（2）






B
L
9

…
…
L
2

L
1

A
例3
数出下图中共有多少个三角形？





【分析与解】
数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE共3个；以AC为边的三角形有：
△ACD、△ACE共 2个；以AD为边的三角形有：△ADE1个。所以图
中共有三角形3＋2＋1＝6（个）。我们还发现 ，要数出图中三角形的
个数，只需数出△ABE的底边中包含几条线段（或以A为顶点的角的
个 数有几个）就可以了，即4×（4－1）÷2＝6（个）。所以图中共
有6个三角形。
答：图中共有6个三角形。
试一试3
A
图中共有多少个三角形？



B



C
50
D E F

例4
数出下图中有多少个长方形？




【分析与解】
数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一 样，长方形是由
长宽两对线段围成，线段CD上有3＋2＋1＝6（条）线段，其中每一
条与A C中一条线段对应，分别作为长方形长和宽，这里共有6×1
＝6（个）长方形，而AC上共有2＋1＝ 3（条）线段，也就有6×3
＝18（个）长方形。它的计算公式为：
长方形的总数＝长边线段的总数×宽边线段的总数
（3＋2＋1）×（2＋1）＝18（个）
答：图中共有18个长方形。
试一试4
图中共有多少个长方形？













例5
数出下图中共有多少个正方形？



A






D


B

C

【分析与解】
数图中正方形 的个数会与数长方形的个数的方法一致吗？正方
形是特殊的长方形，它的长和宽都相等，因此，我们不能 完全照搬
51

数长方形的方法。那么，怎么来数图中正方形的个数呢？
我们先设定图中每个小方格的边长都是一个长度单位。
具体方法如下：
（1）边长为1个长度单位的正方形
BC边上1个长度单位的线段有3条，AB边上1个长度 单位的线
段有3条，所以边长为1个长度单位的正方形有3×3＝9(个)。
（2）边长为2个长度单位的正方形
BC边上2个长度单位的线段有2条，AB边上2个长度 单位的线
段有2条，所以边长为2个长度单位的正方形有2×2＝4(个)。
（3）边长为3个长度单位的正方形
BC边上3个长度单位的线段有1条，AB边上3个长度 单位的线
段有1条，所以边长为3个长度单位的正方形有1×1＝1(个)。
因此，图中正方形的总个数为9＋4＋1＝14(个)。
一般来讲，计算边长为N个长度单位 的正方形图形中共有多少
个正方形，用公式N×N＋(N－1) ×(N－1) ＋(N－2) ×(N－2)
＋……＋1×1就可以了。
想一想，如果要数出右图中正方形的总个数，你会

吗？有什么规律呢？


试一试5
图中有几个正方形？



















52

练习八
1.数出下面每个图形中一共有多少条线段？
（1）
A B C D
共（ ）条
（2）
A B C D E F G H
共（ ）条
（3）

共（ ）条
（4）

共（ ）条

（5）

共（ ）条
53

2.数一数下面各图中一共有多少个角？
A
（1） （2）
A
P
1



P
2


P
3


B

共（ ）个角 共（ ）个角

B

8
（4）

（3）
7


2
L
9


1
L
8


L
1

L
2
L
3


A
共（ ）个角 共（ ）个角

3.图中各有多少个三角形？

（1） （2）



共（ ）个三角形 共（ ）个三角形

（3） （4）



共（ ）个三角形 共（ ）个三角形
54

4.数出下图中各有多少个长方形？
（1） （2）






共（ ）个长方形 共（ ）个长方形

5.数出下图中各有多少个正方形？
（1） （2）











共（ ）个正方形 共（ ）个正方形


（3） （4）




共（ ）个正方形 共（ ）个正方形






55

第九讲 间隔之谜（一）

知识要点与学法指导：
同 学们都知道，一条线段有2个端点。在这里，我们把两点之
间的一段称为段，那么，点数与段数存在如下 关系：
1、两端都有端点时：段数＝点数－1
2、两端都无端点时：段数＝点数＋1
3、只一端有端点时：段数＝点数
掌握了点数与段数之间的关系，我们就能解决一些简单的实际
问题。

例1
比一比，想一想，段数与点数之间有什么关系？
（1）

·


（ ）个点 （ ）个点 （ ）个点
段数（ ） 段数（ ） 段数（ ）
段数比点数_______________

（2）

·
·

·

（ ）个点 （ ）个点 （ ）个点
段数（ ） 段数（ ） 段数（ ）
段数比点数_______________

（3）
56

（ ）个点 （ ）个点 （ ）个点
段数（ ） 段数（ ） 段数（ ）
段数与点数_______________
【分析与解】
通过这三组图形，你能得出什么结论呢？
（1）当两端有点时，段数比点数少1，即：段数＝点数－1
（2）当两端无点时，段数比点数多1，即：段数＝点数＋1
（3）当图形为封闭的首尾连在一起的图形时，段数与点数同样
多。即：段数＝点数
试一试1
与同伴互相说一说，点数与段数之间有什么关系？

例2
同学们在校门口的一条走道的一旁插彩旗，从头至尾共
插了10面，相邻两面彩旗之间相距2 米（如下图所示），请你算一
算这条走道长多少米？







【分析与解】
我们把10面彩旗看做10个点，从图中可 以看出，10面彩旗之
间有10－1＝9（段），每段长2米，9段的长度就是这条走道的全长。

10－1＝9（段）
2×9＝18（米）
答：这条走道长18米。

57

试一试2
学校开运动会，同学们在操场的一边 插7面彩旗（两头都插），
每两面彩旗之间相距8米，操场的这条边长多少米？




8米


例3
小丽家住在三楼，他每上一层楼要走14级台阶。小丽从
一楼到三楼要走多少级台阶？
【分析与解】
我们用下图表示楼层与楼梯的级数。






从图上可以看出：从一楼到二楼要走14级台阶，从二楼到三楼，也要走14级台阶，这样，从一楼走到三楼要分两段走，2个14级台
阶，共14＋14＝28（级 ）或14×2＝28（级）
答：小丽从一楼到三楼要走28级台阶。
试一试3
爸爸的办公室在四楼，他每上一层楼要走18级台阶，爸爸从一
楼到四楼要走多少级台阶？
例4
在正方形的四条边上栽树，每边栽3棵，最少要栽多少
棵？
【分析与解】
要保证栽树棵数最少，首先应考虑在正方形的四个角上要各栽1
58

