教师节礼物-北京理工大学分数线

【小学数学】六年级数学思维训练题（有答案及解析）
1．甲、乙两队进行 象棋对抗赛;甲队的三人是张、王、李;乙队的三人是赵、钱、孙;按照以
往的比赛成绩看;张能胜钱; 钱能胜李;李能胜孙;但是第一轮的三场比赛他们都没有成为对
手．请问：第一轮比赛的分别是谁对谁？
2．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋;每两人都要比赛一盘．到现在为止;甲已
经 赛了4盘;乙赛了3盘;丙赛了2盘;丁赛了1 盘．问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛
过？
3．甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛;起跑后甲处在第一的位置;在整个比赛过程中;甲的
位置共 发生了7次变化．比赛结束时甲是第几名？（注：整个比赛过程中没有出现三人跑
在同一位置的情形．）
4．有10名选手参加乒乓球单打比赛;每名选手都要和其它选手各赛一场;而且每场比赛都分
出胜负;请问：（1）总共有多少场比赛？
（2）这10名选手胜的场数能否全都相同？
（3）这10名选手胜的场数能否两两不同？
5．6支足球队进行单循环比赛;即每两队之间 都比赛一场．每场比赛胜者得3分;负者得0
分;平局各得1分;请问：
（1）各队总分之和最多是多少分？最少是多少分？
（2）如果在比赛中出现了6场平局;那么各队总分之和是多少？
6．红、黄、蓝三支乒乓球 队进行比赛;每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9
名队员进行单循环赛决出名次;按照获胜 场数进行排名;并按照排名获得一定的分数;第一名
得9分;第二名得8分;…;第九名得1分;除产生 个人名次外;每个队伍还会计算各自队员的得
分总和;按团体总分的高低评出团体名次．最后;比赛结果 没有并列名次．其中个人评比的
情况是：第一名是一位黄队队员;第二名是一位蓝队队员;相邻的名次的 队员都不在同一个
队．团体评比的情况是：团体第一的是黄队;总分16分;第二名是红队;第三名是蓝 队．请
问：红队队员分别得了多少分？
7．5支球队进行单循环赛;每两队之间比赛一场;每 场比赛胜者得3分;负者得0分;打平则双
方各得1分;最后5支球队的积分各不相同;第三名得了7分 ;并且和第一名打平．请问：这5
支球队的得分;从高到低依次是多少？
8．有A、B、C三 支足球队;每两队比赛一场;比赛结果为：A：两胜;共失2球;B：进4球;
失5球;C：有一场踢平 ;进2球;失8球．则A与B两队间的比分是多少？
9．一次考试共有10道判断题;正确的画“√” ;错误的画“×”;每道题10分;满分为100分．甲、
乙、丙、丁4名同学的解答及甲、乙、丙3名 同学得分如下表所示．丁应得
分．
2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 题号
1
学生
× × √ √ × × √ × √ √
70
甲
× √ × √ √ × × √ √ ×
70
乙
√ × × × √ √ √ × × ×
60
丙
× √ × √ √ × √ × √ ×

丁
10．赵、钱、孙、李、周5户人家;每户至少订了A、 B、C、D、E这5种报纸中的一
种．已知赵、钱、孙、李分别订了其中的2、2、4、3种报纸;而A 、B、C、D这4种报纸
在这5户人家中分别有1、2、2、2家订户．周姓订户订有这5种报纸中的几 种？报纸E在
这5户人家中有几家订户？

二、拓展篇

1 23

11．编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛;每2个人都要赛1盘． 现在编号为1、
2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了 几
盘？
12．五行（火水木金土）相生相克;其中每一个元素都生一个;克一个;被一个生和 被一个克;
水克火是我们熟悉的;有一个俗语叫做“兵来将挡;水来土掩”;是说土能克水．另外;水能 生木;
火能生土．请把五行的相生相克关系画出来．
13．A、B、C、D、E、F六个国家 的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场）;
每天同时在3个场地各进行一场比赛;已知第一 天B对D;第二天C对E;第三天D对F;第四
天B对C请问：第五天与A队比赛的是哪支队伍？ 14．A、B、C三个篮球队进行比赛;规定每天比赛一场;每场比赛结束后;第二天由胜队与另
一 队进行比赛;败队则休息一天;如此继续下去;最后结果是A队胜10场;B队胜12场;C队胜
14场 ;则A队共打了几场比赛？
15．甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛;每两人都比赛一场;规定胜 者得2分;平局各得1
分;输者得0分;请问：
（1）一共有多少场比赛？
（2）四个人最后得分的总和是多少？
（3）如果最后结果甲得第一;乙、丙并列第二;丁是最后一名;那么乙得了多少分？
16． 五支足球队进行循环赛;即每两个队之间都要赛一场;每场比赛胜者得2分;输者得0分;
平局两队各得 1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：
①第一名的队没有平过;
②第二名的队没有输过;
③第四名的队没有胜过;问：第一名至第五名各得多少分？全部比赛共打平过几场？
17．4支足球队进行单循环比赛;即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分;负者得0
分;平局各得1分．比赛结果;各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队
的总分是 多少？
18．甲、乙、丙、丁、戊五个同学的各科考试成绩如表;已知：
①每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5;
②五个人的总分互不相同;且从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊;
③丙有四门功课的分数相同．请你把表格补充完整．

语文 数学 英语 音乐 美术 总分
24
田

乙

丙
4
丁
3 5
戊
19．一次 足球赛;有A、B、C、D四个队参加;每两队都赛一场;按规则;胜一场得2分;平一
场得1分;负一 场得0分．比赛结束后;B队得5分;A队得1分．所有场次共进了9个球;B队
进球最多;共进了4个 球;C队共失了3个球;D队1个球也未进;A队与C队的比赛比分是2：
3．问：A队与B队的比赛比 分是多少？
20．A、B、C、D四个足球队进行循环比赛．赛了若干场后;A、B、C三队的比赛情 况如
表：问：D赛了几场？D赛的几场的比分各是多少？

场数 胜 平 负 进球 失球
A 3 2 1 0 2 0
B 2 1 1 0 4 3
C 2 0 0 2 3 6
D

2 23

21．九个外表完全相同的小球;重量分别是1;2;…;9．为了 加以区分;它们都被贴上了数字标
签;可是有一天;不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通．我们用天平做了 两次称量;得到如下结
果：
（1）①②＞③④⑤⑥⑦;
（2）③⑧=⑦;请问：⑨号小球的重量是多少？
22．A、B、C、D、E五位同学分别从 不同的途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那
位同学的情况：
A打听到的：姓李;是女同学;13岁;东;
B打听到的：姓张;是男同学;11岁;;
C打听到的：姓陈;是女同学;13岁;东;
D打听到的：姓黄;是男同学;11岁;西;
E打听到的：姓张;是男同学;12岁;东．’
实际上第一名同学的情况在上面都出现过;而 且这五位同学的消息都仅有一项正确;那么第
一名的同学应该是哪个区的;今年多少岁呢？

