中外合资企业-考后感

第一讲 分解质因数
（2课时）
【学习导航】
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数，用质因数相乘的形式 表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3，
75=3×5×5。
分解质因数 ，是为数学课本上介绍的求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个
自然数分解成几个质因数相乘 的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而有助于
我们顺利解题。
一个质数的因数 只有两个：1和它本身。1既不是质数，也不是合数。2是最小的质数，
同时也是一个偶数。注意：在所 有的质数中，只有一个偶数，那就是2，正因为如此，两个
质数之和不一定是偶数，两个质数之积不一定 是奇数，这个特性经常成为解题的突破口。

例1
有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分
法？
【思路导航】先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，
从这5个质因数中任选1个，不符合要求；
从这5个质因数中任选2个：每份有2×7=14颗，3×7=21颗；
从这5个质因数中任选3个，每份有2×2×3=12颗，2×2×7=28颗，2×3×7=42颗；
从这5个质因数中任选4个，每份有2×2×2×3=24颗；
从这5个质因数中任选5个，不符合要求；
故共有6种分法。

试一试
把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之
间， 求每组的人数及分成的组数。









例2
将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99
【思路导航】14=2×7 55=5×11
1

24=2×2×2×3 56=2×2×2×7
27=3×3×3 99=3×3×11
可以 看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为要把这
八个数分成两组， 且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个
11。故分成的两组为（5、 99、24、14）和（55、27、56、2）。

试一试
下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算
式。
□□×□□=1288






例3
王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，< br>那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？
【思路导航】根据每人植 树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=7×7×11，如
果每人植7棵，这个班就有 7×11－1=76人；如果每人植树11棵，这个班共有7×7－1=48
人。

试一试
3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师 和
同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学生。









例4
下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。
□□×□□=1995
【思路导航】要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995有相同的
质因数。 1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995。因为要满足“数字各不< br>相同”的条件，所以取21×95=1995，这四个数字的和是：2＋1＋9＋5=17。

2

试一试
在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立，要求写出所有的情况。
□□□×□=1995





例5
三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？
【思路导航】三个质数相加的和是偶数 ，必有一个质数是2。80－2=78，剩下两个质数
的和是78，而且要使它们的积最大，只能是41 和37。因此，这三个质数是2、37和41。
最大积是2×37×41=3034
问题：两个自然数的和一定，这两个自然数满足什么关系时，乘积最大？




试一试
有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？








例6
长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？
【思路导航 】这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375分解质因数看一看。
375=5×5×5×3， 因为5×5比5×3正好多10，所以，此长方形的长是5×5=25米，宽是5
×3=15米，它们的 和是40米。

试一试
237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。





3

例7
某班同学在班 主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样
多，一共种了1073棵，那么 ，平均每人种了多少棵？
【思路导航】根据每人种树棵数×参加人数=1073，把1073分解质因 数：1073=29×37，
再根据学生恰好平均分成三组可知：参加种树的人数是3的倍数多1，由于 只有37比3的倍
数多1，所以有37人，平均每人种29棵。
问题：对于一个比较大的自然数，如何判断它是质数还是合数呢？
依次用2，3，5等质数去除，当所得的商比除数小，且余数不为零，它一定是质数
对于此题 ，显然1073是合数，而且1073=总人数×每人所种棵数，这两个因数的个位要么是
1、3，要么 是7、9，然后进行估算，这样就容易得出正确的结果。

试一试
一个长方体的长 、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240立方厘
米，那么，这个长方体的表面积 是多少？







例8（等接触分数之后再学这一部分）
155221
和约分。
18618 7
【思路导航】这两个分数的分子和分母都比较大，不能一眼看出分子和分母的公约数。
我们可 以先求出分子与分母的差，如果差是质数，就直接用这个质数去约分；如果差是合数，
就把这个合数分解 质因数，然后用其中的一个质数去约分。
1555
（1）186－155=31，31是质数，用31约分得：=；
1866
22113
（2）221－187=34，34=2×17，用17约分得：=。
18711

把
试一试
请用上面的方法把下面的几个分数约分。
46143247161

69117253
323





4

例9
小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱 便宜1分钱，那么他还能多买
3张。小明买了多少张画片？
【思路导航】根据题意可知：画片 的单价×张数=216分，它们的积分解成的质因数与216
的质因数相同。我们可以先把216分解质 因数，再写成两数相乘的形式分析：216=2×2×2
×3×3×3=8×27=9×24，显然，2 16分可以买8分的画片27张，也可以买9分的画片24张。
所以，小明买了24张画片，符合题意。

试一试
求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？








练 习 题
1、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。






2、把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给 甲、乙、丙三人，每人各3张。甲说：“我
的三个数的积是48。”乙说：“我的三个数的和是16。” 丙说：“我的三个数的积是63。”甲、
乙、丙各拿了哪几张卡片？











5

3、有三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，c×a= 42，求a×b×c的积是多少？








4、把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四 个数的乘积相等。







< br>5、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6。小青
买 的电影票是几排几座？







6、把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920，
这篮苹 果共有多少个？







7、有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个
长 方体的表面积。







6

8、有三个自然数a，b，c，已知a×b=35，b×c=55，a×c= 77，求三个数之积是多少？








9、张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的年龄三者的积是
2910。求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？









