死得其所造句-河南二建成绩查询

五年级奥数教程(1)

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例2 一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人
92分；男生 平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？
分析：女生每人比全班平均分高92－91.2=0. 8（分），而男生每人比全班平
均分低91.2－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分0 .8×21=16.8（分），
应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有2 4个男生。
练 习 二
1，两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平
均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？


2，有 两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5亩，平均每亩
产量是101.5千克；另一块 田平均每亩产量是85千克。这块田是多少亩？


3，把甲级和乙级糖混在一起， 平均每千克卖7元，乙知甲级糖有4千克，
平均每千克8元；乙级糖有2千克，平均每千克多少元？

例3 某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。
被改的数原来是多少？
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分析：原来三个数的和是2×3=6，后来三个数的和是3×3 =9，9比6多出
了3，是因为把那个数改成了4。因此，原来的数应该是4－3=1。
练 习 三
1，已知九个数的平均数是72，去掉一个数之后，余下的数的平均数是78。
去掉 的数是多少？


2，有五个数，平均数是9。如果把其中的一个数改为1，那么这 五个数的平
均数为8。这个改动的数原来是多少？


3，甲、乙、丙、丁 四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，
甲在抄分数时，把自己的分错抄成了87分，因 此，算得四人的平均分是88
分。求甲在这次考试中得了多少分？


例4 五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一
位同学的98分误作89分计算 了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，
五一班有多少名同学？
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分析：98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91 .7
－91.5=0.2（分）。9里面包含有几个0.2，五一班就有几名同学。
练 习 四
1，五（1）班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，
全班平均分 为92分。缺考的两位同学补考均为100分，这次五（1）班同学
期中考试的平均分是多少分？


2，某班的一次测验，平均成绩是91.3分。复查时发现把张静的89分误看< br>作97分计算，经重新计算，该班平均成绩是91.1分。问全班有多少同学？

< br>3，五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16。
这个改动的数原 来是多少？
例5 把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是27，
后 三个数的平均数是48。中间一个数是多少？
分析：先求出五个数的和：38×5=190，再求出前 三个数的和：27×3=81，
后三个数的和：48×3=144。用前三个数的和加上后三个数的和， 这样，中
间的那个数就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一
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个数。
练 习 五
1，甲、乙、丙三人的平均年龄 为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，
乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？


2，十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5人和第6人的平均分是多少分？
3，下图中的○内有五个数A、B、C、D 、E，□内的数表示与它相连的所
有○中的平均数。求C是多少？






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平 均 数（二）
例1 小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分， 才能把
平均成绩提高到86分。问这是他第几次测验？
分析与解答：100分比86分多14 分，这14分必须填补到前几次的平均分
84分中去，使其平均分成为86分。每次填补86－84=2 （分），14里面有7
个2，所以，前面已经测验了7次，这是第8次测验。
练 习 一
1，老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了5朵。如
果师生合起来算， 正好平均每人做了7朵。求有多少个同学在做花？


2，一位同学在期中测验中， 除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，
如果数学算在内，平均每门95分。已知他数学得了1 00分，问这位同学一
共考了多少门功课？

3，两组同学进行跳绳比赛，平均每人 跳152次。甲组有6人，平均每人跳
140次，如果乙组平均每人跳160次，那么，乙组有多少人？


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例2 小亮在期末考试中，政治、语文 、数学、英语、自然五科的平均成绩
是89分，政治、数学两科平均91.5分，政治、英语两科平均8 6分，英语
比语文多10分。小亮的各科成绩是多少分？
分析与解答：因为语文、英语两科平 均分84分，即语文＋英语=168分，而
英语比语文多10分，即英语－语文=10分，所以，语文是 （168－10）÷2=79
分，英语是79＋10=89分。又因为政治、英语两科平均86分，所以 政治是
86×2－89=83分；而政治、数学两科平均分91.5分，数学是91.5×2－83=1 00
分；最后根据五科的平均成绩是89分可知，自然分是89×5－（79＋89＋
83＋1 00）=94分。
练 习 二
1，甲、乙、丙三个数的 平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两
数的平均数是77。乙数是多少？甲、丙两个数的 平均数是多少？

2，小华的前几次数学测验的平均成绩是80分，这一次得了100分，正 好把
这几次的平均分提高到85分。这一次是他第几次测验？

3，五个数排一排， 平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四个数的平
均数是10，那么，第一个数和第五个数的平均 数是多少？

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例3 两地相距360千米，一艘 汽艇顺水行全程需要10小时，已知这条河
的水流速度为每小时6千米。往返两地的平均速度是每小时多 少千米？
分析与解答：用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速
度。显然， 要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所用的时间。因为
360÷10=36（千米）是顺水速度 ，它是汽艇的静水速度与水流速度的和，所
以，此汽艇的静水速度是36－6=30（千米）。而逆水速 度=静水速度－水流
速度，所以汽艇的逆水速度是30－6=24（千米）。逆水行全程时所用时间是< br>360÷24=15（小时），往返的平均速度是360×2÷（10＋15）=28.8（千米）。
练 习 三
1，甲、乙两个码头相距144千米，汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲码
头，已知汽船在静水中每小时行驶21千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小
时到达乙码头？ < br>2，一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米。已知客轮的静水速度是
每小时30千米，水 速每小时3千米。现在正好是顺流而行，行全程需要几
小时？
3，甲船逆水航行300千米， 需要15小时，返回原地需要10小时；乙船逆
水航行同样的一段水路需要20小时，返回原地需要多少 小时？


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例4 幼儿园小班的20个 小朋友和大班的30个小朋友一起分饼干，小班的
小朋友每人分10块，大班的小朋友每人比大、小班小 朋友的平均数多2块。
求一共分掉多少块饼干？
分析与解答：只要知道了大、小班小朋友分得 的平均数，再乘（30＋20）人
就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平 均数
多2块，30个小朋友一共多2×30=60（块），这60块平均分给20个小班的
小朋 友，每人可得60÷20=3（块）。因此，大、小班小朋友分得平均块数是
10＋3=13（块）。一 共分掉13×（30＋20）=650（块）。
练 习 四
1，数学兴趣小组里有4名 女生和3名男生，在一次数学竞赛中，女生的平
均分是90分，男生的平均分比全组的平均分高2分，全 组的平均分是多少
分？

