2013年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷(小中组)
玲珑公园-金色的鱼钩读后感
2013年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）
一、填空题（共4小题，每小题8分，满分32分）
1．（8分）计算：2013÷（25×52﹣46×15）×10＝ ．
2．（8
分）小明碰到了三个人，其中一位是牧师、一位是骗子、一位是疯子．牧师只说真话，
骗子只说假话，疯
子有时说真话，有时说假话．第一位说：“我是疯子．”第二位说：“你
胡说，你才不是疯子呢！”第三
位说：“别说了，我是疯子．”一那么．这三个人中第 位
是疯子．
3．（8分）红
色礼盒5元1个，内有陀螺3个；黄色礼盒9元1个，内有陀螺5个，蕾蕾用
600元买了72礼盒，这
些礼盒打开后可以得到 个陀螺．
4．（8分）将1﹣9填入3×3的表格中，要求同一行右
面的数字比左面的数大；同一列下面
的数比上面的数大，其中1，4，9已经填好，那么其余6个整数有
种不同的填法．
二、填空题（共4小题，每小题10分，满分40分）
5．如图
1，“L”形的宽度为3厘米．将4个这样的“L”形贴放在九宫格的4个角上，形
成的图形如图2．如
果 4个“L”形的面积之和恰好等于图2中阴影部分的面积，那么，
1 个“L”形的面积是
平方厘米．
6．宴会邀请来了44位嘉宾，会场里有15张相同的正方形桌子，每张每边能
坐1人，经适
当“拼桌”（将几张正方形拼一张长方形或正方形桌子）后，恰好让所有嘉宾全部入座而<
br>且没有空位．那么最后会场里最少有 张桌子．
7．甲乙丙丁都参加了100米短跑决赛．在比赛前，他们如下预测；
甲预测：“如果丙是第4，那么我就是第2．”
乙预测：“如果甲是第2，那我就是第1．”
丙预测：“甲乙两人的比赛成绩要么都高于我，要么都低于我．”
第1页（共10页）
丁预测：“甲乙两人的比赛成绩肯定一人比我高，而另一人比我低．”
比赛结束，他们获得了这项比赛的前4名（无并列），且每人都预测正确．
如果甲、乙、内、丁分别获得第A、B、C、D名，那么四位数＝ ．
8．《诗》、《书》、
《礼》、《易》、《春秋》这5本书的页数各不相同：《诗》和《书》相差24
页．《书》和《礼》相差
17页．《礼》和《易》》相差27页．《易》和《春秋》相差19页．《春
秋》和《诗》相差15页．
那么，这5本书中，页数最多的和页数最少的相差 页．
三、填空题（共3小题，每小题12分，满分36分）
9．（12分）甲乙丙丁四人共有25
1张邮票，已知甲的邮票比乙的2倍多2张，比丙的3倍
多6张，比丁得4倍少16张，那么丁有
张邮票．
10．（12分）图1的3×3表格中已经填好了数，选择一个格为起点，如果对这个黑格和
与
它相邻的白格中所填数进行加减乘除中的一次运算（计算时大数在前），计算结果是与白
格相
邻的另一个黑格所填数的整数倍，就能经过这个白格走到下一个黑格．要求每个格
子恰好进过一次．（例
如图2中，从7经过8可以走到5，并且图2中箭头走向是一种正
确走法）请在图1中找出正确的走法．
若图1中正确走法的前3个格子所填数依次为A，
B，C，那么三位数＝ ．
11．（12分）欢欢、迎迎和妮妮手中共有卡片 2712 张，桌子上还有一些卡片． 他们 3
人
进行了如下操作：
第一次：欢欢从迎迎和妮妮手中各拿来1张卡片；
第二次：妮
妮从桌子上拿了2张卡片，并让欢欢和迎迎中，卡片数较少的人拿走卡片数
较多的人一张卡片；
第三次：迎迎从桌子上拿了4张卡片，如果手上卡片数是偶数，则将手中的一半卡片交
给欢欢和妮妮中
卡片数较少的那个人；如果是奇数，则游戏终止．
我们把上述三次操作称为“一轮操作”．如果他们
顺利地进行了50轮操作，而没有出现
游戏终止的情况．此时他们手中卡片数按妮妮、欢欢、迎迎的顺序
成等差数列．那么，
原来欢欢有 张卡片．
第2页（共10页）
2013年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）
参考答案与试题解析
一、填空题（共4小题，每小题8分，满分32分）
1．（8分）计算：2013÷（25×52﹣46×15）×10＝ 33 ．
