新产品推广计划-伯恩茅斯大学

当
A
、
B
两点中有一点在原点时,不妨设点
A
在原点,如图①,
ABOBbab
|;当
A
、
B
两点都不在原点时,（1）如图②,点
A
、
B
都在原点的右边,
AB OBOAbabaab
;
（2）如图③,点
A
、
B
都在原点的左边,
ABOBOAbab

a
< br>ab

（3）如图④,点
A
、
B
在原点的两边,
ABOAOBaba

b

ab
; < br>综上,数轴上
A
、
B
两点之间的距离
ABab
.
请回答:
①数轴上表示
2
和
5
的两点之间的距离是___ ____,数轴上表示
2
和
5
的两点之间的距离是
______ _,数轴上表示
1
和
3
的两点之间的距离是________;
②数轴上表示
x
和
1
的两点
A
和
B
之间 的距离是_______,如果
AB2
,那么
x
为_______; ③当代数式
x1x2
取最小值时,相应的
x
的取值范围是____ ___.
（南京市中考题）
思维方法天地
11.已知
a1
,
b2
,
c3
,且
abc
,那么
abc 
________.
（北京市“迎春杯”竞赛题）
12.在数轴上,点
A
表示的数是
3x
,点
B
表示的数是
3x
,且
A
、
B
两点的距离为
8
,则
x
____ ____.
（“五羊杯”竞赛题）
13.已知
x5
,
y1< br>那么
xyxy
________.
（北京市“迎春杯”竞赛题）
14.（1）
x1x1
的最小值为__________.
（“希望杯”邀请赛试题）
（2）
x11x12x13
的最小值为________.
（北京市“迎春杯”竞赛题）
15.有理数
a
、
b
在数轴 上对应的位置如图所示:

ba1b
的值为（）.

abb1

2
,则代数式
a1
a1
A.
1


a
a
B.
0
C.
1
D.
2

（“希望杯”邀请赛试题）
16.若
m2

n1

0
,则
m2n
的值为（）.

1

A.
4
B.
1
C.
0
D.
4

（北京市中考题）
17.如图, 已知数轴上点
A
、
B
、
C
所对应的数
a
、
b
、
c
都不为
0
,且
C
是
AB< br>的中点.
如果
aba2cb2cab2c0
,那么原点O
的位置在（）.
A.线段
AC
上
C.线段
BC
上












B.线段
CA
的延长线上.i
D.线段
CB
的延长线上!
（江苏省竞赛题）
18.设
mxx1
,则
m
的最小值为（）.
A.
0
B.
1
C.
1
D.
2

（重庆市竞赛题）
2
19.已知点
A
在 数轴上对应的数为
a
,点
B
对应的数为
b
,且
a 4

b1

0
,
A
、
B
之 间
的距离记作
AB
.
（1）求线段的长
AB
;
（2）设点
P
在数轴上对应的数为
x
,当
PAPB2
时 ,求
x
的值;
（3）若点
P
在
A
的左侧,
M
、
N
分别是的中点,当点
P
在
A
的左侧移动时 ,式子
PNPM
的值是否发生改变?若不变,请求其值;若发生变化,请说明理由.
20.已知
x
abcabc

,且
a
、
b
、
c
都不等于
0
,求
1
的所有可能值.;
abcabc
（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）
应用探究乐园
21.绝对值性质
（1）设
a
、
b
为有理数,比较
ab
与
ab
的大小.
（2）已知
a
、
b< br>、
c
、
d
是有理数,
ab9
,
cd 16
,且
abcd25
,求
badc
的值.
（“希望杯”邀请赛试题）
22.已知数轴上两点
A
、
B
对应的数分别为
1
,
3
,点
P
为数轴上一动点,其对应的 数为
x
.
（1）若点
P
到点
A
、点
B< br>的距离相等,求点P对应的数.:
（2）数轴上是否存在点
P
,使点
P
到点
A
、点
B
的距离之和为
5
?若存在,请求出
x
的值;若
不存在,请说明理由.
（3）当点
P
以每分钟
1
个单位长的速度从
O
点向左运动时,点
A
以每分钟
5
个单位长的速度
向左运动,点
B
以每分钟
20
个单位长 的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后
P
点到点
A
、点
B的距离相等?
3.有理数的运算

2

解读课标 < br>有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上.深刻
理解 有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础.
有理数的运算不同于算术数的运 算:这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算
很多是字母运算,也就是常说的符号演算.
运算能力是运算技能与推理能力的结合.这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题
的 结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度.有理数运算常用的技巧与方法有:
利用运算律;以符代数;恰当分组;裂项相消;分解相约;错位相减等.
问题解决
例1（1）已知
a
n

1

n1

2< br>
n1,

2

,
,
3
记
,
b
1
2

1a
1

,
b
2
2

1a
1

1a
2

,,b
n
2

1a
1

1a
2



1a
n

,则通过计算推测< br>b
n
的表达式
b
n

_________.（用含< br>n
的代数式表示）
（成都市中考题）
（2）若
a
、
b
是互为相反数,
c
、
d
是互为倒数,
x
的绝对 值等于
2
,则
x
4
cdx
2
ab
的 值
是______.
（“希望杯”邀请赛试题）
试一试对于（2）,运用相关概念的特征解题.
例2 已知整数
a
、
b
、
c
、
d
满足
abcd25
,且
a bcd
,那么
abcd
等于（）.:
A.
0
B.
10
C.
2
D.
12

（江苏省竞赛题）
试一试 解题的关键是把
25
表示成
4
个不同整数的积的形式.
例3 计算:
（1）
1

12

123

2 59

1






< br>








;
2

33

444

60

6060
（广西竞赛题）
（2）
1
111



;
12123123

100
（“祖冲之杯”邀请赛试题） < br>（3）

17


7737

12173 8

2711



1385

.
271739

172739

（“五羊杯”竞赛题） 试一试对于（1）,设原式
S
,将各括号反序相加;对于（2）,若计算每个分母值,则 易掩盖问
题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的 关
系入手.
例4在数学活动中,小明为了求
11111

2

3

4

n
的值（结果用
n
表示 ）,设计了如
22222
3

图所示的几何图形.

