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小学奥数基础教程（四年级）

第1讲 巧算（一）
第2讲 巧算（二）
第3讲 等差数列
第4讲
第5讲
第6讲
第7讲
第8讲
第9讲
第10讲
第11讲
第12讲
第13讲
第14讲
第15讲
第16讲





倒推法的妙用
找规律
几何中的计数问题
应用题
长方形和正方形
数字谜
变化规律（一）（和、差会怎么变）
变化规律（二）（积会怎么变）
容斥问题
归一问题与归总问题
错中求解

简单列举
总复习
1

第一讲 巧算（一）
巧算是四 则计算中的一个重要组成部分，学会一些巧算的方法，对提
高计算能力有很大的帮助。加、减法的巧算方 法很多，主要是利用加
法、减法的运算定律和运算性质使计算简便。
例1计算63+294+37+54+6
练习 27+42+63
例2．（1）673+288 （2）9898+203
（3）786-109
练习9874+987 136-96
718-162-238 659-487-113 185-（85+17）

（1）296+31-196 （2）521-136-221 练习761+299-561
例3．（1）88-（47-12） （2）376-（176-97）
（3）347+（153-129） （4）268+(317-168)
练习516-56-44-43-57 5723-(723-189)+576-(276-211)
例4 计算9＋99＋999＋9999＋99999
解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法. 例如将999化
成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.

2

练习 计算199999＋19999＋1999＋199＋19
解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.
不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）

例5 计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）


练习 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388


第二讲 巧算（二）
这一讲我们学习乘法、除法的巧算方法，这些方法主要根据乘、除法
的运算定律和 运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，
将因数（或被除数、除数）转化成整百、整千的 数，或者使算式中的
一些数变得易于心算，从而简化计算。
例1．25×5×64×125
练习（1）75×16 （2） 25×24 （3）125×16


3

（4）75×16 125×15×8×4


例2．（1）125×(10+8) （2）（20-4）×25
练习4004×25
例3．（1）146×31÷73×75
（2）1248÷96×24
练习 1000÷（125÷4）
例4．625÷25
练习（1）58500÷900

（2）（360+108）÷36 （3）1÷2+3÷2+5÷2+7÷2

（4）（720+96）÷24 （5）（4500－90）÷45

例5（350+165）÷5
练习（1）（702-213-414）÷3

（2）158×61÷79×3

（3）238×36÷119×5 （4）138×27÷69×50

4

（5）103×96÷16 （6）200÷（25÷4）


第三讲 等差数列
许多同学都知道 这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就
利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然 数的总和.大家
在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，
小高斯的聪 明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是
这100个数及其排列的方法本身具有极强的规 律性——每项都比它
前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便
的求和 方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和
的方法，而且学会利用这种数列来解决许多 有趣的问题.
例1 什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：
①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…
②1，3，5，7，9，11，13.
③ 2，4，6，8，10，12，14…
④ 3，6，9，12，15，18，21.
⑤100，95，90，85，80，75，70.
⑥20，18，16，14，12，10，8.
这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是 一个固定的
数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，
5

一般用字母d表示，如：
数列①中，d=2-1=3-2=4-3=…=1；
数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；
数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；
数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.
下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，
则说明理由.
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
< br>为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2
项记为a2，…，第n项记为 an。an又称为数列的通项，a1；又称为
数列的首项，最后一项又称为数列的末项.
得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，
项数=（末项- 首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）

二、通项公式
6

对于公差为d的等差数列a1，a2来说，如果a
1< br>；小于a
2
，则

由此可知：
得： (2)
公式（ 1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已
知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的 任何一项.
例2 求等差数列1，6，11，16…的第20项？.


练习 求等差数列3，7，11，15，…的第25项是多少？


例3 已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第几项？


练习 已知等差数列4，6，8，10，12，…，问104是其中的第几项？

例4 如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
分析与解答
方法1：要求第8项，必须知道首项和公差.
7

(1)，若a
1
；大于a
2
，则同理可推

三、等差数列求和
若a1 小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3…an可以写为
a1,a1+d,a1+d× 2，…，a1+d×（n-1）.所以，容易知道：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2
=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.
设 Sn=a1+a2+a3+…+an
则 Sn=an+an-1+an-2+…+a1
两式相加可得：
2×Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+…+(an+a1)
即：2×Sn=n×（a1+an）,所以，

例5 计算 1+5+9+13+17+…+1993.