2，两组同学跳绳，第一组有25人，平均每人跳80下； 第二组有20人，平
均每人比两组同学跳的平均数多5下，两组同学平均每人跳几下？
3，一个技术工带5个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得120元，
这位技术工人的收入 比他们6人的平均收入还多20元。问这位技术工得多
少元？
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例5 王强从A地到B地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行12千米。
剩下的步行，每 小时走4千米。王强行完全程的平均速度是每小时多少千
米？
分析与解答：求行完全程的平均 速度，应该用全程除以行全程所用的时间。
由于题中没有告诉我们A地到B地间的路程，我们可以设全程 为24千米（也
可以设其他数），这样，就可以算出行全程所用的时间是12÷12＋12÷4=4（小时），再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小时6千米。
练 习 五
1，小明去爬山，上山时每小时行3千米，原路返回时每小时行5千米。求
小明往返的平均速度。


2，运动员进行长跑训练，他在前一半路程中每分钟跑150米，后一半路程中每分钟跑100米。求他在整个长跑中的平均速度。


3，把一份书稿平均 分给甲、乙二人去打，甲每分钟打30个字，乙每分钟打
20个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字？

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第3周 长方形、正方形的周长
同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。< br>长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如
何应用所学知识巧求表 面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需
同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把 复杂的问题转化为标准
的图形，以便计算它们的周长。
例1 有5张同样大小的纸如下图（ a）重叠着，每张纸都是边长6厘
米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
思路与导航 根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向
左、右、上、下平移（如 图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周
长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此 ，所求周长是18×
4=72厘米。
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练习一
1，下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。

2，下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。

3，有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重
叠后图形的周长。
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例2 一块长方形木板， 沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的
面积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘 米？
思路导航 把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB
的面积是 192－4×4=176（平方厘米）。把A和B移到一起拼成一个宽4厘
米的长方形，而此长方形的长 就是这块木板剩下部分的周长的一半。176÷
4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=8 8（厘米）。

练习二

1，有一个长方 形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少
44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这 个正方形的周长。
2，有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放
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在一起，这个图形的周长是多少？

3、有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的
部分仍是长方形，且周长为2 80米。求划去的绿化带的面积是多少平方米？
例3 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？

思路导航 从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三
条横着，三条竖着。三 条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和
是b×2。所以，整个图形的周长是（a＋b）× 2＋b×2，即2a＋4b。
练习三
1，有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板 ，在四个角上各剪去一个同
样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。

2，一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）
所示长方 形，求所拼长方形的周长。
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3，求下面图形（图2）的周长（单位：厘米）。

图（1） 图（2）
例4 下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。

思路导航 我们把阴影部分 周长中左边的5条线段全部平移到左边，其
和正好是4厘米。再把下面的线段全部平移到下面，其和也正 好是4厘米。
因此，阴影部分的周长与边长是4厘米的正方形的周长是相等的。
练习四1，求下面图形的周长（单位：厘米）。

2，在（ ）里填上“＞”、“＜”或“=”。
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甲的周长（ ）乙的周长
3，下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。

例5 如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方
形的周长。
分析 根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。因为BC=EF，
CF=DE，所以，AB＋BC＋ CF=AB＋FE＋ED=9＋6=15（厘米），这正好是最大长
方形周长的一半。因此，最大长方形 的周长是（9＋6）×2=30（厘米）。

练习五
1，下面三个正方形的面积相 等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来
正方形的周长发生了什么变化？（单位：厘米）
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2，下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，零件 长35
厘米，高30厘米。这个零件的周长是多少厘米？

3，有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重
叠图形的周长。

第4周 长方形、正方形的面积
专题简析：
长方形的面积=长×宽， 正方形的面积=边长×边长。掌握并能运用这两
个面积公式，就能计算它们的面积。
但是，在 平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、
图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出 面积的题目。这就需要我们切实
掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问 题转化
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为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。
例1 已知大正方形比小正方形边 长多2厘米，大正方形比小正方形的面积
大40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？
2
B


2
A

分析 从图中可以看出，大正方形的面积比小正 方形的面积大出的40
平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面积相等。因此，用40平方厘
米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A
或B的面积除以2就是小正方 形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、
小正方形的面积就非常简单了。
练 习 一
1，有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向外筑一条宽2米
的小路，求小路的 面积。



2，正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？
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3，把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后， 得到一个面积比原长
方形多181平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米？
22

例2 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方< br>形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。

分析 因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×
EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。
练 习 二
1，下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24
平方厘米、30平 方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。
A
M
32
F
P
24
30
D
N
C



B
E

2，下面一个长方形被分成六个小长方形，其中 四个长方形的面积如图所示
（单位：平方厘米），求A和B的面积。
15A
24
12
B


23
45

3，下图中阴影部分是边长5厘米的正方 形，四块完全一样的长方形的宽是
8厘米，求整个图形的面积。
8
8
5
8
8



例3 把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已
知两个正方形的面积相差40平方分米， 大正方形的面积是多少平方分米？

分析 我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的
面积差40平 方分米就是图中的A和B两部分，如图。如果把B移到原来小
正方形的上面，不难看出，A和B正好组成 一个长方形，此长方形的面积是
40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2（分米），即大、小两 个正方形的
边长相差2分米。因此，大正方形的边长就是（20+2）÷2=11（分米），面
积是11×11=121（平方分米）
练 习 三
24

< br>1，一块正方形，一边划出1.5米，另一边划出10米搞绿化，剩下的面积比
原来减少了135 0平方米。这块地原来的面积是多少平方米？


2，一个正方形，如果它的边长增 加5厘米，那么，面积就比原来增加95平
方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？


3，有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80
平方米 。求草坪的面积。

例4 有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画
出来。

分析 由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正
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方形的四条边为准，分别作出4个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，
虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的2倍。
练 习 四
1，四个完全 一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、
小正方形的面积分别是49平方米和4平方 米，求其中一个长方形的宽。



2，正图的每条边都垂直于与它相邻的 边，并且28条边的长都相等。如果此
图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？