图①
（1）请你用这个几何图形求
图②
11111
2

3

4

n
的值; 22222
11111
（2）请你用图②,再设计一个能求

2

3

4

n
的值的几何图形.
22222
（辽宁省大连市中考题）
试一试求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键.
例5 在
1,2,,2002
前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值.
分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可.
整数的和差仍是整数 ,而最小的非负整数是
0
.代数和的最小值能是
0
吗?能是
1
吗?由于任意
添“

”号或“

”号,形式多样,因此,不可能一 一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手.
因
ab
与
ab
的 奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与
1232001
200
21

2002
2002
2
100
,
1 20
.因
03
的奇偶性相同即为奇数
此,所求非负代数和不会小于
1
.
又


12



3 456



78910



11121314



19992000200120 02

1
,

所求非负代数和的最小值为1.
类比 < br>类比是一种推理方法,根据两#事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似
的结 论.
触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法.
例6 观察下面的计算过程
111114

11

11
< br>11

11

















1
.
12233445

12

23

34

45

55
问:（ 1）从上面的解题方法中,你发现了什么?用字母表示这一规律.
（2）“学问”,既要学会解答,又要学会发问.爱因斯坦曾说:“提出问题比解决问题更重要”.
请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题.
分析与解（1）
111

.
n

n1

nn1
（2）从连续自然数到连续偶数,从
2
个到
3
个,从分数到整数,类比可提出下列计算问题:

4

111



;
24462012 2014
111



②
;
1232 34201220132014
③
12233420122013< br>;
①
④
1
2
2
2
3
2
2012
2
.
数学冲浪
知识技能广场
1.如图,每一 个小方格的面积为
1
,则可根据面积计算得到如下算式:
1357

2n1


_______.（用
n
表示,
n
是正整数）.

（第1题）
（2012年潍坊市中考题）
2 .某数学活动小组的
20
位同学站成一列做报数游戏,规则是:从前面第一位同学开始,每位同
学依次报自己顺序数的倒数加
1
,第
1
位同学报

1

,第
2
位同学报


1

1



1

1

,第
3位同学报

2


1


1

„„这样得到的
20
个数的积为________.

3

（2012年河北省中考题）
3.计算:
（1）
211

455

365455211545545 365
______.
（“希望杯”邀请赛试题）
23181920
（2）
223222
_______.
（广西桂林市中考题）
4.“数学王子”高斯从小就善于观察和思考,在他读小学时就能在课 堂上快速地计算出
12398991005050
,今天我们可以将高斯的做 法归纳如下:
S1239899100
①
S1009998321
②
①

②有
2S

1100

100
,
S5050
.
请类比以上做法,回答下列问题:
若
n
为正整数,
357 

2n1

168
,则
n
_______ .

5

（2012年湖北省黄石市中考题）
5.设a0
,在代数式|
a
,
a
,
a
A.
1
B.
2

2009
,
a
2010

a
2

a
2

a

,

a

中负数的个数是（）. ,
a
,


a

a

C.
3
D.
4

（“希望杯”邀请赛试题）
6 .我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下:
100
克以内
0.7
元,每增 加
100
克（不足
100
克
按
100
克计）
0.4
元.某人从成都邮寄一本书到上海,书的质量为
470
克,则他应付邮资（） 元.
A.
2.3
B.
2.6
C.
3
D.
3.5

（2012年四川省竞赛题）


7.为了求
1222
2S22
2
2
3
2
4
2
2009
23

2
2
0
的值,可令
S12
2
2
3
2
,,
0

2
2
0
,则
所以因此
2SS 2
2009
1
1
（）.
A.
5
2009< br>2
22
3
2
2
221
5
2< br>5
3
5
2009
的值是
15
.仿照上面 推理计算出
1
B.
5
2010
1

5
2009
1
C.
4

5
2010
1
D.
4
（湖北省鄂州市中考题）
8.下面是按一定规律排列的一列数:
第
1
个数:
1
< br>1



1

;
2

2

23
1

1



1



1


第
2
个数:< br>

1

1

;

1

3

2


34

2345
1

1



1



1



1



1


1
第
3
个数:
< br>
1

1

1

1

;



4

2

3

4

5

6


„„
232n1
1

1


< br>1



1



1< br>



1


1
第
n
个数:

1



1

.

n1

2


242n

那么,在第
10
个数、第
11
个数、第
12< br>个数、第
13
个数中,最大的数是（）.
A.第
10
个数 B.第
11
个数 C.第
12
个数 D.第
13
个数
（江苏省中考题）
观察图形,解答问题:


6

（1）按下表已填写的形式填写表中的空格:

三个角上三个数的积
三个角上三个数的和
图① 图② 图③



（2012年益阳市中考题）
10.观察下列等式:
第
1个等式:
a
1

1

1

2 2

1

1

22


3



4



5

60


3



4



5

12


积与和的商
221

（2）请用你发现的规律求出图④中的数
y
和图⑤中的数
x
.
11

1



1

; < br>132

3

11

11






352

35

第< br>2
个等式:
a
2

第3个等式:
a
3

11

11






572

57

11

11





;
792

79

第4个等式:
a
4

„„
请解答下列问题:
（1）按 以上规律列出第
5
个等式:
a
5

______

_______;
（2）用含
n
的代数式表示第
n
个等式
a
n

______

_______;（
n为正整数）;
（3）求
a
1
a
2
a
3< br>a
4
a
100
的值.
（2012年广东省中考题）
思维方法天地
11.计算:
（1）
1

1

1

1

1

1

1111

11


13

24

35

46< br>
9799

98100

______.
（“华罗庚杯”邀请赛试题）
（2）
12
1
2
5119 1411711
3456789
_____.
6122
（“希望杯”邀请赛试题）

7

（3）

1
55

111

5
39


139


_____.
3311

993311

99
（江苏省竞赛题） < br>12.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为
1
,
ab
,
a
的形式,又可分别表示为
0
,
形式,则
a
2004b
2001