当a1；大于a2。时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是
等差数列的前n项和的公式.

8

练习 计算3+5+7+9+…+645




第四讲 倒推法的妙用
对于有些问题，当顺着题 目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的
困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发 ，一步
一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘
的用除，除的用乘， 那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法
或逆推法、倒推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。

例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用
我得的分数减 去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，
你知道于昆得多少分吗？
分析 这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用
倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层 层深入，直到解决问题.
如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？
把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：
｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.

9

通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：
①从结果出发，逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序，正确使用括号.
练习 1、有一位老人说：“把我的年龄加上12，再用4除，再减去
15后乘以10，恰好 是100岁。”这位老人有多少岁呢？

练习 2、有一个数，把它乘以4以后减去46，再 把所得的差除以3，
然后减去10，最后得4。问：这个数是几？
分析：这个问题是由
（□×4—46）÷3—10＝4，


例2 马小虎做一道整数 减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数
十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是 几？
分析 马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把
十位上的7看成 1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减
6，加60得111，求某数是几的问题.

练习 小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十
位上的8 看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是
10

多少？
分析：利用还原法。

例3 树林中的三棵 树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只
落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树 上，这时三棵
树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？
分析 倒推时以“三 棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现
在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有 的鸟16只是
从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝
10（只） .同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树
上原落鸟16＋8＝24（只），使问 题得解.


练习 学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿 了
若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从
欢欢那里抢回来6棵，这 时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐
乐拿了多少棵树苗？


例4 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的
一半多1个.小军取走了 小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还
剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？
11

分析 依题意，画图进行分析.



练习 甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送
给丙组5本，结果三个组 拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个
组原来各有多少本图书？
分析与解：尽管甲、乙、 丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总
数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每 个组都
有图书90÷3＝30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为


12

例5 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克 .后来，售
货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从
乙桶倒一部分给 甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶
油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油 ？
分析 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知
“甲、乙两个油桶各 装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、
乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克） .又已知“甲、乙两个油
桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙
两 个油桶最后有油多少千克.




练习 菜站原有冬贮 大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一
半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又 30千克，结
果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？
分析 解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图
（见下图），使数量关系清晰的展现出来.

13

第五讲 找规律
我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图
形、数表和数列的 变化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规
律的问题。什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春 夏秋冬四季，
百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实
累累的秋季过 后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一
年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周 期性变化规律。再
比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三
个数重复出现的，这也是周期性变化问题。
14

下面，我们通过一些例题作进一步讲解。
例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4 盏蓝灯、
再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样
排下去。问：
（1）第100盏灯是什么颜色？
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？
分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每
12盏灯一个周期循环出现。


练习 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数
是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？
前77个数的和是多少？ < br>分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，
所以第1个数与第5 个数相同。进一步可推知，第1，5，9，13，…
个数都相同。
同理，第2，6，10 ，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…
个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同。

例2 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小
朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒
子；第2个小朋友也找到放球最少的 盒子，然后也从其它盒子中各取
15

一个球放入这个盒子……当1 00位小朋友放完后，A，B，C，D四个
盒子中各放有几个球？
分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子
中的球数如下表：

可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相
同，所以从第2 人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出
现一次。

例3．请先计算下面一组算式的前三题，然后找出其中的规律，并
根据规律直接写出后六题的得数。
1×8+1=
12×8+2=
123×8+3=
1234×8+4=
12345×8+5=
123456×8+6=
1234567×8+7=
12345678×8+8=
16

123456789×8+9=

练习．请先计算下现的一组算式的第一题，然后找出其中的规律，
并根据规律直接写出后几题的得数。
12345679×9=
1234679×27=
1234679×36 =
12345679×54=
12345679×18=
12345679×45=
12345679×72=
12345679×63=
12345679×81=