三、超越篇
23．在一次射击练习中;甲、乙、丙三位战士打了四发子弹;全部中靶;其中命中情况如下：
（1）每人四发子弹命中的环数各不相同;
（2）每人四发子弹命中的总环数均为17环;
（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样;乙另外两发命中的环数与丙其中两发一
样;
（4）甲与丙只有一发环数相同;
（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环．
问：甲与丙命中的相同环数是几？
24．一次象棋比赛共有10位选手参加;他们分别来自甲 、乙、丙3个队．每人都与其余9
人比赛一盘;每盘胜者得1分;负者得0分;平局各得0.5分．结果 乙队平均得分为3.6分;丙队
平均得分为9分;那么甲队平均得多少分？
25．A、B、C 、D、E这5支足球队进行循环赛;每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得3
分;负者得0分;打平则双 方各得1分;最后5支球队的积分各不相同;从高到低依次为D、
A、E、B、C又已知5支球队当中只 有A没输过;只有C没赢过;而且B战胜了E．请问：
战胜过C的球队有哪些？
26．10名 选手参加象棋比赛;每两名选手间都要比赛一次;已知胜一场得2分;平一场得1分;
负一场不得分．比 赛结果：选手们所得分数各不相同;前两名选手都没输过;前两名的总分
比第三名多20分;第四名得分 与后四名所得总分相等;问：前六名的分数各为多少？
27．现有A、B、C共3支足球队举行单循环 比赛;即每两队之间都要比赛一场．比赛积分
的规定是胜一场积2分;平一场积1分;负一场积0分;表 1是一张记有比赛详细情况表格;但
是;经过核对;发现表中恰好有4个数字是错误的;请你把正确的结 果填入表2中．
表1

场 胜 负 平 进失积
数 球 球 分
A 2 2 0 1 0 2 3
B 2 1 1 0 3 6 2
C 1 2 1 2 0 1 1
表2

场胜 负 平 进失积
数 球 球 分
A

3 23

B
C
28．9个小朋友从前 到后站成一列．现在将红黄蓝三种颜色的帽子各三顶分别戴在这些小
朋友的头上．每个小朋友都只能看到 站在他前面的小朋友帽子的颜色．后来统计了一下;发
现他们看到的红颜色帽子的总次数等于他们看到的 黄颜色帽子的总次数;也等于他们看到的
蓝颜色帽子的总次数．已知从前往后数第三个小朋友戴着红帽子 ;第六个小朋友戴着黄帽子;
请问：最后一个小朋友戴着什么颜色的帽子？
29．有A、B、 C三支球队进行比赛;每一轮比赛三个队之间各赛一场．每队胜一场得2分;
平一场得1分;负一场不得 分．如果三支球队共比赛了7轮;最后A胜的场数最多;B输的场
数最少;C的得分最高＜这些都没有并 列）．请问：A得了多少分？
30．阿奇和8个好朋友去李老师家玩;李老师给每人发了一顶帽子;并 在每个人的帽子上写了
一个两位数;这9个两位数互不相同;且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．
李老师在纸上写了一个自然数A;问这9位同学：“你们知道自己帽子上的数能否被A整除
吗？ 知道的请举手;”结果有4人举手．
李老师又问：“现在你们知道自己帽子上的数能否被24整除吗？ 知道的请举手．”结果有6
人举手．
已知阿奇两次都举手了;并且这9位同学都足够聪明且从 不说谎．请问：除了阿奇之外的人
帽子上8个两位数的总和是多少？










参考答案与试题解析
一、兴趣篇
1．甲、乙两队进行象棋对抗赛;甲队的三人是张、王、李;乙队的三人是赵、钱 、孙;按照以
往的比赛成绩看;张能胜钱;钱能胜李;李能胜孙;但是第一轮的三场比赛他们都没有成为 对
手．请问：第一轮比赛的分别是谁对谁？
【分析】张能胜钱;说明第一轮只会碰赵或者孙; 钱能胜李;说明第一轮只会碰赵或者孙;钱能
胜李;说明第一轮只会碰张;或者是王;而李能胜孙;说明 第一轮只会碰赵或者钱;由于都没有碰
到对手;说明钱只能对上王;遇张不行;故王与钱;而李由于只能 碰赵或者钱;在钱有对手的情况
下只能选赵;故李与赵;最后得出张与孙．
【解答】解：根据上述分析可知：
张能胜钱;说明第一轮只会碰赵或者孙;
钱能胜李;说明第一轮只会碰张;或者是王;
李能胜孙;说明第一轮只会碰赵或者钱
综上所述：
第一轮比赛是张与孙;王与钱;李与赵
答：第一轮比赛是张与孙;王与钱;李与赵．

4 23

2．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋;每两人都要比赛一盘．到现在为止;甲已
经 赛了4盘;乙赛了3盘;丙赛了2盘;丁赛了1 盘．问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛
过？
【分析】这道题按照常规思路似乎不太好解决;我们画个图试试;用五个点分别表示参加比
赛的五个人 ;如果某两人已经赛过;就用线段把代表这两个人的点连接起来;因为甲已经赛了
4盘;除了甲以外还有 4个点;所以甲与其他4个点都有线段相连（见下图）;根据图即可做出
解答．
【解答】解： 用五个点分别表示参加比赛的五个人;如果某两人已经赛过;就用线段把代表
这两个人的点连接起来;
因为甲已经赛了4盘;除了甲以外还有4个点;所以甲与其他4个点都有线段相连（见左下
图） ;

因为丁只赛了1盘;所以丁只与甲有线段相连;
因为乙赛了3盘;除了丁以外;乙与其他三个点都有线段相连（见右上图）;
因为丙赛了2盘;右上图中丙已有两条线段相连;所以丙只与甲、乙赛过;
由上页右图清楚地看出;小强赛过2盘;分别与甲、乙比赛;
答：小强赛过2盘;分别与甲、乙比赛．

3．甲、乙、丙三名选手参加马拉松比 赛;起跑后甲处在第一的位置;在整个比赛过程中;甲的
位置共发生了7次变化．比赛结束时甲是第几名 ？（注：整个比赛过程中没有出现三人跑
在同一位置的情形．）
【分析】据题意可知;甲原为 第一名（奇数）;第一次位置交换后;甲成了第二名（偶数）;第
二次位置交换后;甲不是第二名;成了 第一名或第三名（奇数）;第三次位置变化后;不管之前
甲处于第一名还是第三名;这次甲肯定又成了第 二名（偶数）;…;所以可以知道;当甲交换了
奇数次位置时;甲一定是第二名;偶数次时;甲一定不在 第二名．
【解答】解：据题意可知;当甲与共交换了奇数次位置时;甲一定是第二名;
偶数次时;甲一定不在第二名．
所以甲共交换了7次位置时;7是奇数;则甲一定是在第二名．
答：比赛的结果甲是第二名．

4．有10名选手参加乒乓球单打比赛;每名选手 都要和其它选手各赛一场;而且每场比赛都分
出胜负;请问：（1）总共有多少场比赛？
（2）这10名选手胜的场数能否全都相同？
（3）这10名选手胜的场数能否两两不同？
【分析】（1）因为每一个选手都和其他选手进行一场比赛;属于单循环赛制中;参赛人数与
比 赛场数的关系为：比赛场数=×参赛人数×（人数﹣1）;由此代入求得问题;
【解答】解：（1）×10×（10﹣1）=45（场）;
答：一共要进行45场比赛．