______.
13.已知
x3x1,则
64x48x9
a
,
b
的
b

2

2005

______.
（“五羊杯”竞赛题）
14.已知
a
、
b
、
c
满足

ab< br>
bc

ca

0
且
abc0
,则代数式的
________.
abc

值是
abc
（四川省竞赛题）
111111

的值是（）.
61111161621212626313136
1111
A. B. C. D.
18
363366
15.
（北京市竞赛题）
16.如果
4
个不同的正整数
m
、
n
、
p
、
q
满足

7m

7n

7p

7q

4
,那么
mnpq
等于（）.
A.
10
B.
21

17.如果
A.
1

C.
24
D.
26
E.
28

ttt
t
1
t
2
t
3
1
,那么
123
的值为（）. t
1
t
2
t
3
t
1
t
2t
3
B.
1
C.
1
D.不确定
（河北省竞赛题）
18.观察下列各式:
（1）
11
;
（2）
2343
;
（3）
345675
;
（4）
456789107
;
„„
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（）.
A.
10051006100730162011
2
B.
10051006100730172011


8
2
2
2
2
3
2

C.< br>10061007100830162011
2

D.
10071008100930172011
2

（济南市中考题）
19.观察下面的等式:
224
,
224
;
3131
34
,
34
;
2222
4141
45
,
45
;
3333
5151
56
,
56
.
444 4
（1）小明归纳上面各式得出一个猜想:“两个有理数的积等于这两个有理数的和”,小明的猜
想正确吗?为什么?
（2）请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想.
（“希望杯”邀请赛试题）
20.同学们,我们曾经研究过
nn
的正方形 网格,得到了网格中正方形的总数的表达式为
1
2
2
2
3
2
n
2
.但
n
为
100
时,应如何计算正 方形的具体个数呢?下面我们就一起来研
究并解决这个问题.首先,通过探究我们已经知道
1< br>011223

n1

nn

n1

n1

时,我们可以这样做:
3
（1）观察并猜想:
1
2
2
2


10

1

11

21012 12

12



0112
,
1
2
2
2
3
2


10

1

11

2

1 2

31012123

23

1 23



011223

,
1
2
1
2
3
2
4
2

10

1

11

2

12

3
_______
101

21 2323
______


1234

< br>
_______________

;
„„
（2）归纳结论:
1
2
2
2
3
2


n
2


10

1

11

2

12

3



1

n1

n



101212323n

n1

n


（_________________）

（_ ______________________）

____________

______________
1

_____________;
6

9

（3）实践应用::
通过以上探究过程,我们就可以算出当
n
为
100
时,正方形网格中正方形的总个数是
________.
（四川省内江市中考题）
应用探究乐园
21.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数 缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离
分家万事休”.数学中,数和形是两个最主要的 研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定
条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.数形结 合的基本思想,就是在研究问题的过程中,
注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性 质的问题转化为数量关系问题,
或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象 问题具体化,化难为
易,获得简便易行的成功方案.
例如,求
1234n
的值,其中
n
是正整数.
对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法（首尾两头加）,问题虽然可以解决,但在求和过程
中,需 对
n
的奇偶性进行讨论.
如果采用数形结合的方法,即用图形的性质来说明数量关系 的事实,那就非常的直观.现利用
图形的性质来求
1234n
的值,方案 如下:如图,斜线左边的三角形图案是由上到
下每层依次分别为
1,2,3,,n
个 小圆圈排列组成的,而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所
求式子
1234n的值.为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角
形组成一个平行四边形.此时,组 成平行四边形的小圆圈共有
n
行,每行有

n1

个小圆 圈,所
以组成平行四边形小圆圈的总个数为
n

n1

个 ,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为
n

n1

n

n1

1234n
,即.
2
2

（1）仿照上述数形结合的思想方法,设计相关图形,求
1357
2n1

的值,其中
n
是正整数.（要求:画出图形,并利用图形作必 要的推理说明）.
（2）试设计另外一种图形,求
1357

2n1

的值,其中
n
是正整数.（要求:画出
图形,并利用图形 作必要的推理说明）
（山东省青岛市中考题）
22.在“
□1□2□3□4□5□ 6□7□8□9
”的小方格
中填上“

”、“

”号,如果 可以使其代数和为
n
,就称数
n
是“可被表出的数”（如
1
是可被
表出的数,这是因为
123456789
是
1的一种可被表出的方法）.
（1）求证:
7
是可被表出的数,而
8
是不可被表出的数;
（2）求
25
可被表出的不同方法的种数.

10

（四川省竞赛题）
4.信息技术中的数学问题
解读课标
伴随着计算机和网络技术的迅猛发展,人类社会已步入信息时代,并将迈入后信息化时代:
IT
技术、赛伯空间、数字化技术、智能通讯等信息技术彻底改变着我们的生活方式与思维方式.
计算器、 计算机正深刻影响着数学学习内容和方式,现代信息技术是学习数学和解决问题的
有力工具.近年出现的 以信息技术为背景的问题是中考竞赛试卷一道靓丽的风景,这类问题将
信息技术与数学知识有机融合和渗 透,构思巧妙、立意新颖,其托容涉及计算机常识（数制、
字节等）、计算机的数据输出、计算机中的数 据处理、计算机运算程序、网络与通讯等.
解决这类问题的关键是找到数学知识与其内在的联系,将其转化为数学问题.
——问题解决——
例1 给出下列程序
输入x立方k输出,且已知当输入的
x
值为
1
时,
输出值为
1
; 输入的
x
值为
1
时,输出值为
3
,则当输入的
x
值为
1
时,输出值为____.
2
（广西竞赛题）
试一试 把程序流程图用代数式表示,由条件先求出
k
、
b
的值.
例2 计算机利用的是二进制数,它共有两个数码
0
、
1
,将一个十 进制数转化为二进制数,只需
把该数写成若干个
2
数的和,依次写出
1
或
0
即可.如
n
19