例4．下面每行的数字是按一定规律排列下去的，请找出规律，并
写出第六、七、八的数字。
第一行 1
第二行 1 1
第三行 1 2 1
第四行 1 3 3 1
第五行 1 4 6 4 1
17

第六行
第七行
第八行

练习．有一列数组：（1，1，1），（2，4，16），（3，9，81），…求第
100组 的三个数之和比第50组的三个数之和多多少

例5下面这串数的规律是：从第3个数起，每 个数都是它前面两个
数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？
628088640448…
分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两
个相邻数字后面的数字必然与前 面那两个相邻数字后面的数字相同，
也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：




练习 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数 都是它前面四个
数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是
“2000”？
7134…
18

分析与解：无休止地将这串数写下 去，显然不是聪明的做法。按照例
3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法。


第六讲 几何中的计数问题（一）
几何中的计数问题包括：数线 段、数角、数长方形、数正方形、
数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按< br>照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考
探寻事物规律的能力.
一、数线段
我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.
线 段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，
观察图形中的线段，探寻线段与线段 之间、线段与其他图形之间的联
系，对于了解图形、分析图形是很重要的.
例1 数一数下列图形中各有多少条线段.

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分析 要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗
漏，就需要按照一定的顺序 、按照一定的规律去观察、去数.这样才
不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律 去数.

二、数角
练习 数出右图中总共有多少个角?


例2 数一数右图中总共有多少个角？
20

三、数三角形
练习
如右图中，各个图形内各有多少个三角形？

分析 可以采用类似
例1数线段的两种方法来数，如图（2）：
第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：
△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.
再数以AD为一条边的三角形共有：
△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.
以AE为一条边的三角形共有：
△AEF、△AEC二个三角形.
21

最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.
所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.



小结：计 算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的
和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1 ，也就是三角形
这边上分成的基本线段的条数.
例3如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？

分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？
怎么数？这样两个问题.数：就是 要数出图中基本线段（基本三
角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数
的从1开始的连续几个自然数的和.

练习 如右图中，共有多少个角？
22

分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规
律去解决.





小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那
么它上面角的总数是 n（n-1）+1.
四、数长方形
例4 如下图，数一数下列各图中长方形的个数？

23

分析图（Ⅰ）中长方形的个数与 AB边上所分成的线段的条数有
关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：
4+3+2+1=10（个）.






小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一 边上有
n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不
包括这条边上 的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另
24

一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总
数为：
（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.
练习 如右图数一数图中长方形的个数.



五、数正方形
例5 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边
长为1的正方形）

分析 图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有：
2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：
1×1=1（个）.
25

所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.

小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长
度单位，那么 其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2
（个），边长为2个长度单位的正方形个数有： （n-1）×（n-1）=（n-1）
2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2× 2=22（个），
边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大
正方 形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）.

练习 如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边
长为1个长度单位的正方形）.
26

分析 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，
又称为基本线段，图中共有五类正方形.






小结：一般情况下，若一长 方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，
（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m ）：mn+
（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1
第七讲 应用题
一知识要点
解答复合应用题时一般有如下四个步骤：
1、弄清题意，找出已知条件和所求问题。
27

2、分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径。
3、拟定解答计划，列出算式，算出得数。
4、检验解答方法是否合理，结果是否合理，最后写答案。
二例题分析
【例1】有18个香蕉，小猴前4天每天吃了3个，剩下的每天吃2
个，还可以吃几天？