3，正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。


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例5 有一个周长是72厘米的长方 形，它是由三个大小相等的正方形拼成
的。一个正方形的面积是多少平方厘米？
分析 三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是原正方形边长
的8倍，正方形的边长为72÷8=9（ 厘米），一个正方形的面积就是9×9=81
（平方厘米）。
练 习 五
1， 五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是36厘米，
求每个正方形的面积是多少平方 厘米？


2，有一张长方形纸，长12厘米，宽10厘米。从这张纸上剪下一个最 大的
正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？


3，有一个小长方形，它 和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD（如下图），
已知大长方形的面积是35平方厘米，且周长比 原来小长方形的周长多10厘
米。求原来小长方形的面积。
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第5周 分类数图形

专题简析：
我们在数数的时候，遵循不重复、不 遗漏的原则，不能使数出的结果准
确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法 能够
帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。
例题1 下面图形中有多少个正方形？
28

分析：图中的正方 形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6
×3=18个，2×2的正方形有5×2=10个， 3×3的正方形有4×1=4个。因
此图中共有18＋10＋4=32个正方形。
练习一
1，下图中共有多少个正方形？

2，下图中共有多少个正方形？

3，下图中共有多少个正方形，多少个三角形？
29

例题2 下图中共有多少个三角形？

分析 为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把
数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有6个小三角形；
（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；
（3）由三个小三角形组合的三角形有6个；
（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6＋3＋6＋1=16个三角形。
练习二
1，下面图中共有多少个三角形？
30

2，数一数，图中共有多少个三角形。


3，数一数，图中共有多少个三角形？

图表 1

31

例题3 数出下图中所有三角形的个数。

分析 和 三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状
的三角形有10个；和三角形ABG一 样形状的三角形有5个；和三角形ABE
一样形的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5 个，共35个
三角形。
练习三
数出下面图形中分别有多少个三角形。

例题4 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，
这样的正方形有多少个？

32

分析 把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出：

（1）最小的正方形有6个；
（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；
（3）中间还可围成2个正方形。
所以共有6＋2＋2=10个。
练习四
1，下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多
少个长方形？


2，下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成
多少个三角形？

33

3，下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成
多少个梯形？

例题5 数一数，下图中共有多少个三角形？

分析 我们可以分类来数：
1，单一的小三角形有16个；
2，两个小三角形组合的有10个；
3，四个小三角形组合的有8个；
4，八个小三角形组合的有2个。
所以，图中一共有16＋10＋8＋2=36个三角形。

练习五
1，图中共有（ ）个三角形。
34

2，图中共有（ ）个三角形。



3，图中共有（ ）个正方形。

第6周 尾数和余数
专题简析：
自然数末位的数字称 为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积
的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的， 利用这种规律能解决
一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
35

分析 因为213= 210＋3，把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，
符号题目要求的两位数有2×5= 10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，
2×3×5=30，2×3×7= 42，一共有7个两位数。
练习一
1，写出除109后余4的全部两位数。

2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？

3，写出除1290后余3的全部三位数。

例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？
（2）（21×26 ）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]
积的尾数是几？
分析 （1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125
相乘，个位还是5；
（2 ）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，
积的尾数是几就行了。因为个位 6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少
个（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习二
36

1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？


2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？


3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个
（12×63）]积的尾数是几？


例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？
（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？
分析 （1）我们先列举前几个4的积， 看看个位数在怎样变化，1个4
个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4× 4的个位是
6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25
没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。
（2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的 个位是以“9，1”
两个数字不断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位
是9。
37

练习三
1，24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？


2，1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？


3，94×94 ×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差
的个位是多少？


例题4 把17化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
分析 因为17≈0.7……，化成的小数是一个无限循环小
数，循环节“142857”共 有6个数字。由于100÷6=16……4，所以，小数
点后面的第100位是第17个循环节的第4个 数字，是8。
练习四
1，把111化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。


38

2，57写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？


3，有一串数 ：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，
每个数恰好是前两个数的和。在 这串数中，第1000个数被3除后所得的余
数是多少？


例题5 555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？
分析 如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一
看余数在按怎样的规律变化。

从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不断重复
出现。2001÷6 =333……3，所以，当商是整数时，余数是4。
练习五
1，444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？
39

2，当商是整数时，余数各是几？
（1）666…6÷4[100个6]


（2）444…4÷74[200个4]


（3）888…8÷7[200个8]

（4）111…1÷7[50个1]


第７周 一般应用题（一）
专题简析：
一般复合应用题往往 是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的
已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和 顺序也比较多样。因
此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，
40

可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数 量关
系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题
出发，找出必须 的两个条件（分析法）。在实际解时，可以根据题中的已知
条件，灵活运用这两种方法。
例1 五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16人参加少先队活动，
剩下的同学相当于原来4个班的人数 。原来每班多少人？
分析与解答：从每班选16人参加少先队活动，6个班共选16×6=96（人） 。
剩下的同学相当于原来4个班的人数，那么，96人就相当于原来（6－4）
个班人人数，所 以，原来每班96÷2=48（人）。
练 习 一
1，五个同学有同样多的存款，若每 人拿出16元捐给“希望工程”后，五位
同学剩下的钱正好等于原来3人的存款数。原来每人存款多少？


2，把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了68箱时，正好运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？


3，老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了6棵时，发现剩下的
41

树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵？


例2 某车间按计划每天应加工50个零件，实际每天加工56个零件。这样，
不 仅提前3天完成原计划加工零件的任务，而且还多加工了120个零件。这
个车间实际加工了多少个零件 ？
分析 如果按原计划的天数加工，加工的零件就会比原计划多56×3＋
120=288 （个）。为什么会多加工288个呢？是因为每天多加工了56－50=6
（个）。因此，原计划加工的 天数是288÷6=48（天），实际加工了50×48
＋120=1520（个）零件。
练 习 二
1，汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40千米，实际每小时多行了10
千米， 这样比原计划提前2小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米？


2，小明骑车 上学，原计划每分钟行200米，正好准时到达学校，有一天因
下雨，他每分钟只能行120米，结果迟 到了5分钟。他家离学校有多远？


42

3 ，加工一批零件，原计划每天加工80个，正好按期完成任务。由于改进了
生产技术，实际每天加工10 0个，这样，不仅提前4天完成加工任务，而且
还多加工了100个。他们实际加工零件多少个？