十

16 2112
4
02
3
02
2
12
1
110011

2

.
为二进制下的
5
位数,则十进制数
2004
是二进制下的（）.
A.
10
位数 B.
11
位数 C.
12
位数 D.13位数
（湖北省荆门市中考题）
试一试本例渗透 了计算机的基本知识—“二进制计算”,无论何种进制的数都可表示为与数
位上的数字、进制值有关联的 和的形式.
例3 一条信息可通过如图所示的网络线由上（
A
点）往下向各站点传送 .例如信息到
b
2
点可
由经
a
1
的站点送达,也可 由经
a
2
的站点送达,共有两条途径传送,那么信息由
A
点到达d
3
的不
同途径共有多少条.
（第17届“希望杯”邀请赛试题）
试一试 在阅读理解的基础上,画出路线示意图,穷举得出结论.


例4 你觉得手机很神奇吗?它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号,据说以后还能发
送味道、触觉信 息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳.其实,这些信号在电脑芯片中都是以
二进制数的形式给出的.每 个二进制数都由
0
和
1
构成,电脑芯片上电子元件的“开”、“关”
分别代表“
1
”和“
0
”.一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二 进制数.例如“开”
“开”“关”表示“
110
”.

11

如图,电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连）,且相邻的两个元
件不能同时是关的.（以下各小题要求写出解答过程）

（1）若此电路上有
4
个元件,则这
4
个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种?（请一
一列出）;
（2）若用
a
k
表示电路上
k

k 1

只电子元件所有不同的“开”“关”状态数,试探索
a
k
、a
k1
、
a
k2
之间的关系式（不要求论证）;
（3）试用（2）中探索出的递推关系式,计算
a
10
的值.
（《时间学习报》数学文化节试题）
试一试对于（1）,通过穷举,得出答案值;对于（2）,从特例入手,归纳出相应关系式.
例5 先阅读下面的材料,再解答后面各题.
现代社会对保密要求越来越高,密码正在成为人 们生活的一部分.有一种密码的明文（真实文）
按计算机键盘字母排列分解,其中
Q
、
W
、
E
、„、
N
、
M
这26个字母依次对 应
1
、
2
、
3
、„、
25
、
26
这
26
个正整数（见下表）:
Q

1

F

14

W

2

G

15

E

R

4

J

17

T

Y

U

I

O

P

A

11

B

24

S

12

N

25

D

3

H

16

5

K

18

6

L

19

7

Z

20

8

X

21

9

C

22

10

V

23

13

M

26

给出一个变换公式:



x



x





x



x
,

x
是正整数
,1x26 ,x
被
3
整除

3
x2
17,
x
是正整数
,1x26,x
被
3
整除余
1


3
x1
8,

x
是正整数
,1 x26,x
被
3
整除余
2

3
将明文转换成密文 ,如:
42
1719
,即
R
变为
L
; < br>3
111
11812
,即
A
变为
S
.
3
4
将密文转换成明文,如:
213

21 17

210
,即
X
变为
P
;
13 3

138

114
,即
D
变为
F
.
（1）按上述方法将明文
NET
译为密文;
（2）若按上述方法将明文译成的密文为
DWN
,请找出它的明文.

12

（湖北省十堰市中考题）
试一试对于（1）,由明文选择变换 公式,求得相应整数,推出密文;对于（2）,逆用变换公式,即
由
x

导出
x
值,推出明文,解题的关键是确定变换公式中
x

的取值范围.
电话号码的破译
例6 同学们看电影、看电视时,经常遇到破译密码的故事情节.在军事上、 商业上,为了保密,
都采用密码.破译密码需要有解密的“钥匙”.下面我们也来破译一个电话号码:一 名间谍在他
所追踪的人拨打电话时（话机是拨盘式的,如图,话机上的数字排列顺序是
1,2, 3,4,5,6,7,8,9,0,
图中画出了拨数字
5
时相应的小孔转过的路线）, 随着拨号盘转回的声
音,用铅笔以同样的速度在纸上画线,他画出的6条线如下:


他很快就知道了那人拨的电话号码,这个号码是多少?
（《时代学习报》数学文化节试题）
分析与解 从电话拨盘上可以看出,拨
1
时,画出的线段最短,拨
0
时,画出的线段最长,由于
画线速度相同,所以,每个数字所对应的线段应比它下一个数所对应的线段增 加一个固定的长
度.间谍所画下的这
6
条线段的长度互不相等,所表示的
6< br>个数字当然也不一样,在
0~9
这
10
个数字的
6
个 数字中至少有
2
个数字是相邻的（想一想为什么）,因此,长度最接近的两条线
段的长 度差,就一定是上面所谈到的那个固定长度.
通过对这
6
条线段进行度量,可以发现 第一条线段与第二条线段最为接近,它们相差
0.6
厘米
（相当于
1
个格子的宽度）.由于最长的线段与最短的线段相差
5.4
厘米（相当于
9
个 格子的
宽度）,因此可以断定最长的线段代表数字
0
,而最短的线段则代表
1
.
第一条线段比第三条线段长
3
厘米,因此第一条线段代表
15 6
,同样可推知第六条线段代
表
3
,第四条线段代表
8
, 第二条线段代表
5
,所以这个电话号码是
651803
.
数学冲浪
知识技能广场
1.二进制数为法国数学家莱布尼兹所创,例如二进制数
1101表示十进制数
12
3
12
2
02
1
1
,即相当于十进制数
13
,试将二进制数
1101
化为十进制数 ________.
二进制数是现代计算机理论的基础.
2.如图,是一个简单的数值运算程 序,当输入
x
的值为
1
时,则输出的数值为_____.
输入x

3

2输出

（江苏省南通市中考题）
3.老师设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表:
输入数据

1

2

3

13
4

5

6

„

输出数据
1

2
2

7
3

14
4

23
5

34
6

47
„
那么,当输入数据是
7
时,输出的数据是_______.
（广东省深圳市中考题）
4.在计算器上按照下面的程序进行操作:

下 表中的
x
与
y
分别是输入的
6
个数及相应的计算结果:
x

y

2

5

1

2

0

1

1

4

2

7

3

10

上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是_______.
（浙江省台州市中考题）
5.在计算机程序中,二叉树是一种表示数据结构的方法.如图,一 层二叉树的结点总数为
1
,二层
二叉树的结点总数为
3
,三层二叉树 的结点总数为
7
„„照此规律,七层二叉树的结点总数为
（）.