棵，这样的栽法如下图：






解决在正方形的四条边上至少栽树多少棵的问题，有以下三种
方法：
第一 种：先算出每条边中间栽树的棵数3－2＝1(棵)，接着算出
4条边中间的数1×4＝4(棵)，再算 出四个角上的数1×4＝4(棵)；
最后求出总数4＋4＝8(棵)。
第二种：先算出每边3 棵，四条边共栽3×4＝12(棵)，但4个
角上只栽一次就行了，把重复的4棵去掉后，最少要栽12 －4＝
8(棵)。
第三种：每边栽3－1＝2(棵)，4边一共栽2×4＝8(棵)。
解法一：3－2＝1(棵)
1×4＝4(棵)
4＋4＝8(棵)

解法二：3×4＝12(棵)
12－4＝8(棵)

解法三：3－1＝2(棵)
2×4＝8(棵)
答：最少要栽8棵。
试一试4
在正方形的四条边上栽树，每边栽4棵，至少要栽多少棵？

59

练习九
1.看图填空。
（1）

（ ）个点 （ ）个点 （ ）个点
段数（ ） 段数（ ） 段数（ ）

·
·
·
·
（2）
·
·
·

·
· ·
·
·

·
· ·
·
·
·
·

（ ）个点 （ ）个点 （ ）个点
段数（ ） 段数（ ） 段数（ ）

2.要把10个灯笼用电线连起来挂出去（如下图），每两个灯笼
之间相隔5米 ，至少需要多长的电线？

5米




3. 国庆节在学校门口挂彩灯，一共挂了18盏红灯，每两盏红灯
之间有一盏黄灯，一共有多少盏黄灯？


4.学校准备摆一个正六边形花坛（如下图），要求在每个角上摆
一盆红 花并且每两盆红花之间摆2盆黄花。问学校应准备几盆红花？
几盆黄花？

60

5.同学们在一段路的一边种树，从马路的一头到另一头一共种
了9 棵，每两棵树之间相隔3米，问这段马路长多少米？

6.同学们在一段路的一边种了5棵白 玉兰树，每两棵白玉兰树
之间又种了8棵黄杨树，问一共种了多少棵黄杨树？

7. 李涛订了一本35张纸的本子，每隔5张夹进一片树叶标本，
问这个本内共能夹进多少张树叶标本？

8.小强从一楼走到二楼要用2分钟，那么他从一楼到七楼要用
几分钟？

9.一个商场每相邻两层之间有18级台阶，兰兰从3楼走到5楼
要走多少级台阶？

10.在三角形每边上栽树，每边栽4棵，至少要栽几棵树？

11.有一个正方形的池塘，在它的四周栽杨树，每边栽6棵，至
少要栽多少棵？

12.有杨树2棵，柳树2棵，松树2棵，把它们栽在一个三角形
的三条边上，使每边都有杨树 、柳树、松树各1棵，应该怎样栽？







61

第十讲 间隔之谜（二）

知识要点与学法指导：
在日常生活中，我们会遇到把较长的物体按要求截成较短的几
段这样的问题，请大家回忆一下剪绳子的结果：剪一次，可以把绳
子剪成2段；剪两次，可以把绳子剪 成3段；剪3次，可以把绳子
剪成4段。我们就会发现，剪的次数与段数有着密切的关系，剪的
次数总比剪的段数少1。

例1
把一根木头锯成3段，要锯几次？如果每锯一次用3分
钟，一共要锯多少分钟？


【分析与解】
观察图可知：要把一根木头锯成3段，实际只要锯2次，题中
告诉我们 ，每锯一次要3分钟，所以锯2次需要3＋3＝6（分），有
的小朋友会用乘法计算3×2＝6（分）。
列算式： 3－1＝2（次）
用加法计算：3＋3＝6（分）
或用乘法计算：3×2＝6（分）
答：要锯2次，一共要锯6分钟。
试一试1
把一根钢筋锯成4段，每锯一次用5分钟，一共需要多少分钟？

例2
一根绳子长20厘米，把它剪成5厘米长的小段，要剪几
次？
【分析与解】
根据题意，用图表示如下：

62

如果按要求剪成5厘米长的小段，20厘米长的这根绳子里包含
4个5厘米，因此可 以把这根绳子平均分成4段，因为剪的次数比段
数少1，所以要剪4－1＝3（次）。
20÷5＝4（段）
4－1＝3（次）
答：要剪3次。
试一试2
把15米长的绳子剪成3米一段的短跳绳，能剪几根？要剪几
次？


例3
一根钢管锯成8段，要付锯费7元，现在要把这根钢管
锯成11段，应付锯费多少元？
【分析与解】
因为锯成8段，实际只锯了8－1＝7（次），锯7次付7元，就
是说 锯1次需要锯费1元，现在要把这根钢管锯成11段，就需要锯
11－1＝10（次），所以应付10元 钱。
8－1＝7（次）
7÷7＝1（元）
11－1＝10（次）
1×10＝10（元）
答：共应付锯费10元。
试一试3
一根木料要锯成6段，要付锯费10元，现在要把这根木料锯成
9段，应付锯费多少元？


例4
一幢大楼，亮亮乘电梯从一楼到五楼一共用了12秒，那
63

么他从一楼到十楼共用多少秒？
【分析与解】
解决这个问题的关键是找出平均每段用多少秒？共有几段？我
们可以借助下面的图示来分析。
五楼



12秒


？秒

一楼

亮亮从一楼到五楼经过5－1＝4（段），共用了12秒，平均每 段
用了12÷4＝3（秒）。他从一楼到十楼要经过10－1＝9（段），需要
9个3秒，即： 3×9＝27（秒）。
5－1＝4（段）
12÷4＝3（秒）
10－1＝9（段）
3×9＝27（秒）
答：他从一楼到十楼共用27秒。
试一试4
一幢大楼，昊昊从一楼到六楼一共用了45秒，他从一楼到八楼
一共用多少秒？




