英语骂人的话-榨汁机和料理机的区别

2013年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）

一、填空题（共3小题，每小题8分，满分24分）
1．（8分）算式999999999﹣ 88888888+7777777﹣666666+55555﹣4444+333﹣22+1的计算结
果的各位数字之和是 ．
2．（8分）如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数和是 ．

3．（8分）把1﹣8这8个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处 写上
这条棱的两个顶点处所写的数的平均数，如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上
写的 数都是整数，那么另外四个中点处所写的数中，有 不是整数．
二、填空题（共3小题，每小题12分，满分36分）
4．（12分）如图，在等腰直角三角 形ABC中，斜边AB上有一点D，已知CD＝5，BD比
AD长2，那么三角形ABC的面积是 ．

5．（12分）如图，7×7的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格 都连在
一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了1，2，3，4，5各两个，那么，表格中所有数的和是 ．
1
5




4


3






2
4











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3



2




1





5

6．（12分）甲 、乙两人从A地步行去B地．乙早上6：00出发，匀速步行前往；甲早上8：
00才出发，也是匀速步 行．甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时都需要休
息半小时．甲出发后经过 分钟才能追上乙．
三、填空题（每小题15分，满分75分）
7．（15分）五支足球队伍 比赛，每两个队伍之间比赛一场：胜者得3分，负者得0分，平
局各得1分，比赛完毕后，发现各队得分 均不超过9分，且恰有两只队伍同分，设五支
队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E（有两个字 母表示的数是相同的），若
恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有多少场平局？
8．（15分）由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是 ． < br>9．（15分）如图，正六边形ABCDEF的面积为1222，K、M、N分别AB，CD，EF的中点 ，
那么三角形PQR的边长是 ．

10．（15分）一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：
①A+B+C＝79
②A×A＝B×C
那么，这个自然数是 ．
11．（15分）有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平
方数 ，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还
恰好等于它的数字和， 那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，
那么这个四位数是多少？
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2013年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）

参考答案与试题解析

一、填空题（共3小题，每小题8分，满分24分）
1．（8分）算式999999999﹣88888888+7777777﹣666666+55555﹣44 44+333﹣22+1的计算结
果的各位数字之和是 45 ．
【解答】解：由于计算过程 没有出现进位借位，故结果各位数字之和就是式中各数的各
位数字之和相加减，
原式＝9×9﹣8×8+7×7﹣6×6+5×5﹣4×4+3×3﹣2×2+1×1（mod10）
＝（9+8）（9﹣8）+（7+6）（7﹣6）+…+（3+2）（3﹣2）+1＝9+8+7+6+ 5+4+3+2+1＝45，
故答案为45．
2．（8分）如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数和是 160 ．

【解答】解：
（1）积的最高位是2，可以得出前面两次算出的积的最高位都是1，再由此推 出第一个
乘数的第一位是1，最后一位是3；
（2）根据积的个位是1，可以知道两个乘数的 个位数字的积的末尾是1，结合上第一个
乘数的个位是3，就能确定第二个乘数的个位是7；
（3）因为第一个乘数乘第二个乘数的十位数字得到的是一百多，也就能确定第二个乘数
的十位数字是1 ；
（4）根据第一个乘数乘7的积是一千零几，可以推出第一个乘数的十位数字是4．
故这 题中两个乘数是143和17，第一次算出的积是1001，第二次的积是143，最后的积
是2431 ．
因此这两个乘数的和是143+17＝160．
3．（8分）把1﹣8这8个数字放到一 个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上
这条棱的两个顶点处所写的数的平均数，如果上底面 的四个中点和下底面的四个中点上
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写的数都是整数，那么另外四个中点处所写的数中，有 4个 不是整数．
【解答】解：奇偶 性问题1～8八个数4奇4偶，上下两组各4个数同时满足相邻和为偶
数，唯一情况为上下另组数分别同 奇同偶．即上面4个为奇数，下面4个为偶数或者上
面4个为偶数，下面4个为奇数．
所以上下4组数和都是奇数，即它们的平均数都不是整数．
所以有4个不是整数．
故答案为4个．
二、填空题（共3小题，每小题12分，满分36分）
4．（12 分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有一点D，已知CD＝5，BD比
AD长2，那么三 角形ABC的面积是 24 ．

【解答】解：作CE⊥AB于E．

∵CA＝CB，CE⊥AB，
∴CE＝AE＝BE，
∵BD﹣AD＝2，
∴BE+DE﹣（AE﹣DE）＝2，
∴DE＝1，
在Rt△CDE中，CE2
＝CD
2
﹣DE
2
＝24，
∴S
△
ABC
＝•AB•CE＝CE
2
＝24，
故答案为24
5．（12分）如图，7×7的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所 在的方格都连在
一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了1，2，3，4，5各两个，那 么，
表格中所有数的和是 150 ．
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1
5




4

3






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3



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1





5

【解答】解：首先理解题目，找出唯一填法的空格，例如第一行第一个1，与其唯一相邻
的空白 空格必须为1，以此类推，第二行第一个5也具有唯一相邻空格．逆推得出唯一图
形．相加求和为150 ．

