北京八一中学-诚信名言

2006年至2011年迎春杯试题分类汇编

一、计算部分
1. 计算：24＋63＋52＋17＋49＋81＋74＋38＋95＝_____________。
【解析】凑整法。 『2008年初赛第1题』
【答案】493
原式=（38＋52）＋（63＋17）＋（49＋81）＋74＋24＋95
= 90+80+130+98+95
=493

2. 计算：82-38+49-51＝_____________。
【解析】凑整法。 『2011年初赛第1题』
【答案】42
原式=82-38-2=82-40=42

3. 计算：98＋197＋2996＋39995＋499994＋5999993＋69 999992＋799999991= .
【答案】876 543 256 『2007年初赛第1题』
【分析】先观察每一个数的特征，看它们分别和哪些数接近，然后采用凑整 的方法；并且要注意看清每个
数的位数；
原式=(100－2)＋(200－3)＋(300 0－4)＋(40000－5)＋(500000－6)＋(6000000－7)＋(70000000－8) ＋
(800000000－9)
=876543300－44
=876543256


4. 计算：126×6+126×4＝_____________.
【答案】1260 『2009年初赛第1题』
【解析】考查速算巧算能力,提取公因数126。得到126×（6+4），得到1260


5. 计算：30+29-28+27+26-25+„„+3+2-1=_____________.
【答案】175 『2009年初赛第2题』
【解析】原式=（30 +27+„+3）+10=(30+3)×10÷2+10=165+10=175


6. 计算：53×57—47×43=_____________。
【答案】1000 『2008年初赛第2题』
【解析】运用乘法分配律凑整。
原式
5357534353434743

53(5743)(5347)43

(5343)100

1000



7. 计算：1×15+2×14+3×13+4×12+5×11+6×10+7×9+8×8=_______。
【答案】372 『2010年初赛第1题』
【解析】和的十位数字是：（1+2+3+4+5+6）+6=33
和的个位数字是：5+8+9+5+0+3+4=42；所以和是330+42=372

8. 一个2007位的整数，其每个数位上的数字都是9，这个数与它自身相乘，所得 的积的各个数位上的数
字的和是 。
【答案】18063 『2007年初赛第2题』
【分析】举个例子：99X99=9801和是18;999X999=9 98001和是27;就是有几个9的平方，和就是个数x9
因此答案是：2007x9=18063

9. “神六”于2005年10月12日9时0分在酒泉卫星发射中心升空，2005年l O月17日4时33分成功
着陆内蒙古着陆场，征空双雄安全回返地球，中国神舟六号载人飞行获得圆满 成功!那么，“神六”空
中邀游了 分钟。
【答案】6933。 『2006年初赛第1题』
【解析】此题是一般的计算问题，考察日、小时与分钟单位之间的换算，只要认真一点都可以做对。


10. 已知：1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
。。。
△×9+○=111111
那么△+○= 。
【答案】12351 『2011年初赛第5题』
【解析】△=12345，○=6

二、几何部分
11. 如图，六边形ABCDEF为正六边形，P为对角线CF上一点，若

PBC 、

PEF的面积分別为3与4，则
正六边形ABCDEF的面积是 。
【答案】21 『2007年初赛第7题』
【分析】连接BE与 CF交于Q点，则由等底同高可以证明ΔBPQ与ΔEPQ面积相等，从而
P
就可以得到ΔPB C与ΔPEF的面积之和等于正六边形ABCDEF的面积的三分之一，所以结
B
果为（3+4 ）×3=21

F
A


12. 有125个同样大小的 正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还
有62个表面涂上蓝色 。将这125个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为5厘米大正方体木块。这个
大正方体木块的表面上 ，蓝色的面积最多是_____________平方厘米。
【答案】114 『2008年初赛第10题』
【解析】显然大正方体表面不能全为蓝色。所以让正方体顶点和棱均为蓝 色方块时蓝色表面积最大。此时
蓝色的面积为： 8×3+3×12×2+18×1=24+72+18=114（平方厘米）


13. 今天是12月19日，我们将电子数字1、2、1、9放在了图中8×5的长方形中，每个阴影 小格子都是
边长为1的正方形；将它旋转180°，就变成了“6121”.如果将这两个8×5的长方 形重叠放置，那
么重叠的1×1的阴影格子共有 .
C
D
E

【答案】30个 『2011年初赛第12题』
【解析】

三、应用题
(一)平均数问题
14. 某校男老师的平均年龄是27岁，女老师的平均年龄是32岁，全 体老师的平均年龄是30岁。如果男老
师比女老师少13名，那么该校共有 名老师。
【答案】65 『2006年初赛第5题』
【解析】 因为男老师的年龄比平均年龄少3岁，女老师的年龄比平均年龄多2岁，那么我们可以想象一下：把
一个女老师比平均年龄多的2岁补给一个男老师，那么一个女老师的年龄就是30岁，一个男老师的年
龄 就是29岁了，这样一对一的贴补年龄后，所有男老师都是29岁，此时还有13名女老师没有“分”
出 自己的2岁，那么这13名女老师共能分出13×2=26岁，这样所有的女老师都是30岁了，而最终是
所有的老师均为30岁，故多出来的这26岁刚好是可以让所有的男老师均提高一岁，达到30岁，所以
男老师共有26人，女老师共39人，教师总数共65人。


