个人职业发展规划-三扶一支

四年级奥数教程第6讲：利用等差规律
计算若干个数排成一列称为数列。数 列中的每一个数称为一项。其中第一
项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后
项与前项的差称为公差。
在这一章要用到三个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”跟求总和公
式。
求总和公式:总和=（首项+末项）×项数÷2
第几项公式：第几项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首
项）÷公差＋1
【例题1】有一个数列：4，10，16，22，…，52.这个数列共有多少项？
项数=（末项－首项）÷公差＋1
=（52-4）÷6+1
=48÷6+1
=9
【思路】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要
求 项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
【练习1】
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？
项数=（末项－首项）÷公差＋1
=（39-1）÷2+1
1 13

=38÷2+1
=20
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
项数=（末项－首项）÷公差＋1
=（101-2）÷3+1
=99÷3+1
=34
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
项数=（末项－首项）÷公差＋1
=（1001-11）÷5+1
=990÷5+1
=
【例题2】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项
是多少？
第几项=首项+（项数－1）×公差
=3+（100-1）×4
=3+99×4
=399
【思路】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，< br>可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.
2 13

【练习2】
1.一个等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？
第几项=首项+（项数－1）×公差
=3+（10-1）×2
=3+9×2
=21
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
第几项=首项+（项数－1）×公差
=1+（30-1）×3
=1+29×3
=88
3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。
第几项=首项+（项数－1）×公差
=2+（100-1）×4
=2+99×4
=398
作业：①熟背公式；②P33页，随堂练习1三题；P36页填空题1~5.作业< br>写在练习本上！书本不用带！
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100 。请求出这个数列所有项
的和。
【思路】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，
3 13

3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+ （3+98）+…+（99+2）+
（100+1），其中每个小括号的两个数的和都是
10 1.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以
2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列， 经
研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
【练习3】计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2 ）÷2+1=25首项=2.末项=50，项数
=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
【练习4】计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…++200
（3）9+18+27+36+…+261+270
4 13

【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
【思路】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别
求出它们各自的和，然 后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇
数与 偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数
列中的每一项分别对应相减， 可得到50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1
=50
【练习5】用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－
（2000+1998+1996+1994）
（2）（2+4+6+…+2000）－（1 +3+5+…+1999）（3）（1+3+5+…+1999）－
（2+4+6+…+1998）
【例2】计算:1+11+21+…+1991+2001+2011=第九届“希望杯”初赛第2题)
分析根据题意可知:要求本题的和必须先求项数,根据项数(末项一首项)÷公差
+1,可求得 项数再根据和=(首项+末项)×项数÷2,可求得和
解项数=(2011-1)÷10+1=201+1=202
1+11+21+…+1991+2001+2011能OE的
=(1+2011)×202÷2
=2012×202÷2
=203212
随堂练习1
5 13

计算
(1)1+3+5+…++=
项数=（末项-首项）÷公差+1=（-1）÷2+1=100 总和=（首项+末项）×项数
÷2=（1+）×100÷2=10000(2)81+79+…+13+ 11=
项数=（首项-末项）÷公差+1=（81-11）÷2+1=36总和=（首项+末项）×项 数
÷2=（11+81）×36÷2=1656(3)1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+1 1-12+
+2011）-（2+4+6+8+10+……+2010）
（1+3+5+7 +9+……+2011）=1012=1006…+2007-2008+2009-
2010+201 1=（1+3+5+7+9+……项数：（末项-首项）÷公差+1=（2011-1）
÷2+1=10 06总和=（首项+末项）×项数÷2=（1+2011）×1006÷2=1012036
（2+4+6+8+10+……+2010）=1011030
项数：（末项-首项）÷公差 +1=（2010-2）÷2+1=1005总和=（首项+末项）×
项数÷2=（2+2010）×1 005÷2=1011030
【例3】编号是1,2,3,…,36的36名同学按编号顺序面向里站 成一圈.第1次,
编号是1的同学向后转;第2次,编号是2、3的同学向后转;第3次,编号是4、< br>5、6的同学向后转……第36次,全体同学向后转，这时,面向里的同学还有几名？
1+2+ 3+4+5+……+36=（首项+末项）×项数÷2=（1+36）×36÷2=666（次）
666÷36=18（次）……18
36-18=18人
分析根据题意可知:第1 次向后转1个人,第2次向后转2个人,第3次向后转
3个人……第35次向后转35个人.这时,向后 转的同学总数
为:1+2+3+…+35=(1+35)×35÷2=630(名)可是,学生只有36 名,所以
630÷36=17………18.这说明每个学
生向后转了17次后,各有18名同 学面向里、面向外解
1+2+3+…+35=(1+35)×35÷2=630(名)
6 13

