地理常识-个人先进事迹材料

第六讲 等差数列

【例题精讲】
例1 计算下面各题：
（1）2+5+8+…+23+26+29；
（2）（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）。
解 （1）这是一个公差 为3，首项为2，末项为29，项数为（29-2）÷3+1=10
的等差数列求和。
原式=（2+29）×10÷2=31×10÷2=155
（2）解法一：原式=（2+100）×5 0÷2-（1+99）×50÷2=2550-2500=50；
解法二：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+…+（100-99）=1×50=50.
说明 两种解法相比较，解法一直套着公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了
题目的运算结构 和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结
构“1+1+…+1”，从而解得更巧、更好


例2 计算：1÷2003+2÷2003+3÷2003+…+2001÷20 03+2002÷2003+2003÷
2003.
分析：如果按照原式的顺序，先算各个商 ，再求和，既繁又难。由于除数都相同，
被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，…，2001，2 002，2003
所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数和，再求商。
解 原式=（ 1+2+3+…+2002+2003）÷2003=（1+2003）×2003÷2÷2003=1002.
说明 此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化。计算中又应用乘除
混合运算的简化 运算，使整个解答显得简捷明快。

例3 某小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可 以获奖。比赛结果第一
名1人，第二名并列2人，第三名并列3人……第十五名并列15人。用最简便< br>方法计算出得奖的一共又多少人？
分析：通过审题可知，各个名次的获奖人数正好组成一个等差 数列：1，2，3，…，
15.因此，根据求和公式可以求出获奖总人数。
解：（1+15）×15÷2=16×15÷2=120（人）


例4 某 体育馆西侧看台上有30排座位，后面一排都比前面一排多2个座位，最
后一排有132个座位。体育馆 西侧看台共有多少个座位？
分析：要求这30个数的和，必须知道第一排的座位数，而最后一排的座位 数是
由第一排座位数加上（30-1）×2得出来的，这样就可以求出第一排的座位
数。
解：第一排的座位数为：132-2×（30-1）=132-58=74（个）
所以 （74+132）×30÷2=206×30÷2=3090（个）

例5 学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场。
（1） 若有20人比赛，那么一共要进行多少场选拔赛？

（2） 若一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？
解： 设20个选手分别是A
1
,A
2
,A
2
,…,A20,我们从选手A
1
，开始按顺序 分析比赛
场次
：
A
1
必须和A
2
，A
3
，A
4
，…，A
20
这19人各赛一场，共计19场；
A
2
已和A
1
赛过，他只需和A
3
，A
4
， A
5
，…，A
20
这18名选手各赛一场，共计18场；
A
3
已和A
1
，A
2
赛过，他只需与A
4
，A5
，A
6
，…，A
20
这17名选手各赛一场，共计
1 7场；
依次类推，最后，A
19
只能和A
20
赛一场。
然后对各参赛选手的场次求和即可。
解 （1）这20名选手一共需赛
19+18+17+…+2+1=（19+1）×19÷2=190（场）。
（2） 设参赛选手有n人，则比赛场次是1+2+3+…+（n-1），根据题意，有
1+2+3+…+（n-1）=78,
经过试验可知，1+2+3+…+12=78，
于是n-1=12，n=13，所以，一共有13人参赛。
说明，（1）也可这样想，20人 每人都要赛19场，但“甲与乙”、“乙与甲”只能
算一场，因此，共进行20×19÷2=190（场 ）比赛。
（2）采用了试验法，这是一种很实用的方法，希望同学们能熟练掌握。

一、求和：
（1）100+102+104+106+108+110+112+114
解：（100+114）×8÷2
=214×8÷2
=856
（2）995+996+997+998+999
解：996×7
=6972
（3）1+3+5+7+9…95+97+99
解：50×50
=2500
（4）（1+3+5+…+1999）-(2+4+6+8+…+1998)
解：（1+1999）×1000÷2—（2+1998）×999÷2
=2000×1000÷2—2000×999÷2
=1000000—999000
=1000
(5）1+3+5+…+197+199
这是一个公差为2、首 项为1、末项为199、项数=(199—1)÷2+1=100的等差数
列,原式=(1+199)× 100÷2=10000
（6）81+79+…+13+11
这是一个公差为2,可重新排 列列为11+13+…+79+81的等差数列,项数=(81-11)
÷2+1=36,
原式=(11+81)×36÷2
=46×36

=1656
（7）1-2+3-4+5-6+…+2009-2010+2011
原式=1+(3-2)+(5-4)+…+(2009-2008)
(2011-2010)=1+1+1+…+1+1=1006
共有2010÷2=1005个1
（
8）6+10+14+…+398+402
解：
(1)6+10+14+...+398+402
=(6+402)+(10+398)+...+(202
+206)
=408×50
=20400
(9)100+99-98+97-96+…+3-2+1
解：
100+(99-98)+(97-96)+...+(3-2)+1
=100+49+1
=150

应用题
(1)自1开始，每隔两个数写出一个数来，得到的数 列为
1,4,7,10,13,,,,求出这个数列前100项的和。
由分析可知，第一百项是： 3×（100—1）+1=298
(1+298)×（100÷2）=299×50=14950
答：这个数列前100项之和是14950
（2）影剧院有座位若干排，第一排座位25个， 以后每排比
第一排多3个位置，最后一排有94个座位，请问，这个影
剧院共有多少个座位?
解答：
(94-25)÷3+1
=69÷3+1

=23+1
=24(排)(知某数,求行列数【数列分组组数阵问题】)
(25+94)×24÷2
=119×24÷2
=1428(个)(等差数列【数列可题找规律】)
答:这个电影院一共有1428个座位。
（
3）小红读一本书，第一天读了30页，从第二天起，每天读
的页数都比前一天 多4页，最后一天读了70页，刚好读完，
请问这本小说多少页？
解答：
(70-30)÷4+1
=40÷4+1
=10+1
=11(天
(30+70)×11÷2=100×11÷2=550(页)
答:这本小说共有550页。

（4）有12个同学聚会,如果见面时每个人都和其余的人握
手1次,那么一共握手多少次?
12个同学聚会，每个人都要与其他的11人握手一次，每两人只握手
1次,一共握手12×( 12-1)÷2=66(次)

答:共握手66次
(5)
聚会结束时,统计出一共握手36次,如果参加聚会的每个
人都和其他人握手1次,问:有多少人参加聚 会?
这个问题是(1)的逆问题,由
36=9×4=9×8÷2=9×(9-1)÷2=9
答:有9人参加聚会。

（6）已知一列数按以下顺序排列2，3，5，9,17, 33...如此
继继续排下去，则第8个数是什么？
解:从第2个数起,每个数都是它前面一 个数的2倍与1的差,因此接
下去的第7、8个数依次是33×2-1=65,65×2-1=129

（7）盒子里放有1只球,一位魔术师第一次从盒子里将这1
只球拿出,变成3只球 后放回盒子里，第2次从盒子里拿出2
只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里;如此继线下去，最后第10次从盒子里拿出10只球,将毎只球各变成3只球
后放回盒子里.这时盒子里共有多少只 球?
解:一只球变为3只球,实际上多了2只球.因为第几次就拿出几个球
所以第1次多了2 ×1只球,第2次多了2×2只球,第3次多了2×3
只球……第10次多了2×10只球,总共有:1 +2×1+2×2+2×3+…+2
×10=1+2×(1+2+3+…:+10)=1+2×(1+1 0)×10÷2=111只