10、写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。








11、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？








12、有一块 长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地
的周长。






7

13、 老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支。每
支钢笔原价多少 元？








14、 王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。如果师生每人擦的块数同样多，一
共擦111块，那 么，平均每人擦了多少块？








15、自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方（也就是b×b），求a最小是多少？








16、将75 0元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的数就正好是
获奖者人数的12倍， 求获奖人数和每人分得的奖金数。














8

第二讲 “牛吃草”问题
（2课时）
【学习导航】
牛吃草问题是牛顿最先提出来的，因此也被人们称为“牛顿问题”。“一堆草可供10头牛
吃3 天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一
片正在生 长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这
类工作总量不固定（ 均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上 原有的草是不变的，新长
出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算 草地上原有
的草及每天长出的草，问题就容易解决了。

例1

一 片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那
么这片草地可供2 1头牛吃几周？
【思路导航】这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原
来的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，
但 应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。
假设1头牛一周吃的草的数量 为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此时
新草与原有的草均被吃完；23头牛9 周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也均被吃
完。而162份是原有的草的数量与6周 新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量
与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出 的草的份数为：（207-162）÷（9-6）=15
（份），所以，原有草的数量为：162-15 ×6=72（份）。这片草地每周新长草15份相当于可安
排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地 可供21 头牛吃72÷（21-15）＝12（周）

试一试
一片草地，每天都 匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天，那么可供
19头牛吃几天？







例2

由于天气逐 渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定速度在减少。已知某块草地
上的草可供20头牛吃5天或 可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
【思路导航】与例1不同的是，不仅没有新 长出的草，而且原有的草还在减少，但是，
我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来 的草的总量。
设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，这100份草等于牧场上原有草的数
9

量减去5天减少的量；15头牛6天吃90份，这90份草等于牧场上原有草 的数量减去6天减
少的量，说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份。由“草地上的草可供20头牛吃 5天”，
再加上寒冷导致的每天减少的10份草量，所以原有草量有（20+10）×5=150（份） ，10天要
损失100份，可供吃的只有50份，而一头牛10天要吃10份草，故只能供5头牛吃10 天。

试一试
由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算 ，牧场上的草可供
20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？










例3
自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟< br>走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达
楼上 。问：该扶梯共有多少级台阶？
【思路导航】与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数 ”，“草”变成了“台
阶”，“牛”变成了“人”，也可以看成是牛吃草问题。
上楼的速度可 以分为两部分：一部分是男孩、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的
速度，因此上楼走的台阶数也可 分为两部分：男孩5分钟走的20×5=100（级）加上自动扶
梯5分钟走的级数等于总的台阶数，女 孩6分钟走的15×6=90（级）加上自动扶梯6分钟走
的级数也等于总的台阶数。女孩比男孩少走了 100—90=10（级），多用了6—5=1（分钟），说
明电梯1分钟走10级。因男孩5分钟到达 楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之
和。所以，扶梯共有（20+10）×5=150（级 ）

试一试
自动扶梯以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上楼。已知小明每分 钟走25级台阶，
小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯 共有多
少级台阶？








10

例4
一艘船有一个漏洞，水以均匀的速 度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12
人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要1 0小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需
要多少人？
【思路导航】设一个人1小时可舀水1 份，12个人3小时可舀水36份，这36份水是由
原来的水加上3小时漏进来的水组成的，5个人10 小时可舀水50份，这50份水是由原来的
水加上10小时漏进来的水组成的，我们发现多漏进7（10 -3=7）小时，就可多漏进14（50-36=14）
份水，这说明每小时可漏进2份水，那么原来就 有5×10-2×10=30份水。
如果要2小时舀完，这时共舀水30+2×2=34份，而一个人 2小时可舀水2份，故只需要
34÷2=17（人）即可在2小时内舀完。

试一试
有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的
抽水 机10小时可以把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？










例5
有三块草 地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一
块草地可供11头牛吃1 0天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃
多少天？
【思路导航 】前面我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同
的草地。为了解决这个问题， 只需将三块草地的面积统一起来。即[5，6，8]=120
这样，第一块5公顷可供11头牛吃10 天，120÷5=24，变为120公顷草地可供11×24=264
（头）牛吃10天
第二 块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240（头）
牛吃14天。
120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？
因 为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供264头
牛吃10天或供2 40头牛吃14天， 那么可供285头牛吃几天？即：
每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）
草地原有草：（264—180）×10=840（份）
可供285头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天）
答：第三块草地可供19头牛吃8天。


11

试一试
某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候
检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打
开 7个检票口，那么需多少分钟？






练 习 题
1、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头
牛吃10天，问可供25头牛吃几天？









2、牧场上的青草每天都在匀速生长，这片青草可供27头 牛吃6周或23头牛吃9周，那么这
片草地可供21头牛吃几周？







3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。 已知牧场上的草可供33头牛吃5
天或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天 ？







12

4、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生 活300年。假设地球
新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要，地球最多能 养活多少
亿人？









5、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级台 阶，女孩可走
24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级 台
阶？









6、两只蜗牛由于受不了阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速
度是不同的。一只每天白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的
速 度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用了6个昼夜
到达井底。那么 ，井深多少米？







7、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同时打开后，如果每
小时注 水30立方分米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方分米，注满水箱可少
用2.5小时。那 么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？