64

练习十
1.要把一根木头截成6段，一共要截几次？

2.把一根木头锯成4段，要锯几次？如果每锯1次用2分钟，
一共要锯几分钟？
3.把一根10米长的木料锯成一些2米长的小段，每锯一次要4
分钟，一共要用多少分钟？
4.把一根木料锯成4段要付15元，锯成8段要付多少元？

5.一根绳子长8米，把它截成8小段，需要截几次？把它截成2
米长的小段，需要截几次？
6.一根钢管，锯成5段，要付费4元，现在要把这根钢管锯成
10段。应付费多少元？
7.一根竹竿，锯成2段需5分钟，锯成10段需几分钟？

8.小王从一楼到四楼用了3分钟，他到家共用了8分钟，小王
家住几楼？
9.小强家住在七楼，他从一楼走到三楼要用2分钟，那么他从
一楼走到七楼要用几分钟？

10.时钟2点钟敲2下，2秒敲完；4点钟敲4下，几秒敲完？






11.时钟6点钟敲6下，10秒钟敲完，敲12下需要几秒？

65

第十一讲 横式数字谜
知识要点与学法指导：
在一个数学式子 (横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、
文字来代替部分数字的不完整的算式，叫做“数字谜”。解 “数字谜”
就是求出这些被擦去的数或用字母、文字、符号、图形代替的数。
这一节介绍横式数字谜的解法。
解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：
(1)加数＋加数=和；
(2)被减数一减数=差；
(3)因数×因数=积；
(4)被除数÷除数=商
⑸被除数÷除数=商……余数。
由它们还可以得到以下运算规则：
由(1)可知 一个加数= 和－另一个加数；
被减数=差＋减数
由(2) 可知
减数=被减数－差；

由(3) 可知 一个因数=积÷另一个因数，

被除数=商×除数，
由(4) 可知
除数=被除数÷商。

被除数 =商×除数＋余数
由(5) 可知 除数=（被除数－余数）÷商
商=（被除数－余数）÷ 除数
其次，要熟悉数字运算和拆分。例如，8可用加法拆分为
8=0＋8=1＋7=2＋6=3＋5=4＋4；
66

24可用乘法拆分为
24=1×24=2×12=3×8=4×6 (两个数之积)
=1×2×12=2×2×6=… (三个数之积)
=l×2×2×6=2×2×2×3=… (四个数之积)


概括地说：解横式数字谜，一要掌握运算

法则，二要熟悉数字运算和拆分。



例l
下列算式中，□，○，△，☆，※各代表什么数？
(1)口＋5=13－6； (2)28－○=15＋7；
(3)3×△=54； (4) ☆÷3=8；
(5)56÷※=7。

为了避免出错，可以先将算式中

已知的数进行计算。



【分析与解】
(1)由加法运算规则知，□=13－6－5=2；
(2)由减法运算规则知，○=28－(15＋7)=6；
(3)由乘法运算规则知，△=54÷3=18；
(4)由除法运算规则知，☆=8×3=24；
(5)由除法运算规则知，※=56÷7=8。
试一试1
下列算式中，□、○、△、☆各代表什么数？
（1）○－6＝24＋6 （2）132－□＝51＋20
（3）☆×6＝42 （4）72÷△＝9
例2
下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数?
67

(1) □＋□＋□=18；
(2) ○＋○＋6=21－○；
(3)5×△－18÷6=12；
(4)6×3－45÷☆=13。


想一想：

算式（1）有什么特点？可以怎样做？



【分析与解】
(1)□表示同一个数，根据乘法的意义知
□＋□＋□=□×3，
故□=18÷3=6。
(2)先把左端(○＋○＋6)看成一个数，就有
(○＋○＋6)＋○=21，
○×3=21－6，
○=15÷3=5。




说一说：

（3）和（4）的运算顺序是怎样的？







68

(3)把5×△，18÷6分别看成一个数，得到
5×△=12＋18÷6，
5×△=15，
△=15÷5=3。
(4)把6×3，45÷☆分别看成一个数，得到
45÷☆=6×3－13，
45÷☆=5，
☆=45÷5=9。
试一试2
求出题中各种图形所表示的数。
（1）□＋□＋□＝15 □＝（ ）
□×☆＝35 ☆＝（ ）
（2）△＋△＋8＝20－4 △＝（ ）
○÷△＝7 ○＝（ ）
（3）41－36÷☆＝32 ☆＝（ ）

例3
在下列各式的口里填上合适的数。
（1）□÷4＝46……3
（2）98÷6＝□……2
（3）102÷□＝7……4
【分析与解】
（1）由被除数＝商×除数＋余数，可得46×4＋3＝187，所以
□里填187；
（2）由商＝（被除数－余数）÷除数，可得（98－2）÷6＝16，
所以□里应填187；
（3）由除数＝（被除数－余数）÷商，可得：
（102－4）÷7＝14，所以□里应填14。
试一试3
在下面各式的口里填上合适的数。
（1）□÷5＝24……4
69

（2）59÷7＝□……3
（3）89÷□＝9……8
例4
若数□、△满足□×△=48和□÷△=3，
则□，△各等于多少?


注意：两个算式中的□代表的数是相同的，

△代表的数是相同的。

想一想：□与△有什么关系



【分析与解】
由□÷△=3知，□=△×3。把□×△=48中的□换成△×3,就
有
(△×3) ×△=48，
于是得到△×△=48÷3=16。因为16=4×4，所以△=4。再把 □=△
×3中的△换成4，就有
□=△×3=4×3=12。
这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分
产泛。
试一试4
若数□、△满足□×△＝24和△÷□＝6，则□、△各等于多少？






70

练习十一
1.在下列各式中，□分别代表什么数?
□＋16=35； 47－□=12； □－3=15；

4×□=36； □÷4=15； 84÷□=4。

2.在下列各式中，□，○，△，☆各代表什么数?
(□＋350)÷3=200； (54－○)×4=0；

360－△×7=10； 4×9－☆÷5=1。

3.在下列各式中，□，○，△各代表什么数?
150－□一□=□；

○×○=○＋○；

△×9＋2×△=22。

4.求出题中符号所表示的数。

△×☆＝12 △＝（ ）
（1）
△－3＝0 ☆＝（ ）

△＋○＝12 △＝（ ）
（2）
△×2＝8 ○＝（ ）

2＋☆＝20 ☆＝（ ）
（3）
☆÷△＝9 △＝（ ）

71

5.若数□，△同时满足□×△=36和□－△=5，
则□，△各等于多少?