练习 某人有事从东村到西村去，要走26千米，前2个小时每小时
走 6千米，后来为了抓紧时间，每小时走7千米，还要走几小时？



< br>【例2】某玩具厂计划每天生产大型玩具9个，15天完成任务。现在
要提前6天完成任务，那么 每天要生产多少个玩具？



练习 小华写大字，计划每分钟写12个 ，5分钟可以完成作业。实
际每分钟比计划多写3个，小华几分钟可以完成作业？

28

【例3】某发电厂有102 00吨煤，前十天每天烧煤300吨，后来改进
炉灶，每天烧煤240吨，这堆煤还能烧多少天？



练习 某电冰箱厂要生产1560台冰箱，已经生产了8天，每天生 产
120台，剩下的每天生产150台，还要多少天才能完成任务？




【例4】师傅和徒弟同时开始加工200个零件，师傅每小时加工25
个，完成任务 时，徒弟还要做2小时才能完成任务。徒弟每小时加工
多少个？


练习 张师傅和李师傅同时开始各做90个玩具，张师傅每天做10
个，完成任务时，李师傅还要做1天才能完 成任务。李师傅每天要做
多少个？
29

【例5】甲、乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要
4 0小时，张强从甲地出发，先步行8小时后改乘汽车，还需要几小
时到达乙地？


练习 玩具厂一车间生产900个玩具，如果用手工做要20小时才能
完成，用机器只需要 4小时，一车间工人先用手工做了5小时，后来
改用机器生产，还需要几小时才能完成任务？



【※例6】某筑路队修一条长4200米的公路，原计划每人每天修4
米 ，派21人完成，实际修筑时增加了4人，可以提前几天完成任务？




练习 羊毛衫厂要生产378件羊毛衫。原计划每人每天生产3件，
30

派18人来完成。实际增加了3人，可以提前几天完成任务？




第八讲 长方形和正方形
同学们已经学会长方形、正方形的周长与 面积的计算，利用公式
很容易算出它们的面积与周长。但在遇到一些较复杂的有关长方形和
正方 形的周长和面积计算时，一些同学就会感到棘手。这两讲我们将
教给大家一些平移、转化、分解、合并等 技巧，使大家在解题中能顺
利地找到突破口，化难为易，化繁为简。
例1．有一块长 8分米，宽4分米的长方形纸板与两块边长4分
米的正方形拼也一个正方形。拼成的正方形的周长是多少 分米？
练习（1） 两个大小数点相同的正方形拼成一个长方形后，周
长比原来的两个正 方形周长的和减少6厘米。原来一个正方形的
周长是多少厘米？




练习（2）求图3和图4的周长。


（单位：米）
31

图3 图4




练习 图5是一座厂房的平面图，求这座厂房平面图的周长。









例2 图6是个多边形，图中每个角都是直角，它的周长是多少？






练习 一个正方形被分成3个大小、形状完全不一样的长方形
（如图7 ），每个小长方形的周长都是24厘米，求这个正方形的
周长。





图7





例3 图8是由四个一样大的长方形和一个周长 是4分米的小正
32

方 形拼成的一个边长是11分米的大正方形。每个长方形的长和
宽各是多少？周长是多少？








11
练习 一 根铁丝长12厘米，能围成几种长和宽都是整厘米数的
长方形，每咱长方形的长和宽各是几厘米？围成的 正方形的边长
是几厘米？




例4一块长方形土地， 长是宽的2倍，中间有一座雕塑，雕塑的
底面是一个正方形，周围是草坪（如图9），草坪的面积是多项
式少平方米？








1米
20米
图9
练习（1）图11是由6个相等的三角形拼成的图形， 中间是个边
长为4分米的正方形，求这个图形的面积。



33


图11

练习（2）已知图12中大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形面积比小正方形多96平方厘米。大正方形和小正方形的
面积各是多少？








4
图12 < br>例5如图13，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是15厘米，
长方形的四个角的顶点，恰 好分别把正方形四条边都公成两段，其中
长的一段是短的2倍。这个长方形的面积是多少？







15
厘
米
图 13
练习 如图 已知正方形ABCD的边长为6分米，长方形BCEF和长方形AGHD的面积分别为24平方分米和20平方分米，求阴影部分和面
积。

34

第九讲 数字谜（一）

我们在三年级已经学习过一些简单 的数字谜问题。这两讲除了复
习巩固学过的知识外，还要学习一些新的内容。
例1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立：
5+7×8+12÷4-2＝20。
分析：等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积比20
大得多。因此必须设法 使这个积缩小一定的倍数，化大为小。