A.
63
D.
128

（呼和浩特市中考题）
6.如图所示的运算程序中,若开始输入的
x
值为
48
,我们发现第一次输出 的结果为
24
,第二次
输出的结果为
12
,„„,则第
20 10
次输出的结果为（）.
A.
6
B.
3


C.
B.
64

（第5题）
C.
127

3
2
2006
D.
3
2
1003


（山东省淄博市中考题）
7.计算机是将信息换成二进制数进行处理的,二进制即“逢
2
进
1
”,如< br>1101

2

表示二进制数,
321
将它转换成十 进制形式是
121202113
,那么将二进制数
1101

2

转换成十进
制形式是数（）.
A.
8
B.
15

8.按下列程序计算,把答案写在表格内:
C.
20
D.
30

n平方nnn答案

（1）填写表格:
输入
n

输出答案

3

1

2

14
2


3

„

1

1

（2）请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.
（广东省中考题）
9.密码在通信安全技术、国防军事中扮演着重要角色,下面
6
道算式,乍看真是莫名 其妙！
①
8762
;②
535
;③
1282 3
;④
50954
;⑤
11155
;⑥
091
.
当你知道这只是密码算式,各个密码数字各自对应另一个不同数字时,算式就合理了.
请根据算式,写出表中密码所对应的数字.
密码
对应数字
0


1


2


3


4


5


6


7


8


9


1 0.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文

密文（加密）,接收方由密文

明文（解
密）.已知有一种密码,将英文
26
个小写字母
a,b, c,,z
依次对应
0,1,2,3,,25
这
26
个自
然数（见表格）.当明文中的字母对应的序号为

时,将

10
除 以
26
后所得的余数作为密
文中的字母对应的序号,例如明文
s
对应 密文
c
.
字母
序号
字母
序号
a

0

b

c

2

p

d

3

q

e

4

f

5

g

h

7

i

j

9

k

10

l

11

y

24

m

12

1

6

8

n

13

o

14

r

s

t

19

u

20

v

21

w

22

x

23

z

25

15

16

17

18

按上述规定,将明文“
maths
”译成密文.
思维方法天地
（广州市中考题）
11.我们知道在十进制加法中,逢十进一,如< br>9817
,也可写成
9

10

8

10

17

10

;在四进制
加法中 ,逢四进一,如
3

4

7

4
11

4

,那么在
n
进制中有等式
55< br>
n

43

n

142
< br>n

,则
n
______.
（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）
12.某综合性大学拟建校园局域网络,将大学本 部
A
和所属专业学院
B
、
C
、
D
、
E
、
F
、
G
之间用网线连接起来.经过测算,网线费用如图所示（ 单位:万元）,每个数字表示对应网线（线
段）的费用,实际建网时,部分网线可以省略不建,但本部及 所属专业学院之间可以传递信息,
那么建网所需的最少网线费用为_________万元.

（第12题） （第13题）
13.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每 个堆栈中数据的存入、取出,按照“先进后出”
的原则.如图堆栈（1）的
2
个连续存 储单元已依次存入数据
b
,
a
,取出数据的顺序是
a
,b
;堆
栈（2）的
3
个连续存储单元已依次存入数据
e
,
d
,
c
,取出数据的顺序则是
c
,
d
,
e
现在要从
这两个堆栈中取出这
5
个数据（每次取出
1个数据）,则不同顺序的取法的种数有（）.

15

D.
12
种
（江苏省竞赛题）
14.如图,小圆 圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们之间有网线相连,连线标注的数字
表示该网线单位时间内可 以通过的最大信息量.现从结点
A
向结点
B
传递信息,信息可以分
开 沿不同的路线同时传递,由单位时间内传递的最大信息量为（）.
A.
19
B.
20
C.
24
D.
26

A.
5
种 B.
6
种 C.
10
种

（第14题） （第16题）
15.写出一个四位数,它的各个数位上的 数字都不相等（如
6847
）,用这个四位数各个数位上
的数字组成一个最大的数和一 个最小的数,并用最大数减去最小数,得到一个新的四位数,对
于新得到的四位数,重复上面过程,又得 到一个新的四位数,一直重复下去,你发现了什么?请你
用计算器,帮助你进行探索.


16.某人租用一辆汽车由
A
城前往
B
城,沿途可能经过 的城市以及通过两城市之间所需的时
间（单位:小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为
80
千米时,而汽车每行驶
1
千米需要的
平均费用为
1.2
元, 试指出此人从
A
城出发到
B
城的最短路线,并求出所需费用最少为多少
元?
（全国初中数学竞赛题）


17.按下面的程序计算,若开始输 入的值为正数
x
,最后输出的结果为
656
,那么满足条件的
x的不同值最多有多少个?

