班主任工作实习计划-国际法试题

图中有多少个圆
前面，在“在趣的图形数”一文中谈到，图形数是数形结合的最好范例，它的优点是既形象直观又内涵丰富。比如下面这道题：
图中有多少个○？







就是一个很好的例子。
要 解决问题就要有解决问题的策略。解决问题是数学学习的一项重
要内容，而解决问题的策略既多样又灵活 ，更是数学思想方法的重要体
现，并且，对解题策略的推广和抽象概括，往往可以引申出某种规律性的认识，就更加具有数学思考价值。
以这道题为例：
策略一：自上而下，逐行相加。
(1＋3＋5＋7＋9＋11)＋(9＋7＋5＋3＋1)＝6
2
＋5
2＝36＋25＝61。
抽象概括：问题的实质是求n个连续奇数与n－1个连续奇数的和。
总和是n
2
＋（n－1）
2
。
策略二：看成两个正方形数的和。6
2
＋5
2
＝61。








抽象概括：问题的实 质是求两个连续数n与n－1的平方和。总和是

n
2
＋（n－1）2
。
策略三：看成4个三角形数的和加1。（5×6÷2）×4＋1＝61。







抽象概括：问题的实质是求4个 从1到n的连续自然数的和再加1。
总和是[n（n＋1）÷2]×4＋1。这里的n显然比前两种方法 中的n小1。
为了便于比较，把总和改写成[（n－1）n÷2]×4＋1。于是，[（n－1）
n÷2]×4＋1＝（n－1）n×2＋1＝2n
2
－2n＋1＝n
2
＋（ n
2
－2n＋1）＝n
2
＋（n－1）
2
。
策略四：给四个角各补上一个三角形数。11
2
－（5×6÷2）×4＝61









抽 象概括：问题的实质是求一个平方数n
2
与4个从1到（n－1）÷2
的连续数之和的 差，所以，总和是n
2
－4×[（n－1）÷2]×[（n－1）÷
2＋1]÷2。这 里的n显然比方法一和方法二中n的2倍小1。为了便于
比较，可以把总和改写成（2n－1）
2
－4×[（2n－2）÷2]×[（2n－2）
÷2＋1]÷2＝（2n－1）
2< br>－（2n－2）×n＝4n
2
－4n＋1－2n
2
＋2n＝2n
2
－
2n＋1＝n
2
＋（n
2
－2n＋1）＝n
2
＋（n－1）
2
。
通过以上4种策略的比较，不仅加深了我们对数形结合 的认识，也
使我们再一次感受到数学外在的形式美与内在的规律美的统一，无怪乎

毕达哥拉斯会给予图形数那么高的赞誉。