2009年迎春杯六年级初试试卷及详解
法制教育讲座-学会感恩演讲稿
北京市
2009年“数学解题能力展示” 评选活动
六年级初试试题
一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）
1.
计算：
25
【答案】12
【解析】本题考查分数裂项的运算技巧。
原式=
25(1
2. 有10个同心圆，任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径．如果射击时命中，那么
最里
面的小圆得10环，命中最外面的圆环得1环．得1环圆环的面积是10环圆面积的 倍．
【答案】19
【解析】假设法。
最小圆半径为1， 面积为π。
最大圆半径为10，面积为100π
第二大圆半径为9，面积为81π。
答案为
(100-81)÷1=19
3. 有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成
一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，
最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后
一捆是30本．那么这批图书共有 本．
【答案】670
【解析】本题考查数论中的余数问题相关知识点
经分析发现，原书的本书如果多2本，那么原
来书的数目就会同时是24，28，32的倍数，而，
[24,28,32]=672，且原书的本书不
超过1000本，所以原来的书有672-2=670(本)
4.
如果甲商品价格的25%比乙商品价格的25%多25%；那么，乙的价格比甲的价格
少
％．
【答案】20
【解析】此类问题均可采用假设法。
125比100多25%
111
1
...
＝ ．
2
325
133557
1
2
11111
^
)
3352325
即甲的25%为125，甲为500
即乙的25%为100，乙为400
所以
乙比甲少(500-400)÷500×100%=20%
5.
若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，右图中所示的只是3个五边形．那么要完
成这一圈共需
个正五边形．
【答案】10
【解析】五边形内角和为540°
所以正五边形的每个内角为540÷5=108°
法一：180-(180-108)×2=36°
360÷36=10(个)
法二：360-108×2=144°
个位只能乘以5的倍数。
所以为十边形，即10个。
二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）
891091011101112111213
78910<
br>6. 计算：＝ ．
1111
78910
【答案】6
6666
3333
8910
【解析】原式
7
1111
78910
6666
78910
6
1111
78910
7. 将5枚棋子放入右侧编号的4×
4表格的格子中，每个格子最多放一枚，如果要求每行,每列都有棋子．那
么共有
种不同放法．
【答案】432
【解析】本题采用分类、分步讨论
1
2 3 4
9 10 11 12
13 14 15 16
将5枚棋
子放入4×4的方格中，可以发现不论怎么放一定会有2个棋子在一条直线上的情形，
5 6 7 8
所以我们不妨先从这2个棋子开始放，选定一行有4种选法，然后在一行中选定2个格子，即
2列，有
C
4
6
种选法，故填完前2个共线棋子有 4×6=24种填法。
如右图示例，接下来我们填第三枚棋子，第三枚棋子填入后又会有2种情形出现：
(1) 第三枚棋子与2个△所在的列共线：
那么第三枚棋子共有6个格子可以填，即6种填法。
而最后2枚棋子只可能成对填入2个圆圈或2个□中，
则此类情况共
C
4< br>C
4
C
6
24662288
种
(2) 第三枚棋子与前2个△所在的列不共线
那么第三枚棋子也有6种填法，而最后的2枚棋子必须填入同一列，
共有
C4
C
4
C
6
466144
种
△
△
△
△
○
○
121
121
2
△
△
△
△
△
□
○
○
□
△
△
答案 288+144=432
8. 在算式(A□B)△(C○D)中，□,△,○代表的是三 个互不相同的四则运算符号（即加、减、乘、除），A,B,C,D
是4个互不相同的非零阿拉伯数字． 如果无论□,△,○具体代表的是哪三个互不相同的四则运算符号，
(A□B)△(C○D)的计算结果 都是整数．那么，四位数
ABCD
是 ．
【答案】9321
【解析】本题中主要会出现非整数的原因就是÷的位置，所以只需要考虑÷出现在什么地方。
当□是÷时，就需要A一定是B的倍数，同理C一定是D的倍数，最后只要A□B的结果也是C
○D的倍 数即可。
本题严密的推理论证过程相对复杂，因为数字比较小，不妨采用符合前一组条件的数枚举尝试 便
容易得到答案
9. 如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍．那么，这个五位数的最大值
是 ．
10.
【答案】75531
【解析】根据题意，设原数为
ABCD E
，那么一定有
ABCDE25(ABCDE)
说明左边的乘积是25的倍数，那么原来的5个数字中一定有2个数字是5.