例3 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停了15天没有加工。40天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各
加工了多少个零件？
分析 甲工作了40天，而乙停止了15天没有加工，乙只加工了25天，所
以他加工的零件 正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙25天加工
的零件同样多。由于甲每天比乙多加工6个 ，20天一共多加工6×20=120
（个）。这120个零件相当于乙25-20=5（天）加工的个 数，乙每天加工120
÷（25-20）=24（个）。乙一共加工了24×25=600（个），甲一 共加工了600
×2=1200（个）
练 习 三
1，甲、乙二人加工一批帽 子，甲每天比乙多加工10个。途中乙因事休息了
5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍， 这时两人各加工帽子多
少个？

43

2，甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时比乙车多行20千米。
途中 乙因修车用了2小时，6小时后甲车到达两地中点，而乙车才行了甲车
所行路程的一半。A、B两地相距 多少千米？
3，甲、乙两人承包一项工程，共得工资1120元。已知甲工作了10天，乙
工 作了12天，且甲5天的工资和乙4天的工资同样多。求甲、乙每天各分
得工资多少元？



例4 服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务。实际每天比计划多加工60件，照这样做了15天，就超过原计划件数350件。原计划加工上衣
多少件？
分析 由于每天比计划多加工60件，15天就比原计划的15天多加工60×
15=900 （件），这时已超过计划件数350件，900件中去掉这350件，剩下
的件数就是原计划（20－1 5）天中的工作量。所以，原计划每天加工上衣（900
－350）÷（20－15）=110（件）， 原计划加工110×20=2200（件）。
练 习 四
44

1，用汽车运一堆煤，原计划8小时运完。实际每小时比原计划多运1.5吨 ，
这样运了6小时就比原计划多运了3吨。原计划8小时运多少吨煤？

2，汽车从 甲地开往乙地，原计划10小时到达。实际每小时比原计划多行
15千米，行了8小时后，发现已超过乙 20千米。甲、乙两地相距多少千米？


3，小明看一本书，原计划8天看完。实 际每天比原计划少看了4页。这样，
用10天才看完了这本书。这本书一共有多少页？



例5 王师傅原计划每天做60个零件，实际每天比原计划多做20个，结果< br>提前5在完成任务。王师傅一共做了多少个零件？
分析 按实际做法再做5天，就会超产（6 0＋20）×5=400（个）。为什么会
超产400个呢？是因为每天多生产了20个，400里面有 几个20，就是原计
划生产几天。400÷20=20（天），因此，王师傅一共做了60×20=12 00（个）
零件。
练 习 五
45

1， 食堂准备了一批煤，原计划每天烧0.8吨，实际每天比原计划节约了0.1
吨，这样比原计划多烧了2 天。这批煤一共有多少吨？
2，造纸厂生产一批纸，计划每天生产13.5吨，实际每天比原计划多生 产
1.5吨，结果提前2.5天完成了任务。实际用了多少天？


3，机 床厂生产一批机床，原计划每天生产15台，实际每天生产18台，这
样比原计划提前3天完成了任务。 这批机床一共有多少台？



第８周 一般应用题（二）
专题简析：
较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。因此，
我们在解答一般应用题时 要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。
例1 工程队要铺设一段地下排水管道，用长管 子铺需要25根，用短管子
铺需要35根。已知这两种管子的长相差2米，这段排水管道长多少米？
分析 因为每根长管子比每根短管子长2米，25根长管子就比25根短管子
46

长50米。而这50米就相当于（35－25）根短管子的长度。因此，每根 短管
子的长度就是50÷（35－25）=5（米），这段排水管道的长度应是5×35=175
（米）。
练 习 一
1，生产一批零件，甲单独生产要用6小时，乙单独生产要用8 小时。如果
甲每小时比乙多生产10个零件，这批零件一共有多少个？


2，一班的小朋友在操场上做游戏，每组6人。玩了一会儿，他们觉得每组
人数太少便重新分组，正好每 组9人，这样比原来减少了2组。参加游戏的
小朋友一共有多少人？


3 ，甲、乙二人同时从A地到B地，甲经过10小时到达了B地，比乙多用
了4小时。已知二人的速度差是 每小时5千米，求甲、乙二人每小时各行多
少千米？



47

例2 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙都比丙多
拿24千克。结帐时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹果多少元？
分析 三人拿同样多 的钱买苹果应该分得同样多的苹果。24×2÷3=16（千
克），也就是丙少拿16千克苹果，所以得 到24×2=48元。每千克苹果是48
÷16=3（元）。
练 习 二
1， 甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13支，
乙拿了7支，因此，甲又给了乙 6角钱。每支铅笔多少钱？


2，春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包 ，中午发现小红没有带
食品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。< br>每个面包多少元？


3，“六一”儿童节时同学们做纸花，小华买来了7张 红纸，小英买来了和红
纸同样价格的5张黄纸。老师把这些纸平均分给了小华、小英和另外两名同
学，结果另外两名同学共付给老师9元钱。老师把9元钱怎样分给小华和小
英？
48

例3 甲城有177吨货物要跑一趟运到 乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡
车的载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和5升 。用多
少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？
分析 大汽车一次运5吨，耗油10升，平 均运1吨货耗油10÷5=2（升）；
小汽车一次运2吨，耗油5升，平均运1吨货耗油5÷2=2.5 （升）。显然，
为耗油量最少应该尽可能用大卡车。177÷5=35（辆）……2吨，余下的2
吨正好用小卡车运。因此，用35辆大汽车和1辆小汽车运耗油量最少。
练 习 三
1，五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且都是
整数。如果最高分是90分 ，那么得分最少的选手至少得多少分？


2，用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1角的邮
票多少张？


49

3，某班有60人，其中4 2人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会
打乒乓球。可以肯定至少有多少人四项都会？