练习 在下面算式的括号里填上合适的数。
（1）（ ）6（ ）（ ） （2）（ ）0（ ）（ ）
+ 2（ ）1 5 - 3（ ） 1 6

8 0 9 1 4 8 5 7
35

例2 把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个
数字只能填一次）：





练习 下面的算式是由1～9九个数字组成的，其中“7”已填好，请
将其余各数填入□，使得等式成立：
□□□÷□□=□-□=□-7。
分析与解：因为左端除法式子的商必大于等于2，所以右 端被减数只
能填9，由此知左端被除数的百位数只能填1，故中间减式有8-6，
6-4，5- 3和4-2四种可能。经逐一验证，8-6，6-4和4-2均无解，





例3 将1～9九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个
36

等式都成立：
□+□=6， □×□=8，
□-□=6， □□÷□=8。
分析与解：因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：
1＋5或 2＋4；对于乘式也只有两种填法：1×8或2×4。加式与乘式
的数字不能相同，搭配后只有两种可能 ：



练习 A、B、C、D分别代表4个不同的数字，相同的字母 代表相同
的数字，求使得下面算式成立A、B、C、D各自代表的数字。
A B C D
A C D
+ C D

1 9 8 9

例4从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算
式的结果尽可能大：
[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。
分析与解：为使算式的结果尽可能大， 应当使前一个中括号内的结果
尽量大，后一个中括号内的结果尽量小。为叙述方便，将原式改写为：
37

[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。



第十讲 变化规律（一）
在学习加减乘除法的过程中 ，每类算式，各部分的数字表示什么，要
熟悉，当其中哪个部分发生变化，结果会发生什么样的变化。
（1）加数 + 加数 =和 （2）被减数 - 减数 =差
例1：两个数相加，一个加数减少10，另一个加数增加10，和是否
会变化？


练习 两个数相加，一个加数增加15，另一个加数减少15，和是否
会变化？



例2：两个数相加，如果一个加数减少8，要使和增加8，另一个加
数应有什么变化？


练习 两个数相加，如果一个加数增加9，要使和增加17，另一个加
38

数应有什么变化？


例3：两数相减，如果被减数减少2、减数也减少2，差会发生什么
变化？


练习 两数相减，如果被减数增加30、减数也增加30，差会发生什
么变化？




例4：两数相减，被减数增加20、要使差减少16，减数应有什么变
化？

练习 两数相减，被减数减少12、要使差增加8，减数应有什么变
化？
例5：被减数、减数、差相加得2076，差是减数的一半。如果被减数
不变，差增加42，减数应 变为多少？

39

练习、被减数、减数、差相加得120，而差是减数的3倍。如果差不
变，减数应变为多少？


第十一讲 变化规律（二）
在学习加减乘除法的过程中，每类算式 ，各部分的数字表示什么，要
熟悉，当其中哪个部分发生变化，结果会发生什么样的变化。
（1）因数×因数=积 （2）被除数÷除数=商

例1：两数相乘，一个因数扩大3倍，要使积扩大9倍，另一个因数
应该怎样变化？

练习 两数相乘，一个因数缩小6倍，要使积扩大3倍，另一个因数
应该怎样变化？

例2：两数相乘，积是96。如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大
3倍，那么积是多少？

练习 两数相乘，积是70。如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩
小5倍，那么积是多少？

40

例3：两数相除，如果被除数缩小3倍，除数扩大2倍，商将怎样变
化？


练习 两数相除，如果被除数扩大25倍，除数缩小15倍，商将怎样
变化？


例4：两数相除，被除数扩大30倍，要使商扩大60倍，除数应该怎
样变化？


练习 两数相除，被除数缩小8倍，要使商扩大2倍，除数应该怎
样变化？


例5：两数相除，商是4，余数是10。如果被除数和除数同时扩大50
倍，商是多少？余数是多少？

练习 两数相除，商是5，余数是15。如果被除数和除数同时扩大
20倍，商是多少？余数是多少？
第十二讲 容斥问题
41

【专题导引】
容 斥问题涉及到一个重要原理—包含与排除原理,也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时,为了不 重复的计数,应从它们的和
中排除重复部分。
容斥原理:对n个事物,如果采用两种不同的分 类标准,按性质a
分类与性质b分类(如图),那么具有性质a或性质b的事物的个数
N
a
N
ab
N
b

