冬天里的一缕阳光-《我和我的祖国》歌词

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尹老师奥数教程--- 小升初培优班




应用题综合百分数专题

本讲主要是较复杂的利润问题
【例1】“新新”商贸服务公司，为客户出售货物收取销售额 的3％作为服务费，代客户购买物
品收取商品定价的2％作为服务费．今有一客户委托该公司出售自产的 某种物品和代为购置新设
备，已知该公司共扣取了客户服务费264元，客户恰好收支平衡．问所购置的 新设备花费了多
少元?
答案 5121.6元
分析 “该客户恰好收支平 衡”，这表明该客户出售物品的销售额的1－3％=97％，恰好用来支
付了设备与代为购买设备的服务 费，即等于所购置新设备的费用为(1+2％)=102％．从而求得出
售商品所得与新设备价格之比； 再以新设备价格为“1”，可求出两次服务费相当于新设备的多少，
从而可解得新设备价格．
详解1 出售商品所得的1－3％=97％等于新设备价格的1+2％=102％．设新设备价格为< br>，则出售商品所得相当于

“1”


故而新设备花费了该公司的服务费为

详解2 设出售的商品价值为x元，所购置的新设备花费了y元，依题意，有







式，得 由(1) ，得代入(2)将(3)

即出售物品的销售额支付了两次服, 解这道题的关键在于要弄清“收支平衡”的含义评注 务费及新设备的费用，该客户只是用物品“换来了”新设备．，售价以元有一位精明的老板对某商品
用下 列办法来确定售价：设商品件数是 N】例 【2

的整5的结果，然后取大于此数
的最小的为单位，先得出算式

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倍数作为N件商品一起购买的售价．按这一定价方法得到：1件50元 ，2件95元，3件140
元，4件185元……已知每件商品的成本是整数元，问这个整数是多少?
答案 38元．
分析 由“1件50元”，可推知该商品的成本×(1+2 0％)后多于45元；又由后来每增一件
多45元，当四件时才185元．这说明，每件成本×(1+2 0％)×4少于185元，即每件
185
元．少
于 成本×(1+20％)
于50元．即有每件成

4
详解 由1件50元，知每件成本×(1+20％)× 1多于45元，但少

本多于


但少于
又由4件185元，知每件成本×(1+20％)×4多于180元，但少于185元．即每件成本

少于
从而每件成本多于37.5元，少于38.54元．因它为整数元，所以每件成本38元．
经验证，每件成本38元满足已知条件．
评注 此题是通过确定每件商品的成本的范围找出符合题 设的答案．有时候，满足两个条件的可
能有很多答案，那么只有经过对其他条件进行检验来确定最终的结 果该是哪个．
【例3】 有3个一样大的桶，一个装有浓度60％的酒精100升，一个装有水1 00升，还有一
个桶是空的．现在要配置成浓度为36％的酒精，只有5升和3升的空桶各一个可以作为 量具，
并且桶上无其他刻度．如果每一种量具最多用4次，那么最多能配置成36％的酒精多少升?

答案20升．
分析 若想配出100升36％的酒精溶液，就需要由 浓度为60％的100升酒桶中取出溶液(100
×60％－100×36％)÷60％=40(升)． 然而只用5升与3升桶最多各4次，最多只能量出32升，
因而配置浓度36％的酒精是在空桶中完成的 ．由浓度36％的酒精中纯酒精来自于浓度为60％的
酒精，可知若配得36％的酒精若干升，需60％ 的酒精：浓度36％的酒精总量
3
．从而根据整数
性质可求得答案． 浓度36％的酒精总量××36％÷60％=

5
详解 若想配置100升36％的 酒
精，需要量较少溶液的办法是由第一个桶中量出若干升，再由第二个桶给之添满水；至少要量出：



只用5升与3升量具最多各4次，至多能量32升，因此配置浓度为36％的酒精是在空桶中
进行的．
设配置了n升36％的酒精，这就需用到60％的酒精：



因而所用量具为5升与3升，因此咒能被5整除才能保证从60％的酒精量出的是整数量．5< br>升与3升可能量得溶液量为：32升、29升、27升、26升、24升、23升、22升、21 升．20％
的酒精最后配置了36升等等；所以浓度20升、．

