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趣味数学故事

1、
气象学家Lorenz提 出一篇论文，名叫「一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas州引起龙卷风？」
论述某系统如果初期条件 差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴蝶效应」。就像
我们投掷骰子两次，无论我们如何 刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点数也不一定是相同的。
Lorenz为何要写这篇论文呢？

这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑。平时， 他只需要将
温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下一刻可能 的
气象数据，所以模拟出气象变化图。

这个天，Lorenz想更进一步 了解某段纪录的後续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑，
让电脑计算出更多的後续结果。当时， 电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之前，充足他
喝杯咖啡并和友人闲聊一阵。在一小时後，结果 出来了，不过令他目瞪口呆。结果和原资讯两相
比较，初期数据还差不多，越到後期，数据差异就越大了 ，就像是不同的两笔资讯。而问题并不
出在电脑，问题是他输入的数据差了0.000127，而这些微 的差异却造成天壤之别。所以长期的
准确预测天气是不可能的。

参考资料：阿草的葫芦(下册)——远哲科学教育基金会

2、动物中的数学“天才”

蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角 形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的
底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度2 8分，所有的锐角为70度32分，
这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。

丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更 精确地计算
还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚 石结
晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？

蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画
出像蜘蛛网那样匀称的图案。

冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间 也有数学，因为球形使身体的表面积最小，
从而散发的热量也最少。

真正 的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上
“刻画”出36 5条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的
珊瑚虫每年“画”出4 00幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年
不是365天，而是400 天。(生活时报)

3、麦比乌斯带

每一张纸均有两个面和封闭曲线状的棱(edge)，如果有一张纸它有一条棱而且 只有一个面，使
得一只蚂蚁能够不越过棱就可从纸上的任何一点到达其他任何一点，这有可能吗?事实上 是可能
的只要把一条纸带半扭转，再把两头贴上就行了。这是德国数学家麦比乌斯
(M?biu s.A.F1790-1868)在1858年发现的，自此以後那种带就以他的名字命名，称为麦比乌斯带。< br>有了这种玩具使得一支数学的分支拓朴学得以蓬勃发展。

4、数学家的遗嘱

阿拉伯数学家花拉子密的遗嘱，当时他的妻子正怀着他们的第一胎小孩。“如果我亲 爱的妻子
帮我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一；如果是生女的，我的
妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。”。

而不幸的是， 在孩子出生前，这位数学家就去世了。之后，发生的事更困扰大家，他的妻子帮
他生了一对龙凤胎,而问 题就发生在他的遗嘱内容。

如何遵照数学家的遗嘱，将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢？

5、火柴游戏

一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干支火柴於桌上，两人轮流取，每次 所取的数
目可先作一些限制，规定取走最後一根火柴者获胜。

规则一：若限制每次所取的火柴数目最少一根，最多三根，则如何玩才可致胜？

例如：桌面上有n=15根火柴，甲﹑乙两人轮流取，甲先取，则甲应如何取才能致胜？

为了要取得最後一根，甲必须最後留下零根火柴给乙，故在最後一步之前的轮取中，甲不能留
下1根或2根或3根，否则乙就能够全部取走而获胜。如果留下4根，则乙不能全取，则不管乙
取几根 （1或2或3），甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏。同理，若桌上留有8根火柴让乙
去取，则无论 乙如何取，甲都可使这个次轮取後留下4根火柴，最後也一定是甲获胜。由上之分
析可知，甲只要使得桌 面上的火柴数为4﹑8﹑12﹑16...等让乙去取，则甲必稳操胜券。所以若
原先桌面上的火柴数为 15，则甲应取3根。（∵15-3=12）若原先桌面上的火柴数为18呢？则甲
应先取2根（∵18 -2=16）。

规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则又如何致胜？

原则：若甲先取，则甲每次取时，须留5的倍数的火柴给乙去取。

通则：有n支火柴，每次可取1至k支，则甲每次取後所留的火柴数目必须为k+1之倍数。

规则三：限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1﹑3﹑ 7，则又该
如何玩法？

分析：1﹑ 3﹑7均为奇数，由於目标为0，而0为偶数，所以先取者甲，须使桌上的火柴数为
偶数，因为乙在偶数 的火柴数中，不可能再取去1﹑3﹑7根火柴後获得0，但假使如此也不能保
证甲必赢，因为甲对於火柴 数的奇或偶，也是无法依照己意来控制的。因为〔偶-奇=奇，奇-奇=
偶〕，所以每次取後，桌上的火 柴数奇偶相反。若开始时是奇数，如17，甲先取，则不论甲取多
少（1或3或7），剩下的便是偶数， 乙随後又把偶数变成奇数，甲又把奇数回覆到偶数，最後甲
是注定为赢家；反之，若开始时为偶数，则甲 注定会输。