15. 某商场有 一些糖果。其中水果糖每千克5.6元，奶糖每千克7.2元，巧克力每千克8.8元。奶糖比水
果糖少 3千克，比巧克力多2千克。平均价格每千克7元。那么，巧克力有 千克。
【答案】11 『2007年初赛第4题』
【分析】观察三种糖的价 格可以发现，奶糖每千克比水果糖贵1.6元，巧克力每千克比奶糖贵1.6元，
所以三种糖数量都相等 的时候平均价格应为7.2元。现在奶糖比巧克力多2千克，水果糖比巧克力多5
千克，这部分糖一共： 5×5.6+2×7.2=42.4元。
而这部分糖的平均数7元每千克一共少了7×7-42.4= 6.6元。这6.6元需要三种糖相等数量的那部分
来补齐，三种糖每种一千克共3千克的评价价为7. 2元，比最终的平均价7元少了：（7.2-7）×3=0.6
元，所以三种糖相等部分的数量为：6. 6÷0.6=11千克，即巧克力有11千克。


16. 老师出了200道题让 王亮、李涛、张清三人做。三人每人都作对了120道，且每道题都有人作对。如
果把三人都做对的称为 简单题，只有一人做对的称为难题，那么难题比简单题多 道。
【答案】40 『2007年初赛第9题』
【解析】：把只有一人做对的看成一组记为A，把有两人做对的一组人数记 为B,把有三人做对的人数记
为C，则A+B+C=200，A+2B+3C=120*3=360，则 B+2C=160，则A-C=40

17. 羊村小学四年级进行一次数学测验，测验共有 10道题.如果小喜喜、小沸沸、小美美、小懒懒都是恰
好答对8道题，那么他们四人都答对的题至少有 道.
【答案】 『2011年初赛第13题』
【解析】：

18. 超市中的某种汉堡每个 10元，这种汉堡最近推出了“买二送一”的优惠活动，即花钱买两个汉堡，就
可以免费获得一个汉堡， 已知东东和朋友需要买9个汉堡，那么他们最少需要花 元钱。
【答案】60元 『2011年初赛第2题』
【解析】：“买二送一”优惠活动，即：3个汉堡的价格相对于2个汉堡的价格，2×10=20（元）
9÷3=3（组），3×20=60元。



19. 小亮家买 了72个鸡蛋，他们家还养了一只每天都下一个蛋的母鸡；如果小亮家每天吃4个鸡蛋，那么，
这些鸡蛋 够他们家连续吃 天。
【答案】 24 『2011年初赛第3题』
【解析】：


(二)倍数问题
20. 有一堆红球与白球，球的总数在51～59之间. 已知红球个数是白球个数的4倍，那么，红球有
_____________个。
【答案】44 『2009年初赛第3题』
【解析】红球个数是 白球个数的4倍，所以球的总数是白球的5倍因此球的总数是5的倍数。51~59之
间5的倍数只有5 5，因此总共有球55个其中白球11，红球有44个。


21. 老师买了同样数量的铅笔、圆珠笔和钢笔. 如果老师发给数学小组每个同学1支铅笔、2支圆珠笔和3
支钢笔。结果圆珠笔还剩42支，那么，铅笔和钢笔共剩了_____________支.
【答案】84支 『2009年初赛第4题』
【解析】把1支铅笔 和3支钢笔捆绑在一起成为一组，那么，相当于发2支圆珠笔就发一组铅笔和钢笔，
铅笔和钢笔的数量是 圆珠笔的2倍，并且发的数量也是圆珠笔的2倍，所以剩下的也是圆珠笔的2倍，
即84支.

22. 老师桌子上有一大叠作业本，其中有162本不是一班的，143本不是二班的，一班和二班的 共有87本，
那么二班的作业本共有______本。
【答案】53支 『2010年初赛第5题』
【解析】
分析：一班和其他班共有143 本，二班和其他班共有162本，因此二班比一班多本162—143=1，
一班和二班共有87 本，因此二班有（87+19）÷2= 53本。



23. 有两盒围棋 子。第一盒中的白子数量是黑子数量的9倍，第二盒中的黑子数量是白子数量的9倍；两
盒中白子的总数 是黑子总数的4倍，那么第一盒中棋子的数量是第二盒中棋子数量的_____________
倍。
【答案】7 『2008年初赛第12题』
【解析】列表法。
白棋子 黑棋子 黑棋子 白棋子
9 1 9 1
18 2 18 2