630÷36=17(次)…。·…18(名)
这时,面向里的同学还有18名.
第36次,全体同学向后转,这时,面向里的同学仍然是18名.了
【例4】某体育馆西侧看 台有30排座位,后面一排都比前面一排多2个座位,
最后一排有132个座位,体育馆西侧看台共有多 少个座位?
项数：30；末项：132；公差：2
第几项：末项=首项+（项数-1）×公差
132=首项+（30-1）×2，首项=132 -58=74总和=（首项+末项）×项数÷2=
（74+132）×30÷2=3090分析要求这3 0个数的和,必须知道第一排的座位数,而最
后一排座位数是由第一排座位数加上(30+1)×2得出 来的,这样就可
以求出第一排的座位数.“
解第一排座位数为子限的年:xx得
(30-1)
12-58-74(个),÷(首一页末)
所以
(74+132)×30÷2=206×30÷2=3090(个
答西侧看台共有3090个座位.
随堂练习2
(1)按一定规律排列的算式:4+ 2,5+8,6+14,7+20,8+26…,那么第100个算式是什
么?
第几项：末项=首项+（项数-1）×公差
7 13

作业：P35页：随堂练习3:1,2两题；P37页：选择题7，8,9, 10全写，简答
题：11,12,14,15
【例5】学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他选手赛1场
(1)若有20人参赛,那么一共要进行多少场选拔赛?
19+18+17+16+……+1 =（首项+末项）×项数÷2=（19+1）×19÷2=190（场）
(2)若一共进行了78场比 赛,有多少人参加了选拔
赛?1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78
12+1=13人
分析设20个选手分别是
A1, A2,A
顺序分析比赛场次
A20,我们从选手A1开始按
A1必须和A2,A3,A4, …,A20这19人各赛1场,共计19场;诗得A2已和A1赛
过,他只需和A3,A4,A5,…, A2这18名选手各赛1场,共计18场;
A3已和A1,A2赛过,他只需与A4,A5,A6,…,A20这17名选手
各赛1场,共计17场
依次类推,最后,A只能和A20赛1场
然后对各参赛选手的场次求和即可.
解(1)这20名选手一共需赛
19+18+17+…+2+1=(19+1)×19÷2=190(场)
(2)设参赛选手有n人,则比赛场次是
平,
8 13

平是
去1+2+3+…+(n-1),长一民不
根据题意有
平1的不
1+2+3+…+(n-1)=78
经过试验可知
1+2+3+….羊12=78,
(“:
于是
n-1=12,n2=13
所以,一共有13人参赛
说明(1)也可这样想:20人每人都要赛19场,但“甲与乙”、“乙与甲”只
能算一场, 因此,共进行20×19÷2=190(场)比赛.曾5所次:米资(2)采用了试验法,
这是一种很实 用的方法,希望同学们能熟练掌握.
随堂练习3
(1)有12个同学聚会,如果见面时每个人都和其余的人握手1次,那么一共握
手多少次?
1+2+3+4+5+……+10+11=66次
项数：（末项-首项）÷公差+1=（11 -1）÷1+1=11总和=（首项+末项）×项数
÷2=（1+11）×11÷2=66(2)聚会结 束时,统计出一共握手36次,如果参加聚会的每个
人都和其他人握手1次,问:有多少人参加聚会?
36=1+2+3+4+5+6+7+8
9 13

