宁波市农业局-南京二级建造师报名

让每一个学生成功
前 言
在琳琅满目的教辅类图书前——
孩子的心声：奥数真难，大人们为什么总要我们学习奥数呢？
家长的心声：太难的奥数，让孩子越来越没自信学习数学了。
教师的心声：现行的奥数比课本难多 了，若有一套配合课本进度，并能
提高学生抽象思维能力的奥数书，将能真正作为课堂教学的延伸。
针对以上种种心声，将此作为课题来研究，在多所名校和社会信誉度较
高的办学单位试行的 基础生，推出了这套《同步奥数培优》，内容力求体现：
配套现行教材 以新课标北师大版内容为 知识体系，做到在已有知识基
础上的拓展，重视知识的螺旋上升，在和教材同步的同时，培养学生的抽象
思维能力。【适当加入一些同学们感兴趣的内容】。
注重素质提高 学好数学的前提是要 有兴趣，这是编写此套丛书的出发
点。为了更全面综合地提高学生的数学素质，此书适合大多数学生的学 习与
使用。
强化思维训练 数学的学习是思维的学习。此套丛书在章节安排上，重
视对学生系统思维的训练，能结合学生学习的特点，相对形成知识编排上的
系统性。即能以知识为章， 以知识点为节，由浅入深，层层深入，使学生的
认知相对完整。
本书将本着自学能会，教师能 辅导、家长能参考的宗旨，全心全意为莘
莘学子、为酷爱奥数的同学们而编，望你们用心学习，对以后的 学习有所帮
助，由于编写时间仓促，书中难免有些不妥之处，敬请广大同学们在使用过
程中批评 指正，以使本书更加完善。 《五年级奥数》编写组

- 1 -

让每一个学生成功
目 录


第一讲 分数乘法（
乘法中的简算
）…………………………………… 2
练习卷……………………………………………….………. 5
第二讲 长方体和正方体（
巧算表面积
）……………………………… 6
练习卷…………………………………………………….… 10
第三讲 分数除法应用题…………………………………………… 11
练习卷………………………………………………………. 15
第四讲 长方体和正方体（
巧算体积
）……………………………… 16
练习卷……………………………………………………… 20
第五讲 较复杂的分数应用题（
寻找不变量
）…………………… 21
练习卷…………………………………………………….. 24
第六讲 百分数（
浓度问题）
………………………………………… 25
练习卷…………………………………………………….… 28


综合演习（1）………………………………………………………… 29


- 2 -

让每一个学生成功
综合演习（2）………………………………………………………… 31


第一讲 分数乘法
例题讲学
1411
×19 （2） 27×
1526
14114
【思路点拨】 观察这两道题中数的特点， 第（1）题中的比1少，可以把看作
151515
111
1-，然后和19相乘，利用 乘法分配律使计算简便；同样，第（2）题中27与中的分
1526
11
母26相差1 ，可以把27看作（26+1），然后和相乘，再运用乘法分配律使计算简便。
26
例1 （1）

技巧
把哪个数拆分是解决问题的关键，或拆成与1有关的两数之差或和；或者
把一个数拆分成与分数分母相关的和或差，最后用乘法分配律使计算简便。

同步精练

1.




3. 8×




143
4. ×126
1525
22
13
×35 2. ×10
23
36

- 3 -

让每一个学生成功
5. 17×



1124
6.
26

1225
199920001998
例2
199920001

【思路点拨】 仔细观察分子、分母中各数的特点， 我们就会发现，分子1999+2000
×1998=1999+2000×（1999-1）=199 9+2000×1999-2000=2000×1999-1，这样就把分子转
化成与分母完全相同的 式子，结果自然就好计算了，试试吧！

技巧
解决稍复杂的分数乘法问题时，不要慌张，要仔细观察数的特点，根据数的
特点一般都能化成分子、分母 能约分的情况，然后使计算简便。

同步精练

1.







2.



- 4 -
362548361

362548186
201020112009

201020111

让每一个学生成功



例3
11111


1223344556
【思路点拨】 在这道题中，每个分数的分子都是1，分母是两个连续的自然数的
乘积。看下面规律：
111
11111111

=1-， =-， =-， …… < br>n(n1)nn1
12223233434
把每个分数都拆写成两个分数的 差，使部分分数前后互相抵消，使计算简便。

技巧
做这类题目的关键是把一个分数式子如何进行拆分，并把拆分的结果统一
前后抵消，从而使计算简便。

同步精练

1.




1111
1
2. ++++
261220
30
1111


……+
12233499100




3.

22221


121414161618182020
- 5 -

让每一个学生成功



练 习 卷
1. 27×
1744
2.
38

26




3.
11
15
61
4.