13

8、有一水井， 连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机来抽水，36
分钟可以抽完；如果使用5 台抽水机，20分钟抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水
机多少台？









9、快、中、慢三车同时 从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度分别是嵋小时
24千米、20千米、19千米。快 车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢
车追上自行车用多少小时？










1 0、一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24
天。现有 一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？


















14

第三讲 长方体和正方体（一）
（2课时）
【学习导航】

在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意
几点：
1．必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
2．依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；
3．求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决；
4．需要有一定的空间想象能力；
5. 要看清单位，注意单位的换算。

例1
一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多
少立方厘米？表面积是多 少平方厘米？（单位：厘米）
【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来
求它的体积 ，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方
厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2 =80（立
方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件 的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝
下的一个面的面积相等；朝右的两个 面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此
零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2 ×4）×2=232（平方厘米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？






试一试
一个长5厘米，宽1厘米，高 3厘米的长方体，被切去一个小长方体后（如图），剩下部
分的表面积和体积各是多少？










15

例2
有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方 体的孔（如
图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）
【思路导航】（1）先求出 长方体的体积，8×5×6=240（立
方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8 （立
方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；
（2）长方体完整的表 面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236
（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少 了一个（2×2）平方厘米的面，同时又
增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件 的表面积是236＋2×2×4=252
（平方厘米）。

试一试
有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。











例3 < br>一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方
体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积
增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘
米？
【思路导航】一个正方体 和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加
了4块正方形的面积，每块正方形的面积是 50÷4=12.5（平方厘米）。正方体有6个这样的
面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6 =75（平方厘米）。

试一试
把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体， 这个大长方体的表面积比原来两个长
方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。 如果拼成的长方体的长是
24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？





16

例4（这题有难度，现在不要讲） < br>把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长
方体的 表面积。
【思路导航】要求大长方体的表面积，必须知道它
的长、宽和高。我们用a、b、h 分别表示小长方体的长、
12
宽、高，显然，a=4h，即h=a；2a=3b，即b=a，
43
2111
砖的体积是abh=a×a×a=a
3
。由a
3
=288可
3466
知，a=12，b=8，h=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米；
因此表面积=（24×12+24×11+12×11）×2= （你算对了吗？）

试一试
一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由100 0个这样的小正方体所组成的大正方
体的表面积是多少平方厘米？









例5
一个长方体，前面和 上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为
为单位的数都是质数。这个长方体的 体积和表面积各是多少？
【思路导航】长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高） ，由于此长
方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×（17＋ 2），即长、
宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。

试一试
有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都 是质数，那么
这个长方体的体积是多少？






17

练 习 题
1、把一根长2米的长方体 木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原
来的体积。






2、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块， 在它的左右两角各切掉一个正方体
（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？










3 、有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩
下物体的体积 和表面积各是多少？











4、如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到 的物体的体积和表面积
各是多少？









18

5、一根长80厘米，宽和 高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体
后，它的表面积减少了多少平方厘米 ？






6、把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？







7、一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。






8、有24个正方体，每个正方体的体积都是1 立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的
长方体？用图画出来。







9、一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是960立方厘米，求它的表面积。






10、一个长方体和一个正方体的棱长之长相等 ，已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分
米、2分米，求正方体体积。




19

第四讲 长方体和正方体（二）
（2课时）
【学习导航】

在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这 样一些情况：把一个物体变形为另一种
形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水 中，物体在水中会占领一
部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1、将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2、两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3、物体浸没水中，排开的水的体积等于物体的体积。
4、要看清单位，注意单位的换算。

例1
有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水 箱长40厘米，
宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱 中部分水
倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？
【思路导航】由于后来两 个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱
并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面 积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们只
要先求出原来甲水箱中水的体积：40×32×20= 25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积
和：40×32＋30×24=2000（平方厘米 ），就能得到后来水面的高度。现在你能计算出来吗？


试一试
有两个 水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽
和高都是4分米。现在要 从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水
面高多少？







例2
将表面积分别为54平方厘 米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个
大正方体（不计损耗），求这个大正方体 的体积。
【思路导航】因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正方 体的
棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×（4×4），棱长是4厘米；15 0=6
×（5×5），棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就< br>等于它们的体积和。现在你能计算出来吗？

20

试一试
有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘 米。
现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。










例3
有一个长 方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分
米。如果把一块边长2分米 的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？
【思路导航】铁块的体积是2×2×2=8（立方分米） ，把它浸入水中后，它就占了8立方
分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体积除 以底面积（5×4）就能
得到水上升的高度了。现在你能计算出来吗？



试一试
有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。把一块假山石浸入水中后，水面
上升0.8分米。这块假山石的体积是多少立方分米？







例4
有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘 米、高10厘米，里面的水深6厘米。
如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米 ？
【思路导航】首先求出水的体积：30×20×6=3600
（立方厘米）。当容器竖起来 以后，水流动了，但体积没
有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘
米的 长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度
了。现在你能计算出来吗？


21

试一试
有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高 都是2分米；乙缸长4分米、宽2分米，里
面的水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里 深几分米？





例5
长方体不同的 三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这个长方
体的体积是多少立方厘米？
【思路导航】长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高得来的。因此，
15× 10×6=（长×宽×高）×（长×宽×高），而15×10×6=900=30×30。所以，这个长方
体的体积是30立方厘米。

