华软学院-安置房买卖合同范本

7-9-1.概率



教学目标


“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性 ，其内容及延伸
贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．
1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．
2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．
3.理解和运用概率性质进行概率的运算．

知识要点


一、概率的古典定义
如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；
⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．
m
，
n
表示该试验 中
n
所有可能出现的基本结果的总数目，
m
表示事件
A
包含 的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于
古典概率．其中的
m
和
n
需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．

这样的试验，称为古典试验． 对于古典试验中的事件
A
，它的概率定义为：
P

A

二、对立事件
对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件
如果事件
A
和
B
为对立事件（互斥事件），那么
A
或B
中之一发生的概率等于事件
A
发生的概率与事件
B
发生的概率 之和，为1，即：
P

A

P

B
< br>1
．

三、相互独立事件
事件
A
是否发生对事 件
B
发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
如果事件
A
和
B
为独立事件，那么
A
和
B
都发生的概率等于事 件
A
发生的概率与事件
B
发生的概率之
积，即：
P

AB

P

A

P

B

．

例题精讲


模块一、概率的意义

【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．
①本市明天将有80%的地区降水． ②本市明天将有80%的时间降水．
③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大．
【考点】概率的意义 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，决赛
【解析】 降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或 者降水的时间．80%的概率也不是指肯定
下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有 比较大的可能性下雨．
【答案】④
【例 2】 约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两 次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连
续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若 汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币
的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢 ． 赢的可能性较大（请填

汤姆或约翰）．
【考点】概率的意义 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题
【解析】 连续扔两次硬币可能出现的情况有（正 ，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。约翰
扔的话，两种情况记1分，两种情况记 0分；汤姆扔的话三种情况记1分，一种情况记0分。所以
汤姆赢得的可能性大。
【答案】汤姆

【例 3】 在某个池塘中随机捕捞
100
条鱼， 并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞
200
尾，发现其中有
2 5
条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么
请你估计这个池塘中 一共有鱼多少尾？
【考点】概率的意义 【难度】2星 【题型】解答
【解析】
200
尾鱼中有
25
条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出 值为
252000.125
，
所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是
0.125
，池塘中鱼的数量约为
1000.125800
尾．
【答案】
800


【例 4】 一个小方木块的六个面上分别写有 数字
2
、
3
、
5
、
6
、
7
、
9
，小光、小亮两人随意往桌面上扔
放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的 一面写的是偶数，得
1
分．当小亮扔时，如果朝上的
一面写的是奇数，得
1< br>分．每人扔
100
次，______得分高的可能性比较大．
【考点】概率的意义 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 因为
2、
3
、
5
、
6
、
7
、
9中奇数有
4
个，偶数只有
2
个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较< br>大，即小亮得分高的可能性较大．
【答案】小亮得分高的可能性较大

【例 5】 一个骰子六个面上的数字分别为
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依
次 求和，当总点数超过
12
时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.
【考点】概率的意义 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 掷的总点数在
8
至
12
之间时，再掷一次，总点数才有可能超过
12
（至多是< br>17
）．当总点数是
8
时，
再掷一次，总点数是
13
的可能性比总点数超过
13
的可能性大．当总点数在
9
至
12
之间时，再掷一次，
总点数是
13
的可能性不比总点数是
14
，< br>15
，
16
，
17
的可能性小．
例如，总点数是< br>11
时，再掷一次，出现
05
的可能性相同，所以总点数是
1116< br>的可能性相同，即
总数是
13
的可能性不比总数点数分别是
14
，
15
，
16
的可能性小，综上所述，总点数是
13
的可 能性
最大．
【答案】总点数是
13
的可能性最大．

【例 6】 从小红家门口的车站到学校，有
1
路、
9
路两种公共汽 车可乘，它们都是每隔
10
分中开来一辆．小
红到车站后，只要看见
1
路或
9
路，马上就上车，据有人观察发现：总有
1
路车过去以后
3
分钟就来
9
路车，而
9
路车过去以后
7
分钟才来< br>1
路车．小红乘坐______路车的可能性较大．
【考点】概率的意义 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 首先某一时刻开来
1
路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：
分钟
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
车号
1 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 9 9 9 1 1 1 1 1 < br>73
显然由上表可知每
10
分钟乘坐
1
路车的几率均为，乘坐
9
路车的几率均为，因此小红乘坐
1
路
1010
车的可能性较大．
【答案】
1
路车的可能性较大

模块二、计数求概率

【例 7】 如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概 率依次为
11
3
、、、
164
8
11
、．
416
【答案】左至右落到底部的概率依次为
11
3
11
、、、、 ．
164
8
416