=N
a
+N
b
－N
ab
。

【典型例题】
【例1】一个旅行社，每人至少会一种外语，其中会英语的有24人，
会俄语的有18人，两种都会的有4人，旅行社总共有多少人？



【试一试】
1、四（2）班检查作业时，每人至少完成一门作业，其中做完语文的
有 35人，做完数学的有40人，两种都完成的有25人。四（2）班总
共有多少人？





【例2】某班有44人，参加美术组的有30人，参加故事 组的有25
人，每人至少参加一个小组，这个班两个兴趣小组都参加的有多少
人？

42

【试一试】
1、在一次数学 测试中，所有同学都答了第1、2题，其中答对第1
题的有35人，这两题都答对的有20人，没有人两 题都答错。一共有
50人参加了这次测验，问答对第2题的有多少人？



2、博达一天中，四、六年级有95人参加学习，上午学习的有45人，
上午和下午都学习的有 24人，下午有多少人在博达学习？




【例3】一个班有4 8人,班主任在班会上问:“谁做完语文作业?请举
手!”有37人举手.又问:“谁做完数学作业?请 举手!”有42人举手.
最后问:“谁语文、数学作业没有做完?”没有人举手.求这个班语文、
数学作业都完成的人数。




【试一试】
1、五 年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取
得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有6 5人,数学优秀的有87人。语文、
数学都优秀的有多少人?





43

【例 4】某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对
第二题的人有23人,两题都答对的 有15人。问有多少个同学两题都
没答对?



【试一试】 < br>1、五(1)班有40个学生,其中有25人参加数学小组,23人参加科技
小组,有19人两个 小组都参加了。那么,有多少人两个小组都没有参
加?





【例5】某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27
人,如果 两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞
赛的有多少人?



【试一试】
1、一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人 ,两
样都不会的有4人,两样都会的有多少人?




2、在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多
44

少个?
第13讲 归一问题与归总问题
在解答某些应用题时， 常常需要先找出“单一量”，然后以这个
“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。用这种解题思路解 答的
应用题，称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物
品的单价、单位面积的 产量、单位时间所走的路程等。
例1 一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢， 可以制
造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计）



练习 王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头
奶牛15天可产牛奶多少千克？



例2 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台 这样的磨
面机磨25600千克面粉需要多少时间？
分析与解：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。
（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？
2400÷3÷2.5=320（千克）。

45

练习 4辆大卡车运沙土，7趟共 运走沙土336吨。现在有沙土420
吨，要求5趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？
分析与解：以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。





与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而
归总 问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”
是指总路程、总产量、工作总量、物品的 总价等。
例3 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那
么多少小时可以完成？
分析：（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？
15×8＝120（时）。



例4 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若
要4时到达，则每小时需要多行多少千米？
46

分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。
（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？
60×5=300（千米）。



练习 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天
后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？
分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？
60×80＝4800（劳动日）。




第十四讲 错中求解
计算在整个小学 中占着非常重要的地位，但有的学生往往由于粗心，
容易出错，那同学对于以下一些题目，你能细心帮忙 找出正确的答案
吗？
例1：小李在计算两个数相加时，把一个加数个位上的7错写成1，把另一个加数百位上的2错写成3，所得的和是2003，原来两个数相
加的正确答案是多少？

47

练习 大刘在计算加法时，把一个加 数十位上的5错写成3，把另一
个加数个位上的6错写成2，所得的和是374，正确的和应该是多少？


例2：大明在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的6
错写 成0，这样算的差是200，正确的差是多少？


1、大原在做题时，把被减数个 位上的3错写成5，把十位上的1错
写成7，这样算的差是201，正确的差是多少？
例3：小明在计算除法时，把被除数1350写成1305，结果得到的商
是52，余数是5，正确 的商应该是多少？