【解答】解：2013÷（25×52﹣46×15）×10
＝2013÷（5×2×5×26﹣23×2×3×5）×10
＝2013÷（10×5×26﹣23×3×10）×10
＝2013÷（5×26﹣23×3）
＝2013÷（130﹣69）
＝2013÷61
＝33；
故答案为：33．
2．（8分）小明碰到了
三个人，其中一位是牧师、一位是骗子、一位是疯子．牧师只说真话，
骗子只说假话，疯子有时说真话，
有时说假话．第一位说：“我是疯子．”第二位说：“你
胡说，你才不是疯子呢！”第三位说：“别说了
，我是疯子．”一那么．这三个人中第 3
位是疯子．
【解答】解：根据分析，（1）假设第一位是疯子，则第二位是骗子，第三位也是骗子，
矛盾；
（2）假设第二位是疯子，则第一位是骗子，第三位也是骗子，矛盾；
（3）假设第三位是疯子，则第一位是骗子，第二位是牧师，成立，
所以第三位是疯子．
故答案是：3．
3．（8分）红色礼盒5元1个，内有陀螺3个；黄色礼盒9元1个，内有陀
螺5个，蕾蕾用
600元买了72礼盒，这些礼盒打开后可以得到 336 个陀螺．
【解答】解：依题意可知：
假设都是黄色礼盒．需72×9＝648元．
所以红色礼盒有（648﹣600）÷（9﹣5）＝12（个）；
所以共有陀螺3×12+（72﹣12）×5＝336（个）；
第3页（共10页）
故答案为：336
4．（8分）将1﹣9填入3×3的
表格中，要求同一行右面的数字比左面的数大；同一列下面
的数比上面的数大，其中1，4，9已经填好
，那么其余6个整数有 12 种不同的填法．
【解答】解：2或3只能填在左上角的4个格子中，
还剩下4个数，任意选两个填
入左下角，小的填在左侧，剩下的两个填在右上角，大的
填在下面，即可完成．有＝6种填法，
所以根据乘法原理，共有2×6＝12种填法．
故答案为12．
二、填空题（共4小题，每小题10分，满分40分）
5．如图 1，“L”形的宽度为3厘
米．将4个这样的“L”形贴放在九宫格的4个角上，形
成的图形如图2．如果
4个“L”形的面积之和恰好等于图2中阴影部分的面积，那么，
1 个“L”形的面积是 45
平方厘米．
【解答】解：设图中最小的正方形的边长为a，则9个小正方形构成的大正方形
的边长为
3a，比小正方形的边长稍大一些的正方形的边长为a+3，
4个L型的面积之和为
4（a+3）
2
﹣4a
2
，阴影部分的面积＝5a
2
，
由题意4（a+3）
2
﹣4a
2
＝5a
2
，
∴4（a+3）
2
＝9a
2
，
∴2（a+3）＝3a，
∴a＝6，
∴1
个“L”形的面积是（6+3）
2
﹣6
2
＝45．
第4页（共10页）
故答案为：45．
6
．宴会邀请来了44位嘉宾，会场里有15张相同的正方形桌子，每张每边能坐1人，经适
当“拼桌”（
将几张正方形拼一张长方形或正方形桌子）后，恰好让所有嘉宾全部入座而
且没有空位．那么最后会场里
最少有 7 张桌子．
【解答】解：15×4＝60（个）
减少桌子：（60﹣44）÷2
＝16÷2
＝8（张）
还剩桌子：15﹣8＝7（张）
可以如下图：（答案不唯一）
答：最后会场里最少有7张桌子．
故答案为：7．
7．甲乙丙丁都参加了100米短跑决赛．在比赛前，他们如下预测；
甲预测：“如果丙是第4，那么我就是第2．”
乙预测：“如果甲是第2，那我就是第1．”
丙预测：“甲乙两人的比赛成绩要么都高于我，要么都低于我．”
丁预测：“甲乙两人的比赛成绩肯定一人比我高，而另一人比我低．”
比赛结束，他们获得了这项比赛的前4名（无并列），且每人都预测正确．
如果甲、乙、内、丁分别获得第A、B、C、D名，那么四位数＝ 4213 ．
【解答】解：根据分
析，可知丁的名次在甲乙之间，故丁肯定不可能是第一或第四，只
有可能是第2或第3；
结合丙的话可知，四人的名次只可能是“甲、丁、乙、丙”、“丙、甲、丁、乙”、
“乙、丁、甲、丙”、“丙、乙、丁、甲”；
用甲乙的话检验，可知，四人名次只能是4、2、1、3．
故答案是：4213．
8．《诗》、《书》、《礼》、《易》、《春秋》这5本书的页数各不相同：《诗》和《书》相差24
页
．《书》和《礼》相差17页．《礼》和《易》》相差27页．《易》和《春秋》相差19页．《春
