专题28 纵观全局 【7年级数学 培优新帮手】
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专题28 纵观全局——整体思想
阅读与思考
解数学问
题时,人们习惯了把它分成若干个较为简单的为,然后在分而治之,各个击破。与分解、分部
处理问题相
反,整体思想是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,有整体入手,突出对问题的整体
结构的分析和
改造,把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑,从整体上把握问题的内
容和解题方向的
策略,往往能找到简捷的解题方法,解题中运用整体思想解题的具体途径主要有:
1. 整体观察
2. 整体设元
3. 整体代入
4. 整体求和
5. 整体求积 注:既看局部,又看整体;既见“树木”,又见“森林”,两者互用,这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法.
例题与求解
【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入,其中年收
入最高的只有一户,是38000元。由于将这个
数据输入错了,所以计算机显示的这1000户的平均
年收入比实际平均年收入高出了342元,则输入计
算机的那个错误数据是 .
(北京市竞赛题)
解题思路:有1000个未知量,而等式只有两个,显然不能分布求出每个未知量,不妨从整体消元.
注:有些问题要达到求解的目的,需要设几个未知数,但在解答的过程中,这些未知数只起到
沟通已知
与未知的辅助的作用,因此可“设而不求”,通过整体考虑,直接获得问题的答案.
【例2】设
a、b、c
是不全相等的任意数,若
xabc,ybac
,zcab
,则
x、y、z
( )
(全国初中数学联赛试题)
A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一个小于零 D.至少有一个大于零
解题思路:由于
a、b、c
的任意性,若孤立地考虑
x、y、z<
br>,则很难把握的
x、y、z
正负性,应该考虑
整体求出
xyz的值.
222
2a
5
3a
4
3a3
9a
2
5a1
【例3】如果a满足等式
2a3a1
0
,试求的值.
3a1
2
(天津市竞赛题)
解题思路:不能直接求出
a
的值,可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系,然后把条件等式整体代
入求值.
注:整
体思想在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面有广泛的应用,整体代入、叠加
叠乘、整
体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现.
【例4】已知
x2,y
4
,代数式
ax
3
11
by51997
,求当x4,y
时,代数式
22
3ax24by
3
498
6
的值.
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解题思路:
a、b
的值无法求出,将给定的
x、y
值分别代入对应的代数式,寻找已知式与待求式之间的
联系,整体代入求值.
【例5】已知实数
a、b、c、d、e、f
满足方程组.
2a
bcdef
a2bcdef
a
b2cdef
abc2def
ab
cd2ef
abcde2f
20①
40②
80③
160④
320⑤
640⑥
求
fedcba
的值.
(上海市竞赛题)
解题思路:将上述六个式子看成整体,通过⑥-⑤,④-③,②-
①分别得到
fe,dc,ba
.
【例6】如图,将1,
2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内,使得任意连续相邻的五个圆
圈内的数的和均不大于某一个整数M,求M得最小值并完成你的填图.
(北京市“迎春杯”竞赛试题)\
解题思路:解答此题的关
键是根据题意得出
S(a
1
a
2
a
10
)≤
10M
,这是本题的突破口.
注:在解答有同一结构的问题时,可将这一相同结构看作一个整
体,用一个字母代换,以此达到体现式
子结构的特点,化繁为简的目的.
能力训练 <
br>1.已知密码:3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字,将这个密码
翻译成式子
是
2.若a,b,c的值满足(3a2bc4)(a2b3c6)≤0
,则
9a2b7c
(“城市杯”竞赛试题)
3.角
,
,
中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算
22
1
(
)
的值时,全班得
15
到23.5°,
24.5°,25.5°这样三个不同结果,其中确有正确的答案,则正确的答案是
4.如果
x2x3
,那么
x7x8x13x15
=
2432
(“希望杯”邀请赛试题)
5.已知
a
1
,a
2
,,a
1991
都是正数,设
M(a
1
a
2
a
1991
)(a
2
a
3
a
1990
)(a
2
a
3
a
1991
)
,
N(a
1
a
2
a
1990
)
,那么
M
与
N
的大小关系是
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
M
N
.
ax
2
bx10
2
6.若方程组
bxxa0
有解,则
ab
x
2
axb0
(湖北省武汉市选拔赛试题) <
br>
11
6
zxy2z
5
3
7.若正数
x,y,z
满足不等式
xyzx
,
则
x,y,z
的大小关系是( )
3
2
11
5
yxzy
24
A.
xy
z
B.
yzx
C.
zxy
D.
不能确定
5432
8.若
3x1
axbxcxdxexf
,则
abcdef
的值是(
)
2
A.
32
B.
32
C.
1024
D.
1024
9.在一家三口
人中,每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60,那么这三人中最大
年龄与最
小年龄的差是( )
A.
28
B.
27
C.
2
D.
2
10.设
a,b,c
,满足等式
xa2b
一个值( )
A.
大于0
B.
等于0
C.
不大于0
D.
小于0
(全国初中数学联赛试题)
11.
(1)abc0,化简a()b(<
br>2
πππ
,yb
2
2c,zc
2
2a<
br>,则
x,y,z
中至少有
362
11111
)c()3.
ccaab
ab1bc1ca1abc
(2)已知,,,则的值为多少?
ab15bc17ca16abbcca
1
b
12.有一个四位数,把它从中间分成两半,得
到前、后两个两位数,将前面的两位数的末尾添一个零,