27
36
45
54
63
72
81
3
4
5
6
7
8
9
27
36
45
54
63
72
81
3
4
5
6
7
8
9
答案如图：(63+7)÷(9+1)=7


24. 星期 天小明、小强和小佳一起去采摘。小强说：“我摘的苹果最多了，比你们俩摘的苹果总和还多1个。”
小 明回答说：“是啊。你比我多摘了10个，但我比小佳多摘了10个。”那么他们三人共摘了_________ ____
个苹果。
【答案】57 『2008年初赛第3题』
【解析】小强比小明和小佳两人摘的总和还多一个，则小强比小明多摘小佳 所摘的个数再多一个，而小
强比小明多摘10个，所以小佳摘了9个，小明摘了19个，小强摘了29个 ，三人一共摘了9+19+29=57
个。


25. 某学校小学三年级 和四年级各有两个班，三年级一班比三年级二班多4人，四年级一班比四年级二班
少5人，三年级比四年 级少17人，那么三年级一班比四年级二班少_____。
【答案】9 『2010年初赛第4题』
【解析】
分析：如果三年级二班加上4 人则和一班相同，如果四年级一班加上5 人，则和四二班相同，
此时三年级比四年级少18 人，这其中三年级包含2 个三一班，2 个四二班，因此三年级一班比四年级
二班少9 人。


(三)鸡兔同笼问题
26. 一些奇异的动物在草坪上聚会. 有独脚兽（1个头 、1只脚）、双头龙（2个头、4只脚）、三脚猫（1个
头、3只脚）和四脚蛇（1个头、4只脚）. 如果草坪上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数
量恰好是双头龙数量的2倍. 那么，有_____________只独脚兽参加聚会.
【答案】7只 『2009年初赛第11题』
【解析】鸡兔同笼问题。把2个四脚蛇和1个双头龙捆绑在一起，则是4 头12脚，即1头3脚，同三
脚猫是一样的，所以可以假设都是1头3脚，则有3×58=174只脚， 但只有160只脚，差了174-160=14
只脚，替换：14÷2=7只，故有7只独角兽。

27. 红星小学组织学生参加队列演练，一开始只有40个男生参加，后来调整队伍，每次 调整减少3个男生，
增加2个女生，那么调整 次后男生女生人数就相等了.
【答案】8 『2011年初赛第10题』
【解析】最初男比女多40 人，每调整1次男比女少5人，要让男女人数平等，需调整40÷5=8（次）

(四)植树问题
28. 甲、乙、丙三人锯同样粗细的木棍，分别领取8米，10米，6米长 的木棍，要求都按2米的规格锯开，
劳动结束后，甲、乙、丙分别锯了24，25，27段，那么锯木棍 速度最快的比速度最慢的多锯____次.
【答案】2 『2010年初赛第3题』
【解析】本题的原型是植树问题。每根木棍甲需要锯3次，乙需要锯4次， 丙需要锯2次；因此甲共需
要锯24÷4×3=18次，乙共需要锯25÷5×4=20次，丙共需要锯 27÷3×2=18次，乙最快，甲、丙的
速度相同，乙多锯2次。

29. 四月份共有30天，如果其中有5个星期六和星期日，那么4月1日是星期 .
（星期一至星期日用数字1至7表示）
【答案】6 『2011年初赛第6题』
【解析】因为后28天正好是4周，那么前两天只能1个周六，1个周日，而4月1日只能是周六。


30. 一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子，孙悟空说猪 八戒太能吃了，但猪八戒说自
己的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃的多.聪明的沙僧用天平得到了下面 两种情况，（圆圈是桃子，
三角是包子长方形表示重量为所标数值的砝码），那么1个桃子和1个包子共 重 克.
【答案】 280
【解析】


『2011年初赛第8题』

四、数论
(一)数字谜、数独
31. 用火柴棍拼成的数字和符号如下图所示，那么用火柴棍拼成一个 减法等式最少要用_____________根火
柴。（2008年初赛第4题）


【答案】12 『2008年初赛第4题』
【解析】
这些数字中1用火柴棍最省，所以所组成的算式中尽量多出现1用的火柴棍最少。能用两个1的减法算
式有1-1=0和2-1=1，分别用了13和12根，所以最少需要用12根火柴。


32. 在等号左边9个数字之间添写6个加号或减号组成等式：
1 2 3 4 5 6 7 8 9=101。
【答案】1+23+4+5+67-8+9=101 『2006年初赛第2题』

【拓展】在下面的数字之间添上四个加号“+”，组成算式，算出的结果最小为 。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
解答：12+34+56+78+9 = 189