练习、小刚在计算除法时，把被除数7140写成1740， 结果得到的商
是49，余数是25，正确的商应该是多少？

例4：小星在计算有余 数的除法时，把被除数567错写成521，这样
商比原来少了2，而余数正好相同。请你算出这道题的 除数和余数各
是多少？
48

1、 小乐在计算有余数的除法时，把被除数385错写成835，这样商
比原来多了30，而余数正好相同。 这道题的除数和余数各是多少？

例5：晓晓在计算两位数乘两位数时，把一个因数个位数6 错写成9，
结果得936，实际应为864，这两个因数各是多少？

练习 冰 冰在计算两位数乘两位数时，把一个因数十位数5错写成
3，结果得432，实际应为672，这两个因 数各是多少？


第十五讲 简单列举

生活中常有这样的 情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而
每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成 这件事所有可
能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．
例如 某人从北京到天津 ，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现
在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天
津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？
分析这个问题发现，此人去天津要么 乘火车，要么乘长途汽车，
有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4
种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不
49

同的走法．
在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做 的
时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互
无影响的，那么完成这件 事的全部做法数就是用第一类的方法数加上
第二类的方法数．
一般地，如果完成一件事有 k类方法，第一类方法中有m1种不
同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk
种不同的做法，则完成这件事共有
N=m1+m2+…+mk
种不同的方法．
这就是加法原理．

例1从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车，还可以乘轮船。一
天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交
通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？
分析与解：一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种 走法，乘坐
轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）
不同走法。

练习 小明从家到学校有3条路可走，从学校至少年宫有两条路，小
明到家经过学校到少年宫有几种走法？


50

例2旗杆上最多可以挂两面信号旗，现 有红色、蓝色和黄色的信号旗
各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信
号？
分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂
一面信号旗，有红、 黄、蓝3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、
红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。所以一共可以表示 出不同的信
号
3＋6=9（种）。
以上两例利用的数学思想就是加法原理。
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有 m1种
不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法 ……在第n类方法中有
mn种不同方法，那么完成这件任务共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法。
乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一
定要 注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一
不可，所以完成任务的不同方法数等于各 步方法数的乘积；加法原理
是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成
任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。
练习 甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？


51

例3两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？
分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，
或者两数都是偶数。 因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情
况；同理，两数都是偶数的也有 9种情况。根据加法原理，两次出现
的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。
练习 用0、2、9这三个数字，可以组成多少个不同的两位数？


例4用五种颜色给右 图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻
的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？




练习 用8、6、3、0这三个数字，可以组成多少个不同的三位数？
最大的一个是多少？


例5用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有
连续三位是1 的五位数有多少个？
52

分析与解：将至少有连续三位数是1的 五位数分成三类：连续五位是
1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。


在例5中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分
了若干种情况，其中使用的 都是加法原理。



练习 右图中每个小方格的边长都是1。一只小虫 从直线AB上的O
点出发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回
到AB上 （不一定回到O点）。如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有
多少条不同的爬行路线？
分析与解：如果小虫爬行的总长是2，那么小虫从AB上出发，回到
AB上，其不同路线有6条（见 左下图）；小虫从与AB相邻的直线上
出发，回到AB上，其不同路线有4条（见右下图）。



53

第十六讲 总复习
一、 巧算
1知识要点回顾
（1）、巧算是四则计算中的一个重要组成部 分，学会一些巧算的方
法，对提高计算能力有很大的帮助。加、减法的巧算方法很多，主要
是利 用加法、减法的运算定律和运算性质使计算简便。
（2）、学习乘法、除法的巧算方法，这些方法主要 根据乘、除法的运
算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将
因数（或 被除数、除数）转化成整百、整千的数，或者使算式中的一
些数变得易于心算，从而简化计算。
2、典型例题
例1 （1）146×31÷73×75
（2）1248÷96×24
例2 （1） 1000÷（125÷4）
（2）88-（47-12）
（3）376-（176-97）
二、 找规律及等差数列
1、 知识要点回顾
（1）什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春夏 秋冬四季，百花
盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累
54

的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，
总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。再比如，
数列0，1，2，0，1，2，0 ，1，2，0，…是按照0，1，2三个数重
复出现的，这也是周期性变化问题。
（2）等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，
项数=（末项- 首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）
2、 典型例题
例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝
灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏 蓝灯、3盏黄灯、……
这样排下去。问：
（1）第100盏灯是什么颜色？
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？
例2 计算 1+5+9+13+17+…+1993.

