与二元一次方程有关的历史
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一、方程的发展历史
(一)方程的产生
1.我国古代的“方程”在我国古代
的数学史上,很早就建立了“方程”的概念。早在汉朝时期,
郑玄的“解九数”中就有方程。“方程”一
词的最早出现,是在《九章算术》中,其第八卷的卷
名即为“方程”.然而,古代方程与现代方程的含义
有很大的区别.现代意义上的列方程和解方
程大约出现在13世纪,即根据题意“立天元一为某某”,与
现代数学中“设x为某某”意义相
同.其次再根据问题所设条件列出两个相等的多项式,两者相减,就得
出一个一边为x的方程。
2.西方古代的“方程”据记载,古埃及人用兰德纸草记录了最早期的数学问
题,但由于没有代
数语言,古埃及人只能用纯算术的方法解决相当于今天解方程的问题,还没有形成方程
的概念.
大约于公元前200。年,古巴比伦人开始使用代表抽象概念的代数语言,可能由于许多代数问
题都与几何有关,因此他们常用“长”、“宽”来代表未知数。这表明巴比伦人已经开始了对
方
程的探索.在前人的基础上,古希腊人把数学推进到了一个崭新的时代,现代意义上的“方
程”一词,就
来源于拉T文oequation,英文equation也由此演变而来.到了亚历山大里亚时期,
随
着数学应用范围的扩大,出现了越来越多的与方程有关的代数问题及其研究者,丢番图就是
最具代表性的
人物,其代表作《算术》中记载了130个一次和二次方程的问题,其成就以远远
超出了他所处的时代.
(二)一元一次方程
对于解一元一次方程,我国和西方的数学家曾给出相似的解法.在公元4
世纪巴克沙里的手稿
中,曾有这样的记录:甲乙丙丁四人各持金,乙为甲的2倍,丙为乙的3倍,丁为乙
的4倍,并知4
人持金的总数为132卢比,问甲持金多少?那时的数学家先假设甲为一个相对简单的数
,如一
卢比,则4人共持金33卢比,与132比较后得知是4倍的关系,所以甲持金为1×4=4卢比
.这
种方法后来在欧洲被称为“试位法”.同时不难看出,方程的发展源于人们生活的实际需要.
然而,因为其过程中只采用了一次假设,即“单假设法”,所以能够适用的范围较狭窄.但有别于
“单
假设法”的我国的“盈不足术”则可以应用于更广的范围.
（三）一元二次方程
据考证,古
巴比伦的楔形文献中就记载了一元二次方程的实例和解法.其成就在于将二次方程
的解法化为一种正规形
式—“已知两数的和与积求此两数”.用现代的代数语言来叙述就是
“已知两数p和q,x·y=q,x
+y=p,求x,犷,.巴比伦人用五个步骤求这两个数,他们的五步法,用
p
p<
br>
x
q,ypx
2
2
<
br>现代代数语言来写,就是，但因为那个时代没有负数的概念,
巴比伦人还不能把所有二次方程都化
为正规形式,也将负根的问题略而不提。到公元6世纪,
印度著名的天文学家、数学家阿耶波多得出了二
次方程求根公式.7世纪,印度天数学家婆罗
摩岌多提出了各种二次方程的规则:把常数项放在未知数的
平方项和一次项的另一边;将常
数项乘以平方项的系数的4倍,加上中项的系数的平方,所得结果的平方
根减去中项系数,再除
以平方项的系数的2倍,就是中项的值.如果用现代代数符号来表示,即若方程是
2
4acb
2
b
2a
ax
2
bx
c
，则x的值是，到了中世纪,阿拉伯数学家花拉子模在他的代
表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法,并用几何方法进行了证明.同时,他亦是历
史上第一个把未知量称为“东西”或“根”的人。到了12世纪,印度数学家婆什伽罗给方程
bb
2
4ac
x
2a
给出了一元二次方程的求根公式。同时确定了二
次方程有两个根,也就
承认了负根的存在.从数学史的整个进程来看,到12世纪婆什伽
罗时期,一元二次方程的求解
问题已基本解决。而在解法方面,也同时具有悠久的历史。如古巴比伦的“
凑和法”、古埃及
的“试位法”及中国的“开带从平方法”以及最常见的“几何解法”。
二、用“元”表示未知数的历史
` 实际上，用“元”这个字表示未知数，源于我国宋
元时期的天元术.所谓天元术，就是
在解代数问题时，先“立天元一为某某”，再根据题设条件，建立等
式，最后通过移项如合
并同类项，得到一个方程.“立天元一为某某”，就是我们现在的“设某某为x。
今天我们所能见到的天元术著作，只有李冶(1192-1279)的《测圆海镜》和《益古演
段》、朱世杰(1249^314)的《算学启蒙》和((四元玉鉴)).我们以《测圆海镜》卷二最后
一题为
例:“或问:出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之.问城径几何?”《测圆海镜》
全书共含170个问题，均围绕“勾股容圆”而设，即都与直角三角形内切圆有关.这里，西
门
、北门是指圆城的西门、北门.李冶给出的解题过程是：
从李冶的天元术解题过程可见，多项式的写法是:只列出各项系数，按幂的次数从
低到高的顺序，由下至上排列.一次项系数旁标一“元”字(有时也在常数项旁标一“太”
字
)，上面依次为二次项系数，三次项系数，等等，而下面为常数项.例如，图2(采自《测圆
海镜》卷六
)表示的就是三次多项式
4x1484x27008010444800
(注意，斜杠表
示
负号).方程总是化成右边等于零的形式，因此只需写出左边的多项式;只不过此时不再出
现“元”字，因为最下面一个数总是常数项，不会产生歧义。
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朱世杰在《四元玉鉴》中将天元术拓广为四元术，除了天元，又引入地元、人元、物
元，用以解决多元高次方程组。
清末，李善兰(1811
-1882)和伟烈亚力(18I5-1887)合译英国数学家德摩根(an,
1806-1871
)的((代数学》，创用“多元一次方程”这样的术语[(2J.该术语是西方数学术语与中
国传统数学
术语完美结合的典范.在《代数学》和另一部微积分教材《代微积拾级》中，李
善兰用“天”、“地”、
“人”、“物”分别代替英文字母x, y,z,w(前二十二个字母分别用天干地
支来代替)，于是，
“天”、“地”、“人’、“物”成了表示未知数的符号，而“元，，即为未知
数的统称.
从上面的历史考察可以看出，用“元”表示未知数，实源于天元术，追本溯源之说虽貌
似有理，实属臆测
;“元”这一称谓并非舶来品，亦非约定俗成，与元音字母更是风马牛不
相及。