33. 在算式ABCD+EFG=2010中，不同的字母代表不同的数字.
那么， A+B+C+D+E+F+G= .
【答案】 『2011年初赛第9题』

【解析】



34. 将 1～9这9个数字分别填入右图的方框中，每个数字恰好用一次，使等式成立；现已将8填入，请你
将其 它数字填入．

＝
÷ － ＝
8


【答案】96÷12=45-37=8 『2008年初赛第5题』
【解析】 突破口是第一个除法算式，因为13的8倍是104已经是三位数了，所以除数不超过12，而由 1～
9组成的两位数最小是12， 所以除数只能是12，故被除数为96，剩下还有3、4、5、7四 个数字，不
难试出45-37=8，所以结果为：96÷12=45-37=8


35. 小明把5个数字的乘法算式的两边改写其中两个数字后得到错误算式：
4×5×4×5×4=2247。那么原来正确的乘法算式是 。
【答案】 4×5×4×7×4=2240 『2006年初赛第7题』
【解 析】应该先从2247入手，应该被改成2240，因为有两个5，去掉一个5，还有另一个，所以，应该
被改成5的倍数，但还有三个4，那就意味这除了5以外的那四个数的积一定是偶数，所以这五个数的
积的各位一定是0.经过试验，答案是4x5x4x4x7=2240

36. 小名、小亮两人玩扑克牌，他们手里各有点数为1、2、3、4、5、6、7、 8、9、10的纸牌各一张，两人
每轮各出一张牌,点数大的为胜，并将两张牌的点数差（大减小），做 为获胜一方的分数，另一方不得
分，各轮得分之和计为总分。那么两人总分之和最大是________ _____。
【答案】50 『2008年初赛第9题』
【解析】10次减 法，每个数字均使用两次，而这20个数中有10个数作为减数，则只要减数尽量的小就
能取到总和的最 大值，故减数取2个1，2个2，2个3，2个4，2个5，此时总和为：2×（10+9+8+7+6-5-4 -3-2-1）
=50



37. 下面两个算式中，相同的字 母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么A＋B＋C＋D＋E＋F
＋G=________ _____。
A
B C D

D
C B A

E F G
+ G F E
+

2
0 0 7 9
3 8 7

【答案】36 『2008年初赛第8题』
【解析】突破口为第一个加法竖式。
因为百位结果为0，所以必 然对千位产生进位，故A只能为1，由第二个竖式A+E=7或17知E=6。再由第一
个竖式十位结果 也为0知十位对百位也有进位，所以B+E=9，故B=3，由第二个竖式得F=5。因为C和F不
同， 而C+F只能为9或10，所以C=4，D+G=17，由第二个竖式知G=9，D=8。
所以A+B+C+D+E+F+G=1+3+4+8+6+5+9=36


38. 5个只由数字8组成的自然数之和为1000，其中最大的数与第二大的数之差是 .
【答案】 『2011年初赛第4题』
【解析】


39. 从1-9这9个数字中选出8个不同的数字填入右面的方格中，使得竖式成立，其中的四位数最 大可能
是_____。

【答案】1759 『2010年初赛第9题』
【解析】
分析：如图，要想abcd最大，则a为1，后面每位都有进位，e+b=9，
只有2+7，因此b=7，剩下的数最小的是3+4+5大于10因此为1759。




40. 在下图除法竖式的每个方格中填入适当的数字，使竖式成立，并使商尽量
大。那么，商的最大值是 。
【答案】9803 『2007年初赛第6题』
【分析 】第一步：先填出显而易见的商的第三位0和第三步除法的百位7，并设
2
0
0
7
0

第二步除法的两个四位数为
a0bc
和
de0 f
，设商为
mn0s
，除数为
xyz
，如下图：
可知b只 能是0或1，否则十位相减之后不为0，则e也必须为0，否
则做减法之后百位不为0。
第二 步：一个大数除以一个三位数要使商尽量大，则商的千位最大可
能为9，这个三位数乘以9得到的四位数 的百位为2，而商的百位乘
以除数得到的四位数
de0f
的百位为0，所以商的千位和 百位不能相
同，要使商最大，百位可能为8。
第三步：除数
xyz
乘以8， 得到形如
d00f
的四位数，取z=0～9进行
尝试。如果个位为0，要保证十位为0 ，必须y=5或0，当y=5时要保证百位为0，则x=2或7，当y=0时，
x=5，所以
x yz
为250，750和500，这三个数乘以9得到：2250，6750，4500，百位为2的只 有250满足，
此时可以得到商的最大值为9803。
第四步：要使商比9803大，只能使 个位比3大，则
xyz
的x只能取1，根据第三步的方法经过验证不能找
到满足题目条 件的这样的数，所以商的最大值为9803。


