丹麦哥本哈根大学宿舍-儿童保健知识

5-3-4.分解质因数

教学目标
1.
2.
能够利用短除法分解

整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任 何一个数字都可以表示为
△
☆
△
☆
...△
☆
的结构，而且
表达形式唯一”
知识点拨


一、质因数与分解质因数
（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.
（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.
（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
例如：< br>30235
.其中2、3、5叫做30的质因数.又如
1222322
3
，2、3都叫做12的质因数，
其中后一个式子叫做分解质因数的标准式， 在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分
解质因数往往是解数论题目的突破口， 因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
（4）.分解质因数的方法：短除法
212
例如：
26
，（┖是短除法的符号） 所以
12223
；
3
二、唯一分解定理
a
3a
k
a
1
a
2
任何一个大于1的自然数n都可以写成质 数的连乘积，即：
np
1
其中为质数，
p
2
p
3
p
k
a
1
a
2
a
k
为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.
例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

三、部分特殊数的分解
111337
；
100171113；
1111141271
；
1000173137
；
1 99535719
；
1998233337
；
2007 33223
；
2008222251
；
10101371 337
.
例题精讲


模块一、分数的拆分

11
1
＋＋＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。
希
望
杯
【考点】分数的拆分

【难度】
1
星

【题型】填空

【例 1】 算式“
5-3-4.分解质因数.题库 教师版 page 1 of 7

【关键词】希望杯，五年级，初赛，第
19
题，
6
分

【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一 ，即
是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11
【答案】
11


1661
【例 2】
3
个质数的倒数之和是，则这
3
个质数之和为多少．
1986
【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答
111
【解析】 设这
3
个质数从小到大为
a
、
b
、
c
，它们的倒数分别为、、，计算它们的和时需通分，且通
abc
分后的分母为
abc
，求和得到的分数为
b
、
c
或它们 之间的积.现在和为
F
,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为
a
、
abc
1661
，分母
198623331
，所以一定是< br>a2
，
b3
，
c331
，
1986
检 验满足.所以这
3
个质数的和为
23331336
．
【答案】
23331336


【例 3】 一个分数，分母是
901
，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的
一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新 分数，新分数约分后
7
是．那么原来分数的分子是多少．
13
【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为新 分数约分后分母是
13
，而原分母为
901
，由于
901136 94
，所以分母是加上
9
或者减
去
4
．若是前者则原来 分数分子为
7709481
，但
4811337
，不是质数；若是 后者则原来分
数分子是
6974487
，而
487
是质数．所 以原来分数分子为
487
．
【答案】
487






1
【例 4】 将1到9这9个数字在算式的 每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并

且要求所填每一个括号内数 字均为质数?
【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 本 题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有
bdcb ad1
，即有
cbad1
，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。符合原式的 填法为

acacac
321
。

7535
【答案】

321


7535
111
的a、b的值(a、b都是四位数)．

ab1001
【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 取1001的两个不同约数x、
y(xy)
，得到：
1xy xy11
，因为x、y都是1001的约

10011001(xy)10 01(xy)1001(xy)
1001
(xy)
1001
(xy)
xy
1001（x+y）
1001
1001
1001（x+y）数，所以、都是整数．所以只需令
a
，
b
就可以了．而a、b
yy
x
x
都要大于1001，要保证a、b都是四位数，所以a、b的比值都要小于 10，即x、y的比值小于10．而
（1,7）（7,11）（7,13）（11,13）（11,91 ）
1001的两个互质且比值小于10的约数有以下几组：、、、、、
【例 5】 求满足条件
5-3-4.分解质因数.题库 教师版 page 2 of 7

（13,77）
．所以我们依次取x、y 为上面所列的数对中的数，代入a、b的表达式，得到本题的答案：

a8008,2574,2860,2184,9282,6930


b1144,1638,1540,1848,1122,1170


a 8008,2574,2860,2184,9282,6930
【答案】


b1144,1638,1540,1848,1122,1170


1 11

，其中a、b都是四位数，且a2004ab
【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：
11211


20042004(12)2004(12)60 123006
11311


20042004(13)2004( 13)80162672
12311


20042004(23 )2004(23)50103340
13411


200420 04(34)2004(34)46763507
11211

【答案】
20042004(12)2004(12)60123006
11311
 

20042004(13)2004(13)80162672
12311< br>

20042004(23)2004(23)50103340
13411


20042004(34)2004(34)46763507
【巩固】 若

【例 6】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．


（1）

；
102020
 
（2）
111


10

【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 单位分数的拆分，主要方法是从分母
N
的约数中任意找出两个数
m
和
n
，有：
1mnmn11