试一试
一个长方体，不同的三个面的面积分别是2 5平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，这
个长方体的体积是多少立方厘米？










练 习 题
1、在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。如果在水中沉入一个
棱长为30厘米的正方体的铁块，那么，水箱中水深多少分米？






22

2、一段钢材长15分米，横截面面积 是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是0.1
平方分米的钢筋，求这根钢筋的长。









3 、将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这
个长方体 的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。









4、把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个大正方 体的表面积是多少平方
分米？








5、有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注满了水。有一根长50厘米，横 截面是12平
方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溢出多少立方厘米的水？






6、有一块边长是5厘米的正方体铁 块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁块后，水面
下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面积是 多少平方厘米？




23

7、有一块边长2分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面是一个长4
厘米、宽 2厘米的长方形，求该长方体的高。







8、一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米， 且
长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米？







9、一个长方体的体积是48立方厘米，并且长、宽、高是 三个连续的偶数。这个长方体的表
面积是多少平方厘米？







10、一个长方体容器内装满水，现在有大中小三个铁球。第一次把小 球沉入水中；第二次把
小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。已 知每次从
容器中溢出的水量情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。问：大球的< br>体积是小球的多少倍？



24

第五讲 长方体和正方体（三）
（2课时）
【学习导航】

解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉
计算方法，仔细分 析每一步操作后表面积、体积的变化情况外，还必须知道：把一个长方体
或正方体沿水平方向或垂直方向 切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
此外，对于长方体、正方体的涂色问题也是竞赛中的常见题型。

例1
一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积
增加多少厘米？
【思路导航】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方
体，可以按下图中的线共锯6次 ，每锯一次就增加2个6×6=36平方
厘米的面，锯6次共增加36×2×6=432平方厘米的面积 。因此，锯
好后表面积增加432平方厘米。
你还有其它方法吗？



试一试
把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面 积比原来所有
的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？





例2
有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米 ，这个正方体木
块原来的表面积是多少平方厘米？
【思路导航】把正方体分成两个长方体后， 增加了两个面，每个面的面积是24÷2=12平
方厘米，而正方体有6个这样的面。所以原正方体的表 面积是12×6=72平方厘米。

试一试
把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘
米？




25

例3 有一个正方体，棱长是3分米。如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方体，这些小
正方体的表面 积的和是多少？
【思路导航】在切的过程中，每切一刀，就会增加两个3×3平方
分米的面， 你能用这种思路来计算所求问题吗？









试一试
用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方 体，至少需要多少个小正方体？如
果要摆一个棱长是6厘米的正方体，需要多少个小正方体？









例4
一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正
方体中：
（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）六个面都没有涂色的有几个？
【思路导航】按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；
（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有1×12=12个；
（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有1×6=6个；
（4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27－（8＋12＋6）=1个。
涂色问题总结一下：
对于一个n×n×n的正方体，涂色情况如下：
三面涂色的块数：8块
两面涂色的块数：（n-2）×12块
26

一面涂色的块数：（n-2）×（n-2）×6块
没有涂色的块数：（n-2）×（n-2）×（n-2）块
对于一个a×b×c的长方体，涂色情况如下：
三面涂色的块数：8块
两面涂色的块数：（a-2+b-2+c-2）×4块
一面涂色的块数：[（a-2）×（b -2）+(a-2)×(c-2)+(b-2)×(c-2)]×2块
没有涂色的块数：（a-2）×（b-2）×（c-2）块

试一试
把一 个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米的小正方体，这
些小正方体中，一面涂 红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有
多少个？






例5
一个长方体的长、宽、高分别是6厘米 、5厘米和4厘米，若把它切割成三个体积相等
的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方 厘米？
【思路导航】这个长方体原来的表面积是（6×5＋6×4＋5×4）×2=148平方厘米， 每
切割一刀，增加2个面。切成三个体积相等的小长方体要切2刀，一共增加2×2=4个面。要
求表面积和最大，应该增加4个6×5=30平方厘米的面。所以，三个小长方体表面积和最大
是14 8＋6×5×4=268平方厘米。

试一试
有三块完全一样的长方体木块，每块 长8厘米、宽5厘米、高3厘米。要把它们粘成一
个大的长方体，这个长方体的表面积最大是多少平方厘 米？最小是多少平方厘米？







练 习 题
1、有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表 面积增加多
少平方米？



27

< br>2、把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次，锯成4个同样的小长方体，没有涂
颜色 的面积是60平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？







3、有一个长方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯 成两个长方体，表面积
最多增加多少平方分米？







4、有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米，现 把三块积木
搭成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？









5、有一个长方体，长1 0厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方
体，一共能锯多少个？这些小正方体 的表面积和是多少？







6 、把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多少平方
厘米？






28

< br>7、把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已
知两 面被涂上红色的小正方体共有24个，那么，这些小正方体一共有多少个？








8、把1立方米的正方体木块的表面涂上颜色， 然后切成1立方分米的小正方体，在这些小正
方体中，六个面都没有涂色的有多少个？







9、一个长方体表面涂上红色后，被 分割成棱长是1厘米的小正方体。如果这些小正方体中，
各个面都未涂色的个数为5个，那两个面涂色的 的小立方体个数有多少个？








10、把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正方体的表面积是72平方 厘
米，拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米？