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配置方法如下：


第一桶中先取两个5升放入空桶 ，再取一个5升时用3升桶去量出3升倒回原桶，剩下2升倒
入已有10升溶液的桶，最后由装水的桶取 一个5升与一个3升倒入乘有12升溶液的桶
中得到浓度36％的溶液20升，共用了5升量具4次、3升量具2次．
评注 解浓度问题我们必须知道：
浓度=溶质质量／溶液质量× 100％
在本题解 决过程中5升与3升桶的使用是至关重要的，求出可能的最多量是20升后，给出
一配比方法才算完整．
【例4】 在编号为1、2、3的三个相同的杯子里，分别盛着半杯水，1号杯中溶有100克
1
倒
入2号杯，糖，3号杯中溶有100克盐．先将1号杯中液体的一半及3号杯中液体的杯．问1号杯，接着倒出所余液体的到3号杯倒出所盛液体的然后搅匀；再从2到
时每个杯中含盐量 与含糖量之比各是多少?
答案 1号杯1：9，2号杯1：2，3号杯76：5．
分析 解此题的出发点是：每次倒出液体的几分之几，那么随之倒出的糖或盐也是原液体糖或盐
含量的几分之几．


412
号

77
这
1
的液体给2号杯后， 1号杯倒一半，3号杯倒 详解

4

1号杯中有糖：

号杯中有糖：2

有盐：
3
21
给2号杯中倒1号

号杯中有盐：
杯，再倒给3号杯后，

77

号杯
中有糖： 1

有盐：

含盐量与含糖量之比为：

号杯中有糖：3


有盐：

含盐量与含糖量之
比为
杯中有糖：2


号

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有盐：
值相同．


含盐量与含糖量之比为：
评注 在解题中我们可以得出如下关系：同浓度的溶液，溶液质量 的比值与对应的溶质质量的比

【例4】 北京九章书店对顾客实行一项优惠措施：每次 买书200元至499．99元者优惠5％，
每次买书500元以上者(包含500元)优惠10％．某 顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二
次合并在一起比分开买便宜13.5元,如果三次合并在一起 买比三次分开买便宜39.4元，
5
．问这
位顾客第二次买多少钱的书已经知道第一次 的书价是第三次书价的?

8
答案 115元．
分析 解题 突破口为“不同购款的优惠不同”．我们可以通过第一次与第二次合并在一起买便宜
13.5元，探索这 两次购书的书价，然后与后两个条件合并，寻找符合题意的正确书价．
详解 前两次合并在一起比分开买便宜13.5元，可能由如下几种情况产生：
(1) 两次书款，其中一次在500元以上，另一次不足500元．
不足500元的这一次在合买 时可得到10％的优惠，分开买时可得5％或得不到优惠，所以这
一次的价格为：13.5÷(10％－ 5％)=270(元)或13.5÷10％=135(元)．无论对哪一种情况而言，
三次合买时，它都 只能多得到13.5元的优惠，而第三次买书就应多得了
39.4－13.5=25.9(元)
的优惠．第三次购书款应不多于500元，但25.9÷5％=518(元)，且25.9÷10％=2 59(元)，259
元的购书款又只能再多得5％优惠．故不存在符合题意的解．
(2) 两次书款均在200～499.99元之间，但总额多于 500元．
这两次总款为13.5÷(10％－5％)=270(元)，与总款多于500元矛盾． ，
(3) 两次书款，其中一次不足200元，另一次在200～499.99元之间．
若两次总额不足500元，则不足200元的一次花了13.5÷5％=270(元)，矛盾．
若两次总额高于500元，则不足200元的一次多得了10％的优惠款．另一次多得了5％的优
惠款， 两次都按5％的优惠算，总款才
13.5÷5％=270(元)．
因此两次总款必须低于270元，与总额高于500元矛盾．
情况4：两次均不足200元．
这两次总款为：13.5÷5％=270(元)．
三次总款若低于500元，则第三次在合买时可多得优惠额为39．4－13．5=25．9( 元)．这
样一来，第三次购书款必多于
25.9÷5％=518(元)．
与三次总款低于500元矛盾．
因此三次总款在500元以上，前两次在合买时比单买可多得270 ×10％=27(元)优惠.第三
次多得39.4－27=12.4(元)．又因为第三次购书款必多于500－270=230(元)，所以第三 ，第二
次购书款为：)元)=248(％54÷(10％－12.次购书款为

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5
=115(元)－248×． 270

8
评注 本题是一道较难的分类讨论题目，同学们务必注意分
类时要做到完全且不重．
【例6】某一 出租车的计价方式为：起价是2千米5元，往后每增加1千米(最后不足1千米按
1千米计算)增加2元 ．现在从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元，如果从甲地到乙地先步行
800米，然后再乘车也要3 5元．问从甲、乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱?

