天津高考作文-清明节扫墓活动方案

勇于尝试，把握过程，关注细节

目 录


第一讲 奇妙的幻方 ………………………………………………3
练习卷……………………………………………….……9
第二讲 可能性的大小（游戏与对策） …………………………10
练习卷 ………………………………………………… 12
第三讲 图形的面积（一）………………………………………13
第四讲 认识分数…………………………………………………17
练习卷……………………………………………………21
第五讲 行程中的相遇（相遇问题）……………………………22
练习卷……………………………………………………26
第六讲 公因数与公倍数…………………………………………27

综合演练 …………………………………………………….… 31




- 1 -

勇于尝试，把握过程，关注细节
第一讲 幻方 （第一课时）
【知识概述】
在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有 的横、
竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇
数幻方和偶数幻 方。（n 是 几就 表 示 为 几 阶 幻 方）。本讲，
我们将来学习这方面的知识。
例题讲学
例1
在一个3×3 的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能
遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和 都相等。可以怎
样填？【和为15】







【思路分析】
这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀：
二、四 为 肩 ，六、八 为 足，
左七右三， 戴九履一，五为中央。 【 注：戴指头，履指脚。】
试试 填一填吧！










- 2 -

勇于尝试，把握过程，关注细节
幻方 （第二课时）
知识概述：
上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世
界里 ，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲
我们将来学习如何填写五阶幻方 。
例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、
5个竖列、2个 斜列所加之和都相等。先试试看！

























看 样 子 ，要 想 顺 利 填 写 好 这 么 多 的 表格，还真 的
不容易，没有 口诀 真 的 不行，下 面这 个 口诀 要 记 牢：
一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边
放，双出占位写下方。 2 9


4

5
6
1
7



8



2



3
9
10

10
11
你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！

- 3 -

勇于尝试，把握过程，关注细节

幻方 （第三课时）
根 据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写
七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方…… ，本讲，我们继续试着填写七阶幻
方和九阶幻方。
【思路点拨】
再来重温一下口诀吧！
一 居 首 行 正 中 央，依 次 斜 向 右 上 方，右 出 框 时 左
边 写，上 出 框 时 下 边 放，双 出 占 位 写下 方。
①把1-49这49个 数 字 填 入下 面 方格 内，使得所有的横、竖、
斜列所加之和都相等。




②把1-81这81个数字填入
内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。































1




















4

下面表方格
3
2




































- 4 -

勇于尝试，把握过程，关注细节
幻方 （第四课时）
上面三讲我们学习了奇数幻方的填法，那么偶数幻方该怎样填呢？下
面这节课我 们将来学习四阶幻方的填法。
例题讲学
将1-16这16个数填入下面这个4×4的方格内 ，使得所有的横、竖、
斜列所加之和都相等。
【思路点拨】
首先，偶数 幻方的填写不像奇数幻方那样有规律，它的填写要
求是：调换（数与数间的调换）先把1-16这16个 数按顺序填好。如：
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
第二步：画两条对角线，把对角线所划住的数字不动。
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
第三步：把对角线没划住的地方的数字进行交叉调换。
2 15，3 14,5 12,8 9，最后形成新的方格。






- 5 -
1 15 14 4
12 6 7 9
8 10 11 5
13 3 2 16

勇于尝试，把握过程，关注细节
幻方 （第五课时）
知识概述 < br>对于幻方中偶数幻方的知识，是非常多的，至于八阶幻方，十二
阶幻方等是四的倍数的幻方有统一 的方法与技巧：
偶阶幻方分两类:
双偶数:四阶幻方，八阶幻方、十二阶幻方,....,4K阶幻方， （K
表示一个非零自然数）
可用<对称交换法>,方法很简单:
1) 把自然数依次排成方阵
2) 把幻方划成4×4的小区,每个小区划对角线,
3) 把这些对角线所划到的数,保持不动,
4) 把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对
调, 【与4×4幻方的方法一样】
5）幻方完成!