通则：开局是奇数，先取者必胜；反之，若开局为偶数，则先取者会输。

规则四：限制每次所取的火柴数是1或4（一个奇数，一个偶数）。

分析：如前规 则二，若甲先取，则甲每次取时留5的倍数的火柴给乙去取，则甲必胜。此外，
若甲留给乙取的火柴数为 5之倍数加2时，甲也可赢得游戏，因为玩的时候能够控制每轮所取的
火柴数为5（若乙取1，甲则取4 ；若乙取4，则甲取1），最後剩下2根，那时乙只能取1，甲便
可取得最後一根而获胜。

通则：若甲先取，则甲每次取时所留火柴数为5之倍数或5的倍数加2。6、韩信点兵

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3
人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫不过不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数994 5（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，
故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得 9948（人）。

中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物， 不知其数，三三数之，剩二，
五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」

答曰：「二十三」

术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩 三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并
之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一 ，则置七十，五五数之剩一，则置
二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」

孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个
考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为
中国剩 余定理。中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常
重要的地位。

整数的诞生

公共汽车上，有一位年轻的妈妈抱着她的小宝宝坐在车窗边，她正在教

她的小宝宝数数呢。她伸出一个手指问：“这是几呀？”正在咿呀学语的小
孩望了望妈妈，答道：“ 一”。妈妈伸出了两个手指问：“这是几呀？”小孩
想了想答道：“二”。妈妈又伸出三个手指，小孩犹 豫了好一阵，回答：“三。”
再伸四个手指时，小孩答不出来了。在这个小孩看来，那些手指实在太多< br>了，他已经数不清了。其实，能数到三，对一个黄口孺子来说，已经很不
简单了。

要知道，学会数数，那不过人类经过成千上万年的奋斗才得到的结果。
如果我们穿过“时间 隧道”来到二、三百万年前的远古时代，和我们的祖先
--类人猿在一起，我们会发现他们根本不识数， 他们对事物只有“有”与
“无”这两个数学概念。类人猿随着直立行走使手脚分工，通过劳动逐步学会使用工具与制造工具，并产生了简单的语言，这些活动使类人猿的大脑
日趋发达，最后完成了由猿 向人的演化。这时的原始人虽没有明确的数的
概念，但已由“有”与“无”的概念进化到“多”与“少” 的概念了。“多少”比“有
无”要精确。这种概念精确化的过程最后就导致“数”的产生。

上古的人类还没有文字，他们用的是结绳记事的办法（《周易》中就有“上
古结绳而治，后 世圣人，易之以书契”的记载）。遇事在草绳上打一个结，
一个结就表示一件事，大事大结，小事小结。 这种用结表事的方法就成了
“符号”的先导。长辈拿着这根绳子就能够告诉后辈某个结表示某件事。这< br>样代代相传，所以一根打了很多结的绳子就成了一本历史教材。本世纪初，
居住在琉球群岛的土著 人还保留着结绳记事的方法。而我国西南的一个少
数民族，也还在用类似的方法记事，他们的首领有一根 木棍，上面刻着的
道道就是用于记事的。

又经过了很长的时间，原始人终于从一头野猪，一只老虎，一把石斧，
一个人，……这些不同的具体事物 中抽象出一个共同的数字--“1”。数“1”
的出现对人类来说是一次大的飞跃。人类就是从这个“1 ”开始，又经过很
长一段时间的努力，逐步地数出了“2”、“3”……，对于原始人来说，每数
出一个数（实际上就是每增加一个专用符号或语言）都不是简单的事。直
到本世纪初，人们还在原始森 林中发现一些部落，他们数数的本领还很低。
例如在一个马来人的部落里，如果你去问一个老头的年龄， 他只会告诉你：
“我8岁”。这是怎么回事呢？因为他们还不会数超过“8”的数。对他们来说，
“8”就表示“很多”。有时，他们实在无法说清自己的年龄，就只好指着门
口的棕榈树告诉你：“我 跟它一样大。”

这种情况在我国古代也曾发生并在古汉语中留下了痕迹。比如“九霄”< br>指天的极高处，“九派”泛指江河支流之多，这说明，在一段时期内，“九”
曾用于表示“很多” 的意思。

总来说之，人类因为生产、分配与交换的需要，逐步得到了“数”，这些
数排列起来，可得

1，2，3，4，……，10，11，12，……

这就是自然数列。

可能因为古人觉得，打了一只野兔又吃掉，野兔已经没有了，“没有”
是不需要用数来表示的。所以数“0”出现得很迟。换句话说，零不是自然
数。

后来因为实际需要又出现了负数。我国是最早使用负数的国家。西汉（公
元前二世纪）时期 ，我国就开始使用负数。《九章算术》中已经给出正负

数运算法则 。人们在计算时就用两种颜色的算筹分别表示正数和负数，而
用空位表示“0”，仅仅没有专门给出0的 符号。“0”这个符号，最早在公元
五世纪由印度人阿尔耶婆哈答使用。

到这时候，“整数”才完整地出现了。