（2）45÷10=4（个）…5（场） （不相同;有余数．）

5 23

答：这10名选手胜的场数不相同．

（3）45可以分成1;2;3;4;5;6;7;8;9;0的数列 （有五列;是整数;可以）
答：这10名选手胜的场数可以两两不同．

5．6支足球队进行单循环比赛;即 每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分;负者得0
分;平局各得1分;请问：
（1）各队总分之和最多是多少分？最少是多少分？
（2）如果在比赛中出现了6场平局;那么各队总分之和是多少？
【分析】（1）6支足球队 进行单循环比赛;即每两队之间都比赛一场;所以一个球队赛5场;
加入五场全胜;则得分最多是：3× 5=15分;有一个球队5场全负;得分最少是0分．
（2）出现了6场平局;得12分;一共1赛1 5场;剩下9场就是输或者赢了;9×3=27分;那么总
分就是：12+27=39分．
【解答】解：（1）每支球队赛5场;全胜得分最多：
5×3=15（分）
最少得分就是全输得0分：
答：各队总分之和最多是15分;最少是0分．

（2）6×5÷2=15（场）
6×2+（15﹣6）×3
=12+27
=39（分）
答：那么各队总分之和是39分．

6．红、黄、蓝三支 乒乓球队进行比赛;每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9
名队员进行单循环赛决出名次;按 照获胜场数进行排名;并按照排名获得一定的分数;第一名
得9分;第二名得8分;…;第九名得1分; 除产生个人名次外;每个队伍还会计算各自队员的得
分总和;按团体总分的高低评出团体名次．最后;比 赛结果没有并列名次．其中个人评比的
情况是：第一名是一位黄队队员;第二名是一位蓝队队员;相邻的 名次的队员都不在同一个
队．团体评比的情况是：团体第一的是黄队;总分16分;第二名是红队;第三 名是蓝队．请
问：红队队员分别得了多少分？
【分析】首先总分是45分;黄队16分;红蓝 共29分;又团队第一的是黄队且比赛结果没有并
列名次;故只能是红队15分;蓝队14分．第一名是 一位黄队队员有9分;第二名是一位蓝队
队员有8分;即黄队另两名队员共有7分;蓝队另两名队员共有 6分;又每名队员至少1分故
第三名是一位红队队员有7分;即红队另两名队员共有8分．．又相邻的名 次的队员都不在
同一个队故第四名的得6分的队员是黄队;此时黄队最后一名队员1分．故得5分的不是 蓝
队队员;不然蓝队又有一名队员1分矛盾．故得5分为红队队员;此时红队有一名是3分．故
剩下的蓝队为4分和2分;刚好共6分．故得分情况如下：黄：9、6、1 蓝：8、4、2 红：
7、5、3;据此解答即可．
【解答】解：
1．由于1到9名分数分别是9到1分;那么总共9人总分就是45分
2．由于团队第一名1 6分;第二名只能是小于等于15;第三名小于等于14．而总分是45．所
以第二;第三只能分别是1 5分;14分．（因为16+15+14=45;没有其他组合等于45分）
因此第二名红对共得15分．
3．由于单打前两名分别由黄队和蓝队的队员获得．因此红对个 人得分最多的一个小于等于
7分．又因为相邻名次没有同队的人员;所以红对的三人得分可能是7;5; 3或者7;4;2等几种
（没有列全）．但是红队总分能达到15分的组合只有7+5+3=15．
所以红对队员分别得了7;5;3分．

6 23

答：红队队员分别得了7;5;3分．

7．5支球队进行单 循环赛;每两队之间比赛一场;每场比赛胜者得3分;负者得0分;打平则双
方各得1分;最后5支球队 的积分各不相同;第三名得了7分;并且和第一名打平．请问：这5
支球队的得分;从高到低依次是多少 ？
【分析】由于5支足球队进行单循环赛;每两队之间进行一场比赛;则每一队都要和其它四队
赛一场;即每支球队进行了4场比赛;全胜得12分;第三名得了7分;并且和第一名打平得一分;
那 么另三场只能是两胜一负;因各队得分都不相同;第一名平一场;如平再负一场就和第三名
得分一样;如 果再平一场就得8分;这都不符合题意;所以剩下三场只能胜;积3×3+1=10分;也
就是胜2、4 、5名;第二名只能是三胜一负;积3×3+0=9分．也就是胜3、4、5名;第三名胜
4、5;负2 ;平1;第四名为负1、2、3;第五名也负1、2、3又因各队比分不同则4胜5积3分;
第五名全负 ;积0分．
【解答】解：由题意可知;每支球队进行了4场比赛;
第三名得了7分;并且和第一名打平;那么另三场只能是两胜一负;
因各队得分都不相同;第一名平一场;另三场只能胜;积3×3+1=10分;也就是胜2、4、5名;
第二名只能是三胜一负;积3×3+0=9分．也就是胜3、4、5;
第三名胜4、5;负2;平1;
第四名为负1、2、3;第五名也负1、2、3名;
又因各队比分不同则4胜5积3分;
则第五名全负;积0分;
即：
第一名：10分;
第二名：9分;
第三名：7分;
第四名：3分;
第五名：0分．
答：第一名：10分;第二名：9分;第三名：7分;第四名：3分;第五名：0分．
< br>8．有A、B、C三支足球队;每两队比赛一场;比赛结果为：A：两胜;共失2球;B：进4球;
失5球;C：有一场踢平;进2球;失8球．则A与B两队间的比分是多少？
【分析】A两战两胜;C有一场平 说明比赛胜负情况如下：A胜B A胜C B平C;
而B C 的比分：
0：0 这种情况不存在 因为A共失球两个 而B C共进球6个
1：1 同上
2：2 适合条件 B另外两个球攻入A的球门
3：3 不存在 C共进球两个
所以得出B：C 为2：2
则C另外6个失球失给A;B剩下两个进球;3个失球是跟A比赛的时候
故可得出结论：A胜B 3比2
A胜C 6比0
B平C 2比2
【解答】解：总进球=总失球
A进球+4+2=2+5+8
A进球=9
A全胜 那么B与C打平
又因为B比C多进2球
那么B对A进的球 比 C对A进的球 多2个

7 23

又因为A只失2球
那么B对A进2球 C对A进0球
那么B：C=2：2
那么A：B=3;2
答：A与B两队间的比分是3：2．

9．一次考试共有10道判断题;正确的画“√”;错误的画“×”;每道题10分;满分 为100分．甲、
乙、丙、丁4名同学的解答及甲、乙、丙3名同学得分如下表所示．丁应得 90 分．
2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 题号
1
学生
× × √ √ × × √ × √ √
70
甲
× √ × √ √ × × √ √ ×
70
乙
√ × × × √ √ √ × × ×
60
丙
× √ × √ √ × √ × √ ×

丁 【分析】观察甲与乙的答案可知;A、B有1、4、6、9这四道题答案相同;6道题答案不
同．因 为每人都是70分;所以4道答案相同的题都答对了;6道答案不同的题各对了3道;由
此可知第1、4 、6、9题的答案分别是×、√、×、√;
又丙的1、4、6、9题的答案分别是√、×、√、×;所 以丙的这四道题答错;又丙得60分;所以
丙的其他题目全部答对;即2;3;5;7;8;10的答案 分别是×;×、√、√、×、×．
由此可知;这10道题的答案分别是：
据此即能得出丁得多少分．
【解答】解：由于A、B有1、4、6、9这四道题答案相同;6道题答案不同．
且每人都是70分;所以4道答案相同的题都答对了;6道答案不同的题各对了3道;
由此可知第1、4、6、9题的答案分别是×、√、×、√;
由于丙的1、4、6、9题的答案分别是√、×、√、×;所以丙的这四道题答错;又丙得60分;
所以丙的其他题目全部答对;即2;3;5;7;8;10的答案分别是×;×、√、√、×、×．
这10道题的答案分别是：