6.题中□，△各表示什么数？
□×△＝5
□÷△＝5
7．在下面口里填上合适的数。
（1）□÷7＝32……5
（2）642÷7＝□……5
（3）521÷□＝9……8
8.把120写成4个不同的一位数相乘的形式,有几种写法？请试
一试。
120＝ × × ×



9．□×△＝36 □÷△＝4
□＝（ ） △＝（ ）
10．○×△＝20 ○＝△＋△＋△＋△＋△
○＝（ ） △＝（ ）
11．在下面（ ）里填上合适的数。
（1）22÷（ ）＝（ ）……4
（2）65÷（ ）＝（ ）……2
（3）37÷（ ）＝（ ）……2
（4）48÷（ ）＝（ ）……6



72

第十二讲 加减法数字谜

知识要点与学法指导：
同 学们已经学习了万以内的加法和减法，本讲我们重点学习运
用加减法运算法则及数与数之间的关系巧填数 字。解答加减法数字
谜的一般步骤是：
一、审题，认真分析算式的特征及数量关系。
二、寻找解题突破口，结合运算法则及已知数与未知数之间的
数量关系去分析、推算。
三、解题过程中注意试验，一步步寻求与前后不矛盾的正确答
案。

例1
根据所给的算式，推算出每个□里该填几？

5
＋ 2
4 8
【分析与解】
（1）观察：这是两位数加两位数和是两位数的不进位加法。根
据加法的运算法则，先看个位。
（2）寻找突破口：根据加法的运算法则，先看个位。个位上三
个数已知两个数，很容易推知另 一个数。
（3）依次解决各数位上的数：
个位：5与一个数相加的结果是8，只有5＋3＝8，个位的空格
里应填3。
十位：一个数加上2等于4，这个数肯定是2。十位的空格里应
该填2。

这个加法算式是：
73

2 5
＋ 2 3
4 8
试一试1
5
＋ 4
8 7

例2
在算式的空格内填入适当的数，使算式成立。




【分析与解】
方法一：
（1）观察：这是一道三位数减去三位数的减法算式。
（2）寻找突破口：个位上三个数中有两个数是已知的，可以作
为突破口。
（3）依次解决各数位上的数：
个位：一个数减去5等于7，这个数是12，个位上的空格里 应
该填2，个位不够减向十位借1。
十位：个位不够减向十位借1后，十位上是7减去一个数等于3，
十位减数的空格里应该填4。
百位：百位的三个数中只有被减数已知是4，所以有以下几种可
能，4-1=3，4-2=2， 4-3=1。




74

答案是：

· · ·
4 8 2 4 8 2 4 8 2

－2 4 5 －3 4 5

－1 4 5
2 3 7 1 3 7

3 3 7
方法二：分别转化为加法算式


5 3 7

＋ 3 7 ＋ 5



4 8 4 8

转化为加法算式后就可以分析求解。
试一试2
在下列各式的空格里分别填入适当的数，使算式成立。
6 8 8
－ 2 － 6 － 6 4
2 6 4 4 1 2 9
例3
在算式的空格内填入适当的数，使算式成立。

1

＋ 9



4

【分析与解】
（1）观察：这是一道两位数加三位数和是四位数的进位加法。
（2）寻找突破口：个位上三个数已知两个数，可以作为突破口。
（3）依次解决各数位上的数：
个位：一个数加上9的结果的末尾是4，只有5＋9=14，所以个
位的空格应该填5。
75

十位：个位相加满十向十位进1，因为是进位加，所以由十位起
要连续进位。因为只有1＋1＋8=10和1＋1＋9=11，所以十位的空格
里可以填8也可以填9 ，但是都要向百位进1。
百位：百位上的数加上进位的1要向千位进位，百位上只有9
＋1= 10，所以百位上的空格里应该填9。
千位：千位上就是百位进位的1，所以空格里填1。
答案是：




在解决这类问题的时候有的答案不仅仅 只有一个，有多种答案
的可能性，给我们的分析又带来一定的困难。只有认真观察，分析，
找准 突破口，一步一步去试验。
试一试3

＋ 0 3
2

例4
在下边的竖式中，A、B、C、D各代表什么数字？
7 A 6
＋ B 4 9
D 2 3 C
【分析与解】
显然，C=5，D=1（因两个数字之和只能进一位）。 < br>由于A＋4＋1即A＋5的个位数为3，且必须进一位（因为4＞3），
所以A＋5=13，从而 A=13-5=8。
同理，由7＋B＋1=12，即B＋8=12，得到B=12-8=4。
因此所求的A=8，B=4，C=5，D=1。
76

试一试4
A、B、C、D分别代表不同的数字，它们各是什么数字时，下面
的算式成立？
A B C D
－ A D C
C B C

练习十二
1.在下面算式的空格里填上合适的数，使算式成立。
（1） 4 （2） 3
＋ 5 － 4
9 8 2 7
（3） 4 （4） 4
＋ 5 － 5
7 0 2 5
2.找出被 遮挡的数。

（1） 7 6
＋ 8 9

3 2

（2） 0 0 1
－ 3 0

9 7

77

3.在下面各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立。

（1） 4 5
－ 2 8
7 7 7

（2） 3
－ 8
5 6 7
4.在下面的□里填上适当的数，使算式成立。

（1） 7 4 （2） 8 1
＋ 6 ＋ 5
0 2 9 9 4
5.每个字母代表什么数字？
（1） 1 A 3 A＝（ ）
＋ B A B＝（ ）
1 9 5