1
9
2 3 4 5 6 7 8
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64




- 6 -

勇于尝试，把握过程，关注细节

现在试着完成一下八阶幻方吧

































































你能否再按照上述方法完成一个十二阶幻方呢？
同步精练：
把1-144这144个数填入12×12的方格内，使其成为一个十二
阶幻方。





















































































- 7 -

勇于尝试，把握过程，关注细节

恭喜你顺利完成了考验！

练习卷
按要求填写幻方：
1、 三阶幻方






2、 四阶幻方


3、 五阶幻方

4、 七阶幻方








- 8 -

5、 八阶幻方








6、 九阶幻方


勇于尝试，把握过程，关注细节
























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勇于尝试，把握过程，关注细节
第二讲 可能性的大小
（游戏与对策）
例题讲学
例1 有一堆棋子共53颗， 甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子。规定谁拿走最
后1颗棋子，谁就获胜。如果甲先拿，那么他有 没有获胜的策略？
【思路点拨】
由于甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子 ，即每次保证两人共拿走1+2=3颗，53
颗共要取53÷3=17（次）……2（颗），即要保证甲 先取获胜，那么甲应先取余下的那2颗。
这样下面轮流时，甲只需要与乙拿的总和是3就必胜无疑了。
关键看两个人拿的时候最多合拿几个，然后再看看剩余几个，就把那剩余的
技巧
先拿走，这样先拿的人就容易取胜了。

同步精练
1、有287个球，甲 、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲、乙两人轮流取，
每人每次最多取2个，最少取1个， 取最后一个球的人为胜利者。甲要想获胜，他
应该如何安排？



2、有388个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛。比赛的规则是：甲乙轮流取，每
人每次取1个 、2个、或3个，取最后一个球的人为失败者。如果甲先取，甲为了取胜，
他应该采取怎样的策略？



3、有197粒棋子，甲乙二人分别轮流取棋子，每次至少 取1个，最多取4粒，不能不
取，取到最后一粒的为胜者，现在两人通过抽签决定谁先取？你认为先取的 获胜，还是
后取的获胜？


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勇于尝试，把握过程，关注细节
第二讲 可能性的大小
（游戏与对策）
第二课时
例2 有两堆火柴，一对26根，一堆 11根。甲乙两人轮流从中拿走1根
或几根，甚至一堆，但每次都只能在一堆里拿火柴，谁拿走最后一根 算谁赢，
问甲如何取胜？
【思路点拨】 这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当 两堆的火
柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆里取相同的根数，就
能保证取 到最后一根。对一般情况，可设法将它转化为特殊情况，所以要先取
走多的那几根就行了。
同步精练
1、有两个箱子分别装有63、108个球。甲、乙二人轮流在任意一个箱子中任意 取球。
规定取到最后一个球的为胜者。甲先取，他应如何才能获胜？



2、取两堆石子，游戏双方理你从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子（甚至可以把这
堆石子一次拿走完），但每次至少拿1粒，不准同时在两堆中拿，谁拿最后一粒谁就获
胜，问如何才能 取胜？



3、下面是个圆形，两人轮流在圆形中画规定了大小 的△，没人每次画一个△，所画的
△不能与已画的相交或重叠，圆形总有被画满的时候，谁画最后一个△ ，谁就获胜。如
何才能获胜？




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勇于尝试，把握过程，关注细节
练 习 卷
1、有一枚骰 子，六个面分别写着1-6六个数，两次掷这枚骰子，将两次朝
上的面上的数相加，和的个位数字最大的 可能性是（ ）。
2、有102粒纽扣，两个人轮流从中取几粒，每人至少取1粒，最多取4 粒，
谁取到最后一粒，就算谁输。问保证一定获胜的策略是什么？


3、 桌面上有199根火柴，甲、乙两人轮流地取1根或2根，谁取到最后一
根火柴为胜，问获胜的策略是什 么？


4、王叔叔体重75千克，他从地里摘了2筐西瓜，每筐35千克，王叔叔 回
家要经过一座小桥，小桥只能载重100千克，请你给他想个办法，让他和西瓜
一次安全地过 河去。


5、一笔画出（笔尖不离开纸）由四条线段连接而成的折线，把下面九个 点
串起来，你能做到吗？




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第三讲 图形的面积（一）
第一课时
例题讲学
例1 已知平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。

5厘米


【思路点拨】
4
厘
米
4厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形的面积是
28平方厘米，它的底 为28÷4=7（厘米），平行四边形的底减去5厘米就是三角
形的底，7-5=2（厘米）。根据三角 形的面积公式直接求出阴影部分的面积。

技巧
求阴影 部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积；
还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面 积。这两种是最常用最简
便的方法。

同步精练
1.下面的梯形中，阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。

15厘米



25厘米
5厘米
2．已知平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影部分的面积。




3．
如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？（单位：厘米）


6
9


12

- 13 -
6
厘
米

勇于尝试，把握过程，关注细节
第三讲 图形的面积（一）
第二课时
例题讲学
例2 下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
G
甲
乙
B
6
E
4
F
A
C