例4 有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，该居民楼共订了三 种报纸，
其中北京日报34份，江海晚报30份，电视报22份。那么订江海晚报和电
视报的共 有多少家？
分析 这栋楼共订报纸34+30+22=86（份），因为每家都订2份不同的报纸，
所以一共有86÷2=43家。在这43家居民中，有34家订了北京日报，剩下
的9家居民一 定是订了江海晚报和电视报。
练 习 四
1，五（1）班全体同学每人带2个不同的水 果去慰问解放军叔叔，全班共带
了三种水果，其中苹果40个，梨32个，桔子26个。那么，带梨和桔 子的
有多少个同学？



50

2，在一次庆祝“六一”儿童节活动中，一个方队的同学每人手里都拿两种
颜色的气球，共有红、黄 、绿三种颜色。其中红色有56只，黄色的有60只，
绿色的有46只。那么，手拿红、绿两种气球的有 多少个同学？


3，学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组，第一小队的同学 们每人都
参加了其中的两个小组，其中9人参加球类小组，6人参加美术小组，7人
参加音乐小 组的活动。参加美术和音乐小组活动的有多少个同学？



例5 一艘 轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水
800桶。一台抽水机每分钟抽水18桶 ，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把
水抽完。每分钟进水多少桶？
分析 50分钟内， 两台抽水机一共能抽水（18＋14）×50=1600（桶）。1600
桶水中，有800桶是开始抽 之前就漏进的，另800桶是50分钟又漏进的，
因此，每分钟漏进水800÷50=16（桶）。
练 习 五
1，一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐开，
51

20分钟能把一池水放完。已知进水管每分钟往池里进水0.8吨，求出水管 每
分钟放水多少吨？


2，某工地原有水泥120吨。因工程需要，又派 5辆卡车往工地送水泥，平
均每辆卡车每天送25吨，3天后工地上共有水泥101吨。这个工地平均每
天用水泥多少吨？


3，一堆货物重96吨，甲队用16小时运完，乙队 用24小时运完。如果让两
队同时合运，几小时运完？


第９周 一般应用题（三）

专题简析
解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：
1，弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2，分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
52

3，拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
例1 甲、乙两工人生产同样 的零件，原计划每天共生产700个。由于改进
技术，甲每天多生产100个，乙的日产量提高了1倍， 这样二人一天共生产
1020个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？
分析 二人实际每 天比原计划多生产1020－700=320（个）。这320个零件
中，有100个是甲多生产的，那 么320－100=220（个）就是乙日产量的1
倍，即乙原来的日产量，甲原来每天生产700－2 20=480（个）。
练 习 一
1，工厂里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。进 行技术改造后，1号锅炉每
月节约1吨煤，2号锅炉每月烧煤量减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。
原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？
2，甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80个 。由于更换了机器，
甲每天多做40个，乙每天生产的是原来的4倍，这样二人一天共生产零件
300个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？


3，甲、乙两队合挖一条水渠 ，原计划两队每天共挖100米，实际甲队因有
人请假，每天比计划少挖15米，而乙队由于增加了人， 每天挖的是原计划
53

的2倍，这样两队每天一共挖了150米。求两队原计划每天各挖多少米？



例2 把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒转过来插入
水底， 这时，竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。求竹竿的长。
分析 因为竹竿先插了一次，湿了40厘 米，倒转过来再插一次又湿了40厘
米，所以湿了的部分是40×2=80（厘米）。这时，湿的部分比 它的一半长13
厘米，说明竹竿的长度是（80－13）×2=134（厘米）。
练 习 二
1，有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一个长8厘米，宽
6厘米的长方 形框架。这根铁丝原来长多少厘米？


2，有一根竹竿，两头各截去20厘米，剩 下部分的长度比截去的4倍少10
厘米。这根竹竿原来长多少厘米？


3，两根电线一样长，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部分第一
54

根是第二根长度的4倍。两根电线原来各长多少米？



例3 将一根电线截成15段。一部分每段长8米，另一部分每段长5米。
长8米 的总长度比长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米？
分析 设这15段中有X段是8米长的， 则有（15－X）段是5米长的。然
后根据“8米的总长度比5米的总长度多3米”列出方程，并进行解 答。
练 习 三
1，某人过一个小山坡共用了20分钟，他上坡每分钟走80米，下坡 每分钟
走102米。上坡路比下坡路少220米。这段小坡路全长多少米？

2，食堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。已
知买回的大米比面粉 多165千克，求买回大米、面粉各多少千克？



3，老师买回两种笔共16支奖给三好学生，其中铅笔每支0.4元，圆珠笔每
55

支1.2元，买圆珠笔比买铅笔共多用了1.6元。求买这些笔共用去多少钱？



例4 甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前
4小 时甲比乙少做400个零件。又同时加工4小时后，甲总共加工的零件反
而比乙多4200个。甲、乙每 小时各加工零件多少个？
分析 （1）在后4小时内，甲一共比乙多加工了4200+400=46 00（个）零
件，甲每小时比乙多加工4600÷4=1150个零件。
（2）在前 4小时内，甲实际只加工了4－2.5=1.5小时，甲1.5小时比
乙1.5小时应多做1150×1 .5=1725个零件，因此，1725＋400=2125个零件
就是乙2.5小时的工作量，即乙每 小时加工2125÷2.5=850个，甲每小时加
工850＋1150=2000个。
练 习 四
1，甲、乙二人同时从A地去B地，前3小时，甲因修车1小时，因此乙邻
先于甲4 千米。又经过3小时，甲反而领先了乙17千米。求二人的速度。


2，师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早2小时开工，当师傅生产了2
56

小时后，发现自己比徒弟少做20个零件。二人又生产了2小时，师傅反而< br>比徒弟多生产了10个。师傅每小时生产多少个零件？


3，甲每小时生产 12个零件，乙每小时生产8个零件。一次，二人同时生产
同样多的零件，结果甲比乙提前5小时完成了 任务。问：甲一共生产了多少
个零件？



例5 加工一批零 件，单给甲加工需10小时，单给乙加工需8小时。已知
甲每小时比乙少做3个零件，这批零件一共有多 少个？
分析 因为甲每小时比乙少做3个零件，8小时就比乙少做3×8=24（个）
零件 ，所以，24个零件就是甲（10－8）小时的工作量。甲每小时加工24
÷（10－8）=12（个） ，这批零件一共有12×10=120（个）。
练 习 五
1，快、慢两车同时从甲地 开往乙地，行完全程快车只用了4小时，而慢车
用了6.5小时。已知快车每小时比慢车多行25千米。 甲、乙两地相距多少
千米？
57