故答案为150．
6．（12分）甲、乙两人从A地步行去B地．乙早上6： 00出发，匀速步行前往；甲早上8：
00才出发，也是匀速步行．甲的速度是乙的速度的2.5倍，但 甲每行进半小时都需要休
息半小时．甲出发后经过 330 分钟才能追上乙．
【解答】解：法一：假设甲一小时走5米，乙一小时走2米，列表如下：
时间
0小时
甲（米）
0
乙（米）
4
时间
3小时
甲（米）
7.5
乙（米）
10
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0.5小时
1小时
1.5小时
2小时
2.5小时
2.5
2.5
5
5
7.5
5
6
7
8
9
3.5小时
4小时
4.5小时
5小时
5.5小时
10
10
12.5
12.5
15
11
12
13
14
15
观察得5.5小时恰好追上（如果这时间超过了乙，就要用具体追及公式计算追及时间）
法二 ：也可以设甲的速度为每小时10a（甲要休息，实际每小时走5a），乙的速度为每小
时4a，因此要 追8a．半小时内最多追3a，可以先从要追的8a中扣除3a，因为在此之前
不可能追上（之前的距离 差不止3a）．之后再开始按每半小时列出，若不够半小时的话，
用追及公式算．前面追的5a，相当于 每小时追a，可以用5a÷（5a﹣4a）＝5（小时）计
算．之后，甲半小时再走2a，乙再走5a， 加上还差的3a，正好追上．因此，要追5.5小
时，即330分钟．
故答案为：330．
三、填空题（每小题15分，满分75分）
7．（15分）五支足球队伍比赛，每两个队伍之 间比赛一场：胜者得3分，负者得0分，平
局各得1分，比赛完毕后，发现各队得分均不超过9分，且恰 有两只队伍同分，设五支
队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的 ），若
恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有多少场平局？
【解答】解：5×（5﹣1）÷2＝10（场）
比赛一共10场，总分在20到30分之间．
五位数恰是15的倍数，利用整除性可知，E可为0或者5，考虑到E最小，如果，
总分最小为 8+7+6+5+5＝31分，不成立，所以，即第五名4场全负积0分．
第五名负四场，则平局最多 为6场，总分最少为24分．又考虑到分数和为3的倍数，总
分可能情况为30，27，24．对三种情 况分别讨论：
（1）总分30分：
即无平局情况，那么前四名队伍得分只可能为9，6，3 分．不能在只有两个重复的情况
下凑出30．所以总分30分情况不存在．
（2）总分27分：
经测试，存在，满足题目分数要求，且四个队7场胜3场负，恰好满足第 五队的4场负，
第6页（共10页）

所以此为一解，比赛3场平局．
（3）总分24分：
在24分情况下，只有前四名只能各胜1场平2场，但不满足只有两队得分相同．
所以总分24分情况不存在．
综上，唯一存在总分27分情况下，比赛中共有3场平局．
8．（15分）由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是 127 ． < br>【解答】解：由题意，正三角形组成两种四边形：平行四边形和梯形，平行四边形要求
偶数个三角 形，2013是奇数，只能拼成梯形，而且是等腰梯形．
设梯形的下底边长为a、上底边长为b，则腰 的长度为（a﹣b），所以，周长为（a+b）+2
（a﹣b）．
因为a
2
﹣b
2
＝（a+b）（a﹣b）＝2013＝3×11×61，积一定差小和小，所以：（a +b）×2
（a﹣b）＝2×3×11×61＝61×66，
当a+b＝61、2（a﹣b） ＝66时，差小，和就小，最小周长为：66+61＝127．（a＝47，b
＝14可以不必求出来） 故答案为127．
9．（15分）如图，正六边形ABCDEF的面积为1222，K、M、N分别A B，CD，EF的中点，
那么三角形PQR的边长是 141 ．

【解答】解：如 图延长BA和EF交于点O，并连接AE，由正六边形的性质，我们可知
S
ABCM
＝ S
CDEN
＝S
EFAK
＝六边形面积，
根据容斥原理，重叠部分三个三角形面积和等于阴影部分面积，且因为对称，
△AKP，△CMQ，△ENR三个三角形是一样的，有KP＝RN，AP＝ER，RP＝PQ，
＝，则＝，＝，由鸟头定理可知道3×KP×AP＝RP×PQ，
S综上可得：PR＝2KP ＝RE，那么由三角形AEK是六边形面积的，且S
△
APK
＝
△
A KE
，
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S
△< br>APK
＝S
ABCDEF
＝47，所以阴影面积为47×3＝141
故答案为141．

10．（15分）一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：
①A+B+C＝79
②A×A＝B×C
那么，这个自然数是 441 ．
【解答】解：一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N＝x
2
y
2
，或者N＝x
8
，（1）
当N＝x
8
，则九个约数分别是：1，x， x
2
，x
3
，x
4
，x
5
，x
6
，x
7
，x
8
，其中有3个约数A、
B、C且满足A×A＝ B×C，不可能．
（2）当N＝x
2
y
2
，则九个约数分别是：1 ，x，y，x
2
，xy，y
2
，x
2
y，xy
2< br>，x
2
y
2
，其中有3
个约数A、B、C且满足A×A＝B× C，
①A＝x，B＝1，C＝x
2
，则x+1+x
2
＝79，无解． < br>②A＝xy，B＝1，C＝x
2
y
2
，则xy+1+x
2y
2
＝79，无解．
③A＝xy，B＝x，C＝xy
2
，则 xy+x+xy
2
＝79，无解．
④A＝xy，B＝x
2
，C＝y
2
，则xy+x
2
+y
2
＝79，解得：，则N＝3
2
×7
2
＝441．
⑤A＝x
2
y，B＝x
2
y
2
，C＝x
2
，则x
2
y+x
2
y
2
+x
2
＝79，无解．
故答案为441．
11． （15分）有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平
方数，用这个 四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还
恰好等于它的数字和，那当然也 是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，
那么这个四位数是多少？
【解答】解：
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，
有25个约数的末两 位为25（这就是说，这个数含有质因数5）平方数，一定形如a
4
×b
4
或 c
4
（显然太大，放弃），至少为2
4
×5
4
＝10000 ，不是四位数，
所以这个平方数数字和为9（这就是说，这个数含有质因数3），含有9个约数，那么 形
如a
2
×b
2
或c
8
，
3
2
×17
2
＝2601
答：这个四位数是2601．







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