身是菩提树-观察中的发现

比例应用题（一）



教学目标

1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；
4、单位“1”变化的比例问题
5、方程解比例应用题

知识点拨

比例与百分数作为一种数 学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小
升初考试的重要内容.通过本 讲需要学生掌握的内容有：
一、比和比例的性质
性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；
性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；
性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)
性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)
正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；
反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．
二、主要比例转化实例
aab
ybxy




；

；

；
bxy
xaab
amxa
xma





；

(其中
m0
)；
bmyb
ymb
axaxyab
xyab





； ； ；

bxyabxyabxa
a
ycxac

，





；
x:y:zac:bc:bd
；
b
zdzbd
dadbc
c
⑤
x
的等于
y
的，则
x
是
y
的，
y
是
x
的 ．
b
bcad
a
三、按比例分配与和差关系
①
x
y
x
②
y
x
③
y
x
④
y


⑴按比例分配
例如： 将
x
个物体按照
a:b
的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人 各自分配到的物体
数量与
x
的比分别为
a:

ab

和
b:

ab

，所以甲分配到
axbx< br>个，乙分配到个.
abab
ax
，
ab
⑵已知两组物 体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题
例如：两个类别
A
、
B
，元素的数量比为
a:b
(这里
ab
)，数量差为
x
， 那么
A
的元素数量为
B
的元素数量为
bx
，所以解题的关键 是求出

ab

与
a
或
b
的比值．
ab

四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题 关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，
将不同的单 位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题
时， 要注意以下几点：
1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
3. 应用正、反比例性质解答应用题时要 注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是
成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与 其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更
好、更巧的解法。
4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。
5. 赋值解比例问题

例题精讲
模块一、比例转化

【例 1】 甲、乙、丙三个数，已知甲: （乙+丙）
4:3
，乙:丙
2:7
，求甲:乙:丙。
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由
乙:丙2:7
可得到
乙:

乙丙

2:9
，
丙:

乙丙

7:9
， 而
甲:

乙丙

4:3
，
427
所以：
甲:乙:丙::12:2:7
．
399
【答案】
12:2:7


【例 2】 已知甲、乙 、丙三个数，甲的一半等于乙的
2
倍也等于丙的
22
，那么甲的、乙的
2
倍、丙的
33
一半这三个数的比为多少？
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
2
这三个数的比为
1:1:1< br>，所以甲、乙、丙这三个数的比为
3
13
2

1

2

即，化简为，那么甲的、乙的
2
倍、丙的一半这三个
1 :12:1
2::
4:1:3


22
3< br>
2

3

3
2

1

8
数的比为

4

:

12
:

3

即
:2:
，化简为
16 :12:9
.
3

2

2

3
【答案】
16:12:9

【解析】 甲的一半、乙的
2
倍、丙的

【例 3】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙 、丙两数和的
两数和的
1
1
，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙
3
2
5
，求甲:乙:丙.
7
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
1
11
，得到甲等于三个数和的

，同样的乙等于甲、丙两数和的
3
3+14
55115
1 1

，所以甲:乙:丙
::3:4:5
．

，同样 的丙等于甲、乙两个数和的
75124312
2+13
【答案】
3:4:5

【解析】 由甲等于乙、丙两数和的

1
1
【例 4】 甲、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少，甲、乙的速度比是 ．
11
5
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2008年，清华附中

【解析】 甲走的路程是 乙走的路程的
611
，甲用的时间是乙用的时间的，所以甲的速度是乙的速度的
510
61112

，即甲、乙的速度比是
12:11
．
51011
【答案】
12:11


【例 5】 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的
平方米． 问：水池占多少平方米?
36
是草地；圆的是竹林；竹林比草地多占地450
47

【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 正方形的
36
是草地，那如果水池占1份，草地的面积便是3份；圆的是竹 林，水池占1份，竹
47
林的面积是6份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3份。3 份的面积是450平方米，可见1
份面积是450÷3=150（平方米），即水池面积是150平方米 。
【答案】150

【例 6】 如下图所示，圆
B
与圆
C
的面积之和等于圆
A
面积的
4
，且圆
A
中的阴 影部分面积占圆
A
面
5
111
积的，圆
B
的阴影部 分面积占圆
B
面积的，圆
C
的阴影部分面积占圆
C
面积的． 求圆
A
、
653
圆
B
、圆
C
的面积之比．
A
B
C

【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设
A
与
B
的共同部分的面积为
x
，
A
与
C
的共同部分的面积为
y
，则根据题意有
5C
5BC

