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专题28 纵观全局——整体思想

阅读与思考
解数学问 题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。与分解、分部
处理问题相 反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体
结构的分析和 改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内
容和解题方向的 策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有：
1. 整体观察
2. 整体设元
3. 整体代入
4. 整体求和
5. 整体求积 注：既看局部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法．
例题与求解
【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收 入最高的只有一户，是38000元。由于将这个
数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均 年收入比实际平均年收入高出了342元，则输入计
算机的那个错误数据是 ．
（北京市竞赛题）
解题思路：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．

注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到 沟通已知
与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案．

【例2】设
a、b、c
是不全相等的任意数，若
xabc,ybac ,zcab
，则
x、y、z
（ ）
（全国初中数学联赛试题）
A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一个小于零 D.至少有一个大于零

解题思路：由于
a、b、c
的任意性，若孤立地考虑
x、y、z< br>，则很难把握的
x、y、z
正负性，应该考虑
整体求出
xyz的值．

222
2a
5
3a
4
3a3
9a
2
5a1
【例3】如果a满足等式
2a3a1 0
，试求的值．
3a1
2
(天津市竞赛题)

解题思路：不能直接求出
a
的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代
入求值．
注：整 体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加
叠乘、整 体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现．

【例4】已知
x2,y 4
，代数式
ax
3
11
by51997
，求当x4,y
时，代数式
22
3ax24by
3
498 6
的值．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）







解题思路：
a、b
的值无法求出，将给定的
x、y
值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的
联系，整体代入求值．

【例5】已知实数
a、b、c、d、e、f
满足方程组．

2a bcdef


a2bcdef


a b2cdef


abc2def

ab cd2ef



abcde2f
20①
40②
80③
160④
320⑤
640⑥

求
fedcba
的值．
（上海市竞赛题）

解题思路：将上述六个式子看成整体，通过⑥－⑤，④－③，②－ ①分别得到
fe,dc,ba
．


【例6】如图，将1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻的五个圆
圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M得最小值并完成你的填图．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）＼



解题思路：解答此题的关 键是根据题意得出
S(a
1
a
2
a
10
)≤ 10M
，这是本题的突破口．
注：在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整 体，用一个字母代换，以此达到体现式
子结构的特点，化繁为简的目的．










能力训练 < br>1．已知密码：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码 翻译成式子
是
2．若a，b，c的值满足(3a2bc4)(a2b3c6)≤0
，则
9a2b7c

(“城市杯”竞赛试题)
3．角

，

，
中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算
22
1
（





）
的值时，全班得
15
到23.5°， 24.5°，25.5°这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的答案是

4．如果
x2x3
，那么
x7x8x13x15
=

2432

（“希望杯”邀请赛试题）
5．已知
a
1
,a
2
,,a
1991
都是正数，设
M(a
1
a
2

a
1991
)(a
2
a
3

a
1990
)(a
2
 a
3
a
1991
)
，
N(a
1
a
2
a
1990
)
，那么
M
与
N
的大小关系是
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
M

N
．


ax
2
bx10
2
6．若方程组

bxxa0
有解，则
ab


x
2
axb0

（湖北省武汉市选拔赛试题） < br>
11

6
zxy2z

5

3
7．若正数
x，y，z
满足不等式

xyzx
， 则
x，y，z
的大小关系是（ ）
3

2
11

5
yxzy

24

A．
xy z
B．
yzx
C．
zxy
D．
不能确定

5432
8．若

3x1
axbxcxdxexf
，则
abcdef
的值是（ ）
2
A．
32
B．
32
C．
1024
D．
1024

9．在一家三口 人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三人中最大
年龄与最 小年龄的差是（ ）
A．
28
B．
27
C．
2
D．
2

10．设
a，b，c
，满足等式
xa2b
一个值（ ）
A．
大于0
B．
等于0
C．
不大于0
D．
小于0

（全国初中数学联赛试题）
11．
（1）abc0,化简a()b(< br>2
πππ
,yb
2
2c,zc
2
2a< br>，则
x，y，z
中至少有
362
11111
)c()3.

ccaab
ab1bc1ca1abc
(2)已知,,，则的值为多少？

ab15bc17ca16abbcca
1
b







12．有一个四位数，把它从中间分成两半，得 到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，