（2） A A A＝（ ）
＋ A
8 4

（3） 6 A A＝（ ）
－ B 2 B＝（ ）
2 3



78

（4） A 8 A＝（ ）
－ 3 B B＝（ ）
6 4
（5） A 4 B 4 A＝（ ）
－ 4 5 7 C B＝（ ）
1 D 2 5 C＝（ ）
D＝（

6.猜一猜，每个算式中的汉字代表的数是几？
1） 好 学 生 好＝（ ）
＋ 生 学 好 学＝（ ）
4 4 4 生＝（ ）


（2） 爱 数 数 数 爱＝（ ）
－ 学 学 学 数＝（ ）
爱 学＝（ ）

（3） 新 新＝（
新 年 年＝（
新 年 快 快＝（
＋ 新 年 快 乐 乐＝（
2 0 0 8





79
）
）
）
）
）


（

第十三讲 图形的周长

知识要点与学法指导：
同学们 都知道，长方形的周长＝（长＋宽）×2，正方形的周长
＝边长×4，利用长方形和正方形的周长公式， 解决一些较复杂的不
规则图形的周长问题。可以采用合并、平移、分割、添补等方法，
将问题转 化成我们熟悉的、简单的图形问题，从而顺利地加以解决。

例l
一个长为5厘米，宽4厘米的长方形，将长增加3厘米，
这个长方形的周长增加多少厘米?
【分析与解】
要求长方形的周长，首先想长方形周长的计算公式是c=(a＋b)
× 2，已知道长与宽，长增加3厘米，新的长是(5＋3)厘米，已知宽
4厘米，就能求出新的长方形周长 ，再求周长增加了多少。
解(1)：长方形的长增加后是 5＋3=8(厘米)
新长方形的周长是 (8＋4)×2=24(厘米)
原长方形的周长是 (5＋4)×2=18(厘米)
周长增加了 24－18=6(厘米)
解(2)：也可以这样想：长方形周长包含两个长边，两个宽边，
宽不变，长增加3厘米，两个长边共增 加3×2=6（厘米），如下图
所示。


4厘米


3厘米
5厘米

3×2=6(厘米)
答：长方形的周长增加6厘米。
比较以上两种方法，你认为哪种解法更简便？
80

如果长和宽各增加3厘米，周长增加多少厘米？你会算吗？
试一试1
一个长方形长6米，宽4米。
（1）如果长增加4米，这个长方形的周长增加多少米？
（2）如果长增加2米，宽增加4米，这个长方形的周长增加多少
米？

例2
一个长方形和一个正方形周长相等，已知正方形的边长
是5厘米，长方形的长是6厘米，宽是多少厘米?
【分析与解】
已知正方形的边长就很容易求出正方形的周长，我们先求正方
形周长， 再根据它和长方形周长相等这一条件用长方形周长公式求
出长方形的宽。
解： 正方形周长5×4=20(厘米)
长方形的长与宽的和 20÷2=10(厘米)
长方形的宽 10－6=4(厘米)
答：这个长方形的宽4厘米。
试一试2
一块正方形菜地边长4米，在四周围上篱笆，篱笆长多少米？
用这些篱笆刚好围出一块长7米的长方形菜地，围成的长方形的宽
是多少米？

例3
求下图所示图形的周长(单位：分米)。






【分析与解】

4
4
1
81

这是一个组合图形，由两个长方形组合而成，不要误认为这两
个长方形的周长的 和就是组合图形的周长。那么怎么计算不规则图
形的周长呢？经观察发现，如果我们把左边长方形右边的 宽边再往
右平移，把右边长方形的上下两条长边再各往上、下方向平移，就
能得到一个形如下图 的大长方形，大长方形的周长与原来图形的周
长相等。这样，我们就把求组合图形的周长转化为求长（1 ＋4）分
米，宽4分米的长方形的周长。



4


4


1

解： (1＋4＋4)×2
=9×2
=18(分米)
答：这个图形的周长是18分米。
试一试3
求下面图形的周长.

1分米


2分米

4分米





82
4
4
1

例4
一个正方形被分成三个相同的长方形，每个长方形的周
长是1 6厘米，那么这个正方形的周长是多少厘米？（如下图）







【分析与解】
方法一：已知三个长方形相同，每个长方形周长是16厘 米，就
可以先求出每个长方形长与宽的和16÷2＝8（厘米），而长方形的长
就是正方形的边 长，它等于3个长方形的宽，进而求出每个长方形
的宽是8÷（3＋1）＝2（厘米），最后求出正方形 的边长是2×3＝6
（厘米）,周长是6×4＝24（厘米）。
解：长方形长与宽的和：16÷2＝8（厘米）
长方形的宽：8÷（3＋1）＝2（厘米）
正方形的边长：2×3＝6（厘米）
正方形的周长：6×4＝24（厘米）
方法 二：通过分析可知，三个长方形的周长和是16×3＝48（厘
米），相当于正方形8条边长的和。正方 形的边长即为48÷8＝6（厘
米）。周长为6×4＝24（厘米）。
解： 16×3＝48（厘米）
48÷8＝6（厘米）
6×4＝24（厘米）
答：正方形的周长是24厘米。
试一试4

一块正方形菜地被平均分成 四个长方形，每
个长方形的周长是30米，请你算一算正方形菜地的周
长是多少米？
83

练习十三
1.一个长方形花坛长5米，宽3米。如果把宽增加2米，周长
会增加多少米？
< br>2.一个长3分米、宽2分米的长方形，如果长增加2分米，宽
增加1分米，周长增加多少分米？

3.把一块长5米、宽2米的木板锯成一个最大的正方形，得到
的正方形的周长比原 来长方形的周长少多少米？

4.一个正方形的边长减少3厘米，它的周长减少多少厘米？

5.一个养鸡场要围一个长12米、宽8米的长方形小鸡活动场地，
这个场地一面靠 墙，三面围栅栏，最少需要用栅栏多少米？

6.一个正方形与一个长方形的周长相等，长方 形的长是5分米，
宽3分米，正方形的边长是多少分米？

7.一个正方形与一个长 方形的周长相等，长方形的长与宽的和
是8分米，正方形的边长是多少分米？

8. 把一个边长2米的正方形台布四周的花边拆下来后，正好能
缝在长3米，宽几米的长方形台布四周？

9.把一个长8厘米，宽6厘米的长方形，分成两个大小一样的
长方形，怎样分得到 的周长最短？每个小长方形比原来的大长方形
周长少多少厘米？


84

10.求下面图形的周长。（单位：厘米）

4


6
11.在一个长方形硬纸板的一角任意剪去一个正方形，剩下的图
形的周长与原来的周长相比（ ）。
A、少了 B、多了 C、相等
12.把一个正方形分成甲、乙两部分（如下图），下面哪句话是
正确的？
（1）甲的周长比乙大。
甲
（2）甲乙周长相等。
（3）甲的周长比乙小。
乙