【例 8】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场， 警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由
2
、
3
、
5
、
7
、
9
五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如 果在电脑上输入一个由这五
个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是_ _____．
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 警 察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是
2
、
3
、
5
、
7
、
9
中的任何一个，有
5
种可能，
第二位数 字有
4
种可能，……，第五位数字有
1
种可能，所以一共有
54 321120
种可能，则
1
输入正确车牌号的可能性是．
120
1
【答案】
120

【例 9】 分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少?
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有
6636
．
将点数为
6
的情况全部枚举出来有：

1,5


2,4


3,3


4,2


5,1


点数之积为
6
的情况为：
1,6

2,3

3,2

6,1
< br>
两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是
点数之积为6 的概率为
【答案】（1）
5
；
36
41

．
369
5
1
，（2）
9
36

【例 10】 甲、乙两个学生各从
09
这
10
个数字中随机挑选了两个数字（可能 相同），求：⑴这两个数字的
差不超过
2
的概率，⑵两个数字的差不超过
6< br>的概率．
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴两个数相同（差为0）的情况有
10
种，
两个数差为
1
有
2918
种，
两个数的差为
2
的情况有
2816
种，
10181611
所以两个数的差不超过
2
的概率有．
101025
⑵两个数的差为
7
的情况有
23
种．
两个数的差为
8
的情况有
224
种．
两个数的差为
9
的情况有
2
种．
6423
所以两个数字的差超过
6
的概率有.

10 1025
322
两个数字的差不超过
6
的概率有
1
.

2525
1122
【答案】（1），（2）
2525

【例 11】 工厂质量检测部门对某一批次的
10
件产品进行抽样检测，如果这10
件产品中有两件产品是次品，
那么质检人员随机抽取
2
件产品，这两 件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是
次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的 概率为多少？
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答

2
45
种情况. 【解析】 从
10
件产品中选择
2
件一共有
C
10
1
所以这两件产品恰好都是次品的概率为 ．
45
11
C
8
16
种情况，所以两件产品中有一件 次品的概率为两件产品中有一件次品的情况有
C
2
2
28
种情况， 所以两件产品都不是次品的概率为两件产品中都不是次品的概率有
C
8
16
.
45
28
.
45
【答案】（1）
11628
，（2），（3）
454545

【例 12】 一个班有女生25人,男生27人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
2524
【解析】 从25名女生中任意抽出两个人有
300
种不同的方法．
2
525130050
从全体学生中任意抽出两个人有．
13 26
种不同的方法．计算概率：

21326221
50
【答案】
221

【例 13】 从6名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
6543
【解析】 法一：从
6
名学生中选
4
人的不同组合有
15
种． 4321
543
其中，
4
人中包括甲的不同组合相当于在5
名学生中选
3
人所以一共有
10
种．
321
102
所以甲被选择上的概率为

．
153
法二：显然这
6
个人入选的概率是均等的．
111
即每个人作为一号选手入选的概率为，作为二号入选的概率为，作为三号入选的概率为，
666
1
作为四号入选的概率为，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是
6
11112
互斥事件，所以他被入选的概率为

．
66663
2
【答案】
3

【例 14】 一块电子手表 ，显示时与分，使用
12
小时计时制，例如中午
12
点和半夜
12< br>点都显示为
12:00
．如
果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至 少看到一个数字“1”的概率是______．
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，1试，第8题
【解析】 一天当中，手表上显示的时刻一共有
1260720
种．
其中冒号之前不出现
1
的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种，
冒 号之后不出现
1
的情况有

61



101

45
种，
所以不出现
1
的情况有
458360
种．
所以至少看到一个数字“1”的情况有
720360360
种，
3601
所以至少看到一个数字“1”的概率为

种．
7202
1
【答案】
2

【例 15】 从立方体的八个顶点中选
3
个顶点，你能算出：
⑴它们能构成多少个三角形？
⑵这些三角形中有多少个直角三角形？

⑶随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从
8
个顶点中任取
3
个顶点都能构成三角形，所以应该有
876

321

56
个．
如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的 一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有
8
个
不是直角三角形．
所以直角三角形共有
56848
个．
486
构成直角三角形的可能性有

．
567
6
【答案】（1）
56
，（2）
48
，（3）
7

【例 16】 一个标准的五角星（如图）由
10
个点连接而成，从这
10< br>个点随机选取
3
个点，则这三个点在同一
条直线上的概率为多少，这三个点能构 成三角形的概率为多少？如果选取
4
个点，则这四个点恰好
构成平行四边形的概率为多 少？
【考点】计数求概率 【难度】4星 【题型】解答
1098
【解析】
10
个点中任意取
3
个的情况为
120
种，
3 21
其中涉及到
5
条直线，每条直线上各有
4
个点，其中任意< br>3
点都共线，所以取这3点不能够成三
3
5C
4
1
15
角形，这样的概率是