5.
199519961
199519941996






6.
9
12345
7
99< br>7
999
7
9999
7
99999
6
7
999999
7





7．
1
19961997

1
19971998

11
19981999

1999
- 6 -
45
14
99
100

让每一个学生成功
第二讲 长方体和正方体（巧算表面积）
例题讲学
例1 两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体，这个长方体的
表面积是多少？【40】
【思路点拨】 先根据题意画图：

从图上可以清楚地看出：两个正方体原先各有 6个正方形的面，当把它
们拼起来时就少了2个正方形的面。这时，求长方体的表面积只相当于求
（12-2=）10个正方形的面积；还可以这样想：当两个正方体拼成一个长方体
时，求长方体的表 面积，我们可以先分别求出这个长方体的长、宽、高，再
求出它的表面积。

技巧
1.当物体拼合时表面积之和少了，可以根据用原来的面去掉减少
了的面，从而求出拼合后物体的面积数量，然后求出表面积。2.还可
以求出拼成后大物体的长、宽、 高，再根据物体形状直接求表面积。

同步精练

1. 把两个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面
积是多少？



2．把底面积是36平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体，长方体
的表面积是多少？



3．把三个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米。每个正方体的表面积是多少平方厘米？


- 7 -

让每一个学生成功

例2 把一个长、宽、高分别是7 厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两
个长方体，使这两个长方体表面积之和最大，这时表面积之和是多 少平方厘
米？【(7x6+7x5+6x5)x2+7x6x2=298】
【思路点拨 】把长方体截成两个长方体后，两个长方体表面积之和等于原
长方体表面积再加上两个截面的面积。这个 长方体几个面中，上、下面的面
积最大，所以要看哪个面的面积最大，于是本题就按平行于上、下面的方 式
去截，才使表面积之和最大。

技巧
长方体截成两个长方体有三种截法，如图：



每一种截法都会产生不同的面，所以判断怎么样截是解决问题的关键。

同步精练
1. 把一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体木料截成两个完全一
样的长方体，怎样截才能使截成之后，得到两个长方体的表面积之和最
大？最大是多少？【536】




2. 把两个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成 一个表面积最大的
长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？【40】




3．把两个长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个大长方体，这
个大长方体的表面积的最大值与最小值相差多少？
【192】-【168】=【24】


- 8 -

让每一个学生成功

例3 求出下面立体图形的表面积。（单位：厘米）
【思路点拨】 从图上看出，这个图形 是由一个长方体和一个正方体
组成的，求它的表面积时，可以把正方体的右侧面平移到长方体上，这个立
体图形的表面积就可以用一个完整的长方体表面积加上一个正方体的上、下、
6
前、后四个面的面积。
8
【440】
4
10

4
4
同步精练

1. 在一个棱长为5分米的正方体上放一个 棱长为4分米的小正方体（如图），
求这个立体图形的表面积。【214】







2.求下列组合图形的表面积。（三个正方体的棱长从上往下
依次是1厘米、2厘米、4厘米）
【116】




3. 18个棱长为2厘米的小正方体堆成如下图的形状，求它的表面积。

上下两面面积：[(2x3)x(2x3)]x2=72
左右两面面积: [2x(2x3)+2x(2x2)+ 2x(2x2)+2x2]x2=64
前后两面面积：[(2+2)x(2+2+2)+2x(2+2)+2x2]x2=72
总面积：72+64+72=208平方厘米


- 9 -

让每一个学生成功
例4 如图，从右面这个图形的顶点处挖去一个小正方体 ，那么所得物体
的表面积是多少平方厘米？（
每个小正方体的棱长为1厘米）

【思路点拨】
从顶点处挖掉一个小正方体后，原来的小正方体露在外
面的3个面就少 了，但这时又有3个同样大小的面露了出来，
所以表面积是没有大小变化的。【54】

同步精练
1.如上图，如果从小正方体的上面的中间挖去一个小正方体，那么此时
正方体的表面积是多少了呢？【58】





2 .如下图，在一个棱长为6厘米的大正方体的6个面上分别挖去一个小正
方体，现在剩下图形的表面积是 多少？ 【312】






2. 从一个长方体的上面往下挖通，求现在物体的表面积是多少。
（原长方体的长、宽、高分别是10厘米 、8厘米、12厘米，挖去的图形为长、宽都是
4厘米的小长方体。）





(10x8+10x12+8x12)x2-4x4x2+(4+4+4+4)x12=752


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让每一个学生成功
练 习 卷

1.长方体的底面积是12平方厘米，宽2厘米，高和宽相等，表面积是（56）
平方厘米，底面周长是（16）厘米。
2.一个正方体的底面积是25平方分米，它的表面积是（150）平方分米。
3.一个长方 体的长、宽、高分别是a米、b米、h米，如果高增加4米后，新
的长方体表面积比原来增加了（8a+ 8b）平方米。
4.把一根长2.4米，宽0.8米，高0.4米的木料锯成大小相等的2段，它的< br>表面积最少增加多少平方米？