13. 6个边长是4厘米的正方形拼成一个图形（下图），请你求
出此图形的周长。





14. 下图中，每个小正方形的周长是8厘米，求出大长方形的
周长。








85

第十四讲 有趣的余数

知识要点与学法指导：
我们都学过除法，下面这些有关余数的知识同学们都知道吗?
（1）余数应比除数小；
（2）一个数除以5，余数可能是几?
一个数除以5， 它的余数有4种可能，分别是余数为l、2、3、
4，还有一种情况是除以5，没有余数。
我们可以根据余数的特点，解决很多有趣的新问题。

例l
体育老师让 三(1)全班同学按照1－4报数，把全班同学
分排成4列(竖为“列”)。报l的同学排第一列；报2 的同学排第二
列；报3的同学排第三列；报4的同学排第四列。如果你是第17名
同学你应该排 在第几列呢?假如你是第42名同学，你应该排在第几
列呢?
【分析与解】
通过下面图表帮助我们理解
第一列 第二列 第三列 第四列
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21 22 23 24
……




86

从上面图表中我们可以发现以下规律：
第一列 第二列 第三列 第四列
第一行 1÷4=0……1 2÷4=0……2 3÷4=0……3 4÷4=1
第二行 5÷4= 6÷4= 7÷4= 8÷4=
第三行 9÷4= 10÷4= 11÷4= 12÷4=
第四行 13÷4= 14÷4= 15÷4= 16÷4=
第五行 17÷4= 18÷4= 19÷4= 20÷4=
第六行 21÷4= 22÷4= 23÷4= 24÷4=
你们发现了吗?
(1)凡是排在第一列的，都是除以4余数为1的；
凡是排在第二列的，都是除以4余数为2的；
凡是排在第三列的，都是除以4余数为3的；
凡是排在第四列的，都是除以4没有余数的。
(2)商0余数为1、2、3和商正好是1的排在第一行，也就是这列的
第一个数；
商l余数为1、2、3和商正好是2的排在第二行，也就是这列的第
二个数；
商2余数为l、2、3和商正好是3的排在第三行，也就是这列的第
三个数；
商3余数为l、2、3和商正好是4的排在第四行，也就是这列的第
四个数；
根据上面的规律就可以判断无论自己是第几名同学经过计算就
能知道自己应该排在第几列，是这一列的第 几个。
假如你是第17名同学：
17÷4=4……l
所以你应该排在第一列第5个，从上表中你能够看到自己的
位置。
假如你是第42名同学：
42÷4=10……2
所以你应该排在第二列第11个。
87

试一试1
在例1中，如果王明是第35名，他应该排在第几列第几个？

例2
有一堆围棋子，按“二黑三白”排列起来（如图），想一
想，第31个是白子还是黑子？第40个呢？
●●○○○●●○○○●●○○○……
【分析与解】
这堆棋子的排列是有一定规律 的，即按“二黑三白”5个棋子组
成一组，这样的组依次不断重复出现。我们先算出31个棋子可以排< br>成这样的几组：31÷5＝6（组）……1（个）余数是1，这1个棋子
表示第七组的第一个，所 以，第31个棋子是黑子；同理40÷5＝8
（组），没有余数，那么，第40个棋子正好是第八组的最 后一个，
应该是白子。
试一试2
你能算出例2中第42个是白子还是黑子吗？这42个棋子中，
黑子有多少个？白子有多少个？

例3
小明在桌子上摆硬币,按“一个1元，5个5角；一个1
元，5个 5角……”这样的顺序一直摆下去，共摆了33枚硬币。如
果第一枚摆的是1元，那么他一共摆了多少枚 5角的硬币？
【分析与解】
已知每两枚1元之间有五枚5角，如果第一枚是1元，那就是< br>按“1个1元，5个5角”6个硬币组成一组这样的组次不断重复出
现。可以用33÷6＝5（组 ）……3（枚）算出一共排成5组余下3
枚；每组中有5个5角，5组就是5×5＝25（枚），余下3 枚属于第
6组，每组第一枚是1元，那么后面两枚是5角，所以25＋2＝27（枚），
5角硬 币共有27枚。
试一试3


如果在例3中，共摆放了52枚硬币，你能算 出最后一枚是1元
还是5角？这52枚硬币中，1元有多少枚？5角有多少枚？
88

例4
露露问兰兰：“今天是星期二，再过22天是星期几？”
【分析与解】
一星期是七天，今天是星期二，后面日期的排列是星期三、四、
五、六 、日、一、二；再后面还是星期三、四、五、六、日、一、
二……每七天为一组，22÷7＝3（组）… …1（天）余数是1，所以，
今天是星期二，再过22天就是第四组的第一天，是星期三。
还可以这样算：用星期数加上要过的天数，把所得的和用7除，
余数是几就是星期几。
2＋22＝24（天）
24÷7＝3（周）……3（天）
答：余数是3，就是星期三。
试一试4
2008年10月10日是星期五，这月的10月31日是星期几？

练习十四
1.三年级58名同学去参观，按1—4报数，然后报几就排在第几
列, 排成四列。第38名同学排在第几列，他是这列的第几个?

2.二（1）班同学参加学校拔 河比赛，他们比赛的队伍按“三男
二女”依次排成一队，第26个同学是男同学还是女同学？第39个< br>是男同学还是女同学？


3.一座塔上有一串彩灯，按“红、黄、绿、白” 的规律依次排
列起来，请你算一算，第14只彩灯是什么颜色？第27只，第36只
彩灯又是什 么颜色？


89

4.一串珠子，按下图这样排列，那 么第32颗是什么颜色？这32
颗珠子中，每种颜色的珠子各有多少颗？



5.有一列数：1，3，5，1，3，5，1，3，5……第25个数字是
几？这2 5个数字的和是多少？

6.一列数按“3826547265471……”排列，问第40
个数字是几？第71个数字是几？

7.一列数按“8966157……”排列，问第30个数字
是几？第53个数字是几？

8.一列数字按“365473654736547……”排列，问第23个数字
是 几？这23个数字的和是多少？

9.一串彩灯按“二红三黄四绿”的顺序依次排列，第41 盏是什
么颜色？这41盏彩灯每种颜色各有多少个？

10.如果今天是星期日，再过28天是星期几？

11.2008年的国庆节是星期三，再过19天是星期几？

12.2009年的“五一”是星期五，那么“六一”是星期几？

13.彩虹有七 种颜色，分别是：“红、橙、黄、绿、青、蓝、紫。”
如果把这七种颜色按照这样的顺序涂在一排玻璃瓶 上，如：第1个
涂红色，第2个涂橙色，第3个涂黄色……，那么第100个是什么
颜色？
90

