山东商务职业学院分数线-2017年放假

第一单元 找规律填数
单元简介：数学的主要研究对象是“数”与“形 ”，研究“数”与“形”的规
律有助于培养学生的数感、符号感和空间观念。本单元是学生在一年级和二 年
级学习找规律填数的基础上学习的，学生已经初步掌握了简单的找规律填数的
基本方法，通过 这一单元的学习，使同学们知道在一组有规律的数列中，除了
从相邻的两个数的和（或差）关系考虑外， 有时还要从积、商关系以及将数列
进行分组考虑来解决较为复杂的按规律填数问题。着重培养学生仔细观 察，善
于分析的好习惯。

走进来

星期天，小淘气做完作业正 在和小精灵聪聪玩变脸游戏，小精灵要小淘
气学学他的表情。而小精灵呢，一会儿微笑，一会儿大哭，一 会儿又大笑，
一会儿又微笑，一会儿又大哭，一会儿又大笑，一会儿又微笑，你说小淘气
应该怎 样做呢？
同学们只要认真观察，在我们日常生活中，也有很多像这样按照一定顺
序、有规律的 排列的事物。学习数学当然离不开数，如果把一些数按照一定
的规律排列，你能发现其中的规律吗？

一起做：
教学建议：
先来研究：相邻两数之间的差一定（等差数列）、 倍数一定（等比数列），
学生有能力，通过自己的观察去发现规律解决问题。
如果我们事先不知道它们的规律，我们采取什么办法来研究呢？
从已有的数据中相邻的两组或三组数来观察研究。
出示例1．
1

【例1】观察下面各组数列，找出其中的规律，并根据规律在括号中填上合适
的数。
（1) 1，16，31，46，( 61 )，( 76 )；

（2）200，188，176，164，( 152 )，( 140 )；

（3）4，20，100，500，( 2500 )，

（4）400，200，100，( 50 )，( 25 )。
教学建议： 整体观察给出的数列，你发现规律了吗？说说你是怎样发现规律
的？发现了什么规律？
小结： 要想将数填准，一定要找到这组数列的规律。象这样相邻两个数的差一
定的数列在数学中称为等差数列； 相邻两个数的商一定的数列在数学中称为等
比数列。这两个概念只要让学生明白就可以了，不必背诵。
此内容学生在二年已经接处过，所以学的很轻松。教师可以根据具体学情，
自己准备两组数列进 行训练。
有的规律比较隐蔽，你能发现吗？
【例2】按规律填数。

（2）0，3，9，21，45，（ 93 ），（ 189 ）；

（3）1，5，17，53，( 161 )，485；

（4）132，100，84，76，( 72 )，( 70 )。
教学建议：例2是比较复杂的找规律填数，相邻两个数的差正好是一组等
2

比数列。
我们先来解决（1）
提出问题：
相邻两个数的差相同吗？（差不相同）
将这些差写出来你发现什么？（是一组数列）
这组数列有什么规律呢？（相邻两个数的商相同）
仔细的观察后，再做出判断。
通过（1）的学习，你又学到了什么？
用（1）的学习方法，解决其他问题。
练习：展现自己1
小结：找规律的时候要整体观察，前后数之间的关系形成了一个有规律的
数列。
有的时候，观察数列的排列规律需要分组去观察。
【例3】观察、分析下面各数列的变化规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）1，1，2，1，1，4，1，1，6，（ 1 ），( 1 )，( 8 )；

（2）1，3，5，2，4，6，3，5，7，（ 4 ），( 6 )，( 8 )；



（4）100，1，98，3，94，9，88，27，( 80 )，( 81 )。
教学建议：第（1）、（2）两组属于同一类的特殊的找规律填数。教学时，
可以先让学 生自主研究，说说发现了什么规律。（2）也可以看成是由3个数列
组成的数列。
提出问题：
认真观察给出的数列（1），相邻两数之间有规律可循吗？（没有）
3

试着整体观察给出的数列，看看有怎样的排列规律呢？（三个数为一组去
观察，分法不唯一）
用这个方法观察（2），你都有哪些发现？
教学建议：第（3）、（4）两组属于同一类的特 殊找规律填数。这是两组不
同的数列混在一起，要将一列数拆成两列数才能发现规律。
提出问 题：试着整体观察给出的数列（3）和（4），看看有怎样的排列规
律呢？你能将这两组数列分开吗？
练习：展现自己2（1—7）
小结：在一组数列中，有时要将数列进行分组考虑，来寻找规律。

【例4】观察、分析下面各数列的变化规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）1，2，2，4，8，（ 32 ）；

（2）1，3，3，9，（ 27 ）；

（3）2，3，5，8，13，( 21 )，( 34 )；

（4）1，2，3，5，8，13，21，( 34 )，( 55 )。
提出问题：
通过前几道例题的学习，我们已经学习了一些找规律填数的方法，你能根< br>据这些方法，自己找到数列的规律并填出下一个数吗？
分析与解：
第（1）、（2）从第3个数起，后一个数等于前2个数的积；
第（3）、（4）从第3个数起，后一个数等于前2个数的和；
说明：第（3）、（4）这两 种数列，是一种很奇特的数列，它是由意大利数学家
斐波那契从兔子繁殖问题中提出的，称为斐波那契数 列。它的应用很广，也很
4

有趣，有兴趣的同学可以自己回去查 找一下我关它的知识，回到班级交流。这
种数列我们到五年级学习余数和同余时还要用到它。

练习：展现自己2（8—11）

【例5】先观察下列各算式，找出规律，说一说，然后填数。
1×1＝1
11×11＝121
111×111＝12321
1111×1111＝1234321
11111×11111＝（ 123454321 ）
111111×111111＝（ ）
1111111×1111111＝（ 21 ）
11111111×11111111＝（4321 ）
111111111×111111111＝（654321 ）
提出问题：请同学们仔细观察，你发现了什么？
（学生很容易发现规律，正确填数，关键是如 何将规律正确用语言表达出
来；此题重点是增加学生见识，从而引发对数学的兴趣）
练习：展现自己3
小结：在数学王国中，数与数之间的规律真是变化多端，我们要善于发现，
善于总结。下面我们看最后一个例题。
【例6】下面一列数的每一项都由三个数组成的数组表 示，它们依次是：(1，
3，6)(2，6，12)(3，9，18)(4，12，24)„„问：第1 00个数组内三个数是多
少？它们的和是多少？
提出问题：
要想求出第100组内的三个数，是否要把所有的数都写出来呢？观察每组
5

中的数你能发现什么？（第一个数与组数相同；每一组中，三个数的规律是第
一个数乘3得到第二个数；第二个数乘2得到第三个数。）

解：第三100个数组内的三个数是（100，300，600）
它们的和是：100＋300＋600=1000

我发现：
学习完这个单元，你又学习了哪些找规律的方法？
找规律填数的方法是什么？你都知道了哪些规律，得出了哪些结论？


参考答案：

展现自己
1、（1）45； （2） 18，20； （3） 175,170 ； （4）
160； （5） 96,192；
（6）32，47； （7）37，65； （8）94，190； （9） 18，24； （10）
95，191；
（11）64,100； （12）50，66；（13）4；（14）64，9；
2、 （1）1 ，2 ，24； （2）6，7，8； （3）4，6； （4）
16，9； （5） 7，9；
（6）48，16； （7）8，10； （8） 29，47； （9）
50； （10） 21；
（11）53，86；
3、 1234×9＋5＝（ 11111 ）
（ 12345 ）×9＋（ 6 ）＝111111
6

（ 123456 ）×9＋（ 7 ）＝1111111
（ 1234567 ）×9＋（ 8 ）＝11111111
（ 12345678 ）×9＋（ 9 ）＝111111111
4、 700 5、500