【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形，它的三条边的长都不知道，三条
边上的高也不知道。所以 ，无法用公式计算出它的面积。
仔细观察本题的图，我们可以发现，如果延长GA和FC，它们 会相交（设
交点为H），这样就得到长方形GBFH（如下图），它的面积很容易求，而长方
形 GBFH中除阴影部分之外的其他三部分（△AGB、△BFC及△AHC）的面积
都能直接求出。
G
甲
乙
B
6
E
4
F
A
H
C

同步精练
1、求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
4
3
4

3

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勇于尝试，把握过程，关注细节
2、求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
8
5
8
5



第三讲 图形的面积（一）
第三课时
例题讲学
例3 如图所示：，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE
的长度。
A
4
厘
米
B
4厘米
甲
F
乙
C
E
D

【思路点拨】 题目中告诉我们，甲三角形的面 积比乙三角形的面积大6平方
厘米，即甲-乙=6（平方厘米），而甲和乙分别加上四边形ABCF后相 减的结果
还是6平方厘米，即：甲-乙=6（平方厘米）
（甲+四边形ABCF）-（乙+四边形ABCF）=6（平方厘米）

即：正方形ABCD - △ABE=6（平方厘米）

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勇于尝试，把握过程，关注细节
这就是说正方形ABCD的面积比三角形AB E的面积大6平方厘米。用正方形的
面积减去6就得到三角形ABE的面积，再用三角形的面积乘以2再 除以AB，
就得到BE的长度，从而求出CE的长度。
同步精练
1、四边 形ABCD是一个长为10厘米，宽6厘米的长方形，三
角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10 平方厘米。求CF的长是
多少厘米？
F
E
D
C
A
B

2、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求：（1）三角形DEF的面积。
（2）CF的长。
A D
E
B
F
C





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勇于尝试，把握过程，关注细节
第四讲 认识分数
第一课时
《知识概述》
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数 ，叫做分数。
其中的一份又叫分数单位。分数与除法的关系可以表示a÷b=（b≠0）。分数
可以分为真分数和假分数；分子与分母是互质数，被称为最简分数。
分数的分子与分母同时乘以或同时 除以一个相同的数（0除外），分数的
大小不变，这就是分数的基本性质。
例题精学
例1：分母是91的真分数有多少个？最简真分数有多少个？
【思路点拨】
真分数 是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真分
数。分母是91的真分数一共有90个 ，分别是
12390
，，
……
,其分子是1～
919191
91
a
b
90的自然数。在这其中有分子和分母有除1之外的相同质因数。要求最简真 分
数，那么分子中凡是91的质因数的倍数都应去掉。而91=7×13，在1～90的
自然数 中，7的倍数有13－1=12（个），13的倍数有7－1=6（个），这样分子可
取的数一共有90 －（12+6）=72（个）。
同步精练
1.分母是51的真分数有多少个？最简真分数有多少个？
2.分子、分母的乘积是420的最简真分数有多少个？

3.分数
3a 5
中的a是一个非零自然数，为了使这个分数能够约分，a最小是
a8
多少？

- 17 -

勇于尝试，把握过程，关注细节
第四讲 认识分数
第二课时
例2 把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1.
（1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于，原分数是多少？
（2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于，原分数是多少？
【思路点拨】这道题有两个小 题，总的条件一样。由于其他的条件不同，两小
题的得数是不同的。有总的条件来看，要求的两个分数的 分子都比分母小1.（1）
分母加上1，分子应比分母小2，现在的分子比分母小1，说明进行过约分了 ，
未约分前的分子比分母小2，说明是用2约分的，也就是说原分数的分母加上1
之后，再把分 子分母同时除以2所得到的分数是，说明约分前是
分数应是

同步精练
1. 一个最简分数的分子缩小5倍，分母扩大9倍后是



2. 一个分数约分成最简分数是，原分子、分母的和是90，原分数是多少？




3
7
2
，原分数是多少？
27
16
。第（2）题请你自己思考。
17
8
9
16
，这样原
18
8
9
8
9

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勇于尝试，把握过程，关注细节
第四讲 认识分数
第三课时
例3 分数
732
的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数 约分后是，求减
1369
去的数。
【思路点拨】 一个分数的分子和分母同时间去一个相同的数后，分子与分母的
差不变。原分数的 分子与分母的差是1 36－73=63，得到的新分数的分子与分
母的差也是63.而新分数约分后变成，9－2=7，因此 可知约去的数是63÷7=9.
新分数是
2918
=，这样就可以求出减去的数是多 少了。
9981
2
9
同步精练
1.