,所以
3
点构成三角形的概率为
1
．
1206
66
10987
4
10
个点中取
4
个点的情形为
C
10
210
种，
1 0
个点中平行四边形有
10
个，所以构
4321
101
成平行四边形的概率为．

21021
15
1
【答案】（1），（2），（3）
66
21

【例 17】 如图
9
个点分布成边长为
2
厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为
1
厘米），在这
9
个点中 任取
1
则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为平方厘米的三角形的概
3
个点，
2
3
率为多少？构成面积为
1
平方厘米的三角形 的概率为多少？构成面积为平方厘米的概率为
2
多少？构成面积为
2
平方厘米 的三角形的概率为多少？

【考点】计数求概率 【难度】4星 【题型】解答
987
3
【解析】 从
9
个点中任取
3
个点一 共有
C
9
84
种情况．
321
三个点共线一共有
3328
种情况．
819
所以三个点能够成三角形的概率为
1
．
8421
1

9
个点中能构成面积为的三角形一共有
444432
种情况．
2

1328
平方厘米的三角形的概率为

．
28421

9
个点中能够成面积为
1
平方厘米的三 角形的情况有
46832
种情况．
328
所以三个点能够成面积为
1
平方厘米的三角形的概率为

．
8421
3

9
个点中能够成面积为平方厘米的三角形的情况有
4
种情况．
2
341
所以三个点能够成面积为平方厘米的三角形的概率为

．
28421

9
个点中能够成面积为
2
平方厘米的三角形的情况有
8
种情 况．
82
所以三个点能够成面积为
2
平方厘米的三角形的概率为

．
8421
198812
【答案】（1），（2），（3），（4），（6）
2121212121

【例 18】 甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一 次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中
选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概 率是多少？
【考点】计数求概率 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有
3
种可能，
所以三个点能够 成面积为
所以四次传球的总路线有
3
4
81
种可能，每一种之间都 是互斥的等概率事件.
而恰好传回到甲的情况，以第一步为
甲乙
为例有如下
7
种情况：


乙甲


甲

丙甲


丁甲





甲乙


乙甲


丙



丁甲



乙甲

丁


丙甲

377
所以第
4
次传回甲的概率为．

8127
7
【答案】
27

模块三、对立事件与相互独立事件

【例 19】 一张圆桌旁有四个座位，
A
、
B
、
C
、
D
四人随机坐到四个座位上，求< br>A
与
B
不相邻而坐的概率．
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 四人入座的不同情况有
432124
种．
A
、
B
相邻的不同情况，首先固定
A
的座位，有
4
种，安排
B
的座 位有
2
种，安排
C
、
D
的座位有
2
2种，一共有
42216
种，所以
A
、
B
相邻而座 的概率为
1624
，那么
A
、
B
不相邻而座的概
3
21
率为
1
．
33
1
【答案】
3

【例 20】 某小学六年级有
6
个班，每个班各有
4 0
名学生，现要在六年级的
6
个班中随机抽取
2
个班，参加电
视台的现场娱乐活动，活动中有
1
次抽奖活动，将抽取
4
名幸运观众，那么 六年级学生小宝成为幸
运观众的概率为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 小宝所在班级被抽中参加娱乐活动的概率 为
幸运观众的概率为
【答案】
1
C
5
2
C
6

51

，如果小宝参加了娱乐活动，那么小宝成为
153
41111
，所以小宝成为幸运观众的概率为

.

4022032060
1

60

【例 21】 从装有3个白球，2个黑球的口袋中任意摸出两球，全是白球的概率．
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
54
2
【解析】 法一：
5
个球任意取出两个有
C
5
10
种情况，互相之间都是互斥事件，且出现概率均等，而
21
3 23
2
两个球都是白球有
C
3
3
种情况，全是白球的 概率为．
2110
3
法二：将摸出两个球视作两次行为，摸出第一个球是白球的概 率为，再摸出一个白球的概率为
5
311313
．（建议讲完独立事件再讲这一方法 ）

，所以两次摸出两个白球的概率为

5125210
3< br>【答案】
10

【例 22】
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六人抽签推选代表，公证 人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只
有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不 放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，
那么这六人被抽中的概率分别为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
151
【解析】
A
抽中的概率为，没抽到的概率为，如果
A
没抽中，那么
B
有的概率抽中，如果
A
抽中，那
665
5 11
么
B
抽中的概率为
0
，所以
B
抽中的概率为< br>
.
656
541154311
同理，
C
抽中的 概率为