【0.64】
5.将两本长25 厘米、宽20厘米、厚5厘米的书包成一包，怎样才能节约包
装纸？请画图表示，并求出需要多少包装纸 ？
【25x20+25x10+20x10】x2=1900
6.求下面立体图形的表面积。（单位：厘米）



6

3
14

7
20

7
5

前后两面面积：(14x6+7x7+5x3)x2=296
左右两面面积：14x20x2=560 上下两面面积：20x(6+7+5)x2=720
总面积为：296+560+720=1576平方厘米
7.把一个棱长为3厘米的正方体外 面全部涂上红色，再把它切成棱长为1厘
米的小正方体，共切成多少块？在这些小正方体中：
①三面涂红的有多少块？8
②两面涂红的有多少块？12
3cm
③一涂红的有多少块？ 6
3cm
3cm
④任何一面都没有涂红的有多少块？1

- 11 -

让每一个学生成功
第三讲 分数除法应用题
例题讲学
例1 加工一批零件，第一天加工210个，第二天加工240个，这两天共
加工了 这批零件的。这批零件共有多少个？【750】
【思路点拨】


210个
240个
3
5
总个数的
3

5
？个
根据题意，把这批零件的总数看作单位“1”，两天共加工210+240= 450
（个），450正好占这批零件总数的。求单位“1”的量用除法计算。
技巧
求单位“1”时，用除法，可以用“具体的量÷它所对应的分率”。
3
5
同步精练
1.超市运进水果，第一批运进320千克，第二批运进40 0千克，这两批
运进的水果重量占超市现在所有水果的，超市现在一共有水果多少千克？

【1080】
2.一条铁路，修完900千米后，剩余部分比全长的少300千米，这条
铁路全长多少千米？

（900-300）*4=2400千米
3.修路队修一条路，第一天修了全长 的，第二天修了1000米。这时
已修的米数占全长的
8
。这条路全长多少千米？ < br>15
1
5
3
4
2
3
1000(815-15 )=3000米

- 12 -

让每一个学生成功
例2 李添三天看完一本书，第一天看了这本书的
2
5
3
，第二天看了24
10
页，还剩下全书的未看。这本书共有多少页？【80】
【思路点拨】 根据题意画线段图，帮助理解题意，分析数量关系。
24页
全书的

全书的


3
10
2
5

？页

这道题中有一个具体 数量“第二天看了24页”，所以这是解决问题的突
破口，要找出24页所对应的分率，即总页数- 第一天看的- 剩下的
=1-
3233
-=，用24除以它所对应的分率，即可求出全书页数。
1051010
从具体数量出发，找出具体数量的对应分率，是解决问题的关键
技巧
之所在。
同步精练
1.电脑公司要修一批电脑，已经修了这批电脑的，再修24台就正
好修了 这批电脑的一半。这批电脑有多少台？

[24(12-13)]=144
3. 一筐萝卜卖掉以后，又卖出6千克，这时卖出的正好是剩下的。这
筐萝卜原有多少千克？
解：由原有X千克萝卜，由题意得到2{[15]X+6}=X-{[15]X+6}
解的：X=45
3.筑路队三天修好一条马路，第一天修了全长的，第二天修了全
长的，第一 天比第二天少修90米，这条马路全长多少米？
解：设马路全长X米，由题意得到：[14]X+90=[25]X 得X=600米
25
1
4
1
5
1
2
1
3

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让每一个学生成功
1
1
例3 一 捆电线，第一次用去全长的，第二次用去余下的，这时还
5
4
剩下108米。这捆电线 共长多少米？【180】
【思路点拨】 这道题中已知的具体数量是“还剩下108米，”所以要
找出它所对应的分率——还剩下几分之几。
第一次用去全长的，第二次用去余下的，而余下的即是（1-）
的=
1
531333
，108米对应的分率是（1--）=，所以用108除以求出这捆
20420 55
1
4
1
5
1
5
1
4
电线的总 长度。

技巧
问题的关键还是找题中具体数量所对应的分率。谨记：“具体量÷
对应分率=单位1”
同步精练
1.工厂进了一批原料，第一个星期用去总数的，第二个星期用去总
数的， 这时用去的比剩下的多31吨，这批原料共有多少吨？
解：设共有X吨，则[25]X+[49]X-31=X-{[25]X+[49]X } 得X=45吨

2.牛师傅计划做一批零件，第一天做了计划的，第二天又做了余下
的，这时还剩42个零件没做。牛师傅计划做多少个零件？



解：设计划做X个，由题意的：X-{(47)X+[X-(47)X] (35)}=42得：X=245
22
3.一批木料，先用去总数的，又用去剩下的，这时用 去的比剩下
75
3
5
4
7
4
9
2
5
的多10立方米，这批木料共有多少立方米？[70立方米]