2，妈妈去买水果，她 所带的钱正好能买18千克苹果或25千克的梨。已知
每千克梨比每千克苹果便宜0.7元，妈妈一共带 了多少钱？


3，师徒二人加工零件，已知师傅6小时加工的零件和徒弟8小时加 工的零
件相等。如果师傅每小时比徒弟多加工3个零件，那么，徒弟每小时加工多
少个零件？




第10周 数 阵

专题简析：
填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵
问 题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号 ）表示满足条件的数，通过分析、计算
来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方 向。
58

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的 可能范围。把分
析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
例题1 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使
横行三个数的和与竖行三个数的和都 是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：
A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。
把两式相比较可知，E=4 2－35=7，即中间填7。然后再根据5＋9=6＋8
便可把五个数填进方格，如图b。
练 习 一
1，把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各
数的和都是12。

2，把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数
59

的和都是13。

3，将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的
和相等。

例题2 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和
是30。

分析 设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3
60

＋……＋10＋a＋b=30×2，即55＋a＋b=60，a＋b=5。在 1——10这十个数
中1＋4=5，2＋3=5。
当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个 数分别是（2，6，8，9）和
（3，5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分 别为（1，
5，9，10）和（4，6，7，8）。
练习二
1，把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的
和相等。

2，把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○
内四个数的和都相等，且和最大 。

3，将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、
右四 格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
61

例题3 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内
数的和相等、且最大。

分析 设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、
b、c都被计算了 两次，根据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除
以3没有余数。1＋2＋3＋4＋5 ＋6=21，21÷3=7没有余数，那么a＋b＋c
的和除以3也应该没有余数。在1——6六个数中 ，只有4＋5＋6的和最大，
且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6。（1＋2＋3＋4 ＋5＋6＋4
＋5＋6）÷3=12，所以有下面的填法：
62

练习三
1，将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

2，将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是
17。

3，将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。
63

例题4 将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的
和相等。

分析 首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么，三条线
段上的总和是1＋2＋ 3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a，由于三条线段上的和相
等，所以（28＋2a）除以3应该没 有余数。由于28÷3=9……1，那么2a除
以3应该余2，因此，a可以为1、4或7。当a=1时 ，（28＋2×1）÷3－1=9，
即每条线段上其他两数的和是9，因此，有这样的填法。
练 习 四
1，将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
64

2，将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内
的数的和相等。

3，将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四
个数的和以 及横行、竖行上四个数的和都等于18。

例题5 如下图(a)四个小三角形的顶点处有 六个圆圈。如果在这些圆圈中
分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的
65

和相等。问这六个质数的积是多少？

分析 设每个小三角形三个顶点处○内数的和为X。因为中间的小三角
形顶点处的数在求和时 都用了三次，所以，四个小三角形顶点处数的总和是
4X=20＋2X，解方程得X=10。由此可知， 每个小三角形顶点处的三个质数的
和是10，这三个质数只能是2、3、5。因此这6个质数的积是2× 2×3×3
×5×5=900。如图（b）。

练习五
1，将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三
个数的积都相等。
66

2，将1——9九个自然数分别填入下图的九个小 三角形中，使靠近大三
角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？

3，将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等
于里面三角 形边上○内数之和。





第11周 周期问题
67

专题简析：
周期问题是指事物在运动变化的发展过 程中，某些特征循环往复出现，
其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期 现
象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问
题只要我们发展某 种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期
的等式相对应，就能找到解题关键。
例题1 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再
3个绿，再2个黑，再 1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……
如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？
分析 根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1
白，即5＋4＋3＋ 2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷
15=133……6，也就是经过133个周 期还余6个，每个周期中第6个是黄的，
所以第2001个球涂黄色。
练习一
1，跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50
面该插什么颜色？


2，有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第
68

160个是什么颜色？


3，17=0.7……，小数点后面第100个数字是多少？


例题2 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最
后一盏灯是什么颜 色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？
分析 （1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9 盏灯看作一组，
47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所
以最后一盏灯是红灯；
（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=1 2（盏），
1220
；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的；黄灯共有3×5=15（盏） ，
4747
15
占总数的。
47
占总数的
练习二
1，有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗
中，红旗占黄旗的几分之几？


69

2，黑珠和白珠共2000颗，按规律 排列着：○●○○○●○○○●○
○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？


3，在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开
始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。这些同学中共有多少个女生？


例题3 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？
分析 一个星期是7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，
是第一个周期的第一天，再过7天即10 月8日也是星期一。计算天数时为
了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日就用（8－ 1）÷
7=1，没有余数说明8号仍是星期一。题中说从2001年10月1日到2002年
1 月1日，要经过92天，92÷7=13……1，余1天就是从星期一往后数一天，
即星期二。
练习三
1，2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？


70

2，如果今天是星期五，再过80天是星期几？


3，以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？
例题4 将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001
所在的列以哪个字母为代表？
A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
… … … …
… … … …
分析 这列数按每8个数一组有规律排列着。2001是这一列数中的第
1001个数，1001÷8=125……1，即2001是这列数中第126组的第一个数，
所以它 所在的那一列是以字母B为代表的。
练习四
1，将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？
A B C D E
71

8 6 4 2
10 12 14 16
24 22 20 18
26 28 30 32
… … … …
… … … …
2，把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？
A B C D
1 2 3
6 5 4
7 8 9
12 11 10
… … …
… … …
3，
上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组 为（小热），第二组为
（学爱）。求第460组是什么？

72

例题5 888……8[100个8]÷7，当商是整数时，余数是几？
分析

从竖式 中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5、2、
0不断重复出现。我们可以用10 0除以6，观察余数就知道所求问题了。
100÷6=16……4
余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数，
即5。
练习五
1，444……4[100个4]÷3当商是整数时，余数是几？