答案 19元．
分析 从题目所给的四个条件可推得甲、乙两间距离在怎样的范围内，欲求中点至乙地的出租
车费便轻而易举了．
详解 由甲到乙地出租车费35元，知两地间的距离应不多于：
1×[(35－5)÷2]+2=17(千米)．
又先步行800米，仍需出租费35元，所以两地间距离应不少于16+0.8=16.8(千米)．
中点到乙地距离应在16.8÷2=8.4(千米)与17÷2=8.5(千米)之间．
故需出租车费：5+2 ×(9－2)=19(元)．

【例7】某区 对用电的收费标准规定：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费，
超过十度而不超过 20度的部分按每度0.8元收费，超过20度的部分，按每度1.5元收费，某月
甲比乙多交电费7. 1元，乙比丙多交3.75元，问甲乙丙三用户共交电费多少元？
解：首先应该先判断，三个用户分别在哪个收费段中 【费用改以分为单位】
710、3 75都不能整除45、80、150中的每一个，因此，甲、乙、丙中任意两个必然不在同一段
所以，丙用度数≤10＜乙用度数≤20＜甲用度数
设丙用x度，乙用y度，甲用z度
则x≤10＜y≤20＜z
则丙交电费：45x
乙交电费：80（y-10）+45*10=80y-350
甲交电费：150（z-20）+80（20-10）+45*10=150z-1750
所以
（150z-1750）-（80y-350）=710
（80y-350）-45x=375
即
30z-16y=422
16y-9x=145
所以30z-9x=567
即10z-3x=189
x=10z3-63
所以．

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又x≤10＜y≤20＜z
所以10z3-63≤10
解得z≤21.9
所以20＜z≤21.9
所以z=21
所以x=10*213-63=7
代入16y-9*7=145
得y=13
所以

丙交电费：45x==45*7=315分
乙交电费：80（y-10）+45*10=80y-350=80*13-350=690分 < br>甲交电费：150（z-20）+80（20-10）+45*10=150z-1750=150*21 -1750=1400分
所以甲乙丙三用户共交电费315+690+1400=2405分=24.05元
【例8 】商店要买进一批蚊香,希望获得的利润按进价每袋加价40%定价出售,按这种定价卖出这
批蚊香的9 0%时候,夏季即将过去,为加快资金周转,商店以定价打7折的价格出售,把剩下的蚊香
全部卖出,这 样所得的利润比原希望获得的利润少了15%,按规定,不论按什么价格出售,卖完这批
蚊香必须上缴营 业税300元(营业税纳入成本)商店买进这批蚊香用了多少元？
【解答】希望获得的利润是买入总 价的40％倍少300元，销售完之后获得的利润是买入总价的
1.4×（90％＋10％×70％）－ 1＝35.8％少300元。也就存在买入总价的40％×（1－15％）＝
34％少300×（1－1 5％）＝255元，与它的35.8％少300元相同。所以买进这批蚊香用了（300
－255）÷（ 35.8％－34％）＝2500元。
题目：有甲、乙两块含铜量不同的合金，甲块重6千克，乙块 重4千克.现在从甲、乙两块合金
上各切下重量相等的一部分.将甲块上切下的部分与乙块的剩余部分一 起熔炼，再将乙块上切下
的部分与甲块剩余部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜量相等.问从每一块 上切下的部分的
重量是多少千克？
关键：这个含铜量要理解成百分比，而不能理解成重量。
解法一：假设甲块6千克全部是铜，乙块都不是铜，那么新合金，每块的含铜量就是6÷（6＋4）＝60％，甲块切下部分就是乙块的60％，所以切下部分是4×60％＝2.4千克。
解法二 ：假设甲块6千克都不是铜，乙块全部是铜，那么新合金每块的含铜量就是4÷（6＋4）
＝40％，乙 块切下部分就是甲块的40％，所以切下部分是6×40％＝2.4千克。
解法三：不假设，新合金 ，甲块留下6÷（6＋4）＝60％，甲块剩下6×60％＝3.6千克。所以，
切下部分是6－3.6 ＝2.4千克。
解法四：也不假设，新合金，乙块留下4÷（6＋4）＝40％，乙块剩下4×40 ％＝1.6千克。所以，
切下部分是4－1.6＝2.4千克。