- 14 -

让每一个学生成功

例4 有一堆苹果，吃了后又买来 324个，这时这堆苹果的个数比原来多
了。原来这堆苹果有多少个？[720]
【思路点拨】① 这道题中仅有一个具体数量“又买来324个”所以解决
问题的关键即是找准324 的对应分率，也就是找出“又买来的324个苹果占
几分之几”根据已知条件吃了，还剩下，而买来32 4个之后，比原来多了
6639
1
，也就是占原来的，所以买来的324个苹果就占（ -=），所以用
5
55420
1
4
3
4
1
5
1
4
324除以对应的分率就可以求出单位“1”，即原来的苹果总数了。
【思路点拨】② 吃了后总数少了，而当买来324个苹果之后，却比原来
的总数还多了，这 说明这324个苹果不但把吃了的补上了，而且还多出来了
1
1
99
1
，所以324个苹果就占（+=），故而用324÷即可以求出单位“1”
5
4
5< br>2020
1
5
1
4
了。

同步精练 1.食堂原有一批大米，吃了后，有运进170千克，这时大米的总重量
比原来还多了，原来食堂有 大米多少千克？[300千克]



2.玩具店开业当天卖出玩具，第二 天又新进150件新玩具，这时玩具总
数比原来却少了。玩具店原来有玩具多少件？[540件]

1
6
4
9
1
6
2
5


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让每一个学生成功
练 习 卷


1.某家具店要生产一批沙发，第一周生产了64套，第二周生产了86套，< br>两周共生产了这批沙发总数的
(64+86)(310)=500
500*(710)=350

2.服装厂第一车间有工人150人，第二车间的工 人数是第一车间的，
两个车间的人数正好是全厂工人总数的，全厂有工人多少人？
第二车间有人：150*（25）=60
两车间的人数为：150+60=210
全厂工人有：210(56)=252
3.一根钢筋截去8米后，所剩部分比原长的还多2米。这根钢筋原长多
少米[25]

4.学校植树，第一天完成了计划的，第二天完成了计划的
植树55棵，结果超过计 划的，学校计划植树多少棵？
(38)X+(512)X+55=(1+14)X X=120

5.欣欣原有一些糖果，吃了后，妈妈又给她买来14颗，这时的糖果总
数是原来的 。欣欣原来有糖果多少颗？
5
6
3
4
1
4
38
5
，第三天
12
3
5
5
6
2
5
3
。家具厂还要生产多少套沙发？
10
(14)x+14=(56)x x=24



- 16 -

让每一个学生成功
第四讲 长方体和正方体（巧算体积）
例题讲学
例1 把一块棱 长为6分米的正方体钢坯，熔铸成横截面是9平方分米的
长方体钢材。铸成的钢材有多长？【6x6x6 】9=24分米
【思路点拨】 把正方体钢坯熔铸成长方体后，虽说形状变了，可体积
没有 变，正方体钢坯的体积就是长方体钢材的体积。所以先求出正方体的体
积，也就是长方体的体积。用体积 除以长方体钢材的横截面面积，就可以求
出长方体钢材的长度了。

技巧
抓 住体积不变这个隐藏的量，熔铸前体积等于熔铸后的体积，
再根据“体积÷横截面积=长”这个公式，从 而轻松解决问题。

同步精练
1.把一块棱长为0.8米的正方体钢坯，锻造成 底面积是0.16平方米的
长方体钢材，锻造成的钢材有多高？[3.2米]

< br>2.把一个棱长10厘米的正方体橡皮泥，重新捏成一个高和宽都是2厘
米的长方体，这个长方体 的长是多少分米？
[10x10x10][2x2]=250厘米=25分米

3.棱长为6分米的正方体容器内有4分米高的水，把这些水全部倒入
一个长4分米、宽3分米、高15 分米的长方体水箱内，这时水深多少？要注
满水箱还需要再倒入多少升水？h=[6x6x4][4x3 ]=12分米
还需倒入：长x宽x（H-h）= 4x3x3=36立方分米=36升

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让每一个学生成功
例2 一只长15分米、宽1 2分米的长方体玻璃钢中，有10分米深的水。
放入一块棱长为3分米的正方体铁块，铁块全部浸没在水 中并且水未溢出，
这时，水面升高了几厘米？
【思路点拨】 将物体放入容器中，水面的 高度肯定上升，上升的水的
体积其实就是物体的体积。本题可以先求出正方体铁块的体积，也就是增加< br>的水的体积，再用这个体积除以容器的底面积从而求出水面上升的高度了。

技巧
要明白一点：当物体完全沉没在水中时，物体的体积=上升的水
的体积。正方体 体积：3x3x3=27立方分米 h=27[15x12]=0.15分米
同步精练
1 .一个长方体容器，底面积是200平方厘米，高10厘米，里面盛有5厘
米深的水。现将一块石头放入 水中，水面升高到8厘米处，这块石头的体积
是多少立方厘米？

V=200X(8-5)=600立方厘米
2.一个长60厘米、宽20厘米的盛水容器，把 5块体积相等的铁块投入
水中后，容器中的水面刚好上升了4厘米，求每块铁块的体积。