所以丁的只的2题;扣10分;得90分．
故答案为：90．

10．赵、钱、孙、李、周5户人家;每户至少订了A、B、 C、D、E这5种报纸中的一
种．已知赵、钱、孙、李分别订了其中的2、2、4、3种报纸;而A、B 、C、D这4种报纸
在这5户人家中分别有1、2、2、2家订户．周姓订户订有这5种报纸中的几种？ 报纸E在
这5户人家中有几家订户？
【分析】通过分析可知：
赵钱孙李一共订了：2+2+4+3=11份
A;B;C;D一共订了：1+2+2+2=7份
根据题意;周至少订了1份
5人一共最少订了11+1=12份
那么订E的就有12﹣7=5户
如果周订的不止1份;假设周至少订了2份


8 23

那么5人订报总数至少为11+2=13份
那么订E的至少有：13﹣7=6户;这与一共有5户矛盾
所以周只能订1种;订E的有5户
【解答】解：赵钱孙李订的份数：2+2+4+3=11份
A;B;C;D订的份数：1+2+2+2=7份
根据题意可知周至少订了1份
所以5人一共最少订了11+1=12份
那么订E的就有12﹣7=5户
如果周订的不止1份;假设周至少订了2份
那么5人订报总数至少为11+2=13份
那么订E的至少有：13﹣7=6户;这与一共有5户矛盾
所以周只能订1种;订E的有5户
答：周姓订户订有这5种报纸中的1种;报纸E在这5户人家中有5家订户．

二、拓展篇
11．编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛;每2个人都要赛1盘 ．现在编号为1、
2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛 了几
盘？
【分析】从5号队员开始讨论;他和另外5个队员各赛了1场;由此得出1号只跟5 号赛了1
场;由此类推即可得出结果．
【解答】解：因为是每2个人都要赛1盘;所以可以这样推理：
①5号赛了5场;说明他与1;2;3;4;6;各赛了1场;
②1号赛1场;那么1号只跟5号赛了1场;
③4号赛了4场;除了跟5号赛1场;另外3场是跟2;3;6号;
④那么2号此时分别和5号、4号已赛了2场;
④3号赛了3场;除了和4号;5号之外;又和6号赛了1场．
将上述推理过程用图表示为：

答：此时6号已经赛了3场．

12．五行（火水木金土）相生相克; 其中每一个元素都生一个;克一个;被一个生和被一个克;
水克火是我们熟悉的;有一个俗语叫做“兵来 将挡;水来土掩”;是说土能克水．另外;水能生木;
火能生土．请把五行的相生相克关系画出来． < br>【分析】五行有‘五行相生’和‘五行相克’;‘五行相生’是互相生旺的意思;表示生成化育;‘五行< br>相克’就是互相反驳、互相战斗、制衡．
五行相生：水生木→木生火→火生土→土生金→金生水
五行相克：木克土→土克水→水克火→火克金→金克木
据此解答即可．

9 23

【解答】解：根据五行相生：水生木→木生火→火生土→土生金→金生水
五行相克：木克土→土克水→水克火→火克金→金克木
得出图为：

1 3．A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场）;
每天同时 在3个场地各进行一场比赛;已知第一天B对D;第二天C对E;第三天D对F;第四
天B对C请问：第 五天与A队比赛的是哪支队伍？
【分析】因“A、B、C、D、E、F六个国家的足球队单循环比赛（ 即每队都与其他队赛一
场）;每天同时在3个场地各进行一场比赛”;根据已经进行的比赛场次进行推理 ;据此解答即
可．
【解答】解：第二天A不能对B;否则A对B、D对F与第三天D对F矛盾 ;所以应当B对
F、A对D．
第三天A也不能对B;否则C对E与第二天C对E矛盾;应当B 对E（不能B对C;与第四天
矛盾）;A对C．
第四天B对C;D对E;A对F;所以第五天A对B．
答：第五天与A队比赛的是B支队伍．

14．A、B、C三个篮球队进行比赛;规定每天比赛一场;每场比赛结束后;第二天由胜 队与另
一队进行比赛;败队则休息一天;如此继续下去;最后结果是A队胜10场;B队胜12场;C队 胜
14场;则A队共打了几场比赛？


10 23

【分析】根据题意;扣除A、B、C分别赢的场次;得出A、B、C各打了几场;即可得出A总
共打 了几场．
【解答】解：由A队先取得10连胜;这样BC队就各输5场
再由B队取得12连胜;这样AC队就各输6场
最后C队取得14连胜;这样AB队就各输7场
从A来看;每负一场就休息了一场;总共有10+12+14=36场比赛;
A胜了10场;剩下26场是负和休息;那么A负了13场;休息了13场;赛了10+13=23场．
同理;B胜了12场;剩下24场是负和休息;那么B负了12场;休息了12场;赛了12+12=2 4
场．
C胜了14场;剩下22场是负和休息;那么C负了11场;休息了11场;赛了14+11=25场．
答：则A队共打了23场比赛．

15．甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛; 每两人都比赛一场;规定胜者得2分;平局各得1
分;输者得0分;请问：
（1）一共有多少场比赛？
（2）四个人最后得分的总和是多少？
（3）如果最后结果甲得第一;乙、丙并列第二;丁是最后一名;那么乙得了多少分？
【分析】（1）四名同学总共打的场数是：4×3÷2=6场;
（2）四个人最后比赛结果是平局或者胜局;所以一场会得2分;得分为：2×6=12分;
（3）我们对乙丙假设进行求解;假设乙丙两胜;假设乙丙一胜一平．看看哪种情况符合题意;
进而解决 问题．
【解答】解：（1）4×3÷2=6（场）
答：一共有6场比赛．

（2）6×2=12（分）
答：四个人最后得分的总和是12分．

（3）②不可能三胜;如果三胜肯定得第一;而不是第二名．
②假设乙丙两胜;甲则三胜或 两胜一平;如果甲三胜;则共有7场胜;总共才6场比赛;不可
能．如果甲两胜一平;则乙丙两胜一负; 现在总共有6胜;所以总共应该6负则所有比赛都是
胜﹣负;没平﹣平;矛盾．所以乙丙两胜也不可能．
③假设乙丙一胜一平;正好可以;乙得3分．
④其它情况均不成立．
答：乙得了3分．

16．五支足球队进行循环赛;即每两个队之间都要赛一场; 每场比赛胜者得2分;输者得0分;
平局两队各得1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：
①第一名的队没有平过;
②第二名的队没有输过;
③第四名的队没有胜过;问：第一名至第五名各得多少分？全部比赛共打平过几场？
【分析】 五个足球队进行循环赛;一共进行5×（5﹣1）=20场;第一名没有平;那就是胜或负;
第二名没有 负过;就是胜或平;第四名没有胜过;那就是平或负;并且各队得分不同;据此写出合
理的比赛结果即可 解答．假设第1.2.3.4.5名分别是A．B．C．D．E;结果为：A：负B;赢
CDE;得6分 ;B：赢A;平CDE;得5分;C：负A;平BD;赢E;得4分;D：负A;平BCE;得3
分;E ：负AC;平BD;得2分;综上;打平的比赛有BC;BD;BE;CD;DE;共5场．
【解答】解：由分析得出：
第一名三胜一负;6分;
第二名一胜三平;5分;