（浙江省中考题）


18.在 密码学中,你直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.对
于英文,人们将
26
个字母按顺序分别对应整数
0
到
25
,现有
4
个字母构成的密码单词,记
4
个
字母对应的数字分别为
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
. 已知整数
x
1
2x
2
,
3x
2
,
x
3
2x
4
,
3x
4
,除以
26的余数分
别是
9
,
16
,
23
,
12
,请你通过推理计算破译此密码,写出这个单词,并写出此单词的汉语词意.
（新疆建设兵团中考题）


16

5.整式的加减
解读课标
代数式是用加、减、乘、除等运算符号把数或表示数的字 母连接而成的式子,是后续学习中
进行运算、解决问题的基础.
在代数式中,我们把那些含相 同的字母,并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类—
称为同类项,一个多项式中的同类项可以 合聚在一起——称为合并同类项,整式的加减就是合
并同类项.
代数式的化简求值是代数式研 究的一个重要课题,解这类问题的基本方法有:将字母的值代人
或字母间的关系整体代人,而关键是对代 数式进行恰当变形,其中去括号、添括号能改变代数
式的结构,是变形求解的常用工具.
——问题解决——
例1 平、乙、丙三家超市为了促销一种定价为m元的商品,甲超市连续两 次降价
20%
;乙超
市一次性降价
40%
;丙超市第一次降价
30%
,第二次降价
10%
,此时顾客要购买这种商品,最
划算的超市是_ ______.
（2012年黑龙江省绥化市中考题）
试一试 用
m
的式子分别表示三家超市降价后的价格.


例2 下列四个数中可以写成
100
个连续自然数之和的是（）.
A.
1627384950
B.
2345678910
C.
3579111300
D.
4692581470

（江苏省竞赛题）
试一试 用字母表示数,从揭示
100
个连续自然数之和的规律入手.


例3 已知关于
x
的二次多项式
a

x
3
x
2
3x

b

2x
2
x

x
3
5
,当
x2
时的值为
17
,求当
x2
时该多项式的值.
（北京市“迎春杯”竞赛题）
试一试 设法求出
a
、
b
的值,解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概 念挖
掘隐含的关于
a
、
b
的等式.


例4 有这样的两位数,交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数.例如,
2 9
就是这样的两位数,因为
299212111
,请你找出所有这样的两位数.
（江苏省竞赛题）
试一试 设原数为发现的特点是解本例的出发点.


例5 如图,是用棋子摆成的图案,摆第
1
个图案需要
7
枚棋子,摆 第
2
个图案需要
19
枚棋子,摆
第
3
个图案需要< br>37
枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第
6
个图案需要________枚 棋子,摆
第
n
个图案需要_______枚棋子.
2

17

（山东省青岛市中考题）
解法一 列表填数,观察数值,体会从特殊到一般的数学思想.
图形序号
棋子总数
1

7

2

19

3

37

4

61

5

91

„
„
a
1
716116
;
a
2
19 16121

12

6
;
a
3371612181

123

6
;
„„
猜想
a
n
1

1234n

63n3n1
,再将
n6
代入该代数式得
12 7
.
2
解法二 数形结合,分解图形,感悟从部分研究整体的思想.
问题 中“按照这样的方式摆下去”,何种方式并没有明确的界定,我们可以有不同的理解,如从
平行四边形角 度看,把图形分成三个平行四边形.
如图,图的序列号:
1,2,3,4,5,

图中的点的数目:
7,19,37,61,91,

a
1
71

12

3
;
a
2
191

23

3
;
a
3
371

34

3
;
a
4
611

45

3
;
a
5
911

56

3
;
„„
猜想
a
n
1


n

n1



33n3n1
.
2
整体思考
整体思考是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,由整体入手,突出 对问题的整体结构的
分析与改造,从整体上把握问题的特征和解题方向.
2
例6（1 ）已知当
x1
时,
2ax6x
的值为
3
,则当
x2
时,
ax26x8
的值为_______.
（2012年成都市中考题）
（2）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重 叠地放在一个底面为长方形
（长为
mcm
,宽为
ncm
）的盒子底部 （如图②）,盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,

18

则图②中两块阴影部分的周长和是（）

A.
4mcm
B.
4ncm
C.
2

mn

cm
D.
4

mn

cm

（浙江省宁波市中考题）
（3）记
S
n
a
1
a
2
an
,令
T
n

S
1
S
2


S
n
,称
T
n
为
a
1
,a
2
,,a
n
,这列数的“理
n
想数”,已知
a
1
,a
2
,,a
500
的“理想数”为
20 04
,求
8,a
1
,a
2
,,a
500
的理想数.
（安徽省蚌埠市中考题）
试一试 整体思考具体体现为:整体观察、整体变形、 整体代入.对于（1）,能求出
a
、
b
的
值吗?对于（2）,为表示 图②中相关量,还需知道什么?对于（3）,从理解“理想数”的意义入
手,导出
T
n
与
a
1
,a
2
,,a
n
的关系,要求的 是
T
501
的值.


数学冲浪
知识技能广场
n
1.（1）若
3x
m5
y
2
与
x3
y
n
的和是单项式,则
m
________.
（山东省烟台市中考题）
a
3
a
4
a
5
（2）有一组单项式:
a
,

,,

,„请观察它们的构成 规律,用你发现的规律写出第
10
234
2
个单项式为____.
（沈阳市中考题）
2.（1）如图,每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵,根据图 中提供的信息,用含
n
的
等式表示第
n
个正方形点阵中的规律是__ _____.
（江苏省泰州市中考题）

（2）如图是由形状相同的正六边形和正 三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第
n
个图案
中阴影小三角形的个数是____ ___（用含
n
的代数式表示）.
（2012年山西省中考题）


19

3.数学翻译
牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理 学家,他创立了微积分（另一个创立者是莱布尼茨）、经
典力学,在代数学、光学、天文学等方面也作出 了重要贡献.牛顿用数学的语言、方法描述和
研究自然规律,他呕心沥血写成的光辉著作《自然哲学的数 学原理》,照亮了人类科学文明的
大道.
牛顿在他的《普遍的算术》一书中写道:“要解答一 个含有数量间的抽象关系的问题,只要把
题目由日常的语言译成代数的语言就行了.”下表是由牛顿给出 的
1
个例子改写、简化而成的,
请将表的空白补上（不必求出问题的最后答案）.
日常语言
一个商人有一笔钱
第一年他花去了
100
镑
补进去余额的
代数语言
x

x100

1

3

x100



x 100



x100


41
x100

100

4x700


33
（1）
（2）
（《时代学习报》数学文化节试题）
1
3
4
3
第二年他又花去了
100
镑
又补进去余额的
1

3
结果他的钱数正好是原来的钱数
2 2
4.（1）已知
2x3b5
,则
102a3b
的值是__ ______.
（2012年江苏省杨州市中考题）
（2）若
m
、
n
互为倒数,则
mn

n1

的值为_______ _.
2
（2012年河南省中考题）
5.小王第一周每小时工资为
a元,工作
b
小时.第二周每小时工资增加
10%
,工作总时间减少
10%
,则第二周工资总额与第一周工资总额相比（）.
A.增加
1%
B.减少
1%
C.减少
1.5%
D.不变
（2012年四川省竞赛题）
6.已知有理数
a
、
b
、< br>c
在数轴上的位置如图所示,且
ab
,则代数式
acacb b
的值为（）.
A.
2c
B.
0
C.
2c
D.
2a2b2c

