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专题07 整式的加减

阅读与思考
整式的加减涉及许多概念，准 确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概
括起就是要掌握好以下两点：
1．透彻理解“三式”和“四数”的概念
“三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数．
2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”
“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升 幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、
添括号法则及合并同类项法则．
物以类聚， 人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一
类——称为同类 项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简
化，整式的加减 实质就是合并同类项．
例题与求解
[例1] 如果代数式
a
＋
b
＋
c
－5，当＝－2时的值是7，那么当＝7时，该式的值是______．
(江苏省竞赛试题)
解题思路：解题的困难在于变元个数多，将两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手．
[例2] 已知－1＜
b
＜0，0＜
a
＜1，那么在代数式
a
－
b
，
a
＋
b
，
a
＋
b
，
a
＋
b
中，对于任意
a
，
b
对
应的代数式的值最大的是( )
A．
a
＋
b
B．
a
－
b
C．
a
＋
b
D．
a
＋
b

(“希望杯”初赛试题)
解题思路：采用赋 值法，令
a
＝
22
22
53
11
，
b＝－，计算四个式子的值，从中找出值最大的式子．
22
2
[例3] 已知＝2，
y
＝－4时，代数式
a
＋
＋4986的值．
1
by
＋5＝1997，求当＝－4，
y
＝－
1
时，代数式3
a
－24
by
3
22
(北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出
a
，
b
的值，这是不可能的．解本例的关 键是：将给定的，
y
值分别
代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体 代入求值．
[例4] 已知关于的二次多项式
a
(－＋3)＋
b
( 2＋)＋－5．当＝2时的值为－17，求当＝－2时，该
多项式的值．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数 等概念挖掘隐含的关于
a
，
b
的等式．
[例5] 一条公交线路上 起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7
3223

< br>站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？
(“希望杯”初赛试题) 解题思路：前7站上车总人数等于第2站到第8站下车总人数．本例目的是求第8站下车人数比第7
站上车人数多出的数量．
[例6] 能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排列成一圈后，任3个 相邻数的和等于29？如果，
请举出一例；如果不能，请简述理由．
(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题)
解题思路：假设存在7个整数
a
1，
a
2
，
a
3
，
a
4
，a
5
，
a
6
，
a
7
排成一圈后，满足 题意，由此展开推理，若
推出矛盾，则假设不成立．
能力训练
A级
1． 若－4
m
－23
y
与
2
3
y
7－2
n
是同类项，
m
2
＋2
n
＝______．
3
(“希望杯”初赛试题)
2．当＝1，
y
＝－1时，
a
＋
by
－3＝0，那么当＝－1，
y
＝1时，
a
＋
by
－3＝______．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
3．若
a
＋
b
＜0，则化简|
a
＋
b
－1|－|3－< br>a
－
b
|的结果是______．
4．已知＋－1＝0，那么整式＋2＋2002的值为______．
232
2xy3z32,
5．设

则3－2
y
＋＝______ ．
x4y5z36,

(2013年全国初中数学联赛试题)
6． 已知
A
＝
a
＋
b
－
c
，
B
＝－4
a
＋2
b
＋3
c
，若
A
＋
B
＋
C
＝0，则
C
＝( )．
A．5
a
＋3
b
＋2
c
B．5
a
－3
b
＋4
c

A．3
a
－3
b
－2
c
A．3
a
＋
b
＋4
c

7．同时都有字母
a
，
b
，
c
，且系数为1的7次单项式共有( )．
A．4个 B．12个 C．15个 D．25个
(北京市竞赛题)
8．有理数
a
，
b
，
c
在数轴上的位置如图所示：
b a 0 c

222222
222222
222222
第8题图
则代数式|a
|－|
a
＋
b
|＋|
c
－
a
|＋|
b
－
c
|化简后的结果是为( )．
A．－
a
B．2
a
－2
b
C．2
c
－
a
D．
a

9．已知
a
＋
b
＝0，
a
≠
b
，则化简
ba
(
a
＋1)＋(
b
＋1)得( )．
ab

A．2
a
B．2
b
C．＋2 D．－2
10．已知单项式0.25
y
与单项式－0.125bcm
－12
n
－1
y
的和为0.625
ay
，求
abc
的值．
nm
11．若
a
，
b
均为整数，且
a
＋9
b
能被5整除，求证：8
a
＋7
b
也能被5整除．
(天津市竞赛试题)
B级
1．设
a
＜－
b
＜
c
＜0，那么|
a
＋
b
|＋|
b
＋
c
|－|
c
－
a
|＋|
a< br>||＋
b
|＋|
c
|＝______．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
2．当的取值范围为______时，式子－4＋|4－7|－ |1－3|＋4的值恒为一个常数，这个值是______．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
3．当＝2时，代数式
a
－
b
＋1的值等于－17，那么当＝－1时，代数 式12
a
－3
b
－5的值等于______．
4．已知(＋5)＋ |
y
＋
y
－6|＝0，则
y
－
222
33
1
y
＋
2
＋
3
＝______．
5
(“希望杯”邀请赛试题)
5．已知
a
－
b
＝ 2，
b
－
c
＝－3，
c
－
d
＝5，则(< br>a
－
c
)(
b
－
d
)÷(
a
－
d
)＝______．
6．如果对于某一特定范围内的任意允许值，
P
＝|1－2|＋|1－3|＋…＋|1－9|＋|1－10|的值恒为一
个常数，则此值为( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
(安徽省竞赛试题)
7．如果(2－1)＝
a
0
＋
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
，那么
a
0
＋
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
等于______；
a
0
＋
a
2
＋
a
4
＋
a
6
等于______．
A．1，365 B．0，729 C．1，729 D．1，0
(“希望杯”邀请赛试题)
8．设
b
，
c
是整数，当依次 取1，3，6，11时，某学生算得多项式＋
b
＋
c
的值分别为3，5，21 ，93．经
验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．
A．当＝1时，＋
b
＋
c
＝3 B．当＝3时，＋
b
＋
c
＝5
C．当＝6时，＋
b
＋
c
＝21 D．当＝11时，＋
b
＋
c
＝93
(武汉市选拔赛试题)
9．已知
y
＝
a
＋
b
＋
c
＋
d
＋
e
，其中
a
，
b
，
c
，
d
，
e
为常数，当＝2时，
y
＝23；当＝－2时，
y< br>＝－35，
那么
e
的值是( )．
A．－6 B．6 C．－12 D．12
(吉林省竞赛试题)
10．已知
a
，
b
，
c
三个数中有两个奇数，一个偶数，
n
是整数，如果
s
＝(
a
＋
n
＋1)·(
b
＋2
n
＋2)(
c
＋3
n
＋3)，那么( )．
A．
s
是偶数 B．
s
是奇数
753
22
22
2
623456< /p>

C．
s
的奇偶性与
n
的奇偶性相同 D．
s
的奇偶性不能确定
(江苏省竞赛试题)
11．(1)如图1，用字母
a
表示阴暗部分的面积；
(2)如图2，用字母
a
，
b
表示阴暗部分的面积；
(3 )如图3，把一个长方体礼品盒用丝带打上包装(图中虚线为丝带)，打蝴蝶结的部分需丝带(－
y)cm，
打好整个包装需用丝带总长度为多少？
a
a
a a
a
x
b
b
图1

图2

y
z
图3

12．将一个三位数
abc
中间 数码去掉，成为一个两位数
ac
，且满足
abc
＝9
ac
＋
4c
，如155＝9×15
＋4×5．试求出所有这样的三位数．