11 23

第三名一胜二平一负;4分;
第四名三平一负;3分;
第五名二平二负;2分;
故平了5场．
答：第一名至第五名各得6分;5分;4分;3分;2分;全部比赛共有平局5场．

17．4支足球队进行单循环比赛;即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分;负者得0
分;平局各得1分．比赛结果;各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队
的总分是 多少？
【分析】4个队一共要比4×（4﹣1）÷2=6场比赛;其中两场分出胜负;故第一名肯定不 能是
胜两场;否则得分不连续;所以;只胜一场的队有两个;另外两个队伍一场都没胜;因为胜一场至< br>少3分;一场没胜至多3分．得分只能是5432或4321．可是如果是4321;3分的队伍需要输< br>两场;也就是别的至少两个队伍得到至少3分;但最后两名都没胜过;因此不可能是4321．只
能是5432．据此即能得出知队得分．
【解答】解：4×（4﹣1）÷2=6场;
即共要进行6场比赛．
又各队的总得分恰好是四个连续的自然数．
则第一名肯定不能是胜两场;否则得分不连续;
只胜一场的队有两个;另外两个队伍一场都没胜;因为胜一场至少3分;
一场没胜至多3分．得分只能是5、4、3、2或4、3、2、1．
如果是4、3、2、1;3分的队伍需要输两场;也就是别的至少两个队伍得到至少3分;
但最后两名都没胜过;因此不可能是4、3、2、1．只能是5、4、3、2．
由此可得：
第一名：1胜2平0负 5分 （甲） 胜乙平丙平丁
第二名：1胜1平1负 4分 （乙） 胜丁平丙负甲
第三名：0胜3平0负 3分 （丙） 平甲平乙平丁
第四名：0胜2平1负 2负 （丁） 平甲负乙平丙
所以输给第一名的是乙;总分为4分．

18．甲、乙、丙、丁、戊五个同学的各科考试成绩如表;已知：
①每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5;
②五个人的总分互不相同;且从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊;
③丙有四门功课的分数相同．请你把表格补充完整．

语文 数学 英语 音乐 美术 总分
24
田

乙

丙
4
丁
3 5
戊
【分析】因 为甲得24分;而戊得英语得5分;所以甲的英语只能得4分;根据题意可得甲的其
它科目都得5分;
而戊是最后一名;且语文3分;英语5分;所以其它科目就是1;2;4分;因为是最后一名;甲得分< br>数是5或者是4;所以戊的分数不会出现4分和2分;只能是1分;据此戊得11分;

语文 数学 英语 音乐 美术 总分
5 5 4 5 5 24
田

乙

丙

12 23

4
丁
3 1 5 1 1 11
戊
而丙有四门功课的分数相同;且每门功 课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5;丙得分最
少是13分;所以丙的成绩如下：

语文 数学 英语 音乐 美术 总分
5 5 4 5 5 24
田

乙
1 3 3 3 3 13
丙
4
丁
3 1 5 1 1 11
戊
所以乙的数学是2分;英语是1或者2分;音乐是2 或者4分;美术是2或者4分;语文是2或
者4分;且乙的总分小于19分大于13分;据此乙的成绩分 别是4;2;1;4;4;进而推出丁的成绩即
可．
【解答】解：根据上述分析及其题意得出他们的成绩如下：

语文 数学 英语 音乐 美术 总分
5 5 4 5 5 24
田
4 2 1 4 4 15
乙
1 3 3 3 3 13
丙
2 4 2 2 2 12
丁
3 1 5 1 1 11
戊

19．一次足球赛;有A 、B、C、D四个队参加;每两队都赛一场;按规则;胜一场得2分;平一
场得1分;负一场得0分．比 赛结束后;B队得5分;A队得1分．所有场次共进了9个球;B队
进球最多;共进了4个球;C队共失 了3个球;D队1个球也未进;A队与C队的比赛比分是2：
3．问：A队与B队的比赛比分是多少？
【分析】四个队每两队都赛一场;共赛6场;每一场两队得分之和是2分;因此所有队在各场
得 分之和是2×6=12分;D队得分是12﹣5﹣3﹣1=3分．
由于D队一个球没进;又得了3分;必是与其他三队比赛时打平了;现将比赛情况列表如下：
队名 胜 负 平 进球 失球 得分
A 0 2 1 2 6 1
B 2 0 1 4 0 5
C 1 1 1 3 3 3
D 0 0 3 0 0 3
【解 答】解：四个队每两队都赛一场;共赛6场;每一场两队得分之和是2分;因此所有队在
各场得分之和是 2×6=12分;D队得分是12﹣5﹣3﹣1=3分
B队得5分;必是胜2场平1场;D队得1分; 必是平1场负2场;D队与A队的比是2：3;D队
必胜1场负1场平1场;A队与C队的比赛时;C队 进了3个;A队进了2个;这场一共进了5
个;B队进球数是4;合起来共9个;因而D;DB两队只在 D;B两队比赛中进了球;而在其他比
赛中没进球．A队与D队的比分是0：0;B队进的4个球必是与 C队或A队比赛时进的;因
为C队失了3个球;在与A队比赛时失了2个球;因此与B队比赛时失了1个 球;这样C队与
B队的比分是0：1;于是在B队与A队的比赛中;B队进了3个球;A队没进球;所A 队与B队
的比分是0：3．
答：A队与B队的比赛比分是0：3．

2 0．A、B、C、D四个足球队进行循环比赛．赛了若干场后;A、B、C三队的比赛情况如
表：问：D 赛了几场？D赛的几场的比分各是多少？

场数 胜 平 负 进球 失球
A 3 2 1 0 2 0

13 23

B 2 1 1 0 4 3
C 2 0 0 2 3 6
D
【分析】每个队都要和另外的3个队赛一场;4个队共赛4×3 =12场;去掉重复的情况;实际只
赛了12÷2=6场;结合表中比赛情况可知：A赛了3场有一场是 跟D进行的;B、C各赛了2
场;都没有跟D进行;所以D队一共赛了1场;是跟A进行的;由于A的1 平是跟B进行的;两
场胜利是跟C、D进行的;所以D队与A队比赛的比分是 0：1．
【解 答】解：由分析可知;4个队共赛4×3=12场;去掉重复的情况;实际只赛了12÷2=6场;结
合 表中比赛情况可知：A赛了3场有一场是跟D进行的;B、C各赛了2场;都没有跟D进行;
所以D队一 共赛了1场;是跟A进行的;由于A的1平是跟B进行的;两场胜利是跟C、D进
行的;所以D队与A队 比赛的比分是 0：1．
答：D对只与A对赛了1场．比分是0：1．

21． 九个外表完全相同的小球;重量分别是1;2;…;9．为了加以区分;它们都被贴上了数字标
签;可是 有一天;不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通．我们用天平做了两次称量;得到如下结
果：
（1）①②＞③④⑤⑥⑦;
（2）③⑧=⑦;请问：⑨号小球的重量是多少？
【 分析】根据题意可知①②必须有一个是8;一个是9的;因为从1到9五个数的和最小是
1+2+3+4 +5=15;
而③⑧=⑦;所以⑦是5;6;7都可以;尽量选小的;因为五个数字中有7号;7号太 大了;就会影
响）①②＞③④⑤⑥⑦; 而⑧好不在五个数字之中;所以让8号尽量大些;据此解答即
可．
【解答】解：根据分析及其题意可得：
①②必须有一个是8;一个是9的;
所以⑦是5;6;7都可以．
（1）当⑦=5时;
③=1;⑧=4
则1+2+3+5+6=17不符合题意;
③=2;⑧=3时;
则：1+2+4+5+6=18;
显然不合适;
（2）当⑦=6时;
③=2;⑧=4
则：1+2+3+5+6=17不合适;
③=1;⑧=5
则1+2+3+4+6=16
故此①②是8和9中的一个;③是1;⑧是5;⑦是6;④⑤⑥就是2;3;4中的一个;
所以⑨是7;
（3）当⑦=7时;
③+④+⑤+⑥+⑦＞17不符合题意．
答：：⑨号小球的重量是7．