，
NN(mn)N(mn)N(mn)AB
从分母
n
的约数中任意找出两 个
m
和
n
(
mn
)，有：
1mnmn11


NN(mn)N(mn)N(mn)AB
⑴ 本题
10
的约数有：
1
，10，2，5．
1121211

例如：选1和2，有：

；
1010(12)10(12)10(12)3015
从上面变化的过程可以看 出，如果取出的两组不同的
m
和
n
，它们的数值虽然不同，但是如果
m
和
n
的比值相同，那么最后得到的
A
和
B
也是 相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有
2
C
4
410种，但是其中比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所 以本题
共可拆分成5组．具体的解如下：

．




5-3-4.分解质因数.题库 教师版 page 3 of 7

⑵ 10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：
1525211


1010(52)10(52)10(52)615
另外的解让学生去尝试练习．

【答案】（1）




（2）

111


10615
111

，
A ，B
均为正整数，则
B
最大是多少？
2009AB
【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】101中学，分班考试
111
【解析】 从前面的例题我们知道，要将按照如下规则写成

的形式：
NAB
1mn mn11

，其中
m
和
n
都是
N
的约数。
NN(mn)N(mn)N(mn)AB
如果要让
B
尽可 能地大，实际上就是让上面的式子中的
n
尽可能地小而
m
尽可能地大，因此应 当

m
取最大的约数，而
n
应取最小的约数，因此
m2 009
，
n1
，所以
B20092008
.
【答案】
B20092008




【巩固】


45

【例 7】 如果
【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空


【解析】


45

72

120

18

30

405

135

81

9

1 5

45

【答案】


< br>45

72

120

18

30

405

135

81

9

15

45


【例 8】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
1111111


10

【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式
521< br>和连加式
521
．
1111111

则：


10

4

10

20

80

40

16

1111111

．
1< br>另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的
一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差
111 1
111

了．比如，要得到

，根据前面的拆分随意选取一组， 比如

，再选择
10

101260
如果选1 0、5、2，那么有：
其中的一个分数进行拆分，比如
【答案】

1111111
，所以

．

60156
1111


101360156< br>111

其中a，b是非零自然数，求a+b的最大值。
15ab
【考点】分数的拆分 【难度】5星 【题型】填空
【例 9】 已知等式
5-3-4.分解质因数.题库 教师版 page 4 of 7

【关键词】华杯赛，决赛，第13题
1mnmn

【解析】 易知，

，令（m，n）为互质的一对 数，现在要让分母为1，只
1515(mn)15(mn)15(mn)
需m，n是15 的一对互质的约数即可。
111

当(m，n)=（1，1）时，

，此时，a+b=60；
153030
111

当(m，n)=（1，3）时，

， 此时，a+b=80；
156020
111

，此时，a+b=108； 当(m，n)=（1，5）时，

159018
111

，此时，a +b=256； 当(m，n)=（1，15）时，

1524016
111

当(m，n)=（3，5）时 ，

，此时，a+b=64；所以，a+b的最大值为256。
154024
【答案】
256

模块四、分解质因数的综合应用
【例 10】
A
，
B
都是整数，
A
大于
B
，且
AB2009
,那么
AB
的最大值为 ，最小值
为 。
【考点】 【难度】 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
20092009128774941
【解析】
最大值为
200912008

最小值为
49418

【答案】最大为
2008
，最小为
8


【例 11】 写出所有数字和为11，数字乘积为20的四位偶数：________．
【考点】 【难度】 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 本题属于数字拆 分，目的就是讲11拆成四个数字和，20拆成4个数字的乘积，需要确定的是个位
数字为偶数。根据拆 分的特点应该从20开始拆分。先将20分解质因数为：
20225
，所以各个
数位数字乘积为20的数字有：2、2、5、1；4、5、1、1；数字和分别为10和11，符合条件的是4、
5、1、1这四个数字组成的四位偶数，所以答案为1154、1514、5114这3个答案。
【答案】1154、1514、5114

【例 12】 在做一道两位数乘以两位 数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那
么原来的乘积是多少?
【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 1872 =2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，一一验证只有：1872=48×39，18 72=78×24满
足．当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48 ，所以正确的乘积应该是
45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8， 也就是错把75看成78，所以正确的乘积
应该是75×24=1800．所以原来的积为1755或1 800．
【答案】1755或1800

