般语境中的含义。 它既要有
物体数不少于抽屉数的前
提.又是一种在最多中找最少的全新思维方
式,还要保证是一定没有意外的极端情况, 因而弄清其含义
对小学生
来说是有难度的。学生以前接触的数学问题，全部是由数量及数量关
系
组成的，解决问题时基本是用算术知识或几何知识，极少用到证明、
推理。因此在这部分教学中，我们要
注意以下的教学策略，帮助学生
领会“至少”的含义。
一是在合理的教学标高中理解“至少”
。“抽屉原理”原来属于课外“奥
数”的内容，但是编者把它放在数学广角里，面向全体学生，这就要<
br>求我们做高“合理标高”，说通俗一点，即：内容相同，要求不同。
旨在通过让学生经历“数学证
明”的过程，渗透一定的数学思想方法，
提高学生的逻辑思维能力，为以后学习严密的数学证明做准备。
在小
学阶段，不要求学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形
式化的证明，只要能用
直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”
式的解释就可以了，并且要允许学生借助实物操作等直观方
式进行猜
想和验证。在这个标高上来理解“至少”，相信能给我们的教学带来
帮助。
二是要在“模型”思想中理解“至少”。“抽屉原理”的变式很多，应
用更具灵活性。当我们面对一个具
体问题时，能否将这个具体问题和
“抽屉原理”联系起来，能否找到该问题中什么是“待分的东西”，<
br>什么是“抽屉”，是影响能否解决问题的关键。因此在教学中要引导
学生先判断某个问题是否属于
“抽屉原理”可以解决的范畴；如果可
以，那么再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉原理“的一般模型
：
把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里（k为正整数），那么一定
有一个抽屉中至少放进
了（k+1）个物体。