22．A、B、C、D、E五位同学分别从不同的 途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那
位同学的情况：
A打听到的：姓李;是女同学;13岁;东;
B打听到的：姓张;是男同学;11岁;;
C打听到的：姓陈;是女同学;13岁;东;

14 23

D打听到的：姓黄;是男同学;11岁;西;
E打听到的：姓张;是男同学;12岁;东．’
实际上第一名同学的情况在上面都出现过;而 且这五位同学的消息都仅有一项正确;那么第
一名的同学应该是哪个区的;今年多少岁呢？
【 分析】因为每人都仅有一项是正确的;所以可以先假设A说的第一项是正确的;看有没有
矛盾;若有矛盾 那么说明假设是错误的;那么在A的后面有正确的推理;依次推理从而找到答
案．
【解答】解 ：由于五位同学打听到的情况;每人仅有一项是正确的;所以;这位获第一名的同
学不可能姓李或陈;这 是因为A;C打听到的情况除了姓什么不一样外其他都一样;如姓李是
正确的;那么就不是女同学;不是 13岁;不是东;这样C打听到的姓陈又是正确的;互相矛
盾．如果姓张;B;E打听到的姓什么是正确 的;其他是不正确的;即不是男同学;不是11;12岁;
不是;东．那么;只能是女同学;13岁;西 ;这样;A打听到的就有两项是正确的;显然矛盾;那么;
最后剩下D;D打听到的姓黄应是正确的．又 由D知不是男同学;是女同学;再看A和D可知
年龄不是11岁;13岁;不是东也不是西人;而是12 岁;．
综上所述;获第一名的同学：姓黄;女;12岁;．
答：那么第一名的同学应该是的;姓黄;女;12岁．

三、超越篇
23．在一次射击练习中;甲、乙、丙三位战士打了四发子弹;全部中靶;其中命中情况如下：
（1）每人四发子弹命中的环数各不相同;
（2）每人四发子弹命中的总环数均为17环;
（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样;乙另外两发命中的环数与丙其中两发一
样;
（4）甲与丙只有一发环数相同;
（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环．
问：甲与丙命中的相同环数是几？
【分析】根据（1）、（2）、（5）三个条件;可以列举 出四个加数互不相同;且最大加数不
超过7;总和为17;列举出4个数总和是17的情况;然后根据（ 3）（4）得出每个人的打出的
环数;进而找出甲丙命中的相同环数．
【解答】解：根据（1 ）、（2）、（5）三个条件;可以列举出四个加数互不相同;且最大加
数不超过7;总和为17的所有 情况：
1+3+6+7=17①;
1+4+5+7=17②;
2+3+5+7=17③;
2+4+5+6=17④;
因为（3）乙有两发命中的 环数分别与甲其中两发一样;乙另外两发命中的环数与丙其中两
发一样;
只有算式③中的加数2、3、5、7中的不同的两对分别出现在两个算式①④中;
算式①④的加数也符合（4）甲与丙只有一发环数相同;
所以：
甲：1;3;6;7
乙：2;3;5;7
丙：2;4;5;6
所以：甲与丙的相同环数为6．

24．一次象棋比赛共有10位选手参加;他们 分别来自甲、乙、丙3个队．每人都与其余9
人比赛一盘;每盘胜者得1分;负者得0分;平局各得0. 5分．结果乙队平均得分为3.6分;丙队
平均得分为9分;那么甲队平均得多少分？

15 23

【分析】首先根据题意;可得10名选手共赛10×9÷2=45 盘;总分为45分;然后根据丙队平均
得分为9分;而最多只能有一人得分为9分;可得丙队有1人;而 且9盘比赛全部获胜;则甲乙
两队总得分为45﹣9=36分;最后根据每个人的得分是整数或整数加上 0.5分;可得乙队的总
得分;即3.6乘以乙队的人数是整数或整数加上0.5分;利用穷举法;可得 乙队的人数只能是5;
求出乙队的总得分;进而求出甲队的总得分;再除以甲队的人数;求出甲队平均得 多少分即
可．
【解答】解：据题意;可得10名选手共赛：10×9÷2=45盘;总分为45分;
因为丙队平均得分为9分;而最多只能有一人得分为9分;
可得丙队有1人;而且9盘比赛全部获胜;
则甲乙两队总得分为：45﹣9=36分;
根据题意;可得每个人的得分是整数或整数加上0.5分;
可得乙队的总得分;即3.6乘以乙队的人数是整数或整数加上0.5分;
利用穷举法;可得乙队的人数只能是5;
则甲队的人数是：9﹣5=4（人）;
故甲队平均得分是：
（36﹣3.6×5）÷4
=18÷4
=4.5（分）
答：甲队平均得4.5分．

25．A、B、C、D、 E这5支足球队进行循环赛;每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得3
分;负者得0分;打平则双方各得 1分;最后5支球队的积分各不相同;从高到低依次为D、
A、E、B、C又已知5支球队当中只有A没 输过;只有C没赢过;而且B战胜了E．请问：
战胜过C的球队有哪些？
【分析】A没输过; 就是赢或者平局;只有C没赢过;就是输或者平局;从高到低依次为D、
A、E、B、C;所以D和A一 定是平局;A一定赢B;D一定赢B;C;由题意可得B队最少得4
分;所以A和E是平局;E一定赢D ;据此解答即可．
【解答】解：根据题意及其分析可得：
D赢2平1输1：3×2+1+0=7（分）
D赢B;D赢C;D﹣A平;D输E;
A赢1平3：3×1+3=6（分）
A赢B;A﹣D;A﹣E;A﹣C平;
E赢1平2输1：3×1+2+0=5（分）
E赢D;A﹣E;E﹣C平;E输B;
B赢1平1输2：3×1+1+0+0=4（分）
B赢E;B平C;B输A;B输D;
C平3输1：3+0=3（分）
C﹣A;C﹣E;C﹣B平;C输D
答：战胜过C的球队只有D队．

26．10名选手参加象棋比赛;每两名选手间 都要比赛一次;已知胜一场得2分;平一场得1分;
负一场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同 ;前两名选手都没输过;前两名的总分
比第三名多20分;第四名得分与后四名所得总分相等;问：前六 名的分数各为多少？
【分析】先设第k名选手的得分为a
k
（1≤k≤10）;得出 a
1
、a
2
的值;再根据得出a
4
≥12;求出
a
3
;再根据a
1
≤a
3
﹣
1
=12;求出 a
4
;最后根据a
1
+a
2
+a
3
+…a
8
+a
9
+a
10
=90分别求出a
5
、 a
6
的值．
【解答】解：设第k名选手的得分为a
k
（1≤k≤1 0）;依题意得：a
1
＞a
2
＞a
3
＞…a
9＞a
10

a
1≤1+2×
（
9
﹣
1
）
=17
;