超越自我
（1）69，134；
（4）68，125
（2）144
（5）54，27
3）70，169
6）6+3
7
（
（

第二单元 一笔画
单元简介：什么样的图 形能够一笔画成呢？这就是一笔画问题（也称七桥问
题），它是一种有名的数学游戏。所谓的一笔画就是 从图形的某点出发，笔不
离开纸，而且每条线都只画一次不准重复。
学习这部分内容的基础是，首先要让学生知道什么是一笔画，还要理解奇
数点和偶数点的含义。
建议采用动手实践的学习方式，通过操作自己得出结论。通过本单元的学
习，培养学生推理、判 断的能力。

走进来：
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发 夫岛位于
河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地的市民在休息时经
常到这里来散步 ，有人提出：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座
桥。这就是著名古典数学问题之一柯尼斯堡七桥问 题。
1736年，欧拉（1707年出生在瑞士，他生活、工作过的三个国家：
瑞士 、俄国、德国，都把欧拉作为自己的数学家，为有他而感到骄傲。）
在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7 座桥》的论文报告中，阐述了他的
解题方法。他认为要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也
就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不
存在。他还把七桥问题形 象地说成是“一笔画问题”。一个曾难住了那么
多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！
欧拉是如何推理出来的呢？他的这个结论是否准确呢？下面就让我
们沿着欧拉研究的足迹，走进一笔画 问题！
一起做：
并不所有图形都能一笔画成，那么什么样的图形能一笔画成呢？我们怎样
8

才能快速判断出这个图形是否可以一笔画成呢？这里面一定有它的技巧与方
法。
【例 1】用笔沿着线条画一画，然后回答哪些能够一笔画出来，哪些不能，
并分析一下能够一笔画的图形与不 能一笔画的图形各有什么特点呢？




(1) (2) (3) (4)
提出问题：实际动手画一画，观察并想一想一笔画的前提是什么？
分析与解答：（3）和（4 ）是连通图形，可能一笔画成，经试验能一笔画
成；（1）和（2）不是连通图形，不能一笔画。
思考：当一笔画成（3）和（4）的时候，从哪起笔从哪落笔呢？（如果
有两个奇数 点，则必须从奇数点起笔奇数点落笔）
【例2】下面的连通图哪些能一笔画，哪些不能一笔画呢？





(1) (2) (3) (4)

思考并实践： 只要是连通图形就都可以一笔画吗？请你动手试一试，看看你能
发现什么？老师有个秘方，不用画就可以 知道这个图形是否能一笔画！你知道
是什么吗？
说明：图中的点分两类：奇点和偶点
9

奇点：从一点出发的线的条数是奇数的点。
偶点：从一点出发的线的条数是偶数的点。
在一个图形中，奇点的个数都是0个或2个的图形可以一笔画。
分析与解答：（１）的奇数点 为0个，（２）的奇数点为2个，这两幅图都可以
一笔画；（３）的奇数点有4个，（４）的奇数点有6 个，这两幅
图都不能一笔画。
总结：判断一个图形能不能一笔画的标准是：
(1)必须是连通的图形
(2)奇点的个数必须是0个或2个
练习：展现自己１—３
用我们发现的方法解决下面的问题。
【例3】判断下面的图 形是否可以一笔画出？如果不能，请通过添上或去
掉最少的线（直线、曲线都可以）改成可以一笔画的图 形。






(1) (2) (3)

教学建议：首先让学生判断是否可以一笔 画，引导学生思考能否一笔画主
要看什么？（奇数点的个数）找出每个图形的奇数点的数量，怎样才能将 奇数
点的数量变成2个或0个。
说明：在改变奇数点的个数时，可以连线，也可以将某条线擦掉。
分析与解答：（１）不能一笔画；（２）可以一笔画；（３）不能一笔画。
10

练习：展现自己4—5

【例4】这是大数学家欧拉曾经研究过的一个著名数学问 题——七桥问
题。哥尼斯堡城中有一条横贯城区的河流，河上有两个岛，两岸和两岛之间共
架有 七座桥，如下图所示。问人们能不重复地走遍这七座桥吗?你能说出道理
吗？


教学建议：
1、教师可以简单介绍一下这道题的由来。
2、这是一道生活实际问题 ，我们不可能亲自去走，引导学生想办法将“七桥
问题”转化成一个平面图，再根据一笔画的知识清晰地 解答。
说明：如何将这幅平面图画出是此题的难点。




11

分析与解答：通过平面图发现图中奇数点超过2个，所以这件事是不可能的。

练习:展现自己6—8

※【例5】两个小朋友分别在智力迷宫的A、B两个入口 处，以相同的速度同
时出发，走遍迷宫的每一条路，最后从出口C处出来，问：从哪个入口出发
的小朋友可以最先走出来？




教学建议：要走遍迷宫的每一 条路，还要先出来，为了节省时间就不能走重复
路。将此题用数学的眼光去观察就转化成一笔画问题。
分析与解：通过观察发现此图可以一笔画，有2个奇数点。在有2个奇数点的
图中要一笔画，必 须从一个奇数点出发，在另一个奇数点结束。从A 点出发
的小朋友可以最先走出来。

我发现：判断一笔画的方法是什么？
运用一笔画的知识可以解决哪些实际问题？


参考答案：
12

展现自己
1．（1）（3）（4）（6）（7）都可以一笔画出（2）（5）（8）不能一笔画出。
（2）（8）的奇点个数超过2个，（5）是不连通图。
2.答案不唯一
3.可以
4—7.略
超越自我
略
13

第三单元 加减法数字谜
单元简介：解数字谜题，就 是将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的
算式。有人把这种数学游戏叫做残缺算式，也有人叫它 “虫蚀式”
解题时要观察算式的特点，通过分析，确定缺失的数字，使算式成立。
通过对这 一单元的学习，进一步培养学生敏锐的洞察力和逻辑推理能力。从而
培养学生的数感，也为后面学习比较 复杂的数字谜题打下坚实的基础。

走进来：
有这样一个故事：一天，小淘气跑到 爸爸的书房，想看看他的工程师
爸爸天天都在忙些什么，结果不小心把一瓶墨水碰洒了，这下可把小淘< br>气吓坏了，仔细一看，墨水将一道写着算式的纸中的某些数字涂上了，
这下可怎么办呢？小淘气冥 思苦想，唉，他推算出了所有的被墨水涂上
了的数字。爸爸回来后，不但没有批评他，还说他是个爱思考 的好孩子。
后来它发展成为了一种数学游戏，叫做数字谜，就是用字母或者说其它
符号代替数字 形成的算式,要求我们还原出原来的式子.在日本,这种游
戏叫做虫食算，接下来让我们也尝试着推算一 下吧！看看谁最聪明！

一起做：
【例1】
□ 1
＋ 6 □

9 3

提出问题：请同学们观察一下，个位上的3和十位上的9是怎样得到的。


14

解：
3 1

＋ 6 2

9 3
【例2】
□ 2 1

＋ □ 7 □

□ 9 0 □
提出问题：请同学们仔细观察，在和中十位上的0如何得到的？你能快速的添
出哪个数字呢？

解
： 9 2 1

＋ 9 7 9

1 9 0 0

小结：解决加法数字迷问题，要根据加法的算理和计算方法来解决问题。

【例3】
1 □ □
－ 8 5
1 □ 5
提出问题：
整体观察算式，解决问题的突破口在哪里？（可以从个位或百位来考虑）
被减数、减数、差都 有着怎样的关系呢？根据这种关系，这个算式还可以
写成怎样的形式呢？（可以将减法转化成加法，再来 填。）

15

1 □ □
1 □ 5


－ 8 5 ＋ 8 5

1 □ 5
1 □ □



解：

1 9 0

－ 8 5

1 0 5

小结：加、减法的数字谜，主要是考查学们的观察能力，和对加、减法笔算法
则的 理解。在填写时，一定要认真观察，用你的一双慧眼发现题中的突破点，
将能填的数填写好，利用进位或 退位的原理将整个算式填写出来。