B

BC

6

xy

，
x
，
y
，于是得到
< br>BC

6




，这条式子可
4
43
5

53

5
化简为
B15C
，所以
A

BC

20C
.最后得到
A:B:C20:15:1
.
4
【答案】
A:B:C20:15:1

A

【例 7】 地球表面的陆地面积和海洋面积之比是29∶71，其中陆地的四分之三在北半球，那么南 、北半
球海洋面积之比是（ ）
A. 284∶29 B. 284∶87 C. 87∶29 D. 171∶113
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，六年级
【解析】 解：设地球表面积为1，
31.13
则北半球海洋面积为：0.5－0.29×＝
44
南半球海洋面积为：0.71－
1.131.71
＝
44
1.711.13
∶＝171∶113
44
南北半球海洋面积之比为：
答案：D
【答案】D

【例 8】 某俱乐部男、女会员的人数之比是
3:2
，分 为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比
是
10:8:7
，甲组中男、女会员 的人数之比是
3:1
，乙组中男、女会员的人数之比是
5:3
．求
丙 组中男、女会员人数之比．
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
1033311

，女会员为

，乙组男会员
1087311010310
3

31

1
851133
为





，女会员为
 
，女会员为

；丙组男会员为
3+2

105

10
10875355525
2

13

9
19
；所以，丙组中男、女会员人数之比为
:




5:9
．
3+2

1025

50
1050
【答案】
5:9

【解析】 以总人数为1，则甲组男会员人数为

【巩固】 某团体有
100
名会员，男 女会员人数之比是
14:11
，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数
之和一样多 ，各组男女会员人数之比依次为
12:13
、
5:3
、
2:1
，那么丙组有多少名男会员？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 会员总人数
100
人，男女比例为
14:11< br>，则可知男、女会员人数分别为
56
人、
44
人；又已知甲
组 人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为
50
人，乙、丙人数之和为
50
人，可设
丙组人数为
x
人，则乙组人数为

50x

人，又已知甲组男、女会员比为
12:13
，则甲组男、女
会员人数分别 为
24
人、
26
人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：
5 2
24(50x)x56
，解得
x18
．即丙组会员人数为
18
人，又已知男、女比例，可得丙
83
2
组男会员人数为
18 12
人．
3
【答案】
12


【例 9】 一 项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的
一段时间后， 分别剩下
60%
、
40%
的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设 速度)
之比
3:1
，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (法一)甲工程队以
3
倍乙工程队建设速度，仅完成了
40%< br>的承包任务，而乙工程队完成了
60%
，
所以甲工程队承包任务的
40 %
等于乙工程队承包任务的
60%3180%
，所以甲工程队的承包
的任 务是乙工程队承包任务的
180%40%450%
，所以两个工程队承包的修建公路长度之 比
为
450%:19:2
．
(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公 路长度)之比等于工作效率之比，等于
3:1
，而他们分别
完成了各自任务的
40%
和
60%
，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为

3 40%

:

160%

9:2
．
【答案】
9:2


【例 10】
A
、
B
、
C
三项工程的工作量之比为
1:2:3
，由甲、乙、丙三队分别 承担．三个工程队同时开
工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作 量是丙未完成
的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率 的
比是多少？
【考点】比例应用题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2007年，华杯赛，总决赛
【解析】 根据题意，如果把A
工程的工作量看作
1
，则
B
工程的工作量就是
2，
C
工程的工作量就是
3
．
设甲、乙、丙三个工 程队的工作效率分别为
x
、
y
、
z
.经过
k
天，则：
ky

2kx2



3ky3kz

kz1kx


1


2

3


将⑶代入⑵ ，得
ky
将
x
2kx
3

4
，将⑷代入⑴，得
2kx2
4
2kx
，
x
，
7k
3
463
代入⑴，得
y
．代入⑶，得
z< br>．
7k7k7k
463
甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是
::4:6:3
．
7k7k7k
【答案】
4:6:3


【巩固】 某次数学 竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖
的人数占该校获奖总 人数的百分数与乙校相应的百分数的比为
5:6
；③甲、乙两校获二等奖的人
数总和占 两校获奖人数总和的
20%
；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的
50%
；⑤甲校获
二等奖的人数是乙校获二等奖人数的
4.5
倍．那么，乙校获一等奖的人数 占该校获奖总人数的百
分数等于多少？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的 比为
6:5
，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖．由
③知两校获二等奖的 共有
(6050)20%22
人；由⑤知甲校获二等奖的有
22(4.51 )4.518
人；由④知甲校获一等奖的有
606050%1812
人， 那么乙校获一等奖的也有12人，从而所
求百分数为
1250100%24%
．
【答案】
24%