16 23

a
2≤
a
1
﹣
1=16
;
a
3+20=
a
1+
a
2
;
所以a
3≤13 ①
;
又后四名棋手相互之间要比赛=6场;每场比赛双方的得分总和为2分;
所以a
7< br>+a
8
+a
9
+a
10≥12
;
所以a< br>4≥12
而
a
3≥
a
4+1≥13;②
所以由
①②
得：
a
3=13
;
所以a
1
+a
2=33
;
所以a
1
=1 7;a
2=16;
又因为
a
1
≤a
3
﹣
1 =12
;
所以a
4
=12;
因为a
1
+a2
+a
3
+…a
8
+a
9
+a
10< br>=
×2=90
;
所以
17+16+13+12+
a
5
+a
6
+12=90;
而a
5
+a
6
≤ a
5
+a
5
﹣1;
≥10frac{1}{2};
又a5
＜
a
即：a
54
=12;
则a
5
=11;a
6
=9;
答：前六名得分分别是：17分;16分;13分;12分;11分;9分．

2 7．现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛;即每两队之间都要比赛一场．比赛积分
的规定是胜一 场积2分;平一场积1分;负一场积0分;表1是一张记有比赛详细情况表格;但
是;经过核对;发现表 中恰好有4个数字是错误的;请你把正确的结果填入表2中．
表1

场 胜 负 平 进失积
数 球 球 分
A 2 2 0 1 0 2 3
B 2 1 1 0 3 6 2
C 1 2 1 2 0 1 1
表2

场胜 负 平 进失积
数 球 球 分
A
B
C
【分析】一 共有三个球队;每个队赛两场;所以每个球队总场数是2;根据最后得分及其得失
球去判断即可． A队得3分;显然是一胜一平;而B队得2分;只能是一胜一负或者是2平;而C队得1分;只能
是 一负一平;所以B对只能是因为A队已经一胜一负;所以A胜B;B胜C;A和C平;据此可
以得到进球 与失球的个数．
【解答】解：根据题意及其条件可得：

场胜 负 平 进失积
数 球 球 分
A 2 1 0 1 6 2 3
B 2 1 1 0 3 6 2
C 2 0 1 1 0 1 1

28．9个小朋友从前到后站成一列．现在将红黄蓝三种颜色的帽子各三顶分别戴在这些小
朋友的头上．每个小朋友都只能看到站在他前面的小朋友帽子的颜色．后来统计了一下;发
现他 们看到的红颜色帽子的总次数等于他们看到的黄颜色帽子的总次数;也等于他们看到的

17 23

蓝颜色帽子的总次数．已知从前往后数第三个小朋友戴着红帽子;第六个小朋友戴着 黄帽子;
请问：最后一个小朋友戴着什么颜色的帽子？
【分析】因为9个人看到的帽子的总次数是：1+2+3+…+8=36次;
又因为他们看到的红、黄、蓝颜色帽子的总次数是相等的;
所以这个总次数是36÷3=12次;
因为第三个人是红帽子;已经被6个人看到;所以剩下两顶帽子要么是在第4和第8;要么是
第5和第7;这样两顶帽子被看到的次数是6;6+6=12;刚好．
最后一个小朋友不可能 是戴红帽子;他也不可能带黄帽子：因为第6个是黄帽子;被3个人看
到;如果最后一个是黄帽子;那么 就没人看到了;剩下的一顶黄帽子即使被第一个小朋友戴;也
才被8个人看到;3+0+8=11
所以最后一个小朋友戴的是蓝帽子;由此解答即可．
【解答】解：（1+2+3+4+…+8）÷3
=36÷3
=12（次）
第三个人是红帽子;已经被6个人看到;所以剩下两顶帽子要么是在第4和第8;要么是
第5和第7;这样两顶帽子被看到的次数是6;6+6=12;刚好;
最后一个小朋友不可能 是戴红帽子;他也不可能带黄帽子：因为第6个是黄帽子;被3个人看
到;如果最后一个是黄帽子;那么 就没人看到了;剩下的一顶黄帽子即使被第一个小朋友戴;也
才被8个人看到;3+0+8=11
所以最后一个小朋友戴的是蓝帽子;
答：最后一个小朋友戴着蓝色的帽子．
< br>29．有A、B、C三支球队进行比赛;每一轮比赛三个队之间各赛一场．每队胜一场得2分;
平 一场得1分;负一场不得分．如果三支球队共比赛了7轮;最后A胜的场数最多;B输的场
数最少;C的 得分最高＜这些都没有并列）．请问：A得了多少分？
【分析】每一轮;无论各队胜负如何;三队积分总合不变;等于6分;7轮之后;三队积分总和42;
C得分最高;题目中各条件无并列;则C至少得15分;
A胜场最多;然而不是积分最多的队伍;
说明A、B、C积分非常接近;接近到不能再接近的地步（无并列）;
B负场最少;则平局最多;可以安排B积分次之;
那么可以按以下分配分数：A14分;B1 3分;C15分或A13分;B14分;C15分;由此结合列举进
行解答即可．
【解答】解：根据题意列举如下：
第一轮：A胜B A胜C B平C
第二轮：A平B A负C B平C
第三轮：A负B A负C B平C
第四轮：A平B A负C B平C
第五轮：A平B A负C B平C
第六轮：A平B A胜C B平C
第七轮：A胜B A胜C B平C
总计 A：5胜 4平 6负 积分：5×2+4×1=14分
B：1胜 11平 2负 积分：2+11×1=13分
C：4胜 7平 3负 积分：4×2+7×1=15分
或：
第一轮：A胜B A胜C B平C
第二轮：A负B A负C B平C
第三轮：A负B A负C B平C

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第四轮：A平B A负C B平C
第五轮：A平B A负C B平C
第六轮：A平B A胜C B平C
第七轮：A胜B A胜C B平C
总计：A：5胜 3平 6负 积分：5×2+3=13分
B：2胜 10平 2负 积分：2×2+10=14分
C：4胜 7平 3负 积分：4×2+7=15分
所以A为13分或者14分．
答：A得了13分或14分．

30．阿奇和8个好朋友去李老师家玩;李老师给每人发了一顶帽子;并在每个人的帽子上 写了
一个两位数;这9个两位数互不相同;且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．
李老师在 纸上写了一个自然数A;问这9位同学：“你们知道自己帽子上的数能否被A整除
吗？知道的请举手;” 结果有4人举手．
李老师又问：“现在你们知道自己帽子上的数能否被24整除吗？知道的请举手．” 结果有6
人举手．
已知阿奇两次都举手了;并且这9位同学都足够聪明且从不说谎．请问：除 了阿奇之外的人
帽子上8个两位数的总和是多少？
【分析】通过有4人举手;我们可以分析一 下;为什么这4人会举手？肯定是这4人看到了A
的两位数的所有倍数;从而判断自己不是A的倍数;所 以这四人才能肯定的举手说明这四人
一定知道自己头上的数不是A的倍数;由于是4人举手其他5人没有 举手;说明A的两位的
倍数只有5个;并且全部出现在这9人里面．所以A只可能是17、18、19这 三个数里面的
一个．
并且小明举了手;说明小明的数肯定不是A的倍数．
通过还是 有小明在内的6人举手;也同样的分析24的四个倍数24、48、72、96．并且小明
举了手;小明 肯定也不是24的倍数．
通过小明的再次举手说明小明既看到了A的5个倍数;同时也看到了24的四 个倍数;即小明
看到了9个数才能确保自己两次举手．而全部一共只有9个数;如果小明看到了9个不同 的
数再加上自己的数共有10个数了;所以我们分析肯定是24的倍数与A的倍数有一个重合
了 ．而24的四个倍数里面只有72是18的倍数;其他数即不是17的倍数也不是19的倍数．
所以我们现在可以确定A是18．
即小明看到的数是18、36、54、72、90、24、48、96它们和是438．
【解 答】解：知道自己帽子上的数能否被A整除的人=知道自己的帽子的数不能被A整除;
也就是说9个两位 数只有5个能被A整除;所以5A≤99;6A＞100;所以A只能在17～19中取
数．
同理;知道自己帽子上的数能否被24整除的人=知道自己的帽子的数不能被24整除;24的倍
数有2 4;48;72;96;按理应该有5人举手才对;那么说明至少有一个人肯定知道自己能被24整
除; 同时也说明了A只能是18;因为24的倍数里72能同时被18整除．
所以;其他8个人帽子上的两 位数分别是：18;36;54;（72）;90;24;48;96;所以总和是438