11、把一个长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米的 长方体，截成两个长方体，使这两个
长方体的表面积的和最大，求它们的表面积和是多少平方厘米？





29

第六讲 最大公约数
（2课时）
【学习导航】

几个数公有的 约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
我们可以把自然数a、b的最 大公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。

例1
一 张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正
方形边长为整厘米数 ，不允许有剩余，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以
裁多少块？
【思路导航 】7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能
同时整除75和60， 所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1、3、5、15，所以
有4种裁法。
如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作
为正方形的边 长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。

试一试
把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁
多少块？





例2
一个长方体木块，长2.7 米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体
木块，不许有剩余，正方体的棱长最大 是多少分米？
【思路导航】2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。 要把长方体切成
大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方 体
的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。
（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米

试一试
一个长方体 木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成
大小相等的正方体木块，不许 有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？




30

例3
有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米 和480厘米，如果把它们截成同样
长的小段，每小段最长可以是多少厘米？
【思路导航】要 把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480
的公约数，而每小段要取 最长，也就是求240、200和480的最大公约数。240、200和480
的最大公约数是40， 所以每小段最长是40厘米。

试一试
有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘 米，高24厘米。如果要切成同样大小的小正
方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？









例4 < br>一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙两村相距360米，乙、丙两村相距675米。
现在 准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点
都要种上树，求相 邻两棵树之间的距离最多是多少米？
【思路导航】由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要 将360÷2=180米、675
÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（ 675、360）=45，而180=360
÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22. 5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。

试一试
一条公路由A经B到C。 已知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路边植树，要
求相邻两树间的距离相等，并在B点 及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多
有多少米？




例5
用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方 形，并且最后没有剩
余，这些正方形的边长最长是多少？
【思路导航】前面的例题已经告诉了 我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公
约数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大，最大公 约数比较难求出，这里再介绍一种求
两个数的最大公约数的方法。
31

第一步：1072÷469，余134；
第二步：469÷134，余67；
第三步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正 方形的边长来剪，正好能剪（1072÷
67）×（469÷67）=112个正方形，即这些正方形的 边长最大是67毫米。
这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。

试一试
用辗转相除法求568和1065的最大公约数。











练 习 题
1、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正
方形的边长最长是多少厘米？










2、将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方 形，小正方形的面积最大
是多少？










32

3、有50个梨 ，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分
得的三种水果的个数也 相同，最多可以分给几个小组？









4、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人 数相等的小组，
但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？










5、工人加工 了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工
人加工的都同样多。已知 他们第一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个；第
二批加工1800个，其中王师傅 比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅比
每个工人多加工13个。这批工人最多有 多少人？








6 、如果把110块糖平均分给五（1）班的同学，则多5块；如果把210块糖平均分给这个班
的同学正 好分完；如果把240块糖平均分给这班同学，还少5块。五（1）班最多有多少名同
学？








33

7、有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可 以分成多少份同样的礼
物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？









8、甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多少？










9、试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。











10、判断
11111
15015
是不是最简分数。










34

第七讲 最小公倍数（一）
(2课时)
【学习导航】

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫 做这几个数的最
小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a，b]，自然数a、b的最大公因数 可以记作
（a，b）
当（a，b）=1时，[a，b]= a×b。
两个数的最大 公约数和最小公倍数有着下列关系：最大公约数×最小公倍数=两数的乘
积，即（a，b）×[a，b] = a×b
要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要避免和
最大公因 数问题混淆。

例1
两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
【思路导航】根据 “两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可
先求出这两个数的乘积，再把这个积 分解成两个数。根据题意：

当a
1
、b
1
分别是1和6 时，a、b分别为15×1=15，15×6=90；当a
1
、b
1
分别是2 和3时，
a、b分别为15×2=20，15×3=45。所以，这两个数是15和90或者30和45 。

试一试
两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？







例2
两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？
【思路导航】我们把这 两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、
乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。 根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公约
数是360÷120=3。又因为

3甲 乙
3×a×b=120，a和b一定是互质数。


ab所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是3×
35

1=3和3×40=120；当a和b是5和8时，所求的数是3×5=15和3×8=24。
答：这两个数可以是3，120或15，24这两种情况。

试一试
求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。







例3
甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书 馆去一次。甲3天去一次，乙4天去
一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少 再过多少天他们三人又
在图书馆相会？
【思路导航】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次 相会，相隔的天数应该是3、4、
5的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是60，所以至少再过 60天他们三人又在图书馆
相会。

试一试
1路、2路和5路车都从东站 发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一
辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三 种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三
种路线的车同时发车？








例4
一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？
【思 路导航】把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。
现在要求长方体砖块最 少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长
后，再根据正方体与长方体体积之间 的关系就能求出长方体砖的块数。20、12、6的最小公
倍数是60。
60×60×60÷（20×12×6）=150（块）

36

试一试
用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正 方体，至少需要用这样的长
方体多少块？









例5
甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒 跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同
时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发 ？
【思路导航】甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒，丙跑一圈 需
要600÷2=300秒。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和30 0的
最小公倍数。200、150和300的最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又同时从 出发
点出发。