三 几何中的计数问题和长方形和正方形的知识点应用
1、知识要点回顾
（1）几何中的计数问 题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、
数三角形、数综合图形等.通过这些内容的学习，可以帮 助我们养成
按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思
考探寻事物规律 的能力.
（2）同学们已经学会长方形、正方形的周长与面积的计算，利用公
式很容易算出它 们的面积与周长。但在遇到一些较复杂的有关长方形
55

和正方形 的周长和面积计算时，利用一些平移、转化、分解、合并等
技巧，使大家在解题中能顺利地找到突破口， 化难为易，化繁为简。
2、典型例题
例1 数一数右图中总共有多少个角？

解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基
本角.
所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.
例2 图6是个多边形，图中每个角都是直角，它的周长是多少？





四 变化规律及应用题
1、知识要点回顾
（1）变化规律
在学习加减乘除法的过程中，每类算式，各部分的数字表示什么，
要熟悉，当其中哪个部分发生变化，结 果会发生什么样的变化。
（1）加数 + 加数 =和 （2）被减数 - 减数 =差
（3）因数×因数=积 （4）被除数÷除数=商
（2）解答复合应用题时一般有如下四个步骤：
56

1、弄清题意，找出已知条件和所求问题。
2、分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径。
3、拟定解答计划，列出算式，算出得数。
4、检验解答方法是否合理，结果是否合理，最后写答案。
2、典型例题
例1 某 发电厂有10200吨煤，前十天每天烧煤300吨，后来改进炉
灶，每天烧煤240吨，这堆煤还能烧 多少天？

例2：两个数相加，如果一个加数减少8，要使和增加8，另一个加
数应有什么变化？
例3：两数相除，如果被除数缩小3倍，除数扩大2倍，商将怎样变
化？
五 容斥问题和归一、归总应用题
1、知识要点回顾
（1）容斥问题涉及到一个重要原理—包含 与排除原理,也叫容斥
原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复的计数,应从它们
的 和中排除重复部分。
容斥原理:对n个事物,如果采用两种不同的分类标准,按性质a
分类与 性质b分类(如图),那么具有性质a或性质b的事物的个数
=N
a
+N
b< br>－N
ab
。




N
a
N
ab
N
b

57

（2）在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这
个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答
的应用题，称为归一问题。所谓“单 一量”是指单位时间的工作量、
物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。

2、典型例题
【例1】某班有44人，参加美术组的有30人，参加故事组的有25
人，每人至少参加一个小组，这个班两个兴趣小组都参加的有多少
人？
例2 三台同样的磨面 机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨
面机磨25600千克面粉需要多少时间？
分析与解：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。
（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？
2400÷3÷2.5=320（千克）。
（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？
25600÷320÷8=10（时）。
综合列式为
25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。
六 错中求解和简单例举
1、知识要点回顾
（1）生活中常有这样的情况，就是 在做一件事时，有几类不同的方
法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事58

所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．
例如 某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现
在知道每天有五次火车从北 京到天津，有4趟长途汽车从北京到天
津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？
分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，
有这两大类走法，如果乘火车，有5种走 法，如果乘长途汽车，有4
种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．
在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的
时候，只 要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互
无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是 用第一类的方法数加上
第二类的方法数．
（2）—— 一般地，如果完成一件事有k类方法 ，第一类方法中
有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法
中有mk 种不同的做法，则完成这件事共有
N=m1+m2+…+mk
种不同的方法．
这就是加法原理．
2、典型例题
例1： 小明在计算除法时，把被除数1350 写成1305，结果得到的
商是52，余数是5，正确的商应该是多少？
例2 两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多
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少种？
分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，
或者两数都是偶数。 因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情
况；同理，两数都是偶数的也有 9种情况。根据加法原理，两次出现
的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。

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