，
D
抽中的概率为

，
65 4665436
543211543211
E
抽中的概率为

，
F
抽中的概率为
1
.
654326654326
由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.
1
【答案】六个人抽中的概率相同为
6

【巩固】如果例题中每个 人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概
率为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
1
51511
5111
【解析】 抽中的概率依次为：、

、

、

、

、

，
6
66666
666666666666666
在这种情况下先抽者，抽 中的概率大．
1
51511
5111
【答案】抽中的概率依次为：、

、

、

、

、
 
，
6
66666
666666666666666
在这种情况 下先抽者，抽中的概率大．

【例 23】 在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影 响）的概率为0.5，0.4，0.2，考试结束后，最容易
出现几个人优秀？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 注意他们的优秀率是互不影响的．
三人都优秀的概率是
0.50.40.20.04
，
只有甲乙两人优 秀的概率为
0.50.4

10.2

0.16
， （或
0.50.40.040.16
）．
只有甲丙二人优秀的概率< br>0.5

10.4

0.20.06
，

只有乙丙二人优秀的概率

10.5

 0.40.20.04
，
所以有两人优秀的概率为
0.160.060.040.26
，
甲一 人优秀的概率
0.5

10.4



10 .2

0.24
，
乙一人优秀的概率

10 .5

0.4

10.2

0.16
，
丙一人优秀的概率

10.5



1 0.4

0.20.06
，
所以只有一人优秀的概率为
0.240.160.060.46

全都 不优秀的概率为

10.5

10.4

10. 2

0.24
，
最容易出现只有一人优秀的情况．
【答案】
1
个人优秀

【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀 （互不影响）的概率为0.5，0.4，考试结束后，只有乙优秀的概
率为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 只有乙优秀的概率为
0.4

10.5

0.2
．
【答案】
0.2


【例 24】 某射手在百步之外射箭恰好射到 靶心的概率为
40%
，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部
射中靶心的概率为多 少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴全部射中靶心的概率为
0.40.40.40.064
．
⑵第一箭射中，其 他两箭射空的概率为
0.4

10.4



10.4

0.144
．
第二箭射中，其他两箭射空的概率为
0.4

10.4



10.4
0.144
．
第三箭射中，其他两箭射空的概率为
0.4
10.4



10.4

0.144
．
有一箭射中的概率为
0.1440.1440.1440.432
.
⑶第一箭射空，其他两箭射中的概率为

10.4

0.40.40 .096
．
第二箭射空，其他两箭射中的概率为

10.4< br>
0.40.40.096
．
第三箭射空，其他两箭射中的概率为
10.4

0.40.40.096
．
有两箭射空的概率为
0.960.960.960.288
.
【答案 】（1）
0.064
，（2）
0.432
，（3）
0.288


【例 25】 设每门高射炮击中敌机的概率为
0.6
,今欲以
99%
的把握击中敌机,则至少应配备几门高射炮同时射
击？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如果只配一门高射炮，那么未击中的概率为
0.4
，
配备两门高射炮那么未击中的概率为
0.40.40.16
，
如果配备三门高射炮，那么未击中的概率为
0.40.40.40.064
，
如果配备四门高射炮，那么未击中的概率为
0.40.40.40.40.0256< br>，
如果配备五门高射炮，那么未击中的概率为
0.40.40.40.40. 40.01024
，
如果配备六门高射炮，那么未击中的概率为
0.4
6
0.004096
．
所以至少配备
6
门高射炮，同时射击．
【答案】
6


【例 26】 某地天气变化的概率是：如果今天晴 天，那么明天晴天的概率是
3
．如果今天下雨，那么明天晴
4
1
天的 概率是．今天是星期三，天气温暖晴好．小明一家想在星期六去泡温泉，那么星期六晴天的
3
概 率是多少？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据题意，每天的天气应该只有晴、雨两种可能，不需要考虑阴天等情况，否则是把问题复杂 化，
而且这道题也没法做了．
如果今天晴天，那么明天晴天的概率是34．如果今天下雨，那么明天晴天的概率是13．

也就是说：
3
；
4
1
晴——雨 概率为；
4
1
雨——晴 概率为；
3
2
雨——雨 概率为；
3
可以画一个树状图把星期六是晴天的各种情况都列出来：
晴——晴 概率为
星期三
星期四
星期五
晴
晴
晴
雨
雨晴
雨
晴
晴
晴
星期六
晴
然后再分别计算四种情况的概率 ：
333273
；

；

；
；

444644438
27111347
所以星期六晴天的概率是

64161618576
347
【答案】
576