十五中-公司薪酬管理制度

第九讲 线段与角
一、 基础知识
1．
2．
3．
（1）
（2）
4．
5．
6．
7．

直线、射线、线段、角的概念；
线段的中点、角的平分线的概念；
关于直线、线段的两个公理：
两点确定一条直线
所有连接两点的线中，线段最短
角的分类；
余角、补角的概念；
线段长度的计算；
角的大小的计算.
二、 名校真题回放
1．（101中学2005-2006学年度单元综合测试）如图，B、C
两点把线段
AE
分成
2:3:4
三部分，
D是
AE
的中点，如果
CD1cm
，求图中线段
AB、AE的长.

解答：
AB4cm，AE＝18cm


2．（101中学2005-2006学年度单元综合测试）已知：
AB,CD
相交于
O
，你手中只有直尺，你能在图中
找到一点
P
，使
P
到AB,CD
的距离相等么？

解答：分别在
OB,OC
上截取
OE,OF
，使得
OEOF
，分别在
OA,OD
上截取< br>OG,OH
，使得
OGOH
，
并使得
OGOE
， 分别连结
GF,HE
并延长，相交于点
P
，则点
P
为所求.

3．（101中学2005-2006学年度单元综合测试）如图，在
22
的正方形方格中，
BADADEBEC
等于多少度？

解答：
135

4．（101中学2005-2006学年度单元综合测试）已知：
OA、OB、OC
是从点
O
引出的三条射线
AOB85
，
BOC4136'，求
AOC
的度数.
解答：
4324'
或
12636‘


三、活题巧解

（一）与线段有关的问题

例1．（第13届希望 杯试题）C是线段AB的中点，D是线段CB上的一点，如图所示，若所有线段的长度
都是正整数，且线 段AB的所有可能数的乘积等于140，则线段AB的所有可能的长度的和等于
_____.

A C D B

解答:因为所有线段的长为正整数,且C是AB的中点,设CB的 长度为x,则有
x2,AB2x4,
(x是正整
数)又140=2
< br>2

5

7,且140是线段AB的所有可能的长度的乘积,所以 AB=10或AB=14.故AB的所有可
能长度的和为10+14=24.

< br>例2．（“五羊杯”邀请赛试题）如图，已知
B
是线段
AC
上的一点,
M
是线段
AB
的中点，
N
是线段
AC
的< br>中点，
P
为
NA
的中点，
Q
为
MA
的中点，求
MN:PQ
的值.

解答：设
ABx,ACy
,则
MNANAM


例3．（北京市初中竞赛题改编）一条直线从左到右依次排列着2004个点:
P
1< br>,P
2
,....,P
2004
,
已
知点
P
k
是线段
P
k1
P
k1
的等分点中最靠近< br>P
k1
的那个分点
(2k2003)
.例如,点
P5
就是线段
P
4
P
6
的五
等份点中最靠近P
6
的那个点,如果线段
P
1
P
2
的长度是1 ,线段
P
2003
P
2004
的长度为L,求证:2L
< br>y
x
y
x

,
PQAPAQ
,故< br>MN:PQ2

2244
1
3
2001
.

P
1

P
2

P
3

P
4

……

证明;由题意,
P
2
应是
P
1
P
2
=
P
1
P
3的二等份点,所以
P
2
P
3
=1,
P
3
应是
P
2
P
4
的三等分点中最靠近
P
4
的那个点,
所以
P
3
P
4

11
P
2
P
3
.....
一般地,
P
k
是
P
k1
P
k1
的
k
等份点中最靠近
P
k 1
的那个点,所以
22
11k111
P
k
P
k 1
P
k1
P
k1
(P
k1
P
k
P
k
P
k1
),
移项化简得:
P
k
P
k1
P
k1
P
k
,
即
P
k
P
k1
P
k1
P
k
.
试 看
kkkkk1
k4,5,6.....
具体情形
111111
P
3
P
4
,P
5
P
6
P
4< br>P
5
,P
6
P
7
P
5
P
6
.....
依次类推
332443255432
1111
得,
P
2003
P
2004
P
2002
P
2003
L,
所以
2L
2001
.
< br>200220022001...3220022001.....33
有:P
4
P
5