41. 将1～12这12个自然 数分别填入到右图的方框中，每个数只出现1次，如果每个等式都成立，那么乘
积
ABC D
=_____________.
【答案】1400 『2009年初赛第12题』
【解析】
先看第3列，设四个数从上到下依次为a,b,c,d,则a÷b-c÷d=b,故a÷b＞
6,而a≤12,所以b只能为1.a-c÷d=6,由于c,d不相等，故c÷d≥2,则a≥b+2 =8
设第3行的前两个数分别为x，y，则x-y
×c=0,由于x≤12，y≥2,故c≤6 ,而d≥
2,则c÷d≤3,故a≤9,即a只能为9或8.
若a=9，则c÷d=3，只能是c=6,d=2，此
时y≥3,x=y×c≥18,矛盾，
故a=8, 则c÷d=2，有c=6,d=3或
c=4,d=2.
若c=6,d= 3,则y=2,x=12,则第四行的算式
为5+6÷2=8,剩下4个数中(7+9) ÷8=2,1 1-10-1=0,最终的结果如下
图所示,故A×B×C×D=7×10×4×5=1400




42. 把0-9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条 线上的数字和构成一个等差数列，而
且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有__ ____种可能的取值。
【答案】 3 『2010年初赛第8题』

43. 请你在六阶拉丁幻方中的空白方格内填入相应 数字，使得每一行、每一列及两条对角线上恰好出现1、
2、3、4、5、6。

3
1 2 5 6 3 4

1
5
6 4 2 3 1 5

4
4 3 6 5 2 1

32
5 1 3 2 4 6

6
3 6 4 1 5 2

2
16
2 5 1 4 6 3

【答案】 『2007年初赛第8题』
【分析】先看对角线上的数字，其中一条已经有1、3、6、2，还差4、 5，第六列已经有5，所以第一行第
六列只能是4，第三行第四列就是5
然后看第五列已 经有3、1、6，还差2、4、5，又因第三行已有4、5，所以第三行第五列为2，看第三行
有4、5 、2，差1、3、6，第三列有1、3，因此第三行第三列为6
看第六行差3、4、5，第六列已 有4、5，因此第六行第六列为3，第四列已有5，因此第六行第四列为4，
第六行第二列为5；看第六 列，已有4、5、3，差1、2、6，第三行已有2、6，因此第三行第六列为1，第
三行第二列为3， 第四行第六列为6，第五行第六列为2
看另一对角线有2、3、6，差1、4、5，第二行第二列只能是4，第五行第五列是
5，第 一行第一列是1，所以第四行第五列是4，看第二行差2、3、6，第二行第三列是2，所以第一行第三
列是5，第六行第三列是1，第一列第四列是6，第二行第三列是2，第二行第一列是6，第四行第一列是5，< br>第五行第一列是3，第五行第四列是1


44. 如图，4×4方格被分成 了五块；请你在每格中填入1、2、3、4中的一个，使得每行、每列的四个数
各不相同，且每块上所填 数的和都相等．则A、B、C、D四处所填数字之和是_____________。

A B






【答案】如下图 『2008年初赛第11题』
D C
【解析】按题意填方格结果如图：

4 3 1 2
所以四处数字之和为1+2+3+4=10

3 1 2 4


2 4 3 1

1 2 4 3


45. 将数字1～6中填入右面的6×6方格，使每个数字在每一行、每一列和每一个标有粗线的23
的“宫”
中只能出现一次. 如果虚线框出的区域左上角标注的数值为该区域内所有 数字之和，并且该区域内所
有数字互不相同，那么，六位数
ABCDEF
是_____ ________.
【答案】642315 『2009年初赛第10题』
【解析】
本题的突破口在于：每行每列都是1~6，那么和为 21，所以突破口在第六行第一列，此数为21-12-6=3
，第4列的的第一个数为21-9-1 1=1，同时第一行，第五列就是6-1=5，而第3列第1，2行的数只能为5+6=11，
所以第1 行第3列为6，第2行第3列为5。依次类推，找到突破口以后，数字问题就变得非常简单了。

46. 出盒子里放有编号为l到10的十个球，小明先后三次从盒中共取九 个球，如果从第二次开始，每次取
出的球的编号之和是前一次的2倍，那么未取出的球的编号是 。
【答案】6号球 『2006年初赛第11题』
【解析】
因为3次每一次都是前一次总和的2倍，所以取出球的和应该是1+2+4=7的倍数,1+2+... +10=55,55减去6
等于49,符合题意

47. 如果△+△=
a
，△-△=
b
，△×△=
c
，△÷△=
d
，
a+b+c+d
=100，那么，△=___________.
【答案】9 『2009年初赛第5题』
【解析】根据题意a=2△,b=0,c=△×△,d=1,a+b+c+ d=△×△+2△+1=100,则△×△+2△=99，即△×(△
+2)=99。将99分解质因数 易得△=9。

