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浅谈历史故事与数学思想

浅谈历史故事与数学思想
姜堰市第四中学 颜小兵
在许多历史故事中，蕴含着深遂的数学思想，如果我
们以这些历史故事来启迪我们的思维，则能获得数学的灵感，
提高我们的数学素养和文化素养。
一、鲁班造锯与类比思想
鲁班是一名能工巧匠。又一次，鲁班的手 不慎被丝茅
草割破后，他仔细观察，惊奇地发现丝茅草的叶子边沿布满
小齿，原来是这些小齿把 自己的手划破的，于是便产生联想，
根据丝茅草的结构和特征发明了锯子。鲁班在这里就运用了
“类比思想”。在数学学习中，教师引导学生从
一个生疏问题联想到一个相似 且熟悉的问题，可以帮助学生
突破感官的时空限制，扩大感知领域，把以前认识的事物与
所要解 决的问题联系起来，丰富学生的认识，发展学生的思
维，促使学生有所发现、有所创造，找到解决问题的 途径，
培养学生的创造能力。
例1：从时钟指向4点开始，至少经过多少分钟，分
针和时针才能重合?
分析与解：时针每走 一格，分针就需走12格，如果把一格
看作路程单位，那么就可以联想到这样一个熟悉的行程追及

问题：“甲、乙两人从两地同向而行，甲在乙前面4
千米，甲每小时走1 千米，乙每小时走12千米。如果甲、
乙两人同时出发，问乙经过多少时间能追上甲?”通 过
这样的对比联想，可得例5的解法：4÷(12－1)＝
411(小时)：240 11分钟。
二、曹冲称象与转化思想
三国时，曹操的一位朋友 用船给他送来一头大象，曹
操很想知道大象的重量，可大象太重无法直接称量，众大臣
冥思苦想 仍不得法。这时，聪明的曹冲想到了一个方法：把
不能直接称量的大象体重转化为能直接称量的石头重量 。就
是先把大象牵到船上，在船身刻上水位线，再从船上牵下大
象，把石头一块块装上船，直到 水位线与大象在船上时刻划
的水位线相同，然后卸下石头，称出石头重量，由此间接测
出大象的 体重。曹冲思考、解决称象的问题运用了极为重要
的思想：转化思想。数学学习中，学生如能掌握这种转 化策
略，在遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的问题时，
就可通过某种转化过程，使生疏 的问题熟悉化、抽象的问题
具体化、复杂的问题简单化，从而顺利解决问题。
例 2：一条横截面是梯形的水渠，它的下底宽1米，
上口宽2米，水深1.2米，如果渠中水流的速度是每 小时200
米，求1小时流过的水有多少立方米?
分析与解：这是一个 求流水量的问题，比较抽象，

解题时，可引导学生运用转化策略将问题划归为一个等价可
解的问题：求横截面是梯形的直棱柱体积问题，列式为：(2
＋1)×1.2 47;2×200＝360(立方米)。
三、司马光砸缸与逆向思维
司马光砸缸的故事是学生很熟悉的历史故事：一个小
伙伴不慎跌人装满水的大缸中 ，司马光和伙伴们人小个矮，
无法将缸内的小伙伴拉出，在使“人离开水”< br>的情急之中，司马光想到了使“水离开人”的办
法，用石头砸破缸，让 水流走，救出了小伙伴。真可谓聪明
之举。司马光砸缸把“人离开水”变为& #8220;
水离开人”，运用的就是一种逆向思维策略。数学学
习中，有些问题 正向思考，往往思绪繁琐，甚至束手无策而
无法解答。此时，可以从问题出发，一步一步逆向推理寻找< br>解决问题所需的条件，从而发现数量之间的本质联系，使问
题迅速得到解决。
例3：某数加25，再除以5，再减去15，然后乘以7，
最后得70，求某数。
分析与解：从条件“最后得70”逆向分
析，如果不乘以7，结果应为70& #247;7＝10；如果不减去
15，此数应是10＋15＝25；如果不除以5，此数应为
25×5＝125；如果不加上25，某数应是125-25＝100。
四、“道旁李苦”与反正法