232
7.如果< br>xx10
那么代数式
x2x7
的值为（）.
A.
6
B.
8
C.
6
C.
8

（福州市中考题）
2
2
8.已知一个多项式与
3x9x
的和等于
3x4x1
,则这个多项式是（）.
A.
5x1

2
B.
5x1

2
C.
13x1
D.
13x1

（太原市中考题）
9.已知多项式
2xaxy62bx3x5y1
.


20

（1）若多项式的值与字母
x的取值无关,求
a
、
b
的值______;
（2）在（1）的条件下,求多项式
3a2abb
（3）在（1）的条件下,求

22



3a
2
abb
2

的值;
1
2ba

ba




12

22
11

2

2

3ba

9ba

的值.
2389

10.如图所示,
1925
年数学 家莫伦发现了世界上第一个完美长方形,它恰能被分割成
10
个大小
不同的正方形.如 果图中标注的①、②正方形边长分别是
x
,
y
,那么你能计算出其他8个正方
形的边长吗?



思维方法天地
11.已知多项式< br>2ax
4
5ax
3
13x
2
x
420212xbx
3
bx
4
13x
3
是二次 多项式,则
a
2
b
2

________.
（“希望杯”邀请赛试题）
12.已知
P3xy8x1
,
Q x2xy2
,,当
x0
时,
3P2Q7
恒成立,则y
的值为
_______.
（2012年四川省宜宾市中考题）
13 .（1）若
mnp0
,则
m


11
< br>11


11



n



p



的值等于________.

mn


np

mp

（“希望杯” 邀请赛试题）
（2）已知
ab2004
,
bc2005
,
cd2007
,则

ac

bd
< br>的值为______.
ad
（“华罗庚杯”邀请赛试题）
14.如图是在 正方形网格中按规律填成的阴影,根据此规律,则第
n
个图中阴影部分小正方形
的个数 是________.

（2012年桂林市中考题）
3
15.当
x1
时,代数式
2ax3bx8
的值为
18
,那么,代数 式
9b6a2
（）.

21

A.
28
B.
28
C.
32
D.
32

16.大于
1
的正 整数
m
的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和,如
2
3
35
,
3
2
7911
,
4
3
131 51719
,„,若
m
3
分裂后,其中有一个奇数是
2013< br>,则
m
的值
是（）.
A.
43
D.
46

（2012年江苏省扬州市中考题）
17.有甲、乙两种糖果, 原价分别为每千克
a
元和
b
元.根据柜台组调查,将两种糖果按甲种糖果m
千克与乙种糖果
n
千克的比例混合,取得了较好的销售效果.现在糖果价格有了 调整:甲种

糖果单价上涨
c%
,乙种糖果单价下跌d%,但按原 比例混合的糖果单价恰好不变.那么
（）.
A.
B.
44
C.
45

m
等于
n
ac

bd
B.
ad

bc
C.
bc

ad
D.
bd

ac
（江苏省“数学文化节”试题）
18.若一个两位数恰等于它的各位数字之和的
4
倍,则这个两位数称为“巧数”,则 不是“巧数”
的两位数的个数是（）.
A.
82
B.
84
C.
86
D.
88

（“希望杯”邀请赛试题）
19.有一张纸,第
1
次把它分割成
4
片,第
2
次把其中的
1
片分割成
4
片,以后每一次 都把前面所
得的其中一片分割成
4
片,如此进行下去,试问:
（1）经
5
次分割后,共得到多少张纸片?
（2）经
n
次分割洁,共得到多少张纸片?
（3）能否经若干次分割后共得到
2003
张纸片?为什么?
20.已知:
b
是最小的正整数且
a
、
b
、
c
满足
c5

ab0
,试回答问题.
（1）求
a
、
b
、的值;
（2）
a
、< br>b
、所对应的点分别为
A
、
B
、
C
,点P
为一动点,其对应的数为
x
,点
P
在
1
到< br>2
之
间运动时（即
1x2
时）,请化简式子:
x1x 12x5
;
2

（3）在（1）、（2）的条件下,点
A< br>、
B
、
C
开始在数轴上运动,若点
A
以每秒
1
个单位长度
的速度向左运动,同时,点
B
和点
C
分别以每 秒
2
个单位长度和
5
个单位长度的速度向右运
动,假设
t< br>秒钟过后,若点
B
与点
C
之间的距离表示为
BC
,点
A
与点
B
之间的距离表示为
AB
.请问:
BCA B
的值是否随着时间
t
的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其
值.