五、行程
48. 小张和小王早晨8点整同时从甲地出发去乙 地，小张开车，速度是每小时60千米。小王步行，速度为
每小时4千米。如果小张到达乙地后停留l小 时立即沿原路返回，恰好在10点整遇到正在前往乙地的
小王。那么甲、乙两地之间的距离是 千米。
【答案】34 『2009年初赛第9题』
【解析】
小张行车时间： 10-8-1=1（小时） 1×60=60 （公里）
小王行车时间： 10-8=2（小时） 2×4=8 （公里）
恰好在10点整遇到（第一次相遇）， 走了二个路程 （60+8）÷2=34（公里）

六、计数
49. 右图中共有______个三角形。
【答案】20 『2010年初赛第2题』
【解析】
边长为1 的三角形：12 个。
边长为2 的三角形：朝上和朝下各3 个，共6 个。
边长为3 的三角形：朝上和朝下各1 个，共2 个。
共有三角形个。 12+6+2=20


50. 下图中共有 个正方形。

【答案】16 『2006年初赛第4题』

【拓展】 数一数：右图中有几个正方形？
【解析】
边长为1的正方形有12个，边长为2的正方形有6个，
边长为3的正方形有2个，共20个．即4×3+3×2+2×1=20

51. 六个人传球（编者注：不间断），每两人之间至多传一次，那么最多共进行____次传球。
【答案】13 『2010年初赛第7题』
【解析】
本题可以看做是一个一笔画问题。
这六个点都是奇数点，不可能一笔画出来，因此至少需要去掉4 个点，即两条线，因此最多进行13 次传
球。

52. 用同样大小的正方体小木块堆成的立体如下图所示，那么共用了 块小正方体。
（2006年第6题）
【答案】50 『2006年初赛第6题』
【解析】
思路一： 可以从上往下按层依次数出方块数为7，7+5，7+5+3，7+5+3+1块，共为50块
思路二： 如果原图补齐为4×4×4的正方体，共有64块，然后第一层缺9块，第二层缺
4块，第三层缺1块，共缺9+4+1=14块，则原立体图共有方块50块。

53. 小 明把三支飞镖掷向下图所示的镖盘上，然后把三支飞镖的得分相加，
镖盘上的数字代表这个区域的得分， 未中镖盘记0分.那么小明不可能得
到的总分最小是 .

(镖盘的数字由里往外分别为23、12、8、3、
1)
【答案】22 『2011年初赛第7题』
【解析】

54. 一个文 具店中橡皮的售价为每块5角，圆珠笔的售价为每支1元，签字笔的售价为每支2元5角。小
明要在该店 花5元5角购买其中两种文具，他有___________种不同的选择。
【答案】8 『2008年初赛第6题』
【解析】枚举法
买圆珠笔和橡皮有5种方法： 圆珠笔5支，橡皮1块
圆珠笔4支，橡皮3块
圆珠笔3支，橡皮5块
圆珠笔2支，橡皮7块
圆珠笔1支，橡皮9块
买签字笔和橡皮有2种方法： 签字笔2支，橡皮1块
签字笔1支，橡皮6块
买签字笔和圆珠笔有1种方法：签字笔1支，圆珠笔3支
所以总共有5+2+1=8种不同的选择

55. 如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比他右边数位上的数字小，那么我们称 它为“迎
春数”。那么，小于2008的“迎春数”共有 个。
【答案】176 『2007年初赛第5题』
【分析】两位数的 迎春数有：（12），（13，23），（14，24，34），„，（19，29，„，89），
共有：1+2+3+„+8=36个；
三位数的迎春数有：
个位为3的：123，共1个；
个位为4的：124，134，234，共2+1=3个；
个位为5的：125，135，145，235，245，345，共3+2+1=6个；
„„
个位为9的：129，„，189，239，„，289，„„，789，共7+6+„+1=28个；
所以三位数的迎春数共有：1+3+6+10+15+21+28=84个；
四位数的迎春数 要小于2008，所以四位数的迎春数的千位只能为1，所以其百位最小为2，个位、十位、
百位的情况 与三位数的迎春数类似，只是在三位数的迎春数中去掉百位为1的即可，三位数的迎春数中百
位为1的共 有：1+2+3+„+7=28个，所以小于2008的四位数的迎春数共有：84-28=56个。
所以小于2008的迎春数共有：36+84+56=176个。

七、杂题
（一）逻辑推理
56. 老虎、狐狸和兔子赛跑。赛完后，老虎说：“我第一”。狐狸说：“ 我第二”。兔子说：“我不是第一”。
他们之中仅有一个说了谎。那么第二名是 。
【答案】兔子 『2006年初赛第3题』

【拓展】A ，B，C三名同学中，有一人在教室没其他同学的时候，把教室打扫得干干净净的.事后，老师问
他们三 人，是谁做的好事.A说：“是B干的”；B说：“不是我干的”；C也说：“不是我干的”.后来知道他们三个人中，有两人说的是假话，有一人说的是真话.你能断定教室是谁打扫吗？
【解析】
由题意出发判断，结论只有三种可能：
如果是A干的，那么A说的“是B干的”是假 话；B说的“不是我干的”是真话；C说的“不是我干的”
也是真话．不符合题意中“两假一真”条件．
如果是B干的，那么A说的“是B干的”是真话；B说的“不是我干的”是假话；C说的“不是 我干的”
是真话．也不符合“两假一真”条件．
只能是C干的．这样A，C说的是假话，B说的是真话．符合“两假一真”．

