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历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数
概念对数学发展的影响， 可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，
回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化 、丰富
的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数
概念来龙去脉认识的 清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学
发展，数学学习的巨大作用．
（一）马克思 曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研
究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究， 所以函数概念
至少在那时已经萌芽．
自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期 科学家共
同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有
自转和公转，那么 下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地
球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研 究在地球表面上
抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和
射程的影响 等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求
解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申 出的一个数学概念，
这是函数概念的力学来源．
（二）早在函数概念尚未明确提出以前，数 学家已经接触并研究
了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673
年 前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个
变量的依赖关系，但由于当时尚未意识 到需要提炼一般的函数概念，
因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．
1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表< br>示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由
此可以看出，函数一词最初的 数学含义是相当广泛而较为模糊的，几
乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表 示变量

间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数
概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量
按任何方式构成的量叫“x的函数” ，表示为yx.
当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、
指数运算和 对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x
和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它 分成了“代数函数”与“超
越函数”．
18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧 拉先后引出了
“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是
指“任 意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来
这都是函数的表达方式，是函数概念 的外延．
（三）函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛
盾．例如，偏微分方 程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的
科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．18 33年至1834
年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的
过程中 ，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比
例”这个重要的理论，使得函数作为数学 的一个独立分支而出现了，实
际的需要促使人们对函数的定义进一步研究．
后来，人们又给 出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，
当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第 二个量的函
数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到
函数定义中去 ，是可喜的进步．”
在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富
里埃 深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822
年，他在名著《热的解析理论》中 说，“通常，函数表示相接的一组值
或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标
服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用

一个三角 级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确
切地说就是，任意一个以2π为周期函数 ，在〔－π，π〕区间内，可
以由
表示出，其中
富里埃的研究，从根本上动 摇了旧的关于函数概念的传统思想，
在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不
存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解
析式的观点终于成为揭示函 数关系的巨大障碍．
通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．
18 34年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是
这样的一个数，它对于每个x都有确定 的值，并且随着x一起变化．函
数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是
未知的．”这个定义建立了变量 与函数之间的对应关系，是对函数概念
的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心 部分．
1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与
y之 间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y
总有完全确定的值与之对应，则y是x 的函数．”
根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里
克莱函数）：
f（x）= 1（x为有理数），
0（x为无理数）．
在这个函 数中，如果x由0逐渐增大地取值，则（fx）忽0忽1．在
无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽 0忽1．因此，它难用一个或
几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是
不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一
个函数．

< br>狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于
依赖关系的描述，以完全清晰的方 式为所有数学家无条件地接受．至
此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人< br>们常说的经典函数定义．
（四）生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量
子力学问世了，在量子力学 中需要用到一种新的函数——δ-函数，
即ρ（x）＝ 0，x≠0，
∞,x=0．
且
δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，
只允许数 与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自
变量只有一个点不为零的函数，其积分值 却不等于零，这也是不可想
象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通
过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的
接触点只有一个，设车辆对轨道、 桥面的压力为一单位，这时在接触
点x=0处的压强是
P（0）=压力／接触面=1／0=∞．
其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即P（ x）=0.另外，我们
知道压强函数的积分等于压力，即
函数概念就在这样的历史条件下能 动地向前发展，产生了新的现
代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变
元，元素y称为因变元．
函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却
是概念上的重大发展，是数学发 展道路上的重大转折，近代的泛函分
析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系．

函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现
代定义，应该说 已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数
现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结 ，近二十年来，
数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．
设集合X、Y，我们定义X与Y的积集X×Y为
X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关 系，若（x,y）∈R，
则称x与y有关系R，记为xRy.若（x,y）R，则称x与y无关系．
现设f是X与Y的关系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有
y=z，那么称 f为X到Y的函数．在此定义中，已在形式上回避了“对
应”的术语，全部使用集合论的语言了． < br>从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系
大量数学素材，研究、发掘、拓广 数学概念的内涵是何等重要．