应用探究乐园
21.一条公交线路上从起点到终点有
8
个站,一辆公交车从起点站出发,前
6
站上车
100
人,前
7
站下车
80
人.问从前
6
站上车而在终点站下车的乘客有多少人?
（“希望杯”邀请赛试题）

22

22.在一次游戏中,魔术师请一个人随意想一个三位数
abc
（
a
、
b
、
c
依次是这个数的百位、
十位、个位数字）,并请这个人算出
5
个数
acb
、
bac
、
bca
与
cab
的和
N
,把
N
告诉魔术师,
于是魔术师就可以说出这个人所 想的数
abc
.
现在设
N3194
,请你当魔术师,求出数
abc
来.
（美国数学奥林匹克试题）


微探究
自然数的排序
把自然数
1,2,3,,n
按一定的方式排列书序,可得到形式特异、内涵丰富的排序问题, 融知识
与趣味性于一体.
解这问题的关键是:通过观察能发现排序后的数阵中的规律,如行或 列中数的规律、特殊位置
的规律的等.
例1 将正整数按如图所示的规律排列下去,若用有序 数对

n,m

表示第
n
排、第
m
个数, 比如

4,3

表示的是数是
9
,则

7 ,2

表示的数是________.
1
2
4
78
5
9

分析与解
第
1
排
3
6
10
第
2
排
第
3
排

第
4
排

（重庆市中考题）
弄清题意是前提,找准规律是关键,整数表达尤重要.对于本例,最明显也对阶梯
最有指导价值的规律是 :第
n
排有
n
个数,要求

n,m

只需 知道它是这个数表中的第
n
个数即
可.
前
6
排共有
12345621
个数,即第
6
排最后一个数是
21
,故

7,2

表示的数是
21223
.
例2 正整数按如图所示的规律排列,请写出第二十行第二十一列的数字:______.

23

第一列
第一行
第二行
第三行
第四行< br>第五行
1
4
9
16
12



第二列
2

3
8
15
24



第三列
5

6

7
14
2 3


第四列
10

11

12

13
22
第五列
17


18
< br>
19


20


21


（南宁市中考题）
试一试 这个自然数表的特点可以从以下方面观察:第
n行的第一个数,第一行的第
n
个数,
每行或每列数的增减性.
例3 将正偶数按下表排列5列.
第一列第二列第三列第四列第五列
第一行
第二行
第三行

根据上面排列规律,则2000应在（）.
A.第
125
行,第
1
列
C.第
250
行,第
1
列
2
1614< br>18

4
12
20
28
6
10
2 2
26
8

24
B.第
125
行,第
2
列
D.第
250
行,第
2
列
（湖北省荆州市中考题）
试一试 注意到每一行排
4
个数,奇数行空第一列,偶数行空第五列.只要计算出2000
是第几
个数即可.


例4 将自然数按如图所示的 顺序排列,在这样的排列下,数字
3
排在第二行第一列,
13
排在第
三行第三列.问:
1993
排在第几行第几列?
（“华罗庚杯”邀请赛试题） 1
3
4
2
5
9
671516

814 17

13

1012

11



试一试 从斜行方向上看,奇数斜行中的数由下向上递增,偶数斜行中的数由上向下递增.


例5将正整数从
1
开始按如图所示的规律排成一个数阵,其中,
2
在第一个拐弯处,
3
在第二个

24

< br>拐弯处,
5
在第三个拐弯处,
7
在第四个拐弯处„„问:在第
2007
个拐弯处的数是多少?.
（北京市竞赛题）
试一试 用
a
n
表示第
n
次拐弯时所对应的数,从寻求
a
n
与
n
之间的关系入手.



练一练
1.已知一列数:< br>1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,„将这列数排成下列形式:
第
1
行
第
2
行
第
3
行
第
4
行
第
5
行

1
2
4
7
11

（江苏省淮安市中考题）
3
5
8
6
910
1415

1 213
按照上述规律排下去,那么第
10
行从左边数第
5
个数等于_ _____.
2.将正奇数按下表排列:

第
1
行
第
2
行
第
3
行
第
4
行
„
第
1
列

第
2
列 第
3
列 第
4
列
5
第
5
列
15


31


1

13

17

29


3

11

19

27


7


9

21

25


23



根据表中的排列规律,数
2007
应排在第______行,第______列.
（第4届中学生智能通讯赛试题）
3.自然数
1
,
2
,< br>3
„,按下表规律排列:横排为行,记数据
1
,
2
,
3
,
4
的那一行为第一行,依次记下
面的各行分别是第
2
行 ,第
3
行,„.试问
2011
位于该表的第_______行,并对应于“启 智杯竞赛
有趣”中的汉字:________.
启 智

杯 竞

赛 赛

趣
1


2


3


4


7


6


5


8


9


10


11


14


„
13


„
12


„
15

„
16

„
17

„
18

„
（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）

25

4.小王在做数学题时,发现下面有趣的结果:
123
45 678
9101112131415
161718192021 222324

由上,我们可知第
100
行的最后一个数是___ _____;
（2012年全国初中数学竞赛题）
5.奇数宝塔;
东方传统建筑中的塔,千姿百态,造型各异.数学中的宝塔更是千变万化、不计其数.
从
1
开始的奇数,按照规律排成下面形式的宝塔:

第几行行中各 数的和
111
3
3522
3
791133
3
3
1315171944
2
3
366
3
 
观察行中各数的规律:
332
前
2
行的各数之和
135123
; < br>3332
前
3
行的各数之和
1357911123 6
;
32332
前
4
行的各数之和
135 19123410
;
323332
前
5
行的各数之和< br>135291234515
;

因此,可推知前< br>6
行的各数之和
135
___________;
333
根据以上规律,猜想:
12n
________.
41
3
1
2
2
3
3
3
43
5
3
6
（《时代学习报》数学文化节试题）
6.如图,数表是由从
1
开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.

26

1
5
2
6
3
7< br>4
89

16
1718192
2627282936

（1）表中第
8
行的最后一个数是________,它是自然数_____ ___的平方,第
8
行共有________
个数.
（2）用含
n
的代数式表示:第
n
行的第一个数是________,最后一个数是_______ _,第
n
行共
有________个数.
（3）求第
n
行各数之和.
7.自然数按右表的规律排列:
（1）求上起第十行、左起第十三列的数;
（2）数127应在上起第几行、左起第几列?
（北京市竞赛题）
1
4
9
—
—
2
|3
8
—
5
|
6
|
7
10
|< br>11
|
12
|
—
13
17
|
18< br>|
19

|
16
—
15
—
1420
|
25
—
2
4—23—22—21

27