练习：展现自己1

【例4】 迎 接 奥 运


接 奥 运
奥 运
＋ 运


2 0 0 8


16

提出问题：相同的字代表相同的数字，请你仔细观察从哪一位下手最好填呢？
（个位上的8可以用4×2或者4×7考虑）填好某一位时千万别忘了如果进位
了，一定要写好 进几。十位上的0应该减去进位的数字后再想。



解：
1 4 6 7 运=7

4 6 7 奥=6

6 7 接=4

＋
1 2 2
7 迎=1

2 0 0 8


【例5】 运
好 运
＋ 你 好 运
运 好 运
提出问题：相同的汉字代表相同的数 字，想一想从哪一位开始最好填呢？（个
位：运×3个位还是运，运可以是0或5，但运不是0，只能是 5）写好进位，
再想，好×2个位是好－1，好是9。
解：
5 运=5


9 5 好=9

＋ 4
1
9
1
5 你=4
17

5 9 5 小结：此类数字谜中相同的汉字代表相同的数字，只要你认真观察，一定能发
现它的突破点，通常我 们都从个位入手，根据算式的特点，逐个突破。

练习：展现自己2
【例6】在1 ，2，3，4，5，6之间添上“＋”（位置相邻的两个数字可以组成
一个数），使它们的和等于66。
教学建议：这道例题的独特之处就是通过学生的自主探索，培养学生的
估算意识。使学 生感受到反复实验也可以解决问题。

1 2 3 4 5 6 ＝ 66

解：1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋5 6 ＝ 66（答案不唯一）

练习：超越自我1


【例7】有这样一个六位数ABADEA，数中不同的字母分别代表不同的数，
已知 ABA＋DEA＝DEAB。
求这个六位数是多少？
提出问题：这个算式迷与我们前面学习的有什么不同？写成什么形式方便解决
问题？

解： 9 8 9 A=9 D=1
＋ 1 0
1
9 B=8 E=0
1 0 9 8
练习：超越自我2—3
18

我发现：
解决数字迷的基本策略都有哪些？
1．仔细观察算式的特征，分析算式中隐含的数量关系，选 择突破口，根据填
好的数字进行尝试并验算。
2．数字谜要认真观察，找到题中的突破点，根 据加、减、乘、除法的计算原
理找出取他的数字。
参考答案：

展现自己
1、（1）752＋248＝1000； （2）737—522＝215； （3）
722＋157＝879；
（4）5382＋4367＝9749； （5）18132—8659＝9473； （6）103
＋12＝115；
（7）851—356＝495； （8）7216—779＝6437； （9）6352
＋3226＝9578；
（10）581—487＝94； （11）6511—5638＝873； （12）
29＋982＝1011；
（13）784＋468＝1252； （14）8404—625＝7779； （15）
876＋987＝1863；
（16）2416＋4373=6789； （17）1056—989＝67； （18）
6236—797＝5439；
（19）48＋47＋923＝1018； （20）4037＋393＋2125＝6555；
2、 ①A＝2，B＝8，C＝4； ②D＝1，E＝2，F＝8；
③真＝1，是＝0，好＝9，啊＝8； ④大＝5，家＝2，爱＝1，上＝4，
学＝0；
⑤A＝9，B＝1，C＝2，D＝0； ⑥学=1，习＝8，优＝0，秀＝2；
19

3、略
超越自我
1、数＝7，字＝9，谜＝5；
2、这个五位数是43271；
3、答案不唯一，264＋789＝1053，1053－264＝789





















20

第四单元 数学趣题
单元简介：这里所说的数学趣题， 实际上就是我们到高年级时要学习的“智巧
问题”。这类问题听起来似乎很难，其实很容易，在我们看来 就是所谓的脑筋
急转弯。
鼓励学生在解决问题的时候，需要换个角度去想。有的时候也要用一 种“非
常规”的想法。从而培养学生的思维的灵活性和思维的创造性。

走进来：

20世纪下半叶，美国科普界叱咤风云数十年的三位大师级人物是艾萨克〃阿西莫夫、卡尔〃萨根与马丁〃加德纳，在数学传播领域有着无可替
代的作用，尤其是加德纳， 特别注重数学趣题的研究。
阿西莫夫对加德纳有着一段非常中肯的评语：“马丁〃加德纳是一位业余的超级魔术大师，这是毫无疑义的。但是，与他的一项看家本领相
比，神乎其神的魔术招数毕竟 是小巫之见大巫。原来，任何数学题材到
了他手，都能写成雅俗共赏，妙不可言，使我爱不忍释的文章。 ”
可见加德纳是一位趣题大师。让我们看看他的题：
5个水手带着1只猴子来 到一座荒岛，见岛上有大量椰子，他们便把
这些椰子平均分成5堆。夜籁人静，一个水手偷偷起来拿走了 一堆椰子，
把剩下的椰子又平均分成5堆，结果多出一只椰子丢给猴子吃掉了，过
了一会儿，另 一个水手也偷偷起来，拿走了一堆椰子后，再把剩下的椰
子平均分成5堆，结果还是多了一只，丢给猴子 吃了。就这样一个多事
的夜晚，5个水手都偷偷藏起一堆，重分了椰子，每次都多出一只椰子让
猴子占了便宜。第二天一早，岛上依然平均堆放着5堆椰子。试问：原
先的椰子最少要有多少只？——这 就是马丁〃加德纳提出的“水手分椰
子”名题。
趣题中也蕴涵着很多方法，让我们一起走进数学趣题吧！
21

一起做：
【例1】鸿大小区池塘里睡莲的面积每天长大一倍，经过18天就可以长 满池
塘。问：需要经过多少天，这些睡莲能长满半个池塘？
教学建议：引导学生在想解决问题时，可以顺着题意思考，也可以倒着想。
提出问题：在本子 上画一个长方形，试着画一下，没经过一天睡莲的面积就长
大1倍，经过了18天长满整个水池，经过多 少天长满半个水池呢？
还可以按照怎样的思路来解决问题呢？
分析与 解答：因为每天长大一倍，经过18天就可以长满池塘，第18天是第
17天的2倍，所以需要经过17 天，这些睡莲能长满半个池塘。

练习：展现自己1

【例2】用一只平底锅烙饼，每次只能烙两张饼。 烙一张饼需要2分钟（正
反面各需要1分钟），求烙3张饼至少需要几分钟？（写出操作过程）
第一次
1正
2正
第二次
1反
3正
第三次
2反
3反
教学建议：首先教师帮助学生理解题意，如“至少”等 ，其次要引导学生思考，
怎样才能最节省时间，可以让学生动手演示。另外，此题在四年级学习《合理< br>安排》中还要进一步学习，在这里不用讲解太深，只让学生通过实践理解统筹
的思想就可以了。
提出问题：怎样做才能烙好一张饼？（正反面各自烙1分钟）怎样做才能节省
时间？（锅内始终 有两张饼）
分析与解答：可以用列表画图的方式解答。

22

1×3=3（分钟）
练习：展现自己2—3

【例3】一只蜗牛从墙脚沿墙壁向10米高的墙头爬去，白天向上爬4米，到
夜里往下滑3米。求这只蜗 牛第几天能爬到墙头？
教学建议：先让学生试做，然后让学生汇报，教师画图演示。教学要注意让学< br>生理解这只蜗牛爬到几米高时，第二天就可以爬到墙头？而不再下滑了，这是
解题的关键。 提出问题：通过“白天向上爬4米，到夜里往下滑3米”能知道什么?但是要
注意，当蜗牛白天爬到 墙头的时候，还用向下滑吗？因此，注意的问题是什么？
分析与解答：当爬行6米，这个时候再爬行4米就可以到墙头了。
10－4=6(米)，6÷（4-3）=6（天），6＋1=7（天）
答：这只蜗牛第7天能爬到墙头.
练习：展现自己4—5
【例4】有一个猎人带了 一条狼狗，一只兔子和一筐青菜，要乘船到河对岸去。
河里只有一条小船，因为船小，猎人一次只能带一 样东西。但是他不在时，狼
狗会咬兔子，兔子又会吃青菜。请同学们帮他想一想，应该怎样安排过河？（ 写
出具体过程）
提出：当哪两样在一起时才是最安全的呢？
分析与解答：只有狼狗 和青菜在一起时才是最安全的，所以先将兔子运过河，
再回来将狼狗运过河，同时回来时再将兔子带回来 ，放回起始点，将青菜运过
河，最后再回来将兔子运过河。