8+1=9人
填空题
1、0+1+2+……+100+101=
项数=（末项-首项）÷公差+1=（101-1）÷2+1=51总和=（首项+末项）×项数
÷2=（1+101）×51÷2=51512、2+5+8+……+299=
项数=（末项-首项 ）÷公差+1=（299-2）÷3+1=100总和=（首项+末项）×项
数÷2=（2+299）× 100÷2=150503、(7+9+11+…+23+25)-(5+7+9+11+…+23)=160-
140=20
(7+9+11+…+25)=160
项数=（末项-首项）÷公差 +1=（25-7）÷2+1=10总和=（首项+末项）×项数
÷2=（7+25）×10÷2=16 0(5+7+9+…+23)=140
项数=（末项-首项）÷公差+1=（23-5）÷2+1=1 0总和=（首项+末项）×项数
÷2=（5+23）×10÷2=1404、在1~100这100个自 然数中,能被3整除的数的和
是：3+6+9+12+……+99=1683
项数=（末项- 首项）÷公差+1=
总和=（首项+末项）×项数÷2=
5、1-2-3+4+5-6-7 +8+9-10-11+12+…+1997-1998-1999+2000=0
6、现有10个盒 子,用下面方法往盒中装小球儿:第1个盒装1个,第2个盒
装4个,第3个盒装7个………照这样的装 法,则将10个盒都装完,共需几个小球.
三、选择题
(⑦)将下面两个式子的结果进行比较,得到的结论是( A )(1)(2+4+6+…+100)-
(1+2+3+…·+48+49+50);
(2)(1+3+5+…+99)-(50+49+48+…+3+2+1)
(A)(1)式比(2)式多50
10 13

(B)(2)式比(1)式多50
(C)(1)式等于(2)式
(D)以上答案都不对
(8如果1,a
2,a
3,a
4,25组成等差数列,那么a3是( B )(A)11
(B)13
(C)15
(D)175
第几项：末项=首项+（项数-1）×公差
25=1+（5-1）×公差公差=6
(9有一本书共169页,小明第一天看了1页,以后 每天都比前一天多看2页,
则看完这本书需用()试数法
(A)12天
(B)13天
(C)14天
(D)29天
1+3+5+7+9+11+ 13+15+17+19+21+23+25=169（25-1）÷2+1=13
10某班共买来6 6本课外书,把它们分别放在书架上,每次摆放都是下面层比
上面一层多放1本书,则至多要放的层数为 ( C )(A)9
(B)10
11 13

(C)11
D)12
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66
简答题
①计算:880-3-6-9-…-57
=880-（3+6+9+12+15+……+57）
=880-570=310
3+6+9+12+15+……+57=（3+57）×19÷2=570
项数：（57-3）÷3+1=19
2(1)所有两位偶数的和是多少?
10+1 2+14+16+18+……+96+98=（10+98）×45÷2=2430项数：（98-10）
÷2+1=45
(2)所有除以3余2的两位数的和是多少?
11+14+17+20+ 23……+95+98=（11+98）×30÷2=1635项数：（98-11）÷3+1=30
13已知数列5,7,1117,,按照前几项的规律,写出该数列的第项
14小青蛙沿着台 阶往上跳,每跳一次都比上一次升高4厘米.它从离地面10
厘米处开始跳,这一处称为小青蛙的第一个 落脚点,如果它的第100个落脚点正好
在台阶尽头的亭子,那么这个亭子距地面多少厘米?
末项：10+（100-1）×4=406厘米
15时钟一点敲1下,两点敲2下,依次类推,十二点时敲12下,半点时敲1下。
(1)从1点到5点共敲多少下?
12 13

< br>1点：1；2点：2；3点：3；4点：4；5点：5；1点半：1；2点半：1；3
点半：1； 4点半：1；
15+4=19下
(2)一昼夜共敲多少下?
整点：1点：1；2 点：2；3点：3；4点：4；5点：5；……12点，12；
1+2+3+4……+12=78次 < br>半点：0点半：1；1点半：1；2点半：1；3点半：1；4点半：1；……11
点半，1；一 共12次
78+12=90次
一昼夜共敲：90×2=180次
作业：P40： 随堂练习1（1），（2），P41随堂练习2:1题；P45页练习
题：1,2,3,4，11
13 13