V=(60X20X4)5=960立方厘米
3.在一只长120厘米、宽60厘米、深70 厘米的浴缸中放入水，李明进
入浴缸后，水刚好没到李明颈部。已知水上升了20厘米，求出李明颈部以
下的体积是多少立方分米？

V=120X60X20=144000立方厘米=144立方分米

- 18 -

让每一个学生成功
例3 如图，一个长方体，高截去2cm，表面积就减 少了48平方厘米，
剩下部分成为一个正方体，求原长方体的体积。
【思路点拨】

当高少了2cm后，首先明白表面积少了
哪些面？应该是前后左右四个小面，因为上面虽然也少 了，
但又多出来一个上面，所以少了4个小面，因为剩下的部分是一个正方体，
所以这四个小面 是完全相等的，故用48除以4从而得出一个小面的面积，再
用一个小面的面积除以2，从而能求出正方 体的棱长，也是原长方体的长和宽，
接着求出原长方体的高，最后求出体积。

解：484=12
平方厘米,122=6厘米，V=6x6x8=288立方厘米

技巧
2cm
关键是看截去一个小长方体后，表面积是少了哪些面， 一般会认
为少了5个小面，其实上面并没有少，只少了4个，而少的这4个面本题是
有关系的， 因为剩下的为一个正方体，所以先求出一个面积，从而打开解决
问题的入口。
同步精练 1.把一个长方体的高截去3厘米后，剩下的部分正好是一个正方体，而
表面积却减少了36平方厘 米，求原长方体的表面积。

364=9 93=3,长=宽=3厘米，高=3+3=6厘米，S=2x{3X3+3X6+3X6}=90
【错 题】2.从一个长是12厘米、高9厘米的长方体上，平行于底截掉
一个4厘米高的小长方体，表面积减 少了80平方厘米，求截掉的小长方体的
体积是多少立方厘米？



- 19 -

让每一个学生成功
例4一个长方体，前面和上面的面 积之和是209平方厘米，这个长方体
的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积是多 少？
【思路点拨】 要求长方体的体积，就要求出长方体的长、宽、高。因
为这个长方体的 前面和上面的面积之和是209平方厘米，也就是长×宽+长×
高=长×（宽+高）=209。根据“长 、宽、高以厘米为单位的数都是质数”这个条
件可知：209=11×19。而11和19哪个数能写成 两个质数的和呢，只有
19=2+17，所以长、宽、高就分别是11、2、17，从而能求出长方体的 体积
了。 V=11X2X17=374立方厘米
技巧
解决此类题目的关键是在把面积之和如何分成两个数的积，并
且这两个数中首先必须有一个是质数，再把 另一个数分成两个质数的和。
同步精练
【略】1.一个长方体的前面和右面的面积之和是5 4平方厘米，且长方体
的长、宽、高都是整数，求这个长方体的体积是多少？
1.一个长方体 前面和上面的面积之和为39平方厘米，它的长、宽、高
都是整厘米，且都是质数，这个长方体的体积是 多少立方厘米？
．


考点：整数的裂项与拆分；长方体和正方体的体积 ．分析：根据题意：一个长方体前面和上面的面积=
长×高+长×宽=长×（高+宽）=39，又知它的 长、宽、高都是整厘米，且都是质数，39只有1种组合
13×3，3不可再分，13只能分为2、11 ，再根据长方体的体积公式求出得数．解答：解：一个长方体
前面和上面的面积=长×高+长×宽=长× （高+宽）=39（平方厘米），
39=3×13=3×（2+11），
所以：长宽高分别为2、3、11，
体积=2×3×11=66立方厘米．
答：这个长方体的体积是66立方厘米．
故答案为：66立方厘米．
【略】2.一 个长方体的上面和右面的面积之和是36平方厘米，且长方体的长、宽、高都是整数，求这个长方体的体积和表面 积分别是多少？

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让每一个学生成功
练 习 卷

1.一个正方体玻璃缸棱长2分米，向容器中倒入5升水，再放入一块不
规则的石头，这时量得容器内的水深15厘米。石头的体积是多少立方厘米？


h=5(2X2)=1.25分米 V=2X2X(1.5-1.25)=1立方分米=1000立方厘米
2.一个封闭的长方体容器的高 是25厘米，长和宽都是10厘米，容器内
装着一些水。如果把该容器长、宽都是10厘米的面做底面放 在桌面上，这时
水的高度是15厘米。如果把容器长25厘米、宽10厘米的面做底面放在桌子
上，这时水的高度是多少厘米？


H=10x10x15（25x10）=6厘米
3.一只底面是正方形的长方体铁箱，如果把它的侧面展开，正好得到一
个边长是40厘米的正 方形。求这只长方体铁箱的容积是多少升？