73

2，444……4[100个4]÷6当商是整数时，余数是几？

3，111……1[1000个1]÷7当商是整数时，余数是几？





第12周 盈亏问题
专题简析：
盈亏问题又叫盈不足问题 ，是指把一定数量的物品平均分给固定的对
象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种 标准分，分配
后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一代饼干
分给小 班的小朋友，每人分3块，多12块；如果每人分4块，少8块。小
朋友有多少人？饼干有多少块？这种 一盈一亏的情况，就是我们通常说的标
准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏 ）÷两次所分之差=人数；还有一
些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：
1，两盈：两次分配都有多余；
74

2，两不足：两次分配都不够；
3，盈适足：一次分配有余，一次分配够分；
4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们
可以记住：
1，“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分
配对象总数；
2，“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分
配对象总数；
3，“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与
分配对象总数。
例1 某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男
生为总数的一半； 如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一
半。乒乓球队共有多少名学生？
分析 （1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可
知：女生比男生多2人；
（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，
这时男生为女生人数的一半， 即现在女生有4×2=8人。原来女生有8－1=7
人，男生有7－2=5人，共有7＋5=12人。
75

练 习 一
1，学校买来了白粉笔和彩色粉笔 若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔
增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉 笔的盒数就是
彩色粉笔的5倍。学校买来两种粉笔各多少盒？



2，操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货物
一样重；苦甲、乙两堆各 运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。两堆货
物一共有多少吨？



3，五（1）班的优秀学生中，苦增加2名男生，减少1名女生，则男、女生
人数同样多；苦减 少1名男生，增加1名女生，则男生是女生的一半。这些
优秀学生中男、女生各多少人？
例2 幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友，则少4个；
如果每个小朋友只发给4个，则老师 自己也能留下4个。有多少个小朋友？
共有多少个苹果？
76

分析 如果平均分给小朋友，则少4个，说明小朋友人数大于4；如果每个
小朋友只发给4个 ，则教师也能留下4个，说明每人少拿若干个，就少拿4
＋4=8个苹果。因为小朋友人数大于4，所以 ，一定是每人少拿1个，有8
÷1=8个小朋友，有8×4＋4=36个苹果。
练 习 二
1，给小朋友分梨，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6
个。有多少个小 朋友？有多少个梨？



2，老把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则多 4支，每人7支则少4支。
老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？



3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐
6人；如果减少一条 船，正好每条船上坐9人。这个班一共有多少个同学？


77

例3 幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生 每人5个余
10个；如果分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3人，这
筐苹果有 多少个？
分析 如果大班减少3人，则大班和小班的人数同样多。这样，大班每人5
个就多 余3×5＋10=25个。由于两班人数相等，小班每人多分3个就要多分
（25＋2）个苹果，用（2 5＋2）÷（8－5）就能得到小班同学的人数是9人，
再用9×8－2就求出了这筐苹果有多少个。
练 习 三
1，一些学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，
就有两人没有砖可搬。这些学生有多少人？这批砖有多少块？



2，老师给幼儿园小朋友分糖，每人3块还多10块；如果减少2个小朋友再
分，每人4块还多7块。 原来有多少个小朋友？有多少块糖？


3，筑路队计划每天筑路720米，正好按期筑完。实际每天多筑80米，这样，
78

比原计划提前3天完成了筑路任务。要筑的路有多长？



例4 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；
如果 只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小
朋友，平均每人分得多少块？
分析 这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给
中班的小朋友，平 均每人可多分4块。说明中班的人数是小班人数的6÷
4=1.5倍。因此，这箱饼干分给小班的小朋友 ，每位小朋友可多分到6×1.5=9
块，一共可分到6＋9=15块饼干。
练 习 四
1，老师把一批书借给甲组同学，平均每人借4本。如果只借给甲组的女同
学，每人可借6本。 如果只借给甲组的男生，平均每人借到几本？


2，甲、乙两组同学做红花，每人 做8朵，正好送给五年级每个同学一朵。
如果把这些红花让甲组同学单独做，每人要多做4朵。如果把这 些红花让乙
组同学单独做，每人要做几朵？
79

3，老师把一袋糖分给小朋友。如果只分给小班，每人可得12块；如果只分给中班和小班，每人只能分到4块。如果这袋糖只分给中班，每人可分到几
块？



例5 全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？
分析 根据题意可知：每船坐9人， 就能减少一条船，也就是少9个同学；
每船坐6人，就要增加一条船，也就是多出6个同学。因此，每船 坐9人比
每船坐6人可多坐9＋6=15人，15里面包含5个（9－6），说明有5条船。
知 道了有5条船，就可以求全班人数：9×（5－1）=36人。
练 习 五
1，老师把 一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分
得5个；如果增加一个同学，正好每人分 得4个。这篮苹果一共有多少个？

80

2，五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果减少
一只船，正好每只船 上价8人。五年级共有多少人？



3，一个旅游团去旅馆住宿，6人一 间，多2个房间；若4人一间又少2个
房间。旅游团共有多少人？





第13周 长方体和正方体（一）
专题简析
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体
图形问题要注意几点：
1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟
81

通起来；
2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积
所发生的变化；
3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
例题1 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表
面积是多少平方厘米？（单位：厘米）

分析 （1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方
体体积是1 0×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）
×2=80（立方厘米），整 个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实 ，朝上的两个面的
面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左
的 一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）
×2=232（平方厘 米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？
82

练习一
1，一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如
图），剩下部分的表面积和体积各是多少？



2，把一根长2 米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平
方分米，求这根木料原来的体积。


3，有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右
两角各切掉一 个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？



例题2 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你
能算出它的体积和 表面积吗？（单位：厘米）
83

分析 （1）先求 出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖
去了一个孔，所以体积减少了2×2×2= 8（立方厘米），这个零件的体积是
240－8=232（立方厘米）；
（2）长方体完整的 表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），
但由于挖去了一个孔，它的表面积减 少了一个（2×2）平方厘米的面，同时
又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零 件的表面积是
236＋2×2×4=252（平方厘米）。
练习二
1，有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。



2，有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是
84

1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？



3，如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的
物体的体积和表面积各是多少？



例题3 一个正方体和一个长方体 拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的
表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体 的表面积是
多少平方厘米？
85