【例 11】 ①某校毕业生共有9个班，每班 人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总
数多1；③四、五、六班三个班的女生总数 比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕
业生中男、女生人数比是多少？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由③知，四至九班的 男
生总数比四、五、六班总人数少1．

一班男生 比 二、三班女生 多1人

加上 二、三班男生 二、三班男生

一、二、三班男生 比 二、三班总人数 多1人

七、八、九班男生 比 四、五、六班女生 少1人

加上 四、五、六班男生 四、五、六班男生

四、五、六、七、八、九班男生 比 四、五、六班总人数 少1人
因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和， 由于每班人数均相等，
则女生总数等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是
5:4< br>．
【答案】
5:4


=
模块二、按比例分配与和差关系
（一）量倍对应
【例 12】 一些苹果平均分给 甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到
16
个，而甲、乙两班的人数比为
13:11< br>，
求一共有多少个苹果？
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 一共有
16

1311



1311

192
个苹果.
【答案】
192
个

【巩固】 甲、乙两个班共种树若干棵，已知 甲班种的棵数的
1
1
等于乙班种的棵数的，且乙班比甲班多
5
4种树
24
棵，甲、乙两个班各种树多少棵?
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 甲、乙两班种树棵数之比为：
:
11
4:5
，甲班种树棵数为：
24

54

496
(棵)，乙班种
54

树棵数为：
24 

54

5120
(棵)．
【答案】
120
棵

【例 13】 甲乙两校参加数学竞赛的人数 之比是7：8，获奖人数之比是2：3，两校各有320人未获奖，那
么两校参赛的学生共有 人。
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，一试
【解析】 方法一：设甲、乙两校参加希望杯的学生人数各 有
7x
人，
8x
人。根据题意列方程得
(7x320)∶(8x 320)2∶3
，解得
x64
。两校参加人数为
7x8x15x9 60
人。
方法二：因为
725
，
835
。 所以设甲乙两校各有7份，8份人，校参加人数为
（人）
3205(78)960
【答案】
960
人

【例 14】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完 成任务
时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是
11
:5:3
，工作时间相同，工 作量与工作效率成正比，所以师
915
5353
傅与徒弟分别完成总量的和，师傅和徒 弟一共加工了
100()400
个零
5353
5353
件(涉及到数量差和数量比的题在以下题目中详细讲述).
【答案】
400
个

【巩固】 师徒二人共加工零件
400
个，师傅加工一个零件用
9
分钟，徒弟加工一个零件用
15
分钟．完成
任务时，师傅比徒弟多加工多少个 零件？
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
11
:5:3
，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所
915< br>53
以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅比徒弟多加工零件
5353
3< br>
5
400



100
个．

5353

【答案】
100
个
【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是

【例 15】 甲、乙两只蚂蚁同时从
A
点出 发，沿长方形的边爬去，结果在距
B
点
2
厘米的
C
点相遇， 已知
乙蚂蚁的速度是甲的
1.2
倍，求这个长方形的周长．
A
甲
乙
C
B

【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 两只蚂蚁在距
B
点< br>2
厘米的
C
点相遇，说明乙比甲一共多走了
224
(厘米 )．又知乙蚂蚁的速
度是甲蚂蚁的
1.2
倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的 路程比为：1.2：1＝6：5，
所以甲爬的路程是
4

65

520
(厘米)，乙爬的路程是
20424
(厘米)，长方形的周 长为
202444
(厘米)．
【答案】
44


【巩固】 甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时相向开出，甲车的速度 是
50
千米／小时，乙车的速度是
40
千

米／小时， 当甲车驶过
A
、
B
距离的
1
多
50
千米时 与乙车相遇，
A
、
B
两地相距 千
3
米．
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 在相同的时间内，两车行驶的路程比等于两车的速度之比，由于两车的速度之比等于
155

，所以
50
千米的距
50:405:4
，那么< br>A
、
B
距离的多
50
千米即是
A
、
B
距离的
3459
2

51

2
离相当 于全程的




，全程的距离为
50225
(千米)．
9

93

9
【答案】
225


【例 16】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为
3:4:6
，三人一共藏 书
52
本，求他们三人各自
的藏书数量.
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
346
、、，
34634 6346
34
所以小新拥有的藏书数量为
52
小志拥有的藏书数量为
5212
本，
16
本，
346346
6小刚拥有的藏书数量为
5224
本.
346
【答案】
24

