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初中七年级数学培优训练（奥数）专题28 纵观全局——整体思想

阅读与思考
解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个 击破。与分解、分部
处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手， 突出对问题的整体
结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体 上把握问题的内
容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径 主要有：
1. 整体观察
2. 整体设元
3. 整体代入
4. 整体求和
5. 整体求积
注：既看局部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互 用，这是分析问题和解决问题的普遍而
有效的方法．
例题与求解
【例1】某市抽样 调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是38000元。由于将这个
数据输入错 了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元，则输入计
算机的那 个错误数据是 ．
（北京市竞赛题）
解题思路：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．

注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到 沟通已知
与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案．

【例2】设
a、b、c
是不全相等的任意数，若
xabc,ybac ,zcab
错误!未找到引用源。，
则
x、y、z
（ ）
（全国初中数学联赛试题）
A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一个小于零 D.至少有一个大于零

解题思路：由于
a、b、c
的任意性，若孤立地考虑
x、y、z
，则很难把握的
x、y、z
正负 性，应该考虑
整体求出
xyz
的值．

222
2a< br>5
3a
4
3a
3
9a
2
5a1< br>【例3】如果a满足等式
2a3a10
错误!未找到引用源。，试求错
3 a1
2
误!未找到引用源。的值．

(天津市竞赛题)




解题思路：不能直接求出
a
的值，可寻求待求式子分 子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代
入求值．
注：整体思想在代数式的化简与求 值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加
叠乘、整体运算、整体设元、几何补 形等都是整体思想的体现．

【例4】已知
x2,y4
错误!未找到 引用源。，代数式
ax
求当
x4,y
3
1
，by51997
错误!未找到引用源。
2
1
3
错误!未找到 引用源。时，代数式
3ax24by4986
错误!未找到引用源。的值．
2
（北京市“迎春杯”竞赛试题）







解题思路：
a、b
的值无法求出，将给定的
x、y值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的
联系，整体代入求值．

【例5】已知实数
a、b、c、d、e、f
满足方程组．

2a bcdef


a2bcdef


a b2cdef


abc2def

ab cd2ef



abcde2f
20①
40②
80③
160④
320⑤
640⑥

求
fedcba
的值．错误!未找到引用源。
（上海市竞赛题）

解题思路：将上述六个式子看成整体，通过⑥－⑤，④－③ ，②－①分别得到
fe,dc,ba
错误!
未找到引用源。．


【例6】如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个 圆圈内，使得任意连续相邻的五个圆
圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M得最小值并完成你的填图 ．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）＼



解题思路：解答此题 的关键是根据题意得出
S(a
1
a
2
La
10
)≤10M
错误!未找到引用源。，这是本题
的突破口．
注：在解答有同一结构的 问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以此达到体现式
子结构的特点，化繁为简的 目的．










能力训练
1．已知密码：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都 表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子
是

2．若a，b，c的值满足
(3a2bc4)(a2b3c6)≤0< br>错误!未找到引用源。，则
9a2b7c
错误!未找到引用源。
(“城市杯”竞赛试题)
3．角

，

，
中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算
22
1
错误!未找到引用（





）
15
源。的值时， 全班得到23.5°，24.5°，25.5°这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的
答案 是
4．如果
x2x3
，那么
x7x8x13x15
=
（“希望杯”邀请赛试题）
5．已知
a
1
,a
2
,L,a
1991
都是正数，设
M(a
1
a
2
La
1990
)(a
2
a
3
La
19 91
)
，
2
432
N(a
1
a
2La
1991
)(a
2
a
3
La
1990
)
，那么
M
与
N
的大小关系是
M

N
．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）


ax
2
bx10

2
6．若方程组

bxxa0
有解，则
ab


x
2
axb0

（湖北省武汉市选拔赛试题） < br>
11

6
zxy2z

5

3
7．若正数
x，y，z
满足不等式

xyzx
， 则
x，y，z
的大小关系是（ ）
3

2
11

5
yxzy

24

A．
xy z
B．
yzx
C．
zxy
D．
不能确定

5432
8．若

3x1
axbxcxdxexf
，则
abcdef
的值是（ ）
2
A．
32
B．
32
C．
1024
D．
1024

9．在一家三口 人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三人中最大
年龄与最 小年龄的差是（ ）
A．
28
B．
27
C．
2
D．
2

10．设
a，b，c
，满足等式
xa2b
一个值（ ）
2
πππ
,yb
2
2c,zc
2
2a
，则
x，y，z
中至少有
362

A．
大于0
B．
等于0
C．
不大于0
D．
小于0

（全国初中数学联赛试题）
11．
（1）abc 0,化简a()b(
11111
)c()3.

ccaab
ab1bc1ca1abc

(2)已知,,，则的值为多 少？
ab15bc17ca16abbcca
1
b







12．有一个四位数，把它从中间分成两半，得 到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，
然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来 的四位数，又知道原数的个位数字为5，试求这个
四位数．
（江苏省竞赛试题）





13．代数式
rvzrwysuzswx tuytvx
中，
r，s，t，u，v，x，y，z
可以分别取+1或-1．
（1）证明代数式的值都是偶数．
（2）求这个代数式所能取到的最大值．
（“华罗庚金杯”竞赛试题）





14． 如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和（1）大于9？（2）大于10？
若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．

（江苏省竞赛试题）