分析 一 个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长
方体增加了4块正方形的面积，每块正方形 的面积是50÷4=12.5（平方厘
米）。正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是12 .5×6=75（平
方厘米）。
练习三
1，把两个完全一样的长方体木块粘成一个 大长方体，这个大长方体的
表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长< br>方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方
厘米？



2，一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端
锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？


3，把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最
86

多会减少多少平方分米？



例题4 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是
288立方厘米，求大长方体的表面积 。

分析 要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我们用a、
b、h 分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=14a,2a=3b即b=23a，
砖的体积 是a*23a*14a=16a
3
。由16a
3
=288可知，a=12，< br>b=23*12=8,h=14*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米 ，高是8＋3=11厘米，表面
积就不难求了。
练习四
1，一块小正方体的表面积 是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正
方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？
87

2，一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这
个长方体的表面积。

3，有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体
可以拼成几 种不同的长方体？用图画出来。



例题5 一个长方体，前面和上面 的面积之和是209平方厘米，这个长方体
的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积 和表面积各是
多少？
分析 长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高） ，
由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×
19=11× （17＋2），即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、
高求体积和表面积就容易了。
练习五
88

1，有一个长方体，它的前面和上面的面积 和是88平方厘米，且长、宽、
高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？


2，一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求
它的表面积。
3，一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高
分别是6分米、4分米、25分 米，求正方体体积。




第十四周 长方体和正方体（二）
专题简析
在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：
把一个物体 变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把
一个物体浸入水中，物体在水中会占领一 部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1，将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
89

2，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
例题1 有两个无盖的长方体水箱， 甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，
甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长3 0厘米，宽24
厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，
现在 水面高多少厘米？
分析 由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把
两 个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×
水面的高度。这样，我们只要先 求出原来甲水箱中的体积：40×32×20=25600
（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和： 40×32＋30×24=2000（平方厘
米），就能得到后来水面的高度。
练习一 1，有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空
着，它长6分米、宽和高都是 4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水
池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？



2，有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱
90

中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于
水面。这时水面高多少厘米？

3，一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方 分米。如果把它煅烧成
一横截面面积是0.1平方分米的钢筋，求这根据钢筋的长。



例2 将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁
质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
分析 因为正方体的六 个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这
个正方体的棱是3厘米。用同样的方法求出另两 个正方体的棱长：96=6×（4
×4），棱长是4厘米；150=6×（5×5），棱长是5厘米。知 道了棱长就可以
分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和。
练习二 < br>1，有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘
米和294平方厘米。现 将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。


91

2，将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔< br>成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。



3，把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个大正方
体的表面积是多少平方分 米？



例题3 有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、 高6分米，里
面注有水，水深3分米。如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水
面上升 多少分米？
分析 铁块的体积是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就
占了 8立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体
积除以底面积（5×4）就能得到 水上升的高度了。
练习三
1，有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。把一块 假山
石浸入水中后，水面上升0.8分米。这块假山石的体积是多少立方分米？
92

2，有一个正方体容器，边长是24厘米， 里面注满了水。有一根长50
厘米，横截面是12平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问 ：
会溶出多少立方厘米的水？



3，有一块边长是5厘米的正 方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水
中。取出铁后，水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面 积是多少平方
厘米？



例题4 有一个长方体容器（如下图 ），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，
里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来， 里面的水深应该
是多少厘米？
93

分析 首先求出水的体积：30×20×6=3600（立方厘米）。当容器竖起
来以后，水流动了，但体积没 有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200
平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知 道现在水的深度了。
练习四
1，有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米；乙 缸长4
分米、宽2分米，里面的水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲
缸里深几分 米？



2，有一块边长2分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体 ，这长
方体的截面是一个长4厘米、宽2厘米的长方形，求它的长。
3，像例题中所说，如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时的水
深又是多少厘米？

94

例题5 长方体不同的三 个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6
平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？
分析 长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高得来
的。因此，15×10 ×6=（长×宽×高）×（长×宽×高），而15×10×6=900=30
×30。所以，这个长方体 的体积是30立方厘米。
练习五
1，一个长方体，不同的三个面的面积分别是25平方厘米 、18平方厘
米和8平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？



2，一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘
米和15平方厘米，且 长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少立方
厘米？



95

3，一个长方体的体积是48立方厘米，并且长、宽、高是三 个连续的偶
数。这个长方体的表面积是多少平方厘米？




第十五周 长方体和正方体（三）
专题简析：
解答有关长方体和正方体的拼、切 问题，除了要切实掌握长方体、正方
体的特征，熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等 比情况
外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部
分，新增加的 表面积等于切面面积的两倍。
例题1 一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正
方体若干块，表面积增加多少厘米？
分析 把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体，可以按下
图中的线共锯6次，每 锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面，锯6次共
增加36×2×6=432平方厘米的面积。因 此，锯好后表面积增加432平方厘
米。
96

练习一
1，把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体
的表 面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？



2，有一 个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小
正方体，表面积增加多少平方米？



3，把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样
的小长方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米。求涂上红色的面积一共是
多少平方厘米？


97

例题2 有一个正方体木 块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平
方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米 ？
分析 把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是
24÷2=12平方 厘米，而正方体有6个这样的面。所以原正方体的表面积是
12×6=72平方厘米。
练习二
1，把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表
面积是多少平方厘米？



2，有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯
成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？
3，有三块完全一样的长方体积木，它们的长 是8厘米、宽4厘米、高
2厘米，现把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？


98

例题3 有一个正方体，棱长是3分米。如果按下图把它切成棱长是1分米
的小正方体，这些小正方体的表面积的 和是多少？

想一想：在切的过程中，每切一切，就会增加两个3×3平方分米的面，
你能用这种思路来计算所求问题吗？
练习三
1，用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大 一些的正方体，至少需要
多少个小正方体？如果要摆一个棱长是6厘米的正方体，需要多少个小正方体？


2，有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成 棱
长是1厘米的小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多
少？


99

3，把24个棱长是1厘米的小正方体 摆成一个长方体，这个长方体的表
面积至少是多少平方厘米？



例题4 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体
中：
（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）六个面都没有涂色的有几个？

分析 按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；
（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有1×12=12个；
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