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参与本试卷答题和审题的老师有：pysx zly;zhuyum;admin;xiaosh;ZGR;奋斗;忘忧草;齐敬孝
（排名不分先后）
菁优网
年5月22日

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考点卡片


1．数的整除特征
【知识点归纳】
整除 是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b;商是整数且余数为0;我
们就说a能被b 整除;或b能整除a;或b整除a;记作b丨a．此时;b是a的一个因数（约
数）;a是b的倍数
数的整除特征
（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数;那么它必能被2整除．
（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5;那么它必能被5整除．
（ 3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除;
那么它必能被 3（或9）整除．
（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25 ）整除;那
么它必能被4（或25）整除．
（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果 一个整数的末三位数能被8（或125）整除;
那么它必能被8（或125）整除．
（6）能 被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差
（大减小）能被11整除 ;那么它必能被11整除．

【命题方向】
经典题型：
例1：下列4个 数都是六位数;A是大于0小于10的自然数;B是0;一定能同时被2、3、5整
除的数是（ ）
A、AAABAA B、ABABAB C、ABBABB D、ABBABA
分析：这个六数个位上的数字是0; 能被2和5整除;不管A是比10小的哪个自然数;A+A+A
的和一定是3的倍数;所以ABABAB 一定能被3整除
解：B=0;
ABABAB能被2和5整除;
A+A+A的和一定是3的倍数;
ABABAB也一定能被3整除;
故选：B．
点评：此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5;这个数就能被
5 整除;个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除;一个数各数位上的数字之和是3的倍数;这个
数就能 被3整除．

常考题型：
例2：有一个四位数3AA1能被9整除;A是 7 ．
分析：已知四位数3AA1能被9整除;那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字;只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数;
最 大值只能是9．若A=9;那么3+A+A+1=22;22＜27;所以3AA1的各位数字和只能是9的1< br>倍或2倍;即9或18．
解：根据题意可得：
四位数3AA1;它能被9整除;那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数;
因为 A是一个数字;只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数;最大值只能是9;若A=9;那
么3+ A+A+1=3+9+9+1=22;22＜27;所以;3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍;即9或
18;

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当3+A+A+1=9时;A=2.5;不合题意;
当3+A+A+1=18时;A=7;符合题意;
所以;A代表7;这个四位数是3771．
答：A是7;
故答案为：7．
点评：本题主要考查能被9整除数的特征;即一个数 能被9整除;那么这个数的数字和一定是
9的倍数;然后在进一步解答即可．

2．平均数问题
【知识点归纳】
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型 应用题;如“求一个班级学生的平均年
龄、平均身高、平均分数…”
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平
均数．
解答这类应用题时;主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系;根据总数除以它相
对应 的份数;求出一份数;即平均数．

【命题方向】
常考题型：
例1：在 抗震救灾的日子里;解放军张叔叔前4天在一线共奋战了74小时;后3天平均每天
在一线工作15小时 ;这一周;张叔叔平均每天在一线工作多少小时？
【分析】根据题意可以求出张叔叔在7天一共工作了 几小时;用总的小时数除以总天数;就是
要求的答案．
解：（74+15×3）÷（4+3）;
=（74+45）÷7;
=119÷7;
=17（小时）;
答：这一周;张叔叔平均每天在一线工作17小时．
【点评】此 题是典型的解答平均数应用题;关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份
数．
例2：甲、乙、丙三种糖果每千克分别是14元、10元、8元．现把甲种糖果4千克;乙种糖
果3 千克;丙种糖果5千克混合在一起;问买2千克这种混合糖果需多少元？
【分析】用三种糖混合糖的总 钱数除以总千克数就是三种糖混合后的平均价;再用平均价乘
2千克就是要求的答案．
解：甲、乙、丙三种糖混合后的平均价是：
（14×4+10×3+8×5）÷（4+3+5）;
=126÷12;
=10.5（元）;
买2千克混合糖果的价钱是：
10.5×2=21（元）;
答：买2千克这种混合糖果需21元．
【点评】解答此题的关键是根据平均数的意义;先求出 甲、乙、丙三种糖混合后的平均价;
那2千克混合糖的价钱即可求出．

3．逻辑推理
【知识点归纳】
基本方法简介：

22 23

①条件分析﹣假设法：假设可能情况中的一种成立;然后按照这个假设去判断;如果有与 题
设条件矛盾的情况;说明该假设情况是不成立的;那么与他的相反情况是成立的．例如;假设a
是偶数成立;在判断过程中出现了矛盾;那么a一定是奇数．
②条件分析﹣列表法：当题设条件比较 多;需要多次假设才能完成时;就需要进行列表来辅
助分析．列表法就是把题设的条件全部表示在一个长 方形表格中;表格的行、列分别表示不
同的对象与情况;观察表格内的题设情况;运用逻辑规律进行判断 ．
③条件分析﹣﹣图表法：当两个对象之间只有两种关系时;就可用连线表示两个对象之间
的 关系;有连线则表示“是;有”等肯定的状态;没有连线则表示否定的状态．例如A和B两人
之间有认识 或不认识两种状态;有连线表示认识;没有表示不认识．
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件 分析的推理之外;还要进行相应的计算;根据
计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件．
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据;分析其中存在的规律和方法;并从特殊情
况推广到一般 情况;并递推出相关的关系式;从而得到问题的解决．

【命题方向】
经典题型：
例1：有A;B;C;D;E五名同学进行象棋比赛;规定每两个人之间要赛一场;到现在为止;A已经
赛了4场;B已经赛了3场;C已经赛了2场;D已经赛了1场;那么E赛了（ ）场．
A、1 B、2 C、3 D、4
【分析】5个人两两之间比赛;那么每个人要和另外4人比赛;每人赛4场;再根据ABCD四
人赛的场次进行推算．
解：每人最多赛4场;
A已经赛了4场;说明它和另外的四人都赛了一场;包括D和E;
E赛了1场;说明他只和A进行了比赛;没有和其它选手比赛;
B赛了3场;他没有和E比赛;是和另外另外的三人进行了比赛;包括C和E;
C赛了2场;是和A、B进行的比赛;没有和E比赛;
所以E只和A、B进行了比赛;一共是2场．
故选：B．
【点评】本题根据每个人 最多只能比赛4场作为突破口;进行逐个推理;找出E进行比赛的
场次．

4．最佳方法问题
【知识点归纳】


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