长=宽=404=10厘米 高=40厘米 V=10x10x40=4000立方厘米=4升
4. 一个长方体，如果高截去 2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩
下的正好是一个正方体。原来长方体的体积是多立方厘米？
324=8厘米 82=4厘米 长=宽=4厘米 高=6厘米
V=4X4X6=96立方厘米


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让每一个学生成功
第五讲 较复杂的分数应用题
（寻找不变量）
例题讲学
例1 乙队原有的人数是甲队人数的。现在甲队派30人到乙队，则乙< br>队人数现在是甲队的。原来两队一共有多少人？
【思路点拨】
当“现在甲队派 30人到乙队”后，甲、乙两队的人数都发生了改变，
所以单位“1”不好确定，但有一个未变的量，那 就是两队的总人数，因此我们可以把两队的
3
”可以把乙队人数看作3份，甲队
73
3
人数看作7份，总人数为10份，则乙队人数占总人数的=，后来甲队派30到乙73
10
223
2
队后，乙队占总人数的=，那么乙队多了（-）而正 是多了30人所致。求出
510
23
5
2
3
3
7
总人数看作单位“1”。 从“乙队原有的人数是甲队人数的
30人所对应的分率，再求出原来的总人数。
令甲人数X,则乙(37)X,(X-30)(23)=(37)X+30 X=210(甲) （乙）=90

此类题目的两个量都是变化的，所以单位“1”不能确 定，一定
要找出不变的量，把它确定为单位“1”，然后再看其中的一个量前后分别是
单位“1 ”的几分之几，最后再利用具体数量和分率从而求出单位“1”。
同步精练
1.甲、乙两个粮库，甲粮库存粮的吨数是乙粮库的。现在从乙粮库调
6吨粮食到甲粮库，则甲粮库存粮 的吨数是乙粮库的。原来两个粮库各存粮
多少吨？

令乙原有X，则甲(57)X,(57)X+6=(45)(X-6) 【X=126:乙】【甲：90】
3. 五（3）班在一次聚会中，请假人数是出席人数的，中途又有 一人离开，
这样请假人数是出席人数的

技巧
5
7
45
1
9
3
。五（3）班共有多少人？
22
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让每一个学生成功
令：出席人X,则请假人X9，X9+1=(322)(X-1) X=45 X9=5 [50总人数]

例2 甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，结果甲捐了另外 三人的一半，
乙捐了另外三人的，丙捐了另外三人的，丁捐了91元。甲、乙、丙、丁
四人共捐 了多少元？
【思路点拨】
根据题意可知，单位“1”是另外三人的总和，但另外三人的总 和是
无论如何也不知道，且是变化的，所以行不通。但甲乙丙丁四人的总和是固定不变的，所
以 可以把四人的钱数总和看作单位“1”。 “甲捐了另外三人的一半”，可以看作甲捐的钱是1
11份，另外三人是2份，共3份，甲捐的是四人总数的，同理，乙捐的是四人总数的，
34
1
丙捐的是四人总数的。那么我们就可以求出剩下的丁捐的钱数占四人总数的几分之几了，
51
3
1
4
再用具体数量91除以对应分率，从而求出总数。
1- [1-13-14-15]X=91 X=420元
技巧

此类题目的难点就在于虽然单位“1”名字上统一，但却不是固
定的，所以要找出固定 不变的量作为统一的单位“1”，然后求出每个量占单
位“1”的几分之几，最后用对应的具体数量除以 对应分率，从而求出单位“1”。
同步精练
1.三个小朋友合买一枚价值24元的2 008年奥运会纪念章，第一个小
朋友付的钱是其他孩子付的钱的一半，第二个孩子付的钱是其他孩子付 的钱
的。问：第三个孩子付了多少元钱？


【10元】
1
3

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让每一个学生成功
2.甲乙丙丁四个数，甲数是其它三个数之和的，乙数是其它三个数之
和的，丙数是其它三个数之和的。 已知丁数是260，求四个数的和是多少？
甲数是多少？

【1200】 【400】
例3一堆糖果，其中奶糖占
91
，再放入16块水果糖后，奶糖就只占。
204
1
3
1
4
1
2
这一堆糖果原来一共 有多少块？
【思路点拨】 解答这道题时，应抓住奶糖不变这个条件。因为在总数
发生了变 化，水果糖也发生了变化的时候，奶糖却是不变的，所以把变化的
量——水果糖，求出变化前后分别是奶 糖的几分之几，再看变化前后的具体
数量，然后求出单位“1”——奶糖，最后再求出总数来。
9911
，水果糖就占（1-）=，水果
202020
119111
糖占奶 糖的（÷）=；加入16块水果糖后，奶糖占总数的，水果糖
202094
133111
就占（1-）=，水果糖占奶糖的÷=3，水果糖变化前后共增加了（3-）
44449
16 16
=，正是由于增加16块所致，所以用16÷=9块……奶糖——单位“1”，那
9911
么原来的水果糖就有9×=11块，总数为9+11=20（块）。
9
具体解法：变化前，奶糖占总数的