练习：展现自己6


23

【例5】一杯咖啡，小明先喝了半杯 ，然后加满水，又喝了半杯，再加满水，
最后全部喝完。小明喝的咖啡多还是水多？
提出问题 ：引导学生思考一共加了多少水？（一杯水）一杯咖啡有变化吗？（咖
啡没有加所以咖啡还是一杯） < br>分析与解答：一共加了两次水，每次半杯，所以一共加了一杯水；咖啡没变还
是一杯。所以小明喝 的咖啡和水同样多。
练习：展现自己7

小结：以上几道例题我们要充分分析题中 每一个条件，认真分析好条件与问题
间的关系，用自己独特的思维方式去解问题。
教师在教学时要给学生充分的时间去思考，千万不要急于求成。

【例6】有一杆秤 ，只能称40千克以上的重量，甲、乙、丙三人的体重都在
20到39千克之间，他们都想知道自己的体 重，想一想怎样才能称出每个人的
体重？
提出问题：既然一个人的重量不能称出，请同学们想一想可以称出几个人的重
量呢？
分析与解答：两个人两个人去称。即称出甲、乙的；再称出甲、丙的；最后称
出乙、丙的。然后再算出甲 、乙、丙三人的体重之和，这样就可以求出每个人
的体重了。
练习：展现自己8—9

※【例7】一张长方形的硬纸板有四个角，用剪刀沿直线剪掉一个角后，还剩
几个角？
提出问题：大家可以自己找一张长方形的纸，动手试一试，看看能得出哪些结
论？
24

分析与解答：操作方法不同，答案也不同。


5个角 4个角 3个角
练习：展现自己10

我发现：
你学到了那些分析和解决数学趣题的方法？
要抓住解决问题的关键，多动手实践，这样我们的头脑才能变得更聪明。


参考答案：

展现自己
1.9天，11天 2.6分钟 3.6分钟 4.10天
5.4天
6. 先两个小孩到对岸，一个小孩回来，一个大人过去。
另一个小孩再回来，两个小孩一起到对岸，一个小孩回来，一个大人
过去。依此类推。
7．水多 8. 甲15，乙25，丙35
9．猴子25，大象5，老虎15 10. 4个角，5个角，6个角
超越自我
1. 永远也涨不到，因为水涨船高
2. 1分钟和2分钟先过，1分钟的回来；5分钟和10分钟一起过，
2分钟的回来；1分钟和2分钟再一起过。

25

第五单元 巧求周长
单元简介：长方形的周长=（长+宽）×2
正方形的周长=边长×4，
在小学的数学课上，同学们都会运用以上两个公式求出标准的长方 形和正
方形的周长。这也正是学习巧求周长的基础。
我们要进一步学习运用长方形和正方形的 周长公式，巧求表面上看起来根
本不是长方形或正方形图形的周长，从而培养同学们灵活应用知识的能力 。
要想具有灵活应用知识的能力，就必须掌握转化的思考方法。所谓转化，
这里主要是指把某 个图形转变成标准的长方形或正方形，以便计算它们的周
长。、
走进来：
秋天过后 ，草地进入养护期，花匠老爷爷为了不让人们进入，要将几块草
地用绳子围起来，那每块草地至少需要绳 子多少米呢？






在“生活与劳动”课上 ，老师教同学们用铅丝制作一些
作品，小明用铅丝做了一个字母“F”，你能帮他算一算一共
需 要用多少厘米铅丝吗？
26

解决这样的问题有什么好办法吗？
其实周长中也蕴涵着很多学问，让我们一起走进来吧！


一起做：
【例1】下面各图形横行竖列相邻的距离都表示1厘米，你能计算出它们的周
长。



提出问题：用不同的方法来解决问题。你都有哪些收获？
分析与解答：







27

练习：展现自己1
小结：可以用割补、平移等转化的方法来求周长

【例2】右图是明红花园小区一
块草地的示意图，求这块草地的周长。
（单位：米）
提出问题：
可以将这个图形转化成怎样的图形，而且周长不变？
分析与解答：用割补、平移的方法，将图形转化成长方形。
（80＋60）×2
=140×2
=280（厘米）

【例3】右图是希望小学教学楼的
一段楼梯台阶，图中每级台阶宽3分米，
高2分米，求图的周长。
提出问题：每级宽3分米，高2分米指的是哪一部分？
你能根据例1、例2的思想方法解决这个问题吗？

分析与解答：用割补、平移的方法，将图形转化成长方形。
（7×2＋7×3）×2
=35×2
=70（分米）

小结：在计算一些较复杂的图形的周长时， 我们要想办法用割补、平移的方法
等，将复杂图形转化成我们学过的简单的图形，从而解决问题。
28

练习：展现自己2—6
【例4】一张长方形 纸长15厘米，宽10厘米，从这张纸上剪下一个最大的正
方形，将这张纸分成两部分，这个最大的正方 形的周长是多少？剪后余下部分
的周长是多少？
提出问题：动手画一个长方形，试着动笔剪一剪，看看你有什么收获？
分析与解答：这个正方形的边长最大是10厘米，也就是长方形的宽。
10×4=40（厘米），（15－10＋10）×2=30（厘米）。
答：这个最大的正方形的周长是40厘米。剪后余下部分的周长是30厘米。
练习：展现自己7－8

【例5】把边长1厘米的正方形如下图那样一层、二层、 三层„„拼成各种图
形，它们的周长各是（ ）？你能快速算出如果摆到第18层时，它的周长是
（ ）；如果摆到第52层时，它的周长是（ ）；我还能算出如果摆到第（ ）
层时，它的周长是（ ）。



29

提出问题：解决这类问题的思路是什么？（找出 ：周长与层数、每边长度之间
的关系，从中找出变化的规律。）
分析与解答：第一层：1×1×4=4（厘米）；第二层：1×2×4=8（厘米）；
第三层：1×3×4=12（厘米）；第n层：1×n×4

你能快速算出如果摆到第18层时，它的周长是（ 72厘米 ）；如果摆到第52
层时，它的周长是（208厘米 ）；我还能算出如果摆到第（ n ）层时，
它的周长是（ 4n ）。
练习：展现自己9—10
小结：解决这类问题要善于根据变化的过程发现规律。
【例6】两个大小相同的正方形拼成一 个长方形后，周长比原来两个正方形周
长的和减少了10厘米。原来一个正方形的周长是多少厘米？
提出问题：自己画图试一试，把两个相同的正方形拼成一个长方形，看看周长
减少的是哪一部分 ？
分析与解答：10÷2×4
=5×4
=20（厘米）
练习：展现自己11

【例7】 如下图所示，一个正方形被分成了三个相同的长 方形，如果一个长
方形的周长是16米，那么这个正方形的周长是多少米？

30

教学建议：观察给出的图形，长方形的长与宽之间有什么关系？
分析与解答：通过观察发现因为正方形的边长相等，所以长方形
的长是宽的3倍。16÷2÷（3＋1） 2×3×4
=8÷4 =6×4
=2（厘米）， =24（厘米）
答这个正方形的周长是24厘米。
练习：超越自我1—2

我发现：
解决周长问题的基本策略有哪些？
周长问题主要是通过观察，利用割补、平移的方法将不规则图形转化 成相
对规则的图形，再来计算它的周长；或者通过观察发现长、宽（边长）及周长
之间的关系， 再想办法灵活解答。







参考答案：
展现自己
1． 120厘米 2. 120厘米 3. 128厘米 4. 100厘米
5. 90厘米 6. 88 厘米 7. 32厘米，52厘米
8. 24厘米