原式化为：ABCABC10
，为了求出最大值，那么可以让原数中含有9，不妨假设A=9，那 么
9BCBC19
，经验证没有符合条件的整数B和C使得左边式子成立
同理可
验证A=8时也没有解，当A=7时，有
7BCBC17
，此时有B=1，C=3，所以
原式最大值为75531
11. 请将1个1，2个2，3个3，„，8个8，9个9填入
右图的表格中，使得相同的数所在的方格都连在
一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了
其中8个方格中的数，并且知道A,B,C,D,E,F,G
各不相同；那么，七位数
ABCD
EFG
是 ．
【答案】6732489
【解析】答案如图
7 7 7 4 8
6 7 3 2 4 8 9
6 7 3 2 4
8 9
6 7 3 1 4 8 9
6 7 5 5 8 8 9
6 6 5
8 8 9 9
5 5 9 9 9
7
2
5
8
9
A B C D E F G
3 1 4
三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）
12. 如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块
，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形
孔（边平行于正方体的棱），且穿透．另有一长
方体容器，从内部量，长,宽,高分别为15厘米,12厘米,9
厘米，内部有水，水深3厘米．若将正
方体铁块平放入长方体容器，铁块在水下部分的体积为 立
方厘米．
【答案】315
【解析】设水面上升x，得
水下部分总体积=水的体积+水下铁块体积
1512(3x)1512310103443433x
解得
x
7
4
7
4
水下铁块体积=
10103443433
=315（立方厘米）
13.
对于由1~5组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下
的一次置换操作：记首位数字为k，则将数字k与第k位上的数字对换．例如，24513
可以进行两次置换：24513→42513→12543．可以进行4次置换的五位数有 个．
【答案】24
【解析】 经过4次置换后最后结果必为12345，所以可进行
4次置换的五位数可由12345进行4次首位与其
他位的调换得到，规则为从首位上调换出的数不能再
与首位调换，那么这样的调换方法共有
432124
种，即可进行4次置换的五位数有
24个。
14. A,B,C三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲,乙,丙分别从
A,B,C同时出发，甲,乙向东，丙向西；
乙,丙在距离B地18千米处相遇，甲,丙在B地相遇，而
当甲在C地追上乙时，丙已走过B地32千米．那
么，AC间的路程是 千米．
【答案】120
【解析】
A
E B D C
甲 乙 丙
设乙和丙相遇在D，甲追上乙时丙走到E。所以BD=18千米，BE=32千米。
当乙走完BD的时候丙走完CD,而乙走完CD的时候丙走完DE=32+18=50千米。
因为乙丙速度未变，所以BD:CD=CD:DE，即18:CD=CD:50，解得CD=30千米。
同理BC:AB=BE:BC，即48:AB=32:48，解得AB=72千米，
所以AC=AB+BC=72+48=120千米
15. 正六边形A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
的面积是2009平方厘米，B
1
,B
2
,B
3
,
B
4
,B
5
,B
6
分别是正六边形各边的中点；那么
图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
【答案】1148
【解析】
A
1
B
6
A
6
B
5
A
5
B
1
A
2
B
2
A
3
B
3
B
4
A
4
右图可见，原来的大正六边形便成了7个小正六边形。
即阴影占了4个小正六边形。
所以 阴影面积
2009
4
1148
(平方厘米)
7
16. 小明和8个好朋友去李老师家玩．李老师给每人发了一顶帽子，并在每个
人的帽子上写了一个两位数，
这9个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．老师在纸
上又写了一个数A，问这9
位同学：“你知不知道自己帽子上的数能否被A整除？知道的请举手．”结果
有4人举手．老师又问：
“现在你知不知道自己帽子上的数能否被24整除？知道的请举手．”结果有6
人举手．已知小明两次
都举手了，并且这9个小朋友都足够聪明且从不说谎，那么小明看到的别人帽子上
的8个两位数的总
和是 ．
【答案】438
【解析】
看不见自己的帽子，就意味着不知道自己是多少，但还是举手，说明能判断
自己不能被A整除，即看见了所有被A整除的两位数，即被A整除的两位数
有5个。即这五个数只能是以下三组中的一组。
17、34、51、68、85
18、36、54、72、90
19、38、57、76、95
当大家举完一次手后，其实那五个没举手的，已经知道自己的数字了。
所以第二次举手的六人为小明和这五个人。
又因为被24整除的两位数有4个，分别是24、48、72、96.
而没举手的只有3人，说明第一次的五个数中有一个与24、48、72、96中的
一个重复，即为72，所以A=18.
答案为18+36+54+72+90+24+48+96=438