古时候，一个叫王 戎的孩子与伙伴们在大路上玩耍，
他们看到路旁树上结了许多李子，都蜂拥而上摘李子吃，惟
有 王戎没去摘。路人问之，王戎断定说李子是苦的，还不能
吃。伙伴们感到奇怪，便问王戎：“ ;你又没吃，怎知
李子是苦的?”王戎说：“假设李子是甜的，早
就 被过路的人摘完了，树上怎么还会有这么多的李子
呢?”故事中王戎的推理分析运用了反正 法思想。数学
学习中，经常可以运用这种假设策略，先假设需要解决问题
中的某个条件成立，由 此得出一些关系和结论，与已知条件
产生差异和矛盾，通过找出差异的原因消除矛盾，最终达到
解决问题的目的。
例4：玻璃店委托铁路局运1000块玻璃，议定每块
运费 0.5元，如损失一块，不但没有运费，并且要赔偿成本
3.5元。货物运到目的地后，铁路局获得运费 480元，铁路
局完好运到目的地的玻璃有多少块?
分析与解：假设铁 路局把1000块玻璃全部完好地
运到目的地，则铁路局可获运费0.5×1000＝500 (元)，
这比实际获得的运费多500-480＝20(元)。因为损失一块玻
璃比把它完好运 到目的地少0.5＋3.5＝4(元)，可知比实际获
得运费多20元是把损失的20÷4＝ 5(块)玻璃假设为完
好运到目的地造成，所以铁路局完好运到目的地的玻璃是
1000-5＝ 995(块)。

转帖：语文历史故事与数学思维方法 语文课中有许多历史
故 事，其中不少故事中都蕴含着数学思维方法。由这些故事
我们可以更容易地理解和掌握相关的数学思维方 法。
鲁班造锯与类比思维
鲁班造锯是我们熟悉的一个历史故事。当鲁班的手不慎被一片小草割破后，他仔细观察发现小草叶子边沿布满了有序的
小齿。于是便产生联想，根据小草的结构 发明了铁锯。鲁班
在这里用了类比思维方法。
类比思维是从要解决的问题，联想到与它类似的 一个熟悉的
问题，用熟悉的问题的解法来思考所要解决的问题。
例：李老师为学生去买书，他 带的钱正好可买15本语文书
或24本数学书。如果李老师买了10本语文书后，剩下的钱
全部 买数学书，可以买几本数学书？
分析：如果把总钱数理解为总工作量，把带的钱可买15本
语 文书或24本数学书理解成甲、乙两人单独完成总工作量
需15天、24天，那么原题可类比为这样一道 工程题：“
一项工程，甲做15天完成，乙做24天完成，现在甲做10
天后，再 由乙接着做，问还需多少天才能完成。”所
以有下面解法：
答：还可买8本数学书。

曹冲称象与转化思维

在曹冲 称象的故事中，聪明的曹冲运用了这样一个方法：要
知道大象的体重但不能直接去称，便把问题转化为容 易办到
的称石头的重量，最后由石头的重量求得大象的体重。
这个方法在数学上叫等价转化法 ，由不易解决的甲问题转化
为等价的易解决的乙问题，通过乙问题解决进而解决甲问题。
例： 有人在如图的小路上行走，当他从A处走到B处时，共
走了几米？假设小路宽度都是1米。（美国《数学 月刊》）
分析：如果行人在行走时拿一个宽1米的扁平拖把边走边拖
地，那么他每前进1米， 则拖1平方米面积的场地。行人走
完小路，相当于拖把拖遍整个平面图面积。这样把长度问题
转 化为面积问题。
解：8×16=128（米）
答：共走了128米。

司马光砸缸与逆向思维
司马光砸缸是我们熟悉的又一个历史故事。当一个小朋友掉
进 大水缸里以后，其它小朋友想到的是让“人离开水
”，当无法把落水小孩捞出 来时便惊慌失措。司马光
想到的是让“水离开人”，在紧要关头把缸砸破让水流出，救活了小朋友。
“人离开水”的逆向思维是“ 水离开人
”，逆向思维是一种积极地具有创造性的思维方法，

这种 思维形式在数学中屡见不鲜。
例：有一个老太太提着一个篮子去卖鸡蛋，第一个人买走了
她的 鸡蛋的一半又半个；第二个人买走了剩下的一半又半个；
第三个人买走了前两个人剩下的一半又半个，正 好买完全部
鸡蛋。问老太太一共卖了多少鸡蛋？
解：第三个人买走了一半又半个，正好买完，说明那一半也
只有半个，他一共买了一个鸡蛋。
第二个人买走“一半又半个”，将他的半个退回
篮子中，这时篮子中 就有一个半鸡蛋了，而这“一个
半”正好占一半，所以第二个人买之前，即第 一个人
买之后篮中是三个鸡蛋。
再将第一个人的半个退回篮子中，为三个半鸡蛋，这样原来
篮中共有七个鸡蛋。
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