例4．(“希 望杯”培训题)如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中村庄离城市的距离分别为千米，
而村庄正好 是的中点，现要在某个村庄建立一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，问活动中
心应建在哪 一个村庄最适当？

解答：C村

例5．（第11届“希望杯”）如图，
C
是线段
AB
上的一点，
D
是线段
CB
的 中点，已知图中所有线段的长
度之和为23，线段
AC,BC
的长度均为正整数，求线 段
AC
的长.

解答：设线段
AC,BC
的长分别为x,y
，则
ACADABCDCBDB3x
x3,y4
，故线段
AC
的长为3.
7
y23
，解得
2

例6．（北京市竞赛题）如图，在河里有
A,B
两岛，一次划船比赛从
A岛出发划向
B
岛，赛程规定必须先
划到北岸，然后再划到南岸，最后再划向
B
岛，问应该怎样选择路线，才能使路程最短？

解答：路线如右图所示


（二）与角有关的问题

例7 ．（北京市迎春杯试题）如图,O是直线AB上的一点,
AOD120,AOC90,OE平分
BOD,
则
图中彼此互补的角共有______对.
解答:注意 互补的角只满足和为
180
0
这个数量关系即可,与位置无关.共有6对.
C
D
E
00
A



O B

例8．（兰州市竞赛题）如图，
A,O,B
在一条直线上，
AOC
是锐角，则
AOC
的余角是（ ）
113
A.
BOCAOC
B.
BOCAOC

222
11
C.
(BOCAOC)
D.
(BOCAOC)

23

解答：C

例9．（五城市联赛题）如图是一个3

3的正方形,则图中
123. ....9_____.

B
9
8
7
A
6
5
4
3
2
1

解答:除< br>35745
0
外,由于沿AB作对折时,能够重合,恰好
1 9264890
0
故
123.....9405
0
.

1
例10．（1996年“希望杯”）

、

都是钝角，甲、乙、丙、丁计算
（



）的结果依次为
50、26、72、90
，
6
其中确有正确的结果 ，那么算得正确结果得人是谁？
解答：甲

例11．（北京市中考模拟题）如图，
ACB
是一个平角，
DCEACDECFDCEFCGEC FGCBFCG10
,求
GCB
的度数.

解答：
56

例12．（北京市中考 模拟题）地面上有
A,B,C,D
四个木桩，
C
在
A
的正北 ，
B
在
A
的北偏西
62
，
D
在
A
的北偏东
28
，
C
在
D
的北偏西
62 
，
B
在
C
的南偏西
28
，问
B
在
D
的什么方向？
解答：
B
在
D
的南偏西
56


例13．（全国联赛培训题）钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成
60
的角？分别是 几点几分？
解答：共有4次时针与分针夹成
60
的角.
（1） 第一次正好为2点整.
x9
（2） 第二次设为2点
x
分时，则
x 1010
，解得
x21
.
1211
y
5
15
，解得
y5
.
12
11
z
3
（4） 第四次设为3点
z
分时，则
z1510
，解得
z27

12
11

（3） 第三次设为3点
y
分时，则
y10
四、练习
1．（第10届希望杯试题）已知B,C是线段AD上的任意两点.M是AB的中点,N是CD的中点,若MN= a,BC=b,
则AD=_____.
A
M
B
C
N
D

解答:AD=AB+BC+CD=2MB+BC+2CN=2(MB+BC+CN)-BC=2MN- BC=2a-b.

2．(北京市中考模拟试题)如图，线段
AB2BC,DA 
和
ABNB
的大小.

