七年级数学专题训练28 纵观全局(附答案)

玛丽莲梦兔
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2020年10月12日 08:32
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2020年10月12日发(作者:冯钢百)



七年级数学专题训练28 纵观全局——整体思想

阅读与思考 < br>解数学问题时,人们习惯了把它分成若干个较为简单的为,然后在分而治之,各个击破。与分解、分部处理问题相反,整体思想是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,有整体入手,突出对问题的整体
结构的分析和改造,把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑,从整体上把握问题的内
容和解题方向的策略,往往能找到简捷的解题方法,解题中运用整体思想解题的具体途径主要有:
1. 整体观察
2. 整体设元
3. 整体代入
4. 整体求和
5. 整体求积
注:既看局部,又看整体;既见“树木”,又见“森林”,两者互用,这是分析问题和解决问 题的普遍而
有效的方法.
例题与求解
【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年 收入,其中年收入最高的只有一户,是38000元。由于将这个
数据输入错了,所以计算机显示的这1 000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元,则输入计
算机的那个错误数据是 .
(北京市竞赛题)
解题思路:有1000个未知量,而等式只有两个,显然不能分布求出每个未知量,不妨从整体消元.

注:有些问题要达到求解的目的,需要设几个未知数,但在解答的过程中,这些未知数只起到 沟通已知
与未知的辅助的作用,因此可“设而不求”,通过整体考虑,直接获得问题的答案.

【例2】设
a、b、c
是不全相等的任意数,若
xabc,ybac ,zcab
,则
x、y、z
( )
(全国初中数学联赛试题)
A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一个小于零 D.至少有一个大于零

解题思路:由于
a、b、c
的任意性,若孤立地考虑
x、y、z< br>,则很难把握的
x、y、z
正负性,应该考虑
整体求出
xyz的值.

222
2a
5
3a
4
3a3
9a
2
5a1
【例3】如果a满足等式
2a3a1 0
,试求的值.
3a1
2
(天津市竞赛题)






解题思路:不能直接求出
a
的值,可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系,然后把条件等式整体代
入求值.
注:整 体思想在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面有广泛的应用,整体代入、叠加
叠乘、整 体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现.

【例4】已知
x2,y 4
,代数式
ax
3
11
by51997
,求当x4,y
时,代数式
22
3ax24by
3
498 6
的值.
(北京市“迎春杯”竞赛试题)







解题思路:
a、b
的值无法求出,将给定的
x、y
值分别代入对应的代数式,寻找已知式与待求式之间的
联系,整体代入求值.

【例5】已知实数
a、b、c、d、e、f
满足方程组.

2a bcdef


a2bcdef


a b2cdef


abc2def

ab cd2ef



abcde2f
20①
40②
80③
160④
320⑤
640⑥


fedcba
的值.
(上海市竞赛题)














解题思路:将上述六个式子看成整体,通过⑥-⑤,④-③,②- ①分别得到
fe,dc,ba



【例6】如图,将1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内,使得任意连续相邻的五个圆
圈内的数的和均不大于某一个整数M,求M得最小值并完成你的填图.
(北京市“迎春杯”竞赛试题)\



解题思路:解答此题的关 键是根据题意得出
S(a
1
a
2
a
10
)≤ 10M
,这是本题的突破口.
注:在解答有同一结构的问题时,可将这一相同结构看作一个整 体,用一个字母代换,以此达到体现式
子结构的特点,化繁为简的目的.










能力训练 < br>1.已知密码:3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字,将这个密码 翻译成式子

2.若a,b,c的值满足(3a2bc4)(a2b3c6)≤0
,则
9a2b7c

(“城市杯”竞赛试题)
3.角




中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算
22
1
(






的值时,全班得
15
到23.5°, 24.5°,25.5°这样三个不同结果,其中确有正确的答案,则正确的答案是

4.如果
x2x3
,那么
x7x8x13x15
=

2
432



(“希望杯”邀请赛试题)
5.已知
a
1
,a
2
,,a
1991
都是正数,设
M(a
1
a
2

a
1991
)( a
2
a
3

a
1990
)(a
2< br>a
3
a
1991
)

N(a
1a
2
a
1990
)
,那么
M

N
的大小关系是
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
M

N



ax
2
bx10
2
6.若方程组

bxxa0
有解,则
ab


x
2
axb0

(湖北省武汉市选拔赛试题) < br>
11

6
zxy2z

5

3
7.若正数
x,y,z
满足不等式

xyzx
, 则
x,y,z
的大小关系是( )
3

2
11

5
yxzy

24

A.
xy z
B.
yzx
C.
zxy
D.
不能确定

5432
8.若

3x1
axbxcxdxexf
,则
abcdef
的值是( )
2
A.
32
B.
32
C.
1024
D.
1024

9.在一家三口 人中,每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60,那么这三人中最大
年龄与最 小年龄的差是( )
A.
28
B.
27
C.
2
D.
2

10.设
a,b,c
,满足等式
xa2b
一个值( )
A.
大于0
B.
等于0
C.
不大于0
D.
小于0

(全国初中数学联赛试题)
11.
(1)abc0,化简a()b(< br>2
πππ
,yb
2
2c,zc
2
2a< br>,则
x,y,z
中至少有
362
11111
)c()3.