2.一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上4，这个
分数约分 后是，原来这个数是多少？


3. 一个分数，分子加上1后，其值为1，分子减去1后，其值为，求这
个分数
4
5
2
3
31
的分子、分母同时加上多少后就可以约分为？
133




- 19 -

勇于尝试，把握过程，关注细节


第四讲 认识分数
第四课时
例4 分数
后为
55
的分子减去某数，而分母同时加上 这个数后，所得的新分数化简
64
4
，求某数。
13
【思路点拨】 分子减去一个数，同时分母加上这个数，那么分子与分母的和
不变。原分数的分子、分母之和为55+6 4=119，说明新分数的分子、分母之和
4
，分子、分母的和是4+13=17，因此可知约 去
13
4728

的数是119÷17=7。新分数为。这样可以推算出这 个原数了。
13791
也是119，而新分数约分后是
同步精练
1.的分子减去某数，而分母加上某数后约分为，求某数。



2.有一个分数，分子加上1可约分为，分子减去1可约分为，求这个
数。



3.一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是；如果分子加上124，分母加上340，那么约分后是，求原分数是多少？
1
2
34
1
3
1
5
1
3

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勇于尝试，把握过程，关注细节


练 习 卷
1、填空题。
（1）一个最简分数的分子、分母之积是30，这个最简分数是（ ）。
（2）一个最简真分数的分子、分母之和是15，这个最简真分数是
（ ）。
（3）分母是85的真分数共有（ ）个，分母是85的最简真分
数共有（ ）个。
（4）一个分数的分子、分母之和是90，约分后是，求原来的分
数是（ ）。
（5）一个最简真分数，把它的分母扩大5倍，而分子缩小4倍，
化简后是
1
，求这个最简真分数是（ ）。
52
11
2、分数的分子分母同时加 上同一个自然数，新分数化简得
122
7
8
，求这
个自然数。


3、分数
求这个数。

4、一个真分数的分子、分母 是两个相邻的奇数，如果分母加上3后，
这个分数约分为，求原分数是多少？

- 21 -
92
的分子加上一个数，分母减去同一个数，新分数化简为
163
，
3
4

勇于尝试，把握过程，关注细节

第五讲 相遇问题
相遇问题中数量之间的基本关系式：
速度和×相遇时间＝相遇路程 相遇路程÷速度和＝相遇时间
相遇路程÷相遇时间＝速度和
【例1】：一辆公共汽车和一辆 小轿车同时从相距450千米的辆两地相向而行，
公共汽车每小时40千米，小轿车每小时行50千米， 问几小时后两车相距90
千米？
【分析与解】 两车在相距450千米的两地相向而行， 距离逐渐缩短，在相遇
前某一时刻两车相距90千米，这时两车共行的路程应为（450-90）千米。
需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增
大，到某一时 刻，两车再一次相距90千米。
这时两车共行的路程为（450+90）千米。
所以：（450-90）÷（40+50）=4（小时）
或（450+90）÷（40+50）=6（小时）
答：两车在出发后4小时相距90千米，在出发后6再一次相距90千米。
同步精练
1.一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地相背而行。甲
每分钟 走66米，乙每分钟走59米。经过几分钟才能相遇？


2、两地相距1200千米，甲乙两辆火车从两地相向而行，同时出发，甲每小时

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勇于尝试，把握过程，关注细节
行120千米，乙每小时行180千米，多少小时后，两车相差300千米？
【例2】 甲乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45
千米，乙车每小时行41千米，乙车 先出发2小时后，甲车才出发。甲车行几小
时后与乙车相遇？
【分析与解】 甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小树，这
段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路 程不是甲、乙两车同时相对
而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，
才是甲、乙两车同时相对而行的时间。
乙车先行的路程：41×2=82（千米），甲乙两车 同时相对而行路程：
770-82=688（千米），甲车行的时间：688÷（45+41）=8（小 时）
答：甲车行8小时后与乙车相遇。
解题技巧：
关键抓住先走的车，它所行的 路程，把它所走的路程先刨除在外，然后计
算两车（人）真正相距的路程，是解答此类问题的关键。