第十五讲 和倍问题

知识要点与学法指导：
已知几个数的和及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的问
题叫和倍问题。
解答和 倍问题，一般是先确定较小的数为标准数(或称一倍数)，
再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定 总和相当于标准数的
多少倍，然后用除法求出标准数，再求出其他各数。为了帮助我们
理解题意 弄清数量关系，从而找到解题的途径，最好采用画线段图
的方法。

例1 < br>甲乙两个学校共有120人参加数学竞赛，乙校参赛人数
是甲校的3倍，甲乙二校各参赛多少人?
【分析与解】
把甲校参加的人数定为标准数(1倍数)，乙校参加人数是甲校的
3倍，那么甲校和乙校参赛人数的和相当于甲校人数的4倍，可以理
解为甲校人数的4倍是120人．那 么求出l倍是多少人，就是甲校参
赛的人数。然后再求乙校参赛的人数。
画出线段图如下：
1倍


甲校
3倍


乙校


解： 甲校参赛的人数 120÷(3＋1)=30(人)
乙校参赛的人数 30×3=90(人)或120－30=90(人)
答：甲校参赛30人，乙校参赛90人。
结论：
91

和÷(倍数＋1)=1倍数(较小数)
1倍数×倍数=几倍的数(较大的数)或 和－小数=大数
试一试1
学校图书馆 买来科技书和故事书共240本，买来的故事书的本
数是科技书的3倍。学校图书馆买来科技书和故事书 各多少本？

例2
三块布共长440米，第二块布的长度是第一块的3倍，第
三块布

是二块布的2倍。三块布各长多少米？
【分析与解】
我们先画图来表示题意：
1倍数

第一块
3倍数

第二块
440米

3×2倍数

第三块
首先确定第一块布长 为一倍数，则第二块布长为3倍数，第三
块布长是第二块的2倍，就是第一块的3×2=6倍，我们就把 第三块
看作6倍数。这三块布的总长就是第一块布的1＋3＋3×2=10倍。
三块布共长44 0米，也就是第一块布长的10倍是440，第一块布长
为440÷10=44(米)，第二块、第三块 布长可依据与第一块的关系求
出。
解：第一块布长 440÷（1＋3＋3×2）=44(米)
第二块布长 44×3=132(米)
第三块布长 132×2=264(米)
答：第一块布长44米，第二块布长132米，第三块布长264米。
试一试2
果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中桃树的棵数是梨
树的3倍，苹果树的棵数是桃树的2倍 。求梨树、桃树和苹果树各
92

有多少棵？

例3
甲仓库存粮140吨，乙仓库存粮108吨，要使乙仓库存
粮数是甲仓库的3倍，必须从甲仓库 运出多少吨放入乙仓库?
【分析与解】
根据甲乙两仓存粮的和与调整后乙仓库的存粮是甲 仓库的3倍，
如果把甲仓库调整后存粮看成l倍数，那么甲乙两仓库粮食的和相当
于甲仓库调整 后存粮的(3＋1)倍，从而求出甲仓库调整后的存粮数。
再用甲仓库原存粮数减去调整后存粮数，就得 到应从甲仓库运出的
吨数。
解：


甲


乙



甲仓库调整后存粮吨数 (140＋108)÷(3＋1)=62(吨)
应该从甲仓库运出的吨数 140－62=78(吨)
答：必须从甲仓库运出78吨放入乙仓库。
试一试3
某工厂第一车间有工人150人，第二车间有工人90人，要使第
一车间人数是第二车间的2倍，需要从 第二车间调多少人到第一车
间？


例4
两数相除的商为3，被除数、除数和商三者之和是39，
求被除数和除数。
【分析与解】
已知被除数、除数、商三者之和是39，商是3。根据“被除数=
93

商×除数”可以把被除数看作3×除数。那么，被除数与除数的和就
可以看作（3＋1）个除数，3 9－3 = 36。我们用36÷(3＋1)=9就可求
得除数，再用9×3=27求出被除数即可。
解：被除数、除数的和是 39－3 =36
除数是 36÷(3＋1)=9
被除数是 9×3=27
答：被除数是27，除数是9。
试一试4
两数相除的商为7，商、被除数、除数之和是71，求被除数和
除数。

练习十五
1.甲乙二人共存款510元，甲的存款是乙的2倍，甲乙各存款多
少元?

2.一套办公桌椅的价钱是228元，一张办公桌的价钱是椅子的3
倍。一张办公桌 和一把椅子各多少元？

3.爸爸买了一支钢笔和一支圆珠笔共花了18元，其中钢笔的价< br>钱是圆珠笔的5倍。圆珠笔和钢笔的价钱各是多少元？

4．甲、乙、丙三数之和是3 60，又知甲为乙的3倍，丙为乙的
2倍，求甲、乙、丙各是多少？

5．商店有铅 笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔
的3倍，铅笔的支数和圆珠笔的支数同样多。铅笔、 钢笔和圆珠笔
各有多少支？

94

6.某专业户李大伯 养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3
倍，养鸭的只数是鹅的4倍，鸡、鸭、鹅各养了多少只？


7.小明和小红都是集邮爱好者，小明集了76张邮票，小红集了
50张 邮票。小明送给小红几张后，小红的邮票是小明的2倍？


8.甲、乙两桶油共重 176千克。如果从甲桶中倒入乙桶30千克
油，这时乙桶油的质量是甲桶的3倍。甲、乙两桶油原来各 重多少
千克？


9.两个数相除商是8，被除数、除数与商的和是170，被除数是
多少？


10.被减数、减数与差相加得536，已知减数是差的3倍，差是
多少？


11.建筑工地运来水泥和大沙共32吨，其中运来水泥的重量是
大沙的 4倍还多2吨，建筑工地运来水泥和大沙各多少吨？


12.学校买来篮球和足球 共27个，其中篮球的个数比足球的2
倍少3个。学校买来篮球和足球各多少个？



95

第十六讲 差倍问题

知识要点与学法指导：
已知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数的应用题
叫差倍问题。
解答差倍 问题，一般以较小数作为标准数(一倍数)，再根据大
小两数之间的倍数关系，确定差是标准数的多少倍 ，然后用除法先
求出较小数，再求出较大数。
解答这类问题，先画线段图，帮助分析数量关系。

例l
乙数比甲数多60，乙数是甲数的3倍，甲乙二数各是多
少?