同步精练
1.袋里有若 干个球，其中红球占
1
2
5
，后来又往袋里放了6个红球，这
12< br>时红球占总数的。原来袋里共有多少个球？

【36】

- 24 -

让每一个学生成功

2.某科技发明兴趣小组中女生占3
5
7
，后来又转来了15名女生，这样女
12
生占总人数的。 这个兴趣小组的男生有多少人？


【150】
练 习 卷


1. 某公司男职工比全公司总人数的多60人，女职工人数是男职工的
1
，这个公司共有多少人？解：设公司员工人数为X,
3
3
5

(35X+60)+(35X+60)3=X X=400
2.某工厂有三个车间，第一车 间的人数是另外两个车间人数的，第三
车间的人数是另外两个车间人数的，已知第二车间有30人。另两 个车间各
有多少人？ 解：设总人数为X.

X-X4-38X=30 X=80 一车间：20 二车间：30
3.纺织厂女工占工人总数的，后来又调来30名女工，这时女工人 数是
男工人数的2倍。问：现在厂里共有多少人？


解：设现在人数为X.则原来为X-30.
5(X-30)8+30=2[3(X-30)8] X=270

- 25 -
1
3
3
5
5
8

让每一个学生成功
4.甲、乙两人共有邮票若干张，其中甲占
2
5
9
，若乙给甲12张 ，则乙余
20
下的张数占总数的。两人共有邮票多少张？

解：设共有邮票为X张。11X20-12=2X5 X=80
5.科技活动小组中，男生 人数占，后来又转来4名男生参加，这时，
男生人数占小组人数的。求这个科技活动小组女生有多少人？ 现在共有多
少人？

解：设现在人数为X.则原来为X-4.
3(X-4)8+4=4X9 X=36 女生：5（X-4）8=20
4
9
3
8
第六讲 百分数（浓度问题）
【知识概述】
把盐溶于水就得到盐水，其中盐叫做溶质，水叫溶剂，盐与水的混合 液
叫做溶液。我们把盐占盐水的百分比叫做盐水的浓度，通常浓度用百分数表
示，又叫做百分比 浓度，这一类问题叫做浓度问题。【盐水的浓度也就是含盐
率，糖水的浓度也叫做含糖率…】
例题讲学
例1 现有浓度为25%的盐水80克，加入多少克水就能得到浓度为10%
的盐水？
【思路点拨】 将浓度为25%的盐水变为浓度为10%的盐水，盐水中的水
的重量增加了，但是盐的重量却没有任何变 化。可以根据已知条件先求出不
变的量——盐的重量，再求出现在盐水的重量，最后再用现在盐水的重量 减

- 26 -

让每一个学生成功
去原来盐水的重量，就是增加的水的重量。
解：80×25%=20（克），20÷10%=200（克），200-80=120（克）
答：加入120克水就能得到浓度为10%的盐水。
同步精练
1.把碘溶在酒精里 ，配成碘酒，现在有含碘15%的碘酒50千克，要把它
变成含碘3%的碘酒，需要加入多少千克酒精？

解：50×15%=7.5（克），7.5÷3%=250（克），250-50=200（克）
2.现有浓度为20%的盐水80克，加入多少克水就能得到浓度为16%的盐
水？
解：80×20%=16（克），16÷16%=100（克），100-80=20（克）
例2 现有浓度为25%的盐水80克，要使盐水的浓度提高到40%，需要加多
少克盐？
【思路点拨】 将浓度为25%的盐水变为浓度为40%的盐水，在盐水的变
化过程中，盐的 重量增加了，但是水的重量并没有发生变化，也就是原来盐
水中的水的重量等于现在盐水中水的重量。
解：80×（1-25%）=60（克），60÷（1-40%）=100（克），100-80=20 （克）。
答：需要加20克盐。
同步精练
1. 现有浓度为15%的盐水20千克，要使盐水浓度提高到20%，需要加
多少千克盐？
解：20×（1-15%）=17（克），17÷（1-20%）=21.25（克），

- 27 -

让每一个学生成功
21.25-20=1.25（克）。
2.浓度为10%的糖水300克，要把它变成浓度为25%的糖水，需要加糖多
少克？

解：300×（1-10%）=270（克），270÷（1-25%）=360（克），
360-300=60（克）
3.往40千克含盐16%的盐水中加入10千克盐。求这时盐水的浓度。