试一试
有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同 地出发，反向而行，1分钟后第一次相
遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇。 已知甲比乙快，求二人的速
度。





练 习 题
1、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？






37

2、两个数的最大公约数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？








3、已知两个数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。








4、已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。








5、甲、乙、丙从同一起点出发沿同 一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈
用80秒，丙跑一圈用100秒。问：再过多 少时间三人第二次同时从起点出发？








6、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次， 三班的同学
每两周去看一次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天< br>他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？






38

7、有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的 长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大
的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？









8、一个长方 体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不
许有剩余，这些小 正方体的棱长最多是多少分米？







9、一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6
米，丙每秒行5米。至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？









10、甲、乙、丙三人在一条长24 0米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙
每秒跑3米。若三人同时从一端出发，再经过 多少时间三人又从此处同时出发？












39

第八讲 最小公倍数（二）
(2课时)
【学习导航】


最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小
公倍数 时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的
最小公倍数，从而求 出结果。

例1
有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？
【思路导 航】根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7
和4这三个数整除，即 10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。
[10，7，4]=140
140－3=137
即：这个自然数最小是137。

试一试
学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行
也余2人。六年 级最少多少人？












例2
有一批水果，总数在1000个以内。 如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个
装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱 ，最后一箱只有30个。这批水果共有多少
个？
【思路导航】根据题意可知，这批水果再增加 2个后，每24个装一箱，每28个装一箱
或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果 增加2个，就正好是24、28和
32的公倍数。我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672 ，再根据“总数在1000以内”
确定水果总数。
[24，28，32]=672
672－2=670（个）
即：这批水果共有670个。
40

试一试
一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都 正好能成长方形，这所学校至少
有多少人？










例3
一盒围棋子，4颗4颗数多 3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子
在150至200颗之间，问共有多少颗 ？
【思路导航】由已知条件可知：这盒棋子只要增加1颗，就正好是4、6、15的公倍数。
换句话说，这盒棋子比4、6、15的最小公倍数少1。我们可以先求4、6、15的最小公倍数，
然后 再根据“这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出这盒棋子数。4、6、15的最小公
倍数是6 0。
60×3－1=179颗，即这盒棋子共179颗。

试一试
有一 批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。这批树苗数在150
至200之间 ，求共有多少棵树苗。










例4
从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每 两根电线杆之间相距50米，
现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少 根不必移动？
【思路导航】从学校到少年宫的这段路长50×（37－1）=1800米，从路的一端 开始，是
50和60的公倍数处的那一根就不必移动。因为50和60的最小公倍数是300，所以，从 第一
根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800÷300=6，就是6根不必移动。去掉最后一 根，
中途共有5根不必移动。
41

试一试
插 一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。如果起点一面不移
动，还可以有几面 不移动？









例5
在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、1 2等
份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
【思路导航】因 为10、12和15的最小公倍数是60，所以，设这根木棍长60厘米。三
种颜色的标记分别把木棍分 成的小段长是60÷10=6厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4厘米。
我们在木棍两端点不画线，那么所分的段数=划线条数+1
当每段为6厘米时，所划线条数为 9条；当每段为5厘米时，所划线条数为11条；当每
段为4厘米时，所划线条数为14条；因此木棍共 被截成的段数=9+11+14-重复的条数+1
因为5和6的最小公倍数是30，所以红黄两种标记 重复的地方有60÷30－1=1处（你知
道为什么要减去1吗？），另两种情况分别有2处和4处。因 此，木棍总共被锯成
9+11+14-1-2-4+1=28段。

试一试
用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15等
份，第三次把 木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？







练 习 题
1、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少？






42

2、一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。这袋糖至少有多少块？









3 、有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋
最后都剩 下一个。这批乒乓球到底有多少个？










4、食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙 种桶装最后一桶只装了半桶油，用
丙种桶装最后一桶少7千克。如果甲种桶每桶能装8千克，乙种桶每桶 能装10千克，丙种桶
每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？










5、五（1） 班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。请你
算一算，五（1）班有多 少位同学？









43

6、甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步。甲 每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每
秒跑3米，若三人同时从一端出发，再经过多长时间三人又从此处同时 出发？







7、一行小树苗 ，从第一棵到最后一棵的距离是90米。原来每隔2米植一棵树，由于小树长
大了，必须改为每隔5米植 一棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？








8、学校开运动会，在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗，一共插了25 面。后来增加了
一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现一共有5面彩旗没动。 问：
现在彩旗的间隔是多少米？







9、父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米。在120米 内一
共留下多少个脚印？






10、在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每隔6米挂一个，黄气球每隔
4米挂一 个，。如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，那么，除两端外，中间挂
有多少个红气球？






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第九讲 最大最小问题
(2课时)
【学习导航】

在日常生活 中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”
等问题，这些寻求极端 结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在
一定范围内求最大值或最小值的问题 ，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：
1，枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比
较； < br>2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，
缩短解题过 程。

例1
把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上 7个小三角形内数的和相等。
问这个和最大值是多少？





【思路导航】为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心
处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六
个三角形 中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11—16。然后根据“三角形三边
上7个小三角形内 数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。
（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=72

试一试
将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这 个和最
大是多少？





例2
有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5
千克、1 0千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是
多少千克？
【思路导航】3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得
尽可能重些 。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即 由6千
45