31

9.
（1）
层数
周长（cm）



（2）


（3）



10. 640厘米 11. 40厘米
12.⑴用墙作为长；用墙作宽。⑵（用墙作为长）22厘米；用墙作宽26
厘米。
⑶用墙作为长，可以节省材料
13. 13厘米

超越自我
1. 30厘米 2. 40厘米 3. 长+宽=18； 长12m，宽6m
4.36



周长6 12 18 24 „
（cm ）
层数 1 2 3 4 „
1
14
2
28
3
42
4
56
„
„
层数
周
1
长26
2
52
3
78
4
104
„
„
（cm ）
32

第六单元 有余数的除法
单元简介：这一单元的内容是对小学课本知识的补充和拓展，同时它也是四年
级 学习“周期问题”的基础。
要通过数学学习活动，体验数学知识和现实生活的联系。使学生初步理解< br>有余数除法的意义，理解“余数一定要比除数小”的道理。
培养学生自主学习的能力,通过小组 合作交流,进一步提高合作意识和能力。
培养学生的观察能力、分析能力和抽象概括能力。

走进来：

八戒去花果山找悟空，大圣不在家。小猴子们热情地招待八戒，采了山中最好吃的山桃整整100个，八戒高兴地说：“大家一起吃！”可怎样吃呢，数
了数共30只猴子 ，八戒找个树枝在地上左画右画，列起了算式，100÷30＝3…
1
八戒指着上面的3， 大方的说，“你们一个人吃3个山桃吧，瞧，我就吃
那剩下的1个吧！”小猴子们很感激八戒，纷纷道谢 ，然后每人拿了各自的一
份。
悟空回来后，小猴子们对悟空讲今天八戒如何大方，如何自已只 吃一个
山桃，悟空看了八戒的列式，大叫，“好个呆子，多吃了山桃竟然还嘴硬，我
去找他！”
哈哈，你知道八戒吃了几个山桃?
就让我们一起走进有余数除法吧！

一起做：

【例1】计算并填空：
24÷7 =（ ）„„（ ） （ ）÷ 5 = 3 „„ 4
33

36÷8 =（ ）„„（ ） （ ）÷ 6 = 8 „„ 1
19÷（ ）= 6 „„ 1 45÷（ ）= 6 „„ 3
教学建议：根据被除数、除数、商及余数之间的关系就可以准确填空。填空后
让学生说一说每一 道题的思考过程，加深理解被除数、除数、商及余数之间的
关系。
提出问题：通过例题1的学习，你得出了哪些结论？
分析与解答：24÷7 =（ 3 ）……（ 3 ） （19）÷ 5 = 3 …… 4
36÷8 =（4）……（ 4 ） （ 49）÷ 6 = 8 …… 1
19÷（ 3）= 6 …… 1 45÷（ 7）= 6 …… 3
练习：展现自己1
小结：掌握了有余数的除法各部分之间的关系，可帮助我们解决很多生活中的
问题。
【例2】阿姨拿来35块饼干，给每个小朋友分4块，还剩下3块，阿姨发给
了几个小朋友？
提出问题： 35块饼干都分出去了吗？分出去多少块呢？
分析与解答：（35－3）÷4
=32÷4
=8（人）
练习：展现自己的2—5
【例3】有28个梨，最少拿走几个，就使得6个小朋友分得一样多？每个小
朋友分几个？ < br>教学建议：拿走的要尽量的少，而28个梨平均分给6个小朋友是有剩余的，
将剩余的部分就是最 少要拿走的，这样就可以使6个小朋友分得一样多了。
提出问题：如果把“最少拿走几个”中的“最少”去掉，题目的要求改变没有？
说说你的理由。

34

分析与解答：28÷6=4（个）……4（个）
答：最少拿走4个，就使得6个小朋友分得一样多.每个小朋友分4个.

练习：展现自己6—8
【例4】学校体育室要给全校20个班发乒乓球，现在已知每班分4个 ，剩下
的乒乓球不够分了，体育室最多有多少个乒乓球？
教学建议：这里提到“最多”有多少 个，学生开始的时候是不太理解的。教师
可以让学生有根据的猜测一下教室里可能会有多少个乒乓球，在 开放中理解
“最多”的含义，从而更好地解决问题。
提出问题：
通过“现在已知每 班分4个”你知道了什么？“剩下的乒乓球不够分了”
与“体育室最多有多少个乒乓球”之间有怎样的关 系？
分析与解答：4×20＋19
=80＋19
=99（个）
答：体育室最多有99个乒乓球.
练习：展现自己9—10

【例5】小明带5名同学种32棵树，平均每人种多少棵？小明要多种几棵，
才能完成任务？
教学建议：要让学生仔细读题，想一想究竟有几个人去种树？要完成任务，小
明多种的棵数其实 就最后的余数。
提出问题：多少人去种树，“平均每人种多少棵”中的平均是什么意思？为什
么说小明要多种几棵树才能完成任务？
分析与解答：32÷（5＋1）=5（棵）„„2（棵）
答：平均每人种5棵.小明要多种2棵，才能完成任务.
35

练习：展现自己11—14
【例6】要把36千克花生油，分装在瓶里，每个瓶子能装5千克，一共要多
少个瓶子？ 教学建议：要让学生结合自己的生活经验，想剩余的花生油怎么办？。同时这
道例题体现了“进一法 ”的思想。
提出问题：“每个瓶子能装5千克”什么意思？（装满是5千克）要装36千克
花 生油，需要几个瓶子？为什么？
分析与解答：36÷5=7（个）……1（千克） 7＋1=8（个）
答：一共要8个瓶子。
练习：展现自己15—16（其中第16题体现了“去尾法”的思想）
小结：通过例题6的学习，你有什么收获？

我发现：
你都学习哪些有余数除法的知识？举例说一说生活中有哪些用到了有余
数除法的知识？
有余数 的除法在生活中的应用比较多，解决这类问题时大家要注意利用好
被除数、除数、商及余数之间的关系。 注意：余数必须比除数小。同时要根据
生活经验运用好“进一法”和“去尾法”。

参考答案：
展现自己
1. 74÷9 =（ 8 ）„„（ 2） （ 53 ）÷ 8 = 6 „„ 5
（ 24 ）÷ 9 = 2 „„ 6 45÷（ 6）= 7 „„ 3
57÷（ 9 ）= 6 „„ 3
2. 6人 3. 7位 4. 9名 5. 7人
6. 最少拿走2个；每个小朋友分5个。
36

7. 最少拿走2朵；每个小朋友分4朵。
8. 最少拿走2个；每个小朋友分5个。
9. 31 10. 71 11.平均每人拿2个，小光要多拿2个。
12. 平均每人包8本，小兰多包3本。
13. 平均每人植树9棵，小红多植树2棵。
14. 平均每人拿5个，他俩各多拿1个。
15. 6个
16. 8个
超越自我
1. 16 2. 星期六
37

第七单元 有趣的乘法
单元简 介：这一单元的学习基础是一、两位数乘一位数，在此基础上我们要帮
助学生更加系统的掌握多位数乘一 位数的计算方法，培养学生类推的能力。
这里的巧算就是直接通过大脑进行进行分析来选择运算的方法，它不同于
在学校里学习的计算。
学习巧算，目的之一是加快计算的速度，更为重要的是能开发脑力，加强
思维、分析、判断和解 决问题的能力。教学中教师要努力的激发学生学习兴趣，
让学生从多角度进行交流。
走进来：