同步精练
①小丽家距学校有1500米，中午11:40分放学回家时， 小丽从学校以每分
钟50米的速度回家，走了4分钟后，爸爸骑自行车从家出发去接小丽，爸爸的
速度是每分钟150米，爸爸出发多长时间会接到小丽？





②某送货员从A乡镇往B乡镇去送货，他以每小时40千米的速度开摩托车
前往，走 了0.5小时后，接货人开汽车去接他，结果接货人在出发2小时后接
到了送货员，已知接货人的速度是 每小时60千米。问：A、B两个乡镇相距多
少千米？



- 23 -

勇于尝试，把握过程，关注细节

【例3】 两地相距900米，甲乙二人同时同地向同一方向行走，甲每分钟
走80米，乙每分钟走100米，当乙 到达目标后，立即返回，与甲车相遇，从出
发到相遇共经过多少分钟？
【分析与解】 甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目的地后，
然后返回，途中与甲相遇，这又变成了相遇问 题，把同向走的时间与相遇走的
时间相加就是共同经过的时间。
已到达目的地时间：90 0÷100=9（分钟），甲9分钟走的路程：80×9=720（米），
甲距目标还有：900-72 0=180（米），相遇时间：180÷（100+80）=1（分钟），
共用的时间为：9+1=10 （分钟）。
同步精练
1、兄妹二人同时离家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走 60米，哥哥
到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离学校180米处与妹妹
相 遇，他们家离校多远？




2、甲、乙二人同时从A地到B地， 甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。甲
到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处与乙相遇 ，A、B两地间的距离
是多少千米？




- 24 -

勇于尝试，把握过程，关注细节
【例4】：甲乙两人同时从两地出发，相 向而行，距离是100千米，甲每小时走
6千米，乙每小时走4千米，甲带着一只狗，狗每小时走10千 米，这只狗同甲
一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直
到 两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？
【分析与解】 要求狗一共走了多少千米，如果你认为求 出狗与甲和乙相遇了
多少次，每次用多长时间，那么你是求不出来的，因为这些都是无法知的量。 问题可以这样看，我们可以求出狗一共行了多长时间，狗行的时间其实就
是甲乙二人相遇的时间，因 为狗在甲乙二人相遇前是一直走的，它中途并没有
停下来，所以，问题的关键又转回了人身上。
甲乙二人相遇时间：100÷（6+4）=10（小时）
狗走的路程为：10×10=100（千米）。

同步精练
①甲乙两 队学生从相隔18千米的两地同时出发，相向而行，一名学生骑
自行车以每小时14千米的速度在两队间 不停地往返联络，甲队每小时行5千米，
乙队每小时行4千米，两队相遇时，骑自行车的学生共行多少千 米？


②A、B两地相距400千米，甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时 行
35千米，乙车每小时行45千米。一只鸽子以每小时50千米的速度和甲同时出
发，向乙飞 去，遇到乙车又折回向甲车飞来，遇到甲车又往回飞向乙车，这样
一直飞下去。鸽子飞多少千米时，两车 正好相遇？

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勇于尝试，把握过程，关注细节
练 习 卷
1、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距860米的两地出发，相向而行，汽车每小
时行45千米，摩托车每小时行70千米，6小时后两车相距多少千米？



2、小强和小明家相距2400米，两人同时从家中出发相向而行，小强每分钟走
5 0米，小明每分钟走70米。求：
（1）他们经过多长时间相遇？
（2）3分钟时，他们还相距多少米？
（3）15分钟时，他们相距多少米？



3、甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时56千米，乙车每小时< br>48千米，两辆车在离中点32千米处相遇，求东西两地间相距多少千米？



※ 4、小明从甲地向乙地走，小强同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，
又迅 速返回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地400米
处，第二次相遇在距乙地150 米处。问，甲、乙两地之间相距多少米？

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第六讲 公因数和公倍数
第一课时
【知识概述】
我们知道：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数， 其中最大的一个
叫做这几个数的最大公因数，一般地，把自然数a和b的最大公因数记为（a，b）。
几个数共有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍
数，一般 地，把自然数a和b的最小公倍数记为[a，b]。
两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即：
（a，b）×[a，b]=a·b
【例题1】 有两根彩带，分别长45厘米和30厘米 。现在要把这两根彩带剪成长度相等的
短彩带且没有剩余，每段短彩带最长是多少厘米？
【点拨与解】 这两根彩带要剪成长度一样的小段，且无剩余，每段长度必是45厘米和30
厘米的公因数。又要求每段尽可能的长，所求的每段长度就是45和30的最大公因数。
（45,30）=15
答：每段短彩带最长是15厘米。
同步精练
1、 陆老师买了36个本子、24支钢笔，分别平均将给五（4）班三好学生，结果正好全部分
完，问五（4 ）班最多共有多少名三好学生？