解答：设
BCx
， 则
AB2x,AD3x
,故
MNAMAN3x
,
ABN B2xCNBC
5
x
,故
2
3
试比较
MN
AB
，
M,N
分别是
AD,AC
的中点，
2
MN

ABNB


3．（第13届“希望杯”）如图，直线上 有三个不同的点
A,B,C
，且
ABBC
，则到
A,B,C
三点距离之和
最小的点（ ）
A.是
B
点 B.是线段
AC
的中点 C.是线段
AC
外的一点 D.有无穷多个
解答：A

4．（“希望杯”培训题）如图，某汽车公司所营运的 公路
AB
段共有4个车站，依次为
A、C、D、B
，
ACCDD B
，现想在
AB
段建一个加油站
M
，要求使
A、B、C、D
站的各一辆汽车到加油站
M
所花
费的总时间最少，求
M
的位 置.

解答：
M
在
CD
段（包括
C、D
）任一点均可.

5．（2000年《 中学生数理化》读刊用刊知识竞赛）如图，已知
AE8.9cm
，
B、C、D
依次是线段
AE
上三点，
DB3cm
，则图中所有线段长度之和是多少？

解答：
ABACADAEBCBDBECDCEDE4AE 2BD41.6cm





6．（2000年湖北省 初中数学竞赛试题）钟表在12点钟时三针重合,经过
x
分钟后,秒针第一次将分针和时
针所夹的锐角平分,则
x
的值是多少?
解答:因为秒针,分针,时针的速度分别是 360度分,6度分,0.5度分,显然
x
的值大于1而小于2,则有
6x360( x1)360(x1)0.5x,
解得:
x




7．（希望杯数学竞赛试题）
1440
1440
分钟.
.
故
x
的值是
1427
1427
(1)现有一个
19
0
的模版,请你设计一种办法,只用这个模版和铅笔在纸上画出
1
的角来 .
(2)现有一个
17
0
的模版,请你设计一种办法,只用这个模版和铅笔 在纸上画出
1
的角来.
(3) 现有一个
21
的模版,请你设计一 种办法,只用这个模版和铅笔在纸上画出
1
的角来.
对于(2)(3)两问,如果能,请简述画法的步骤,如果不能,请说明理由.
解答:设模版 的度数为

,假设可由
m
个

角与
n
个< br>180
0
角画出
1
的角来,即
m,n
满足等式
0
0o
o
o
m

180n1.

(1)当

19
0
时,
19m180n1.
取
m19,n2
即用模板连续画出19个
19
0
的角,在去掉
360
0
的周角,
即得到
1
的角.
(2)当

17
0
时,
17m180n1.
此时
m53,n5
是一组解, 即用模板连续画 出53个
19
0
的角,在去
掉两个周角和一个平角,即得到
1
的角.
(3)当

21,
即
21m180n1.
此时左边不定方程左边能被3整除,而右边不能被3整除,故原方程无整
数解,不能用
21的模版和铅笔画出
1
的角.






00
0
0
0

8．（“希望杯” 培训题）如图，从点
O
引出6条射线
OA、OB、OC、OD、OE、OF
， 且
AOB100
，
OF
平分
BOC
，
A OEDOE
，
EOF140
，求
COD
的度数.

解答：设
CODx,COFy
,则
BODDO EAOE2yx2(140xy)260
，故
x20








五、难度系数
（1）名校真题回放
题号
星级
1
★★
2
★★★
3
★★★
4
★★
5


（2）活题巧解
题号
星级
题号
星级
题号
星级

（3）练习
题号
星级
题号
星级


1
★★★
5
★★★
2
★★★
6
★★★★
3
★★
7
★★★★
4
★★★
8
★★★★
1
★★★
6
★★★
11
★★★
2
★★★
7
★★★
12
★★★
3
★★★
8
★★★
13
★★★★
4
★★★
9
★★★★
14

5
★★★★
10
★★★
15