57. 将军和他的12名士兵举行圆桌会议，这12名士兵分别编号1，2，3，„„，12. 如果 开会时，有一
名士兵没有参加，参加会议的一名士兵说：“我向右看时，我与将军之间的其他士兵编号之 和是44.”
另一名士兵说：“我向左看时，我与将军之间的其他士兵编号之和是32.”已知这两名士 兵之间坐着另
外4名士兵，那么，没参加会议的士兵编号是_____________.
【答案】12 『2009年初赛第9题』
【解析】
这两名士兵一名向右看，一名向左看，有可能交叉，也有可能不交叉，那么他们左，右编号之和为44+32=7 6，
而他们中间还有4个编号，和至少为1+2+3+4=10，这样还没算上这两名士兵，所有编号的 和76+10=86，已
超过1到12所有的和，不合题意，所以必有交叉。设没参加会议的士兵编号为 a，中间四个编号的和为b，
则76-b=(1+2+„+12)-a=78-a，故a-b=78-7 6=2,而a≤12,b≥10,a-b≤2,故a恰好为12，b恰好为10.故没
参加会议的士兵编 号为12。

58. 花园里有向日葵、百合花、牡丹三种植物，
1）在一个星期内只有一天这三种花能同时开放；
2）没有一种花能连续开放三天；
3）在一周之内，任何两种花同时不开的日子不会超过一天；
4）向日葵在周2、周4、周日不开放；
5）百合花在周4、周6不开放；
6）牡丹在周日不开放；
那么三种花在星期 同时绽放. （星期一至星期日用数字1至7表示）
【答案】5 『2011年初赛第15题』
【解析】

59. 市长在一个正方形广场上设立了一些摊位。摊位位置设在标有数字的方格内（如 图所示），另外，方格
内的数字表示与该摊位相邻的所有方格中，有人的方格的数目（例如0表示摊位周 围的方格都没有人；
2表示该摊位周围的方格中，有2个方格内有人）。请将画在有人的方格中。





【答案】 『2007年初赛第3题』
【分析】首先根据第四列的0，可以知道它周围没有摊位，在没有摊位的位 置
用×表示，如下图：
2
0
22
1
1
1

然后根据第五列的1周围有一个摊位，则它的下面一个方格有摊位，所以第四列的1周为的其他方格没有
摊位，有摊位的方格用○表示，如下图：

接下来根据第三列的2可以知道它周围有 两个摊位，所以它的左上角和右下角的两个方格为摊位，同时第
二列第三行的2周围的其他方格不是摊位 ，第一列的1周围的其他方格也不是摊位，如下图：

所以第二列第一行的2左边是摊位，如下图：

60. 有8名小朋友，他们每人头上戴着一顶红帽子或者一顶蓝帽子，如果一名小朋友看到另外3名或者3
名以 上的小朋友戴着红帽子，他就拿一个红气球，否则就拿一个蓝气球，结果这些小朋友（friends）
中既有拿红气球的，也有拿蓝气球的，那么一共有______名小朋友戴红帽子。
【答案】3 『2010年初赛第6题』
【解析】 既然红蓝气球都有，因此戴红蓝帽子的人都最少3 人。如果有3 人戴红帽子，这三人都拿
蓝气球，其余5 人都拿红气球；如果有4 或5 人戴红帽子，则全部的人都拿红气球。所以有3 人戴
红帽子。

61. 如右图，8个大小相同的正方形纸片依次放到桌面上，形成右面图形. 如果按照自下而上的排放次序
将 这些正方形依次编号为1～8，那么，标有字母F的正方形编号应该是___________。
【答案】5 『2009年初赛第6题』
【解析】每次拿掉最上面的纸片即可。
自下而上:B E H G F C A D，如图


A B C
D
E
F
G H
B
C
E
F G H
A
B
C
D
E
F G H
A
B
C
E
F G H

B
E
F G H
B
E
G H

B
E
H
B
E
B

62. 一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共27本，且每种书的数量互不相同。 其中数学书和英语
书共有12本，语文书和英语书共有13本。有一种书恰好有7本，是_______ ______书。
【答案】英语 『2008年初赛第7题』
【解析】假设法
假设数学书有7本，则英语书有5本，语文书有8本，历史书有7本，不满足题意；
假设语文书有7本，则英语书有6本，数学书有6本，不满足题意；
假设历史书有7本，则英 语书+数学书+语文书一共20本，所以英语书5本，数学书7本，不满足题意；
假设英语书有7本， 则数学书有5本，语文书有6本，历史书有9本，满足题意。故有7本的书是英语书。