ccaab
ab1bc1ca1abc
(2)已知,,,则的值为多少?

ab15bc17ca16abbcca
1
b







12.有一个四位数,把它从中间分成两半,得 到前、后两个两位数,将前面的两位数的末尾添一个零,



然后加上 前后两个两位数的乘积,恰好等于原来的四位数,又知道原数的个位数字为5,试求这个
四位数.
(江苏省竞赛试题)





13.代数式< br>rvzrwysuzswxtuytvx
中,
r,s,t,u,v,x,y, z
可以分别取+1或-1.
(1)证明代数式的值都是偶数.
(2)求这个代数式所能取到的最大值.
(“华罗庚金杯”竞赛试题)





14.如图,在六边形的顶点处分别标上数1,2,3,4,5,6, 能否使任意三个相邻顶点处的三数之和(1)
大于9?(2)大于10?
若能,请在图中标出来;若不能,请说明理由.

(江苏省竞赛试题)


















专题28 纵观全局
——整体思想



例1 380 000提示:设a< br>1
,a
2
,a
3
,…,a
999
,a
l 000
分别为所统计的1 000户居民的年收入,又设

a
1
a
2


a
999
380001000A
他们的平均值是A,误输入计算机的数据为a',由题意得



a
1
a
2


a
999
a1000(A3 42)
1
例2 D提示:x+y+z= [(a-b)
2
+(b-c)
2
+(a-c)
2
].
2

5
(2a
2
3a1)(a
3
2 a1)5a
2
5
例3 - 原式=

2
2
2a
2
1
例4将x=2,y= -4代入ax
3
+by+5 =1 997中,得
2
8a-2b+5=1 997.故4a-b=996.
11
当x=-4,y=-时,3ax-24by3+4 986=3a·(-4)-24b·(-)
3
+4 986
22
=-12a+3b+4 986=-3(4a-b)+4 986=-3×996+4 986=1 998.
例5 ②-①得b-a =20;④-③得d-c=80;⑥-⑤得f-e=320.
故,f-e+d-c+b-a=320+80+20=420.
例6 设满足已知条件填 好的数依次为a
1
,a
2
,…,a
10
,则
a< br>1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5≤M,
a
2
+a
3
+a
4
+a
5< br>+a
6
≤M,

a
10
+a
1
+a
2
+a
3
+a
4
≤M.
所以5(a
1
+a
2
+…+a
10
)≤10M,
1
4
5
8
9
2
3
10
7
6

51011
≤10M,解得M≥27.5.
2
而M为整数 ,故M的最小值为28.将1,2,…,10分成如下的两组10,7,6,3,2,9,8,
5,4, 1.依次填入图中,
【能力训练】
1.3·571 428=4·428 571


3a2bc40
2.-10提示:由题意有

a2b3c60


3a2bc4


.则9a+2b+7c=2(3a-2b+c)+3
a2b3c6

(a+2b-3c)=2×4+3×(-6)=-10.
3.23.5°
4. 18 x
4
+7x
3
+8x
2
-13x+15=x
2
(x
2
+2x)+5x(x
2
+2x)-2(x
2
+2x)-9x+15=



3x
2
+15x-6-9x+15= 3(x
2
+2x)+9=3×3+9=18.
5.> 提示:设x=a
1
+a
2
+…+a
1990
,y=a
2
+a
3
+…+a
1 990
,求M-N.
6.-1提示:将3个方程组相加得(a+b+1)(x
2
+x+l)=0,
13
而x
2
+x+1=
(x)
2

>0,故a+b+1=0.
24
7.B 8.B 9.A 10.A
aabbccbcac ababc
3

3

3

bccaababcabc
(由a+b+c=0,得b+c=-a,a+c=-b,a+b=- c)=-1+(-1)+(-1)+3=0
ab1ab111111
(2)由


15
,即
15
.同理
17

16

ab15ababbcca
1
abc1
111111
三式相加得2(

)=48,故

=24.则=.

24
abbcca
1

1

1
abc abc
abc
12.设前、后两个二位数分别为m,n,则根据题意有:10m+mn=100 m+n,
n
m=,由m>0,n>0,得n-90>0,又n是两位数,且个位数字为5,因 此n=95,从而知
n90
m=19,故所求四位数为1 995.
13.(1)略.
11.(1)原式=
(2)在rvz,-r wy,-suz,swx,tuy,-tvx这六项相乘 得,-

rstuvwxy< br>
=-1,所以这六项
2
中,至少有一项是-1,这样六项之和之多是5-1= 4.在u,x,y为-1,其他字母为1时,原式
的最大值为4.
14.(1)能.(2)不能. 提示:设所填的6个数顺序为a,b,c,d,e,f,它们任意相邻 三数和大于
10,即a+b+c≥11,b+c+d≥11,c+d+e≥11,d+e+f≥11,e +f+a≥11,f+a+b≥11,则3
(a+b+c+d+e+f)≥66,故a+b+c+d+e +f≥
2
.而1+2+3+4+5+6=21,所以不能使每
三个相邻的数之和都大于 10.

2

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