解：40×16% =6.4（克），(6.4+10)÷(40+10)=32.8%
例3 有浓度为2.5%的盐水700克，为了制成浓度为10%的盐水，从
中要蒸发掉多少克水？
【思路点拨】 要使溶液的浓度变大，可以采取增加溶质（糖、盐、纯
酒精等）的方法，也可以用蒸发水的办法。 把盐水加热，一部分水变成水蒸气蒸发掉了，于是盐水中的水的重量减
少了，而在变化过程中盐的重 量却没有变化。先根据条件求出原来盐水中盐
的重量，由于在变化过程中盐的重量没有变化，所以原来盐 水中盐的重量也
是现在盐水中盐的重量，再求出现在盐水的重量，最后用原来盐水的重量减
去现 在盐水的重量，就是要蒸发掉水的重量。
解：700×2.5%=17.5（克），17.5÷10% =175（克），700-175=525（克）
答：从中要蒸发掉525克水。

同步精练

- 28 -

让每一个学生成功
1 .现有浓度为12.5%的盐水40千克，将它变成浓度为20%的盐水，要蒸
发掉多少千克水？


解：40×12.5%=5（克），5÷20%=25（克），40-25=15（克）
2. 有浓度为2.5%的盐水700克，为了制成浓度为20%的盐水，从中要蒸
发掉多少克水？

解：700×2.5%=17.5（克），17.5÷20%=87.5（克），700-87.5=6 12.5（克）
练 习 卷


1.一瓶盐水共重200克，其中盐有20克，这瓶盐水的浓度是（ 10）%。
2.配制一种盐水，在450克水中加了50克盐，这种盐水的浓度是（10）%。
3.一种糖水的浓度是15%，200克糖水中，含糖（ 30）克。
4.一种糖水的浓度为10%，15克糖需加水（135）克。
5.现有浓度为20%的盐水80克，加入20克水，这时盐水的浓度是多少？

解：80×20%=16（克），16÷(80+20)=16%，
6.在浓度为15%的糖水200中，加入多少克水就能得到浓度为10%的糖水？


解：200×15%=30（克），30÷10%=300（克），300-200=100（克）


- 29 -

让每一个学生成功
7.浓度为20%的糖水500克，要把它变成浓度为50%的糖水，需要蒸发掉
多少克水？

解：500×20%=100（克），100÷50%=200（克），500-200=300（克）
8.现有浓度为20%的盐水80克，加入20克盐，这时盐水的浓度是多少？


解：80×20%=16（克），(16+20)÷(80+20)= 36%
综 合 演 习（1）

1.体积是72立方厘米的长方体，长6厘米，宽3厘米，高多少厘米？


2.把3个棱长为2厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面
积和体积分别是多少？


3.一堆西瓜重10吨，上午卖出总重量的，下午卖出余下的，还有多
少吨没卖出？


4.一批水果，第一天卖掉后，第二天又卖掉240千克，这时还剩下160
千克， 原来这批水果有多少千克？

- 30 -
2
5
1
6
1
5

让每一个学生成功


5.小明看一本课外书，第一周看了总页数的，第二周比第一周多看了
2 5页，这时还剩下15页没看，这本课外书一共有多少页？



6.从甲 地到乙地，一辆汽车第一小时行了全程的，第二小时比第一小
时少行了10千米，这时还剩下26千米不 到乙地。甲乙两地的全长多少千米？



7.求下图组合图形的表面积和体积。（单位：厘米）
[上面的小正方体的棱长为4厘米]
1
3
2
5




10
5
8
8.把一块石头放入一个长5分米、宽4分米的玻璃容器中，水面上升了2< br>厘米，这块石头的体积是多少？



- 31 -

让每一个学生成功
9.简便计算
129×



13
199920001998

41×

199920001
20

5244

44

128777


综 合 演 习（2）
9
，
1 1
19
后来又从五二班调3人到五一班去了，这时五一班人数占五二班人数的。
21< br>1.在兴华学校五年级刚分班的时候，五一班的人数占五二班人数的
五一班原来有多少人？



2.把一个长18分米、宽和高都是2分米的长方体钢坯锻造成一个长 6分
米、宽3分米的另一个长方体钢材，这个新的钢材的高是多少？


3 .一堆石子，运走后，又运进38吨，这时的石子重量比原来的还多了
1
。原来有石子多少吨？
5
1
4


- 32 -

让每一个学生成功

4.一个西瓜，唐僧师徒四个人吃。悟空吃了整 个西瓜的，八戒吃了余
下的，沙僧吃了又余下的，最后唐僧只吃了千克。问：这个西瓜有多重？



5. 在一次课外活动中，五四班有
了余下学生的
1
的学生先出去玩，过了一会，又出去
12
3
5
3
5
2
3
1
6
5
，此时班级内只剩下24人。五四班有多少人？
11
4
6.五年级数学兴趣小组中，男生人数占总人数的，后来又增加2位男
95
生，这时男生人数占总人数的。现在数学兴趣小组共有多少人？
11



7.甲乙丙丁四人合买一些书，甲拿出的钱占其余三人和的，乙拿出的
钱 占其余三人和的，丙拿出的钱占其余三人和的，丁拿出18元。这些书
价值多少元？



8.简便计算
38×

3611

（用两种方法）
92

3715
1
6
1
4
2
3

- 33 -