【例 13】 两个学生抄写同一个乘法 算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不
同的算式，但巧合的是，他们计算 的结果都是936.如果正确的乘积不能被6整除，那么它等于多
少？
【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 注意93 6中有质因数13，故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有
1372
，
263 6
，
3924
，
5218
，
7812
这5种 可能，由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数
5-3-4.分解质因数.题 库 教师版 page 5 of 7

1852
)，
1278)，
2439
)字相同.经枚举可知，他们所抄错的算式可能是(
1372< br>，(
1372
，(
2636
，
或(
5218< br>，
1278
).对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘数的个位数字和第二个乘数的 十位数
字，正确的算式应是
1352
或
1872
，后者乘积是6 的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正
确的乘法算式是
1352676
.对 后三种情况作类似分析，可得出
236
种可能的原乘法算式，但它
们的结果都是6 的倍数，不合题意.因此676即为所求.
【答案】676

【例 14】 在射 箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运
动员 各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的
总环数各 是多少？
【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 应对应为5个小于10的自然数乘积．通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为5个因 数，从而
这5个因数一定都是大于1的，于是得到了如下几种分解情况1764=4×3×3×7×7
=2×6×3×7×7=2×2×9×7×7但是发现其中任何两组的和的差均不是4.原因是我们忽略 了在题目叙述实
际环境中还会有1环存在，从而要考虑含有因数1的另外2种情况1784=1×6×6 ×7×7=1×4×9×7×7．所
以总的情况对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3 +7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，
l+4+9+7+7=28 ．对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环
数为1、4 、9、7、7．所以甲的总环数为24，乙的总环数为28。
【答案】甲的总环数为24，乙的总环数为28

【例 15】 某校师生为贫困地 区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且
多于30人不超过4 5人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?
【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多 有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除
1995．1995=3×5×133，在 455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665人，则平均每
人捐款199 5÷665=3元．
【答案】3

【例 16】 张老师带领同学们去种树，学生 的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学
生每人种的树一样多，并且不超过1 0棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？
【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10所以 通过枚举法来解(注意
人数是减去1后是3的倍数)：
1312
，
312 1311
不是3的倍数；
2156
，
1561155
不是3 的
倍数；
3104
，
1041103
不是3的倍数；
478
，
78177
不是3的倍数；
652
，
52 151
是
3的倍数；
839
，
39138
不是3 的倍数；共有51个学生，每个人种了6棵树.
【答案】共有51个学生，每个人种了6棵树

【巩固】 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每 人种树一样多，
共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？
【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到 的是把1073数相乘，一个数为人数一个数
为每人种的棵数，
10732937
，注意到人数是减去1是3倍数，所以人数是37均每人种了29棵。
【答案】29

【例 17】 幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新人园一位小朋友，这 样每个小朋
友就要少分2个苹果。原来有 个小朋友。
【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6年级，决赛，第8题，10分
42 02
2
35722103140584670760
【解析】
5-3-4.分解质因数.题库 教师版 page 6 of 7

10421235
14301528

2021
上式中只有14×30=(14+1)(30-2)=15×28符合题意，所以原有14个小朋友。
【答案】
14


【例 18】 2006个弹珠，平均分给若干个 人，正好分完．若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，
则每人可以多分8个．原来有 人．
【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，8分
【解析】 对2006进行分解质因式，得到2006=2×17×59；对2016进行分解质因式得到， 2016=
2
5
79
，
发现只有16到17相差1人。经验证符合条件，所 以原来有17人。
【答案】
17
人

【例 19】 已知，a
、
b
、
c
、
d
、
e
这5
个质数互不相同，并且符合下面的算式：
(ab)(cd)e2890
， 那
么，这
5
个数当中最大的数至多是 。
【考点】分解质因数的综合应用 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，5年级，第4题
【解析】
(ab)(cd)e289 02517
2
，所以
ab
、
cd
、
e< br>中只有一个偶数。如果
a
、
b
、
c
、
d中没
有
2
，那么
ab
、
cd
均为偶数，矛 盾，所以
a
、
b
、
c
、
d
中有一个为2
，不妨设
a2
，那么
e
只
能为
5
或
17
。如果
e5
，那么
(2b)(cd)217
2
，而
217
2
1(217
2
)2289 1734
，由
于
2b
、
cd
均大于
2
，只有分解成
1734
才有可能，但此时
2b17
，得
b 15
为合数，与题意
不符；如果
e17
，那么
(2b)(cd )2517
，可能为
1017
和
534
。若为前者，b
将为合数，
所以只能是后者，得
2b5
，
cd34< br>，那么
b3
，
c
、
d
至少为
5
， 所以最大为
34529
。
【答案】
29


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