【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的

1
1
【巩固】 有
120
个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到多少皮球？
3
2
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
11
3
【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比
: 3:2
，所以一班分到皮球
12072
个，二班
32
23< br>分到皮球
1207248
个．
【答案】
48


【例 17】 圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔 的单价是每
支多少元?
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔 的价格为20×4+21×3=143，
则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5元．所以圆珠 笔的单价是0.5×4=2(元)．
【答案】2

【例 18】 在抗洪救灾区活 动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资
的和与乙、丙所捐资的和 之比是
10:7
，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元．
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所 捐资
的和为：
18(107)1060
(元)，乙、丙所捐资的和为
601842
元．所以，甲捐了
804238
(元)，乙捐了
60 3822
(元)，丙捐了
381820
(元)．
【答案】
20
元

【例 19】 一班和二班的人数之比是
8:7
，如果将一班的
8
名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变
为< br>4:5
．求原来两班的人数．
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 原来一班的人数为两班总人数的
前后一班人数的比值为
8 844

，调班后一班的人数是两班人数的

，调班
87154 59
84
:6:5
，所以一班原来的人数为
8

65

648
人，二班原来的
159
人数为
4887 42
人.

【答案】
42
人

【例 20】 一把小刀售价
3
元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是
2:5
；如果小
强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为
8:13
． 小明原来有多少钱？
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
55

，小明的钱相当于小明、小
257
888 5
强买刀后钱数和的

，所以小明、小强的钱数的比值为
:8:15
，而小明买刀后
8+1321217
小明、小强的钱数之比为
2:56:15，所以小明买刀前后的钱数之比为
8:64:3
，所以小刀的
431
1
售价等于小明原来钱数的

，所以小明的钱数为
312
元。也 可这样看，小明买刀与
44
4
28
未买刀的钱数比为
:3:4，小明的钱数为
4

3

43

12
（元）

721
【答案】
12
元
【解析】 由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的

【巩固】 甲、 乙两人原有的钱数之比为
6:5
，后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之
比为
18:11
，求原来两人的钱数之和为多少？
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】十三分，入学测试
【解析】 两人原有钱数之比为
6:5
，如果甲得到180元，乙得到150元，那么两人的钱数之比仍为
6:5
，
现在甲得到180元，乙只得到30元，相当于少得到了120元，现在两人 钱数之比为
18:11
，可
以理解为：两人的钱数分别增加180元和150元之后， 钱数之比为
18:15
，然后乙的钱数减少120
元，两人的钱数之比变为
1 8:11
，所以120元相当于4份，1份为30元，后来两人的钱数之和为
30(181 5)990
元，所以原来两人的总钱数之和为
990180150660
元．
【答案】
660
元

【例 21】 甲本月收入的钱数是乙收入的
5
3
，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲节余240元，乙节余480
84
元．甲本月收入多少元？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 甲、乙本月收入的比是
5:8
，分别节余240元和48 0元，支出的钱数之比是
3:4
．如果乙节余480
元，甲节余
4808 5300
元，那么两人支出的钱数之比也是
5:8
，现在甲只节余240元，多支出了60元，结果支出的钱数之比从
5:8
变成了
6:8
(即
3:4
)，所以这60元就对应
651
份，
那么甲支出了
60 6360
元，所以甲本月收入为
360240600
元．
【答案】
600
元

【例 22】 幼儿园大班和中班共有32名 男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为
5:3
，中班男生
数与女生数的比 为
2:1
，那么大班有女生多少名？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知 道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生全
部是大班，则大班男生数：女生数
5 :330:18
，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差
2个人；又中班男生数：女 生数
2:16:3
，以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加
1个男生， 所以需要换2组；所以，大班女生有
183212
(名)．
【答案】
12
名

【例 23】 参加植树的同学共有
7 20
人，已知六年级与五年级人数的比是
3:2
，六年级比四年级多
80人，
三个年级参加植树的各有多少人?
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 假设四年级和六年级人数同样多，则参 加植树的同学共有
72080800
人，四、五、六三个年
级的人数比为
3:2:3
，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加
植树的人 数．

3
300
人；
323
2
五年级：
800200
人；
323
四年级：
30080220
人．
【答案】六年级：
300
人；五年级：
200
人；四年级：
220
人
六年级：
800