甲数



乙数



【分析与解】
把甲数作为1倍数，“乙数是甲数的3倍”，那么乙数比甲数多2
倍 ，又知乙数比甲数多60，即2倍和60相对应，可以理解为甲数的
2倍是60，这样可以求出甲数是多 少。甲乙各是多少就可以求出来
了。
解：甲数是多少 60÷(3－1)=30
乙数是多少 30×3=90或30＋60=90
答：甲数是30，乙数是90。
试一试1
96

一台彩电的价钱是一台冰箱价钱的3倍。买一台 彩电比一台冰
箱多用2800元。一台彩电和一台冰箱各多少元？

例2
有两箱苹果，甲箱装40个，乙箱装24个，现从两箱取
出相等个数的苹果，剩下的数量甲箱恰好是乙 箱的5倍，求两箱所
剩的苹果各是多少?
【分析与解】
24个
40

从图中看出，从甲乙两箱中分别取出相等数量的苹果，甲乙两
箱剩下的苹果数量差与 原有苹果的数量之差相等。以乙箱剩下的苹
果数量为一倍量，那么甲箱剩下的苹果恰好是乙箱剩下苹果的 5倍，
知道两个数量的差与两个数量间的倍数关系，就可以用差倍问题的
思路来解答了。
解：两箱苹果的差 40－24=16(个)
乙箱苹果剩下个数 16÷(5－1)=4(个)
甲箱剩下苹果个数 4×5=20(个)
答：甲箱剩下20个苹果，乙箱剩下4个苹果。



97

试一试2
有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米。两根铁丝各用< br>去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根的3倍，两根铁丝
各剩下多少米？

例3
两袋盐的重量相等，甲袋取出24千克，乙袋装入18千
克，这时乙袋的重量 是甲袋重量的3倍，甲、乙两袋原有盐各重多
少千克？
【分析与解】
1

甲袋：

24千克

？千克
3

乙袋：

18千克

两袋盐的重量相等，但是从甲袋取24千克 ，往乙袋放入18千克
后，乙袋的重量是甲袋的3倍。应把变化后的甲袋重量看作1倍，
而24 ＋18＝42（千克）正好相当于甲袋剩下重量的2倍，所以先求
甲袋取出24千克后剩下的重量是多少 。甲乙两袋盐原来的重量也就
可以求出了。
解：甲袋盐剩下的重量：（24＋18）÷（3－1）＝21（千克）
两袋盐原来各重： 24＋21＝45（千克）
答：甲、乙两袋盐原来各重45千克。
试一试3
甲、乙两校教师的人数相等，由于工作需要，从甲校调了30人
到乙校，这 时乙校教师人数正好是甲校教师人数的3倍，求甲、乙
两校各有教师多少人？

98

例4
粮油店有44千克芝麻油，68千克豆油，每天卖出芝麻
油、豆油各8千克，几天后剩下的豆油是芝麻油的3倍?
【分析与解】






芝麻油
44
豆 油
68
根据芝麻油和豆油的数量，可以知道芝麻油和豆油的数量差，
由于每天卖出的芝麻油和豆油的数 量相等，所以剩下的数量差与原
来的数量差是相等的，知道两数差及两数之间的倍数关系，就可以
用差倍问题的解题方法先求出剩下的数量，于是卖出的数量也就知
道了。根据卖出的数量和每天卖出的 数，天数自然也就求出了。
剩下的芝麻油(1倍数) (68－44)÷(3－1)=12(千克)
卖出多少芝麻油 44－12=32(千克)
卖了几天 32÷8=4(天)
答：4天后剩下的豆油是芝麻油的3倍。
试一试4
小东看一本科技书54页，小亮看一本 故事书84页，两人每天
各看8页，几天后小亮剩下的页数是小东剩下页数的2倍？

练习十六
l.小明比爸爸小28岁，爸爸今年的年龄是小明的5倍，小明今
年多少岁?爸爸今年多少岁?



99

2.学校组织学生植树，六年级比五 年级多植树48棵，六年级植
树棵数是五年级的5倍，六年级和五年级各植树多少棵？
3.有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，
这时第二根长度是第一根长的3 倍，两根绳子原来各长多少米？

4.有两块同样长的布，第一块卖出25米，第二块卖出1 4米，剩
下的布第二块是第一块的2倍，求每块布原有多少米？

5.某站运来的白 菜是萝卜的4倍，卖出白菜18千克，萝卜3千
克，剩下的两种蔬菜的重量相等，某站运来的白菜和萝卜 各多少千
克？

6.甲乙两个车间工人的人数相等，由于工作需要从甲车间调90< br>人到乙车间，这时乙车间人数正好是甲车间的4倍，求甲乙两车间
原有多少人?
7.公园里有杨树和柳树，杨树的棵数比柳树的2倍多95棵，已
知杨树比柳树多465棵，杨树与 柳树各多少棵?

8.学校组织同学们去博物馆参观。第一天参观的人数比第二天
多 240人，已知第一天参观的人数是第二天的3倍。两天去参观的
各有多少人？

9 .果园里种了一批苹果树和梨树。种的苹果树的棵数比梨树的2
倍多120棵，已知苹果树的棵数比梨树 多380棵。果园里种苹果树、
梨树各多少棵？
10.有甲、乙两桶水。甲桶水的重量是乙桶 的4倍，如果从甲桶
倒入乙桶36千克水，这时两桶水的重量相等，甲、乙两桶原来各有
水多少 千克？
100