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专题28 纵观全局——整体思想

阅读与思考
解数学问题时，人们 习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。与分解、分部
处理问题相反，整体思 想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体
结构的分析和改造，把一 些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内
容和解题方向的策略，往往 能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有：
1. 整体观察
2. 整体设元
3. 整体代入
4. 整体求和
5. 整体求积
注：既看局 部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而
有效的方法 ．
例题与求解
【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一 户，是38000元。由于将这个
数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平 均年收入高出了342元，则输入计算
机的那个错误数据是 ．
（北京市竞赛题）
解题思路：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．

注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到 沟通已知
与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案．

【例2】设
a、
，
b、c
是不全相等的任意数，若
xa bc,ybac,zcab
错误！未找到引用源。
则
x、y、z
（ ）
（全国初中数学联赛试题）
A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一个小于零 D.至少有一个大于零

解题思路：由于
a、b、c
的任意性，若孤立地考虑
x、y、z
，则很难把握的
x、y、z
正负 性，应该考虑
整体求出
xyz
的值．

222
2a< br>5
3a
4
3a
3
9a
2
5a1< br>【例3】如果a满足等式
2a3a10
错误！未找到引用源。，试求错
3 a1
2
1

误！未找到引用源。的值．
(天津市竞赛题)




解题思路：不能直接求出a
的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代
入求值． < br>注：整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加叠< br>乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现．

【例4】已知
x2,y4
错误！未找到引用源。，代数式
ax
求当
x4,y 
3
1
，
by51997
错误！未找到引用源。
21
3
错误！未找到引用源。时，代数式
3ax24by4986
错误 ！未找到引用源。的值．
2
（北京市“迎春杯”竞赛试题）







解题思路：
a、b
的值无法求出，将给定 的
x、y
值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的
联系，整体代入求值．

【例5】已知实数
a、b、c、d、e、f
满足方程组．
2abcdef


a2bcdef


ab2cdef


abc2def

abcd2ef



abcde2f
2 0①
40②
80③
160④
320⑤
640⑥

求
fedcba
的值．错误！未找到引用源。
2

（上海市竞赛题）












解题思路：将上述六个式子看成整体 ，通过⑥－⑤，④－③，②－①分别得到
fe,dc,ba
错误！
未找到引用源 。．


【例6】如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分 别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻的五
个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M得最小 值并完成你的填图．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）＼



解 题思路：解答此题的关键是根据题意得出
S(a
1
a
2

题的突破口．
注：在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以 此达到体现式
子结构的特点，化繁为简的目的．


3
a
10
)≤10M
错误！未找到引用源。，这是本

能力训练
1． 已知密码：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子 是

2．若a，b，c的值满足
(3a 2bc4)(a2b3c6)≤0
错误！未找到引用源。，则
9a2b7c 
错误！未找到引用源。
(“城市杯”竞赛试题)
3．角
，

，

中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算
2 2
1
错误！未找到引用
（




< br>）
15
源。的值时，全班得到23.5°，24.5°，25.5°这样三个不同结果， 其中确有正确的答案，则正确的
答案是
4．如果
x2x3
，那么
x7x8x13x15
=
（“希望杯”邀请赛试题）
5．已知
a
1
,a
2
,
2
432
,a
1
都是正数，设
M(
1
a
2
a
1
a)
99
(
0
a2
a
3
)a
，
N(a
1
a
2
a
1991
)(a
2
a
3
a
1990
)
，那么
M
与
N
的大小关系是
M

N
．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）


ax
2
bx10

2
6．若方程组

bxxa0
有解，则
ab


x
2
axb0

（湖北省武汉市选拔赛试题）
4


11

6
zxy2z

5

3
7．若正数
x，y，z
满足不等式
< br>xyzx
，则
x，y，z
的大小关系是（ ）
3< br>
2
11

5
yxzy

24

A．
xyz
B．
yzx
C．
zxy
D．
不能确定

5432
8．若< br>
3x1

axbxcxdxexf
，则
a bcdef
的值是（ ）
2
A．
32
B．
32
C．
1024
D．
1024

9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别 得到47,61,60，那么这三人中最大年
龄与最小年龄的差是（ ）
A．
28
B．
27
C．
2
D．
2

10．设
a，b，c
，满足等式
xa2b
一个值（ ）
A．
大于0
B．
等于0
C．
不大于0
D．
小于0

（全国初中数学联赛试题）
11．
（1）abc0,化简a()b(< br>2
πππ
,yb
2
2c,zc
2
2a< br>，则
x，y，z
中至少有
362
1
b
1
c
1
c
111
)c()3.

aab
(2)已知







ab1bc1ca1abc

,,，则的值为多少？
ab15bc 17ca16abbcca
12．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数， 将前面的两位数的末尾添一个零，
然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数 的个位数字为5，试求这个四
位数．
（江苏省竞赛试题）



5

13．代数式
rvzrwysuz swxtuytvx
中，
r，s，t，u，v，x，y，z
可以分别取+1或-1 ．
（1）证明代数式的值都是偶数．
（2）求这个代数式所能取到的最大值．
（“华罗庚金杯”竞赛试题）





14． 如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和（1）大于9？（2）大于10？
若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．

（江苏省竞赛试题）



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