（二）操作找规律
63. 在1989后面 写一串数字。从第5个数字开始，每个烟都是它前面两个数字乘积的个位数字。这样得到
一串数字
1 9 8 9 2 8 6 8 8 4 2„„
那么这串数字中，前2005个数字的和是 。
【答案】12031 『2006年初赛第8题』
【分析】由题意 知，这串数字从第5个数字开始，只要后面的连续两个数字与前面的连续两个数字相同，
后面的数字将会 循环出现.
1 9 8 9

2 8 6 8 8 4

2 8„„
由上图知，从第5个数字开始，按2，8，6，8，8，4循环出现.
(2005—4)÷6=333„„3，
前2005个数字之和是
( 1+9+8+9)+(2+8+6+8+8+4)×333+(2+8+6)=27+11988+16=120 31.

64. 2010名从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是 一位数，后面的同学就要报出
这个数与8的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个 数的个位数与7的和.现在
让第一个同学报1，那么最后一个同学报的数是 .
【答案】 『2011年初赛第14题』
【解析】



65. 从l999这个数里减去253以后，再加上244；然后再减去253 ，再加上244；„„，这样一直算下去，
当减去第 次时，得数恰好第一次等于0。
【答案】195次 『2006年初赛第10题』
【解析】每次后 会减少9，但到了194次刚好剩下253，因为是先减后加，所以为194+1=195次

66. 某班43名同学围成一圈。由班长起从l开始连续报数，谁报到100，谁就表演一个节目；然 后再由这
个同学起从l开始连续报数，结果第一个演节目的是小明，第二个演节目的是小强。那么小明和 小强
之间有 名同学。
【答案】12或29 『2006年初赛第12题』
【解析】
100÷43=2„„14 小明和小强之间有同学14-2=12名或43-14=29.

67. 50名同学围成一 圈做游戏：从某一个同学开始顺时针从1开始依次连续报数，报含有数字7的数（如
7，17，71等） 或7的倍数的同学击1次掌。 如此进行下去，当报到100时，所有同学共击掌___________
次。
【答案】30 『2009年初赛第7题』
【解析】含有数字7或7的倍数的数有三类：个位为7的，有7，17，„ ，97；十位为7的，有70，71，„，
79；7的倍数有7，14，„，98.其中有包含排除关系 ，根据容斥原理，1到100共有（10-2）+（10-2）+14=30
个，所以共击掌30次。

68. 观察下列正方形数表：
表1的所有 数和为1，表2的所有数和为17，表3的所有数和为65，„(除第一个数表外，每个正方
形数表比前 一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格内的数
大1，其余方格 内的数不变)，设表n中的所有数和比表m的所有数和大400，m，n为大于1的整数，
那么表m的所 有数的和是 。


3
33
3
3


2
2
2
3
2
22
3


21
2

13
2
1
2
3

2
2
2322
23


333
3
3

表 1
表 2表 3


【答案】321 『2007年初赛第10题』
【分析】因每增加 一层，最外层数的个数比次外层多8个，所以表n的最外层有8*（n-1）个数，最外层的
和为8*（ n-1）*n，所以最外层的和依次为1、16、48、96、160、240、336„„„„
从而可以得到160+240=400，所以表m的所有和为1+16+48+96=321


69. 在左下表中，在有公共边的两格内的数同时加上1或者同时减去1叫做一次操作，经 过有限次操作后
由左下表变为右下表，那么右下表中A处的数是_____。

1 0 1
A 2010 2010

0 1 0

2010 2010 2010
1 0 1


2010 2010 2010
【答案】5. 『2010年初赛第10题』
【解析】差不变。



70. 小谢要把32张奖状贴到办公室的墙上. 他用胶涂好一张奖 状需要2分钟，涂好后至少需要等待2分钟
才可以开始往墙上粘贴，但是若等待时间超过6分钟，胶就会 完全干掉而失去作用. 如果小谢粘贴一
张奖状还需要1分钟时间. 那么，小谢粘贴完全部奖状最少需要_____________分钟。
【答案】96. 『2009年初赛第8题』
【解析】最省时间的办法就是小谢利用等待的时间干活，不能休息。 于是可以这样安排：先涂好一张奖状;用2分钟；再涂第二张奖状，用2分钟。涂第三张也要2分钟，此时< br>第一张已等待了4分钟，此时将第一张粘贴第一张粘贴需要1分钟；再涂第四张奖状，又要2分钟，此时< br>第二张奖状已经等待了5分钟，可以将第二张奖状粘贴„„这样从第四张算起，保持总是有两张奖状在等< br>待，直到最后两张，先后将其粘贴。可见其中没有浪费任何一分钟，而花在每一张奖状上的时间都是2+1 =3
分钟，所以共需要3×32=96分钟。