克和8.5千克组成，另外两堆分别是14千克。

试一试
一把钥匙只能开一把锁。现有9把钥匙和9把锁，但不知道哪把钥匙开哪把 锁。最多要
试开多少次才能配好全部钥匙和锁？






例3
一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不 相同，其中得分最
少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（每位同学所得分数均为整 数）
【思路导航】除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。根据第三
名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而
接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。

试一试
一个三位数除以43，商a余数是b（a、b都是整数），求a＋b的最大值。





例4
一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米， 每一种庄稼需要先收割好、捆好，然
后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表（一种 庄稼不割好、捆好，不
准运输），这两组从开工到完工最少经过多少小时？

【思路 导航】不妨令甲组为割捆组，乙组为运输组。为使开工到完工所花时间最少，只
需要最开始甲在收割时， 让乙等的时间最短，然后乙就一直处于运输状态而不停歇。
因此我们可以对甲组进行如下安排：先割捆谷子，接着小米，然后大豆，最后割捆高粱。
甲组在第3小时割捆完谷子，在第8小时就割捆完小米，在第15小时割捆完大豆，在第
46

20小时割捆完高粱。
相应的就是乙在最开始等了甲3小时割捆谷 子的时间，因此乙花6小时运输完谷子时，
已经是第9小时，此时小米早已割捆完。当乙花9小时运输完 小米，此时已经是第18小时了，
大豆也已割捆完。当乙花5小时运输完大豆，此时已经是第23小时了 ，高粱早已割捆完。当
乙花1小时运输完高梁时，此时已经是第24小时了，故最少经过24小时。

试一试
三个老师为7位不同的扮演者化妆，这7位同学化妆需要的时间分别为8、 12、14、17、
18、23、30分钟。如果三位老师化妆速度相同，问最少经过多少时间完成化妆 任务？





例5
A、B、C是三个 风景点，从A出发经过B到达C要走18千米，从A经过C到B要走16
千米，从B经过A到C要走24 千米。相距最近的是哪两个风景点？它们之间相距多少千米？
【思路导航】根据题意可知，AB+BC =18千米，AC+BC=16千米，AB+AC=24千米，用（18+16+24）
÷2就能算出A B+BC+AC=29千米。因此，AC=29-18=11千米，AB=29-16=13千米，BC=29- 24=5
千米。B、C两个风景点的距离最近，只相距5千米。

试一试
人民路两侧有三家大商店，从甲店经过乙店到丙店要走300米，从乙店经过丙店到甲店
要走350米， 从丙店经过甲店到乙店要走250米。哪两家店之间的距离最近？相距多少米？







练 习 题
1、把2——9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。








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2、将1—9这九个自然数分别填进九个小三角形中，使每4个小三角形组成 的三角形内的4
个数的和都等于20。





3、如果四个人的平均年龄是25岁，其中没有小于17岁的，且四人年龄都不相同。那么年龄
最大的 最多是几岁？








4、五位同学捐款，他们捐的钱有3张1元的，4张2元的，3张5元的和3张10元的。这五
位同学 捐款数各不相同，问：捐款最多的同学至少捐了多少元？









5、如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E 。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB和CD
取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角 形面积最大？



6、一次考试满分100分，5位同学平均分是90分 ，且各人得分是不相同的整数。已知得分
最少的人得了75分，那么，第一名同学至少得了多少分？




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7、甲、乙、丙 三位同学为7棵树苗浇水，由于各棵树路程的远近关系，需浇水的时间分别为：
4、5、6、6、8、9 、9分钟。现三人各自同时开始，至少几分钟全部浇完？









8、有五人来理发，按发型所用时间是10、12、15、 22和24分钟。由两位师傅同时为这五人
理发，问怎样安排，使五人理发和等候的时间总和最少，最少 是多少分钟？










9、在期中测试中，小华语文和数学平均成绩是96分，数学和作文平均成绩是8 8分，语文和
作文平均成绩是86分。求小华的这三门功课哪门得分最高，是多少分？











10、十个参赛者的平均得分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那
么第5个和第6个人的平均分是多少分？








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第十讲 推理问题
(2课时)
【学习导航】

解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算 外，更重要的一个方面就是推理。通常，
我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。
推 理问题中的条件繁杂交错，解题时必须根据事情的逻辑关系进行合情推理，仔细分析，
寻找突破口，并且 可以借助于图表，步步深入，这样才能使问题得到较快的解决。

例1
有8个 球编号是（1）——（8），其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出
这两个轻球，用天平 称了3次，结果如下：
第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重；
第二次：（5）+（6）比（7）+（8）轻；
第三次：（1）+（3）+（5）与（2）+（4）+（8）一样重。
那么，两个轻球分别是几号？
【思路导航】从第一次看，（3）、（4）两球中有一个轻；从 第二次看，（5）、（6）两球中
有一个轻；从第三次看，（1）、（3）、（5）中有一个轻，（2） 、（4）、（8）中也有一个轻。
综合上面的分析可以推出，两个轻球的编号分别是（4）和（5）。

试一试
甲、乙、丙、丁四个人中，乙不是最高，但他比甲和丁高，而甲不比丁高。 请说出他们
各是几号。




例2
一个 正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6。根据下图摆放的三种情况，判断每个
数字对面上的数 字是几。