2、把一张长12厘米、宽20厘米 的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的的正方形，
裁完后没有剩余，至少可以裁多少个？

、


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第二课时
例2
有一批地砖，每块长45厘米，宽30厘米，至少要用多少块这样的地砖才能铺成正
方形地？
【点拨与解】 要用这种地砖铺成正方形地，可知正方形地的边长是地砖长和宽的公倍数；
又因为要 用尽可能少的地砖铺地，可知铺成的正方形地要尽可能小，即正方形地的边长要尽
可能小，所以正方形地 的边长是地砖长和宽的最小公倍数。
[45,30]=90 （90÷45）×（90÷30）=2×3=6（块）
答：至少要6块才能铺成正方形地。
同步精练
1、有一批强化地板，长150厘米，宽20厘米，至少要用多少块这样的地板才能 铺成正方形
地？



2、一路和二路公交车早上6点同时从汽车 站发车，一路车每7分钟发一辆车，二路车每8
分钟发一辆车。这两辆车第二次同时发车是几时几分？



3、柴油机上有两个互相咬合的齿轮，甲齿轮有72个齿，乙齿轮有2 8个齿，其中某一对齿，
从第一次相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少圈？





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第三课时
例3 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是300，已知其中一个数是75，
求另一个数是多少？
【点拨与解】 根据两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数
的乘积，可以直接求出另一个数来。
300×15÷75=60
同步精练
1、两个数的最大公因数是21，最小公 倍数是126，已知其中一个数是42，
求另一个数是多少？



2、已知两个自然数的积是3072，最大公因数是16，求这两个数的最小公
倍数是多少？




3、已知两个数的最小公倍数是210，它们的积是126 0，那么这两个数的
最大公因数是多少？






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第四课时
例4 从学校到少年宫的这段公路的一侧，一共有37根电线杆，原来每
两根电线杆之间相 距50米，现在要改为每两根之间相距60米，除两端不需要
移动外，中途还有多少根不必移动？
【点拨与解】 从学校到少年宫的这段公路的总长是50×（37-1）=1800
米， （因为有37-1=36个间隔）。从路的一端开始，是50和60的公倍数处的那
根电线杆就不必移动 。因为50和60的最小公倍数是300，所以，从第一根开
始，每隔300米就有一根电线杆不必移动 ，1800÷300=6（根），就是有6根不
必移动，去掉最后的那一根，所以，中途共有5根不必移 动。
[50,60]=300 50×（37-1）÷300=6（根） 6-1=5（根）
答：中途还有五根不必移动。
同步精练
1、插一排彩旗共26 面。原来没两面之间的距离是4米，现在改为5米。
除起点一面不移动外，中间还有几面可以不移动？


2、在长288米的河堤上，每隔4米栽了一棵树。现在要改为每隔6米栽一棵树，可以不拔出来的树有多少棵？



3、一行小树苗，从第一棵 到最后一棵的距离是90米。原来每隔2米植一
棵树。由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵树。如 果两端不算，中间有
几棵不必移动？


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综 合 演 练
1、填写一个四阶幻方和一个七阶幻方


































































四阶幻方

七阶幻方
2、
有129个球，甲、 乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲、乙两人轮流取，每
人每次最多取2个，最少取1个，取 最后一个球的人为胜利者。甲要想获胜，他应该如何安
排？



3、求下图阴影部分的面积。（单位：厘米）
12



9
12
9

4、分子、分母的乘积是120的最简真分数有多少个？


5、
分数
11
的分子分母同时加上同一个自然数，新分数化简得
122
，求这
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勇于尝试，把握过程，关注细节
个自然数。

6、
一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3后，
这个 分数约分为，求原分数是多少？



7、甲乙两辆汽车同时从A、B两地 相向开出，甲车每小时50千米，乙车每
小时42千米，两辆车在离中点12千米处相遇，求A、B两地 间相距多少千
米？



8、两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，其中一个数是54，另
一个数是多少？


9、甲、乙两列火车从相距470千米的两城相向开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行40千米。乙车先出发2小时后，甲车才出发。甲车行几
小时后与乙车相遇？
3
4

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