数学课上，老师出了一道计算题：6842×5，很多同学快速拿出练习本开
始计算 起来。如果你遇到了这样的问题，你将怎么做呢？
列竖式的确是一种计算的好方法，但是，如果在一道 乘法计算题中，遇
到了其中的一个因数是5、15、11等，在计算中蕴涵着巧妙之处，让我们一起走进有趣的乘法中吧！
【例1】观察下面算式的特点，并用自己喜欢的方法计算出下面各题的结果 ，
聪明的你一定能有所发现。
8×5 18×5 38×5
6×5 16×5 246×5
教学建议：可以 让学生汇报自己不同的计算方法，同时让学生观察这些算式有
什么共同特点？观察每个算式，有什么发现 ？
提出问题：这些算式有什么共同特点？观察每个算式，有什么发现？
分析与解答：这些算式都是偶数与5相乘，乘积就是第一个因数的一半，再在
后面加上一个0 。也就相当于8×10÷2
8×5=40 18×5=90 38×5=190
6×5=30 16×5=80 246×5=1230
38

【例2】上面的题目都是偶数（双数）乘5，那么奇数（单数）乘5中又蕴涵
着怎样的奥妙呢？
7×5 15×5 27×5
37×5 163×5 69×5
教学建议：可以让学生根据例1的方法自主尝试去计算，汇报自己的计算
方法。
提出 问题：这道计算题，与例题1比较有什么相同之处？不同之处？能用
例题1的方法解决这类问题吗？
分析与解答：可以先将这个数乘以10，然后再除以2.
7×5=35 15×5=75 27×5=135
37×5=185 163×5=815 69×5=345
小结:：上面研究了一个数乘5的问题，同学们切记，不要受这种方法的局限，因为有时用这种方法相对来讲还比较麻烦，研究它只是告诉我们在学习中要善
于发现，善于从多种角 度思考问题。如果你是一个善于思考的同学，一定会问，
为什么可以这样计算呢？想想看，其间蕴涵着怎 样的道理呢？
练习：展现自己1
【例3】观察下面算式的特点，并用自己喜欢的方法算出结 果，相信聪明的你
一定能探索出独特的计算方法！
24×9 39×9
452×9 373×9
提出问题： 24×9表示什么？你会求10个24相加的和吗？从中你受到了什
么启发？
分析与解答：一个数乘9，可以看成这个数乘10再减去这个数。
例24×9=24×10－24
24×9=216 39×9=351
452×9=4068 373×9=3357
39

练习：展现自己2—3

【例4】871＋872 ＋873＋874＋875 比一比，看谁的方法多。
教学建议：这道题的独特之处就在于它的开放。相信学生所具有的潜能，鼓励
学生在交流中互惠。
提出问题：这个题有什么特点？建议你用不同的方法来解决。
分析与解答：871＋872 ＋873＋874＋875
=873×5
=4365 （方法不唯一）
练习：展与自己4

※【例5】在方框里填上合适的数字。
□ 4 □
× 7
5 9 □ 2
提出问题：想一想从哪下手寻找突破口呢？
分析与解答：从个位下手，因为只有6×7个位才能得2.
8 4 6
× 7
5 9 2 2
练习：展现自己5




40

我发现：
你学习了哪些乘法运算的技巧?
在计算 过程中，努力将不好计算的题目转化成好算的题目，就可以化繁为简，
化难为易，使问题迎刃而解。

参考答案：
展现自己
1、 80 120 2310 185
2、 324 387 4779 702
3、 462 693 638 4103
4、 566×7=3962 125×9=1125
5、 366 ×4 329×3 438×7=3066
超越自我
21978×4=87912













95 405
A＝3，B＝7，C＝0，D＝6）
41

（

第八单元 和差问题
单元简介： 我们在二年级时已经研究了用图解法解决此类问题，在一道题中既
有两个数的和,又有两个数的差,让我 们分别求这两个数，这类问题就被称做
“和差问题”。那时的学习只是从感性上的一点认识和了解，并没 有系统的掌
握此类问题的解题方法。
通过这一次的研究，要使学生掌握“和差问题”的特征和 解题规律。并使
此类问题能够在学生的头脑中建立清晰的表象。“和差问题”具有很强的基础
性 ，它是我们进一步学习“年龄”等问题的基础。

走进来：
妈妈买回一包糖给哥哥 和弟弟吃,一共30块,弟弟抢先拿走了一部分,后
来一数,弟弟比哥哥多拿了4块,你能猜出哥哥和弟 弟各拿到了几块糖吗?在这
道题中有两个数的和,又有两个数的差,这类问题就被称做“和差问题”。我 们
在二年级时已经研究了用图解法解决此类问题，通过这一次的研究，聪明的你
一定能有新的收 获。

一起做

【例1】李明和王红共有30元钱，李明比王红多10元钱，求李明和王红各有
多少元钱？ < br>教学建议：表面上是一道基本题，教师处理的时候要注意引导学生用线段图
来帮助学生建立表象。 不要忙于给出计算公式，鼓励学生用多种方法解决问
题。引导学生思考如果两个人的钱数相等，问题就好 解决了。那么我们能否
将李明比王红多的10元钱转化成两人钱数相等呢？在转化过程中哪些数量
发生了变化？

42

提出问题： 你能用画线段图的方法解决问题吗？并根据线段图总结解决和
差问题的方法。
分析与解答：（1）（30＋10）÷2 （2）（30－10）÷2
=40÷2 =20÷2
=20（元） =10（元）
30－20=10（元） 30－10=20（元）
答：李明有20元，王红有10元。
练习：展现自己1—2

【例2】两个连续的奇数（单数）之和是88，这两个数是多少？
教学建议：它的不同之处在 于题中只是给一个数量，另一个条件是隐
蔽的，需要学生根据已有的知识经验去分析。教学时可以引导学 生思考两个连
续奇数（单数）的差是多少呢？
提出问题：两个连续的奇数有怎样的关系？可以把这个问题转化为什
么问题来解决？
分析与解答：（1）（88＋2）÷2 （2）（88－2）÷2
=90÷2 =86÷2
=45 =43
88－45=43 88－43=45
答：这两个数分别是45和43.
练习：展现自己3—4
小结：解决和差问题的关 键就是想办法让两个不同的量，变得同样多。而在改
变的过程中，两个量的和也在发生着变化。

【例3】小红和妈妈共有100元钱，如果妈妈给小红10元钱，两个人的
钱数就一 样多了。求小红和妈妈原来各有多少元？
43

教学建议：此题 可以放手让学生自己去解决。这道题可以有两种方法，一
种是求出两人现在各有多少元；另一种是求出两 人钱数的差。
提出问题：通过“如果妈妈给小红10元钱，两个人的钱数就一样多了”你
知道 了什么？解决这个问题，你还有什么思路？
分析与解答：（1）100÷2=50（元） （2）10×2=20（元）
50－10=40(元) （100＋20）÷2
50＋10=60(元) =120÷2
=60(元)
100－60=40（元）
答：小红原来有40元，妈妈原来有60元。

【例4】大明和二亮共有150元钱 ，如果大明增加13元，而二亮减少27元，
那么两人的钱数就相等，求大明和二亮各有多少元？ 教学建议：你能求出大明比二亮少多少元吗？这样此题就转化成了基本的和差
问题。也可以这样想： 大明增加13元，而二亮减少27元后两人的总钱数变成
了多少，再去还原问题也会变得很简单了。（也 可以先画出相等时候大明和二
亮的钱数，再画出原来的情况）
提出问题：通过“如果大明增加 13元，而二亮减少27元，那么两人的钱数就
相等”你知道了什么？
分析与解答：（1）13＋27=40（元） （2）150＋13－27
（150－40）÷2 =163－27
=110÷2 =136元
=55（元） 136÷2=68（元）
150－55=95（元） 68－13=55（元）
68＋27=95（元）
答：大明有55元，二亮有95元。
44

练习：展现自己5—7
小结：例3、例4是比较复杂的“和差问题 ”，通过对前两道例题的学习和大
量的练习，同学们已经掌握了“和差问题”的特征和解题规律。在此基 础上使
学生能够具有“把复杂的问题简单化”的能力。