第5
页（共10页）
秋》和《诗》相差15页．那么，这5本书中，页数最多的和页数最少的相差 34 页．
【解答】解：设《诗》有a页，则：
a□24□17□27□19＝a□15
易知：
a+24﹣17+27﹣19＝a+15
所以：
《书》＝a+24，
《礼》＝a+24﹣17＝a+7，
《易》＝a+7+27＝a+34
所以差别最大的是：《诗》和《易》是34页．
故答案为：34．
三、填空题（共3小题，每小题12分，满分36分）
9．（1
2分）甲乙丙丁四人共有251张邮票，已知甲的邮票比乙的2倍多2张，比丙的3倍
多6张，比丁得4
倍少16张，那么丁有 34 张邮票．
【解答】解：2乙+2＝甲；
3丙+6＝甲；
4丁﹣16＝甲；
将这三个式子中乙丙丁的系数化成相同，可得：
12乙+12＝6甲；
12丙+24＝4甲；
12丁﹣48＝3甲；
由
上可得：12甲+12乙+12丙+12丁＝12甲+6甲+3甲﹣12﹣24+48＝251×12；
即25甲＝251×12﹣12＝250×12＝3000．
甲＝3000÷25＝120（张）
丁＝（120+16）÷4＝34（张）
答：丁有 34张邮票．
故答案为：34．
10．（12分）图1的3×3表格中
已经填好了数，选择一个格为起点，如果对这个黑格和与
它相邻的白格中所填数进行加减乘除中的一次运
算（计算时大数在前），计算结果是与白
格相邻的另一个黑格所填数的整数倍，就能经过这个白格走到下
一个黑格．要求每个格
第6页（共10页）
子恰好进过
一次．（例如图2中，从7经过8可以走到5，并且图2中箭头走向是一种正
确走法）请在图1中找出正
确的走法．若图1中正确走法的前3个格子所填数依次为A，
B，C，那么三位数＝ 834 ．
【解答】解：将所有可能的路径用箭头连接，如图所示，其中1只有一条路可以选择，
与1相邻的8只有两条路：
①若走8→3→5方向，接下来→6→7→2是唯一的，9和4无法连通
；若走5→3→8方向，
7和6无法连通，因此不能走弯路．
②若走直路，那么前面3个格就
是834，后面的路不止一种，例如：8→3→4→9→5→1
→6→7．
故答案为834．
11．（12分）欢欢、迎迎和妮妮手中共有卡片 2712 张，桌子上还有一些卡片．
他们 3 人
进行了如下操作：
第一次：欢欢从迎迎和妮妮手中各拿来1张卡片；
第二次：妮妮从桌子上拿了2张卡片，并让欢欢和迎迎中，卡片数较少的人拿走卡片数
较多的人一张卡片
；
第三次：迎迎从桌子上拿了4张卡片，如果手上卡片数是偶数，则将手中的一半卡片交
给欢
欢和妮妮中卡片数较少的那个人；如果是奇数，则游戏终止．
我们把上述三次操作称为“一轮操作”
．如果他们顺利地进行了50轮操作，而没有出现
游戏终止的情况．此时他们手中卡片数按妮妮、欢欢、
迎迎的顺序成等差数列．那么，
原来欢欢有 754 张卡片．
【解答】解：根据分析，迎迎
第一次少一张，第二次可能多1张可能少1张，第三次多4
张，但是又少了一半，
所以迎迎每
轮要损失大约一半的卡片，及时最初手里有2712张卡片，在十几轮操作后也
第7页（共10页）
会少到个位数，
要想持续50轮，迎迎的卡片数最后必
是一个定值，这个值保证每轮的第三次操作迎迎总
有偶数张卡片，
考虑此时迎迎肯定比欢欢少
，不妨设此时欢欢有a张，迎迎有b张，且a＞b，则一轮操
作如下：
原有
第一次
第二次
第三次
欢欢
a
a+2
a+1
迎迎
b
b﹣1
b
b÷2+2
妮妮
c
c﹣1
c+1
所以有b＝b÷2+2，b＝4，即迎迎最后手里有4张卡片；
每轮操作卡片总数增加2+4＝6张，所以最后卡片总数为2712+6×50＝3012张，
欢欢有3012÷3＝1004张，所以妮妮有3012﹣1004＝2004张；
用倒退法可以得到一轮三人的卡片数：
第三次
第二次
第一次
原有
欢欢
1004
1000
1001
999
迎迎
4
4
3
4
妮妮
2004
2004
2002
2003
由表中数据可知，每次欢欢的卡片数多5，所以欢欢原有卡片1004﹣5×50＝754张．
故答案是：754．
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