【思路导航】如果直接思考哪个数字 的对面是几，有一定的困难。我们可以这样想：这
个数字的对面不会是几。
（1）从（A）、 （B）两种摆法中可以看出：4的对面不会是2、5，也不会是1、6，那么，
4对面一定是3； （2）从（B）、（C）两种摆法中可以看出：1的对面不会是4、6，也不会是2、3，那么，
1 的对面一定是5；
（3）剩下2的对面一定是6。
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试一试
一个正方体的6个面分别涂着红、黄、白、黑、绿、蓝六种颜色，根据下面的三种摆法 ，
判断哪种颜色的对面涂着哪种颜色。










例3
小英、小明、小亮在一次语 文、数学、英语三门考试中，每人都获得了其中的一门第一
名，一门第二名和一门第三名。现在只知道小 英获得了语文成绩的第一名，小明获得了数学
第二名。获得英语成绩第一名的是谁？
【思路导 航】因为小英获得了语文第一名，所以，小明获得的第一名只能是英语或数学，
而小明已获得了数学第二 名，不可能再获得数学第一名，因此，获得英语第一名的一定是小
明。

试一试
下面盒子上写的标签只有一张是正确的，请判断乒乓球在哪个盒子里。





例4
有6只盒子，每只盒内放有同一种笔，6只盒子所装笔的支数 分别是11支、13支、17
支、20支、28支、43支。在这些笔中，水彩笔支数是圆珠笔的2倍， 铅笔的支数是水彩笔
的一半，其中只有一只盒子放的是钢笔。这盒钢笔共有多少支？
【思路导 航】因为水彩笔是圆珠笔的2倍，而铅笔是水彩笔的一半，即水彩笔也是铅笔
的2倍，所以，水彩笔、圆 珠笔和铅笔的总支数一定是4的倍数。11+13+17+20+28+43=132
支，132正好是 4的倍数，说明那一盒钢笔也正好是4的倍数，而满足条件的只有20和28。
（1）当钢笔是20支 时：（132－20）÷4=28支，17+11=28支，43+13=56支符合条件；
（2）当 钢笔是28支时：（132-28）÷4=26支，题中没有一盒或2盒的和是26，不符合
条件。
所以，这盒钢笔有20支。
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试一试
十三 个鱼盆里鱼的条数分别是2、3、5、7、9、10、11、13、14、17、21、24、24条。
已知同一盆里的鱼是同一种类，只有一盆是刀鱼，其余都是青鱼或鳊鱼，并且鳊鱼的条数是
青鱼的6倍。 刀鱼有几条？








例5
小明看一本书，如果看过的页数每天比前一天增加一倍，7天正好看完。已知这本书 一
共96页，他第几天看到了12页？
【思路导航】由于他每天看过的页数比前一天增加一倍 ，7天正好看完，也就是说第7
天能看到96页。由此往前推：第6天看到了96÷2=48页，第5天 看到了48÷2=24页，第4
天看到了24÷2=12页。
所以，他第4天看到了12页。

试一试
有一种水草，水草生长的面积每天扩大2倍，10天后，这片水草的面积是 42平方米。
问：当水草长到第7天时，面积是多大？








练 习 题
1、某商品编号是一个三位数，现有 五个三位数：874，756，123，364，925，其中每一个数
与商品编号恰好在同一个数位上 有一个相同数字。这个商品的编号是多少？








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2、小王、小张、小李三人在一起，其 中一位是工人、一位是战士、一位是大学生。现在知道：
小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学 生比小张年龄小。他们三人中，谁是工人？
谁是战士？谁是大学生？









3、根据一个正方体的三种不同的摆法，判断出相对的两个面上的字母各是什么？








4、下图是由四个完全一样的正方体 拼成的长方体，每个正方体的六个面都按同样的顺序写有
1、2、3、4、5、6六个数字，请写出每个 数字的对面上的数字是几。










5、赵、钱、孙、李四位老师分别教数学、语文、自然和体育中的一门 功课。赵只能教语文或
自然，钱只能教数学或体育，孙能教数学、语文或自然，李只能教自然。请问：这 四人中只
能派谁教数学？







6、甲、乙、丙、丁四人住在一个宿舍里，一天晚上，他们中间最晚回来的那位同学忘了关灯，
第二天宿舍管理员查问谁回来最晚。
（1）甲说：我回来时，丙还没回来；
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（2）乙说：我回来时，丁已经睡了，我也就睡了；
（3）丙说：我进门时，乙正在床上；
（4）丁说：我回来就睡了，别的没注意。
他们说的都是实话，你知道谁回来最晚吗？







7、有六只水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都 是苹果和梨。
已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5 倍。求香蕉
有多少千克。







8、图书员在整理图书，他把同一类书叠一叠，一共叠好了7叠，其中只有一叠是连环画，其
余 都是故事书和科技书，且故事书是科技书的6倍。已知这7叠书分别有3、4、5、16、21、
25和 38本。问：连环画有多少本？







9、有一条毛毛虫由幼虫长到成虫，每天长一倍，30天能长到20厘米。问：长到5厘米时要
用多少天？







10、有一种细菌，每天繁殖一倍，20天达到4000个。问：当繁殖到500个时，是第几天？



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