【例5】三年一班有连环画 、故事书共80本，借给三年二班2本故事书
后，故事书仍比连环画多10本，三年一班原有连环画、故 事书各多少本？
教学建议：引导学生思考，借给三年二班2本故事书后，哪些数量发生
了变化 ，提醒学生要想正确解答此题，一定要注意对应关系。
提出问题：通过“借给三年二班2本故事书后，故事书仍比连环画多10
本”知道了什么?
分析与解答：（1）（80－2－10）÷2 （2）10＋2=12本
=68÷2 （80＋12）÷2
=34(本) =92÷2
80－34=46本 =46(本)
80－46=34（本）
答：故事书有46本，连环画有34本。
练习：展现自己8---10

※【例6】有三筐水果共69千克，第一筐比第二筐 少5千克，第二筐比
第三筐多1千克，三筐各有多少千克水果？
教学建议：可以采用画图的方 法，对照线段图，引导学生思考，如何才
能将三筐数量变相等。在转化过程中，让学生注意都有哪些数量 发生了变化.
提出问题：题中有三个数量关系比较复杂，怎样才能很清楚地明确它们
之间的数 量关系？（画线段图）三个数量不相等，不好解决问题，又该怎么
办呢?
45

分析与解答:(69＋5＋1)÷3
=75÷3
=25（千克）
25－5=20（千克） 25－1=24（千克）
答：第一筐有20千克，第二筐有25千克，第三筐有24千克.
练习：展现自己10---15

我发现：
解决和差问题运用了什么数学 思想方法？（转化的思想方法：将不相等的
两个数量转化为相等的数量来解决。
解决和差问题 ，画图是一种很好的方法。在解答过程中，我们要努力把不
等的数量变成相等，问题就会变得很简单。





参考答案：
展现自己
1、 第一筐50千克，第二筐30千克 2、男队员22人，女队员27人
3、 这两个数分别是2和10 4、 40和41
5、 一班42人，二班40人 6、 甲50元，乙90元
7、 甲460人，乙400人 8、 甲310本，乙190本
9、 一班51人，二班39人
10、甲桶26千克，乙桶24千克
11、第一段30米，第二段16米，第三段10米
46

12、甲40个，乙30个，丙47个
13、大班49千克，中班46千克，小班40千克
14、甲130吨，乙 90吨，丙50吨
15、甲67，乙73，丙100
超越自我
1、东校700人，西校589人
2、减数34，差36
3、长140米，宽60米
4、长35厘米，宽24厘米
47

第九单元 和倍问题
单元简介：与和差问题一样，和倍问题也是一种根据题目中已知条件的 特点命
名的一种典型问题，即已知两种数量的和与这两种数量的倍数关系，求这两种
数量各是多 少的题目。典型问题可以根据它的结构形式和数量关系，用特定的
方法来解答。
它与“和差问 题”既有相似之处又有不同的地方，教学的时候除了要参考
“和差问题”以外，还要尽量避免使学生产生 枯燥的情绪。多联系生活实际。
更要注意这部分的教学应充分的信任学生，运用类推的数学思想，以学生 的自
学为主。

走进来：

妈妈买回一包糖给哥哥和弟弟吃,一 共30块,弟弟抢先拿走了一部分,后
来一数,弟弟拿走的块数是哥哥的2倍,你能猜出哥哥和弟弟各拿 到了几块糖
吗?在这道题中有两个数的和,又有两个数的倍数关系,这类问题就被称做“和
倍问 题”。利用研究和差问题的经验和方法，让我们一起走进和倍问题吧！

一起做：

【例1】王江和他的数学老师的年龄和是45岁，老师的年龄恰好是王江年龄
的4倍，你知道老 师和王江各多少岁吗？
教学建议：此题为基本题，通过对此题的解答使学生弄清和倍问题的特点和解< br>题规律。教学时可以采用图解法解决。如何将图画好是此题的重点，画图时要
将王江年龄看成是一 份，先画出一份的也就是一倍量，再画老师的年龄是几
份？45岁对应的是多少份？只要能找出对应关系 ，即可求出此类问题。

48

提出问题：你能在头脑 中想象出这个题的数量关系图吗？45对应的是多少
份？先求谁的年龄呢？为什么？
分析与解答：45÷（4＋1）
=45÷5
=9（岁） 9×4=36（岁）
答：老师36岁，王江9岁。
练习：展现自己1--4
小结：解答和倍问题最好在头脑中形成表象。
【例2】吉 林市达慧学校三年一班共有学生57人，其中女生比男生的2倍少3
人，求男、女生各有多少人？ 教学建议：这道题与上面题目的主要区别在于女生人数不正好是男生的2倍，
而是比男生的2倍少了 3人。你能将此类题目转化成例1那样的基本问题吗？
少的3人你打算如何处理呢？ 处理的过程中哪些数量发生了变化？
提出问题：画出线段图，女生人数与男生人数有倍数关系吗？怎样转化为倍数
关系？
分析与解答：（57＋3）÷（2＋1） 20×2－3
=60÷3 =40－3
=20（人） =37（人）
答：男生有20人，女生有37人。
练习：展现自己5--7

【例3】两层书架共有书 126本，第二层的书比第一层的2倍还多6本，两层
书架各有书多少本？
教学建议：与例2对照一下，怎样处理多出的6本呢？处理过程中哪些量
发生了变化？
提出问题：怎样由：“第二层的书比第一层的2倍还多6本”转化为倍数
49

关系？
分析与解答：（126－6）÷（2＋1） 40×2＋6
=120÷3 =80＋6
=40（本） =86（本）
答：第一层有40本，第二层有86本。
练习：展现自己8---10 【例4】田径队原来共有42名队员，后来又有3名男队员加入，这时男队员
人数是女队员的2倍。 田径队原有男队员、女队员各多少名？
教学建议：也可以理解为是为以后进一步学习年龄问题做准备。 这也是
本例题编排的妙处所在。教学时可以引导学生思考：3名男队员加入后，哪
些数量发生了 变化？产生倍数关系的那一刻，总人数是多少？
提出问题：当“男队员人数是女队员的2倍”时，他们的和是多少？
分析与解答：（42＋3）÷（2＋1） 15×2－3
=45÷3 =30－3
=15（人） =27（人）
答：田径队原有男队员27人；女队员15名.
练习：展现自己11---13
我发现：
你能在头脑中形成和倍数量关系的线段图的表象？形成了表象对我
们有什么好处呢？和 倍问题的基本数量关系有哪些？先求什么？

解决和倍问题，最好用图解的方法。也可以找到 倍数关系以及对应的和，
利用它们的关系解决问题。



50

参考答案：
展现自己
1、 梨树8棵，苹果树32棵 2、 黑兔9只，白兔18只
3、 乙队1000米，甲队3000米 4、母鸡12只，公鸡36只
5、 乙食堂20袋，甲食堂54袋 6、 乙仓200吨，甲仓360吨
7、柳树100棵，杨树256棵 8、 小王100元，小李250元
9、 小芳7支，小玲18支。 10
11、 乙船90人，甲船340人 12
13、 乙桶10千克，甲桶35千克
超越自我
1、 乙3米，甲26米
2、 徒弟90个，师傅270个
3、 乙仓700千克，甲仓1400千克
4、42人













、 中性笔4元，钢笔13元
、 王明20元，张强45元
51

第十单元 差倍问题
单元简介：什么样的问题称为差倍问题？你 能够结合生活实际自行编一道“差
倍问题”吗？这样的问题看似学生难以接受，实际上通过对和差问题以 及和倍
问题的学习，学生已经构建出了自己心中的“差倍问题”。“差倍问题”的特征
和解题方 法学生都是可以自己总结出来的。
而对于复杂的差倍问题，只要努力将其转化成基本的差倍问题，找准 对应
关系，明确每步求出的具体是什么，就能正确而迅速地解答。

走进来： 聪聪和明明两兄弟假期和爸爸一起到海边玩，聪聪说：“我捡到的贝壳的
个数正好是明明的3倍”， 明明想：是我的3倍？我只是比聪聪少8个，他却
说是我的3倍，便哭着去找爸爸。爸爸一看，笑着说： “你们两个说的都正确。”
你知道他们各捡了多少个吗？
明明说的“我只比聪聪少8个”是两 个人捡到贝壳数的差，而聪聪说的“我
捡到的贝壳个数正好是明明的3倍”是两个人捡到贝壳数的倍数关 系。这就是
“差倍问题”。让我们一起走进差倍问题吧！
一起做：
【例1】小刚买 的兰花比月季多14朵，已知兰花的朵数是月季的3倍，小刚
买了兰花和月季各多少朵？
教学 建议：可用图解法来分析。让学生根据和倍问题的解题思想自己试
做。主要让学生找准14朵对应的是几 份。
提出问题：用线段图表示题中的数量关系，多的14朵对应的是几份？
分析与解答：14÷（3－1）
=14÷2
=7（朵） 7×3=21（朵）
答：小刚买了7朵月季和21朵兰花。
52

练习：展现自己1—2

小结：通过本例题，让学生掌握差倍问题的基本特征，并能在头脑中形成差倍
的数量关系。 < br>【例2】水果店运来的苹果比香蕉多15筐，已知苹果的筐数比香蕉的4倍还
多3筐，求水果店运 来苹果和香蕉各多少筐？
教学建议：两种数量没有正好成4倍关系，那么怎样处理多出来的3筐
呢？处理的过程中哪些数量发生了变化？
提出问题：先画哪一个数量关系的线段图?在线段图上标上15和3，根
据线段图列出算式。
分析与解答：（15－3）÷（4－1）
=12÷3
=4（筐） 4＋15=19（筐）
答：水果店运来苹果19筐，香蕉4筐.
练习：展现自己3 --6

【例3】小敏和小强都有一些卡片，已知小敏的张数比小强多26张，且小敏
的张数比小强的3倍少14张，求小敏和小强各有多少张卡片？
教学建议：此题两种数量没有正好成 3倍关系，怎样处理少的14张，
处理的过程中哪些数量发生了变化呢？
提出问题：先画哪一个数量关系的线段图?在线段图上标上26和14，根
据线段图列出算式。
分析与解答：（26＋14）÷（3－1）
=40÷2
=20（张） 20＋26=46（张）
53

答：小敏有46张，小强有20张。
练习：展现自己7
小结：例2、例3都是两个 数量之间并不正好是整数倍，而是多些、少些。引
导学生画线段图解决。画线段图时，先画出倍数关系的 线段图。
【例4】达慧学校三年级思维训练班男生比女生多50人，如果再来10名男生，
那 么男生人数正好是女生人数的3倍，求男、女生各有多少人？
教学建议：先画出倍数关系的线段图，再 想当男生人数正好是女生人数的3
倍时，男生比女生多了多少人呢？要想求出原来的男生人树应该注意什 么？
提出问题：先画出什么时候的线段图？
分析与解答：（50＋10）÷（3－1）
=60÷2
=30（人） 30＋50=80（人）
答：原来男生有80人，女生有30人。
练习：展现自己8

【例5】有两堆煤，第一堆比第二堆多80吨，当两堆煤各用去 30吨时，剩下
的第一堆正好是第二堆的3倍，求原来两堆煤各有多少吨？
教学建议：先画出 倍数关系的线段图，再想两堆煤原来的差是80吨，
当各用去30吨后，两者的差是多少？
提出问题：先画什么时候的线段图？
分析与解答：80÷（3－1） 40＋30=70（吨）
=80÷2 70＋80=150（吨）
=40（吨）
答：第一堆煤原有70吨，第二堆原有150吨煤。
练习：展现自己9—11

54

【例6】甲粮仓比乙粮仓多存粮100吨，如果甲仓取出6 0吨，乙仓取出260
吨，则甲仓存粮吨数正好是乙仓存粮吨数的4倍。求甲、乙两仓原来各有存粮多少吨？
教学建议：先画出倍数关系的线段图，再想当甲仓存粮吨数正好是乙仓
存粮吨数 的4倍时，甲仓比乙仓多多少吨？可以结合例5来思考；另外求“原
来两仓各有多少吨”应该注意些什么 ？
提出问题：先画什么时候的线段图？
分析与解答：260－60=200（吨）
（200＋100）÷（4－1） 100＋260=360（吨）
=300÷3 360＋100=460（吨）
=100（吨）
答：甲仓原来有460吨粮，乙仓原来有存粮360吨.
练习：展现自己12—16

我发现：
你能在头脑中形成差倍问题的数量关系吗？差倍问题的基本数量关系有
哪些？先求什么？ 解决差倍问题，图解的方法同样很重要。只要找到倍数关系以及对应的差，
就可以利用它们的关系解 决问题了。







55

参考答案：
展现自己
1、 乙200元，甲800元 2、 灰兔8只，白兔40只
3、 梨树30棵，苹果树91棵 4、大米8吨，面粉29吨
5、 乙校200人，甲校620人 6、 男生10人，女生28人
7、 橘子20筐，苹果38筐 8、 小红家离学校600米，老师家离
学校2100米
9、第二根13米，第一根76米 10、 原来甲乙均有油25千克
11、小刚4000元，小明12000元 12、 第二根18米，第一根26
米
13、 甲厂300人，乙厂900人。
14、乙工地150吨，甲工地300吨
15、 乙仓44吨，甲仓220吨
16、乙仓80吨，甲仓240吨
超越自我
1、 乙120本，甲480本 2、小数36，大数360
3、 11厘米









56

十一、 第一阶段检测
参考答案

（一）(1）克、千克、吨；毫米、厘米、分米、米、千米；
（2）3000；3000；6；5000；10；150
（3）12天
（4）600；15；36，360；50，5；
（5）2500，12500；33，65；1，2，24。
（二）李老师的身高是172 米
张晓丽的体重是35 克
一枝钢笔长13 厘米
一个梨约重150 分米
一座楼高20 毫米
手表的秒针长14 千克
（三）1、错 ； 2、错； 3、错 ； 4错； 5对。
（四）1、B ； 2、B ； 3、B； 4、A、B、C ； 5、C。
（五）（六）、（七）略
（八）1. 7分米5厘米 2. 2000米 3. 甲15 乙25 丙35
4. 1106；2086 5. 2382 6. 1000千克或1吨
7. 40厘米；30厘米 8. 6厘米 9. 96厘米
10. 6天 11.入口A处
12.答案不唯一： 1+2-3+4+56=60 123+4+5+6+7-8-9=128



57

十二、第二阶段检测
参考答案

（一）1. 8； 2、正方形，20厘米。
3. 克，千克，吨，它们之间的进率都是1000；
4. 毫米、厘米、分米、米、千米，千米；
5. 2； 6、 3000克＜36千克＜3吨 ；
7. 5吨＝5000千克 2千米＝2000米
300厘米＝3米 4吨500千克＝4500千克
48毫米－18毫米＝30毫米＝3厘米
8. 三条绳子中第三条最长，是6米；第二条最短，是4米。
9. 30厘米。
（二）1、错；2、错；3、错；4、对；5、错。
（三）1.C；2.C；3. A；4.B；5. C；
（四）一个西瓜约5千克 ； 一根跳绳约20分米； 数学书的厚约
10毫米；
一辆汽车的载重量是3吨 教室的长是8米 。
（五） 1. 18＋110＝128 56＋47＝103 70－47＝23 444－33
＝411
710＋186＝896 130－70＝60 984－0＝984
180＋20＝200
2. 3×（ 5 ）＜16 （4）×6＜27 6×（4）＜27
（6）×7＜45 5×（6）＜32 （9）×8＜
79
3. 856＋1357＝2213 7682－678＝7004
58

2457－199＝2258
75÷9＝8„„3 67÷8＝8„„3 55÷7＝7„„6
（六）1. 200厘米，合2米； 2. 每人分得4本，还剩4
本；
3. 3根； 4. 836千米；
59