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4-2-4.图形的分割

知识点拨


几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外，还可以用图形分割的思
想来做。我们发现，在迎春杯几何问题中，这类题目很多。掌握好这种思想方法，可以帮助
我们解决很多 几何难题。
解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、
等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。
解题思想 ：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更
要细细体味这种思想在 解决各种问题中的妙用。

例题精讲


模块一、简单分割

【例 1】 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点
A和
B
分别与正方
形中心点重合，如果所构成图形的周长是48厘米，那么这个图形 覆盖的面积是
__________平方厘米.

【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级组，复试，4题
【解析】 将 这3个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正
方形边长为48÷8=6 （厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3（厘
米），所以这个图形覆盖的面积为6× 6×2+3×3×2=90（平方厘米）。
【答案】
90
平方厘米

【例 2】 正方形
ABCD
的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连 结八个端
点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．
A
D
B
C

【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形 组成，
所以，大正方形的面积是：
199
(平方米)．
【答案】
9
平方米
4-2-4 图形的分割 题库
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【例 3】 将边长为
a
的正方形各边的中点连 结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的
中点连结成第三个正方形，依此规律，继续下去，得到下图 那么，边长为
a
的正
方形面积是图中阴影部分面积的________ 倍.

【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第6题，4分
【解析】 阴影部分是大正方形的0.5×0.5×0.5×0.5=
【答案】
16
倍
1
，所以正方形是阴影的16倍
16

【例 4】 正三角形ABC
的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个
端点得到一个六边形 (如右图)，求六边形的面积．
A
BC

【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 采用分割法，过
A
、
B
、
C
分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面< br>积都相同，所以六边形面积等于13平方米．
【答案】
13
平方米

【例 5】 正六边形
ABCDEF
的面积是1平方米，将六条边分别向两 端各延长一倍，交于
六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．
A
F
ED
B
CF
ED
A
B
C

【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 采用分割法，连接正六 边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有
12个小三角形，原来正六边形的面积是1平 方米，由6个小三角形组成，所以现
在的大图形的面积是：
122
(平方米)
【答案】
2
平方米

【例 6】 长方形ABCD的面积是40平 方厘米，E、F、G、H分别为AC、AH、DH、BC的中点。
三角形EFG的面积是 平方厘米。
E
A
D
F
G
B
H
C

4-2-4 图形的分割 题库
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【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛，第3题
11
【解析】
405
（平方厘米）
24
【答案】
5
平方厘米

【例 7】 把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接 这些
等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294
平方分米 ，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．

【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空
12
【解析】 图1中阴影部分占整个三角形面积的，图2 中阴影部分占整个三角形面积的
25
161216
，故图2中阴影部分的面积为294 ÷

=200(平方分米)．
492549
【答案】
200
平方分米

【例 8】 右图中的大正方形
ABCD
的面积是 1，其它点都是它所在的边的中点。请问：阴
影三角形的面积是多少？
A
D
图1图2
B
C

【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛，第6题
11
，所以小 正方形面积是，
24
将小正方形各顶点标上字母如右图，很容易看出三角形
JFG面积＝三角形
IHG
面积
11
1
＝×正方形
EFGH< br>面积，三角形
EJI
面积＝×三角形
EFH
面积＝×正方形
E FGH
44
8
11
13
面积。所以阴影三角形
JGI
面积＝(1－－－)×小正方形面积＝×小正方
44
88
3
形面积＝。
32
3
【答案】
32

【例 9】 下图中有四条弦，每 一条弦都把大圆分割成两个面积比为1:3的区域，而且这些
弦的交点恰好是一个正方形的四个顶点。这 些弦把圆分割成9个区域，则此正方
形的面积是区域
P
面积的 倍。（

3.14
）
【解析】 图中有大、中、小三个正方形，每个面积是前一个的
4-2-4 图形的分割 题库
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P

【考点】图形的分割 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，第1题
【解析】 去掉两边的弓形之后，中间 部分面积是整个圆的一半，横竖两块中间部分面积和就
等于圆面积，所以重叠部分面积等于4个
P
面积的和。即正方形面积是
P
的4倍。
【答案】
4


模块二、化整为零

【例 10】 在图中，三角形ABC和DEF是两 个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘
米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米 ?
A
D
E
B
F
C

【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：如图，将原题中图形分为12个完全一样的小等 腰三角形．△ABC占有9
个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，
S
△ABC
=9×9÷2=40.5(平
方厘米)，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=2 7(平方厘米)．
A
H
I
E
B
F
D
G
C

方法二：如图，连接IG，有四边形ADGI为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，所以
1 1
DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是S
S
VHIG
=×
S
正方形AIGD
=×
6
2
=9.而四边形IGFB为长方形，44
有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以
S
长方形IGF B
=6×3=18．阴影部分面积为A HIG与长
方形IGFB的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．
A
H
I
E
B
F
D
G
C

方法三：如图，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母．
4-2-4 图形的分割 题库
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A
H
I
E
B
F
D
G
C

易知三角形BIE、CGF、AIH、DGH均为等腰直角三角形．
先求出等腰直角三角形AHI、CGF的面积，再用已知的等腰三角形ABC的面积与其作
差，
即为需求阴影部分的面积．有S
△ABC
=
S
△DEF
=< br>FG=
1811
×EF×DF=，
SV
×CF×
CGF
=
222
9
．
2
因为CF=FG=3，所以DG=DF- FG=6．
如图，可以将4个三角形DGH拼成一个边长为DG的正方形．
D
H
G

1
×DG×DG=9，而
S
△A IH
=
S
△DGH
=9，
4
819
所以
S
阴影BFGHI
= S
△ABC
-
S
△CGF
-
S
△AIH
= --9=27(平方厘米)．
22
即阴影部分的面积为27平方厘米．
【答案】
27
平方厘米

【例 11】 正方形ABCD与等腰直 角三角形BEF放在一起（如图），M、N点为正方形的边的中
22
点，阴影部分的面积是14 cm，三角形BEF的面积是____ cm。
所以，
S
△ACD
S
△DGH
=
F
A
M
D
N
B
C
E

【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，四年级，初赛，第8题
【解析】 因为M、N是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下
F
A
M
D
N
B
C
E

图 形中的三角形面积都相等，阴影部分由7个三角形组成，且其面积为14平方厘米，故一
4-2-4 图形的分割 题库
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个三角形的面积为2平方厘米，那么三角形BEF的面积是18平方厘米。
【答案】
18
平方厘米

【例 12】 一个等腰直角三角形和一 个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积分别是2、
8、58，则④、⑤这两块的面积差是 ．
②
①
②
①
③
④
⑤
③
④
⑤

【考点】图形的分割 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级，初赛，7题
【解析】 由于②的面积是①的4倍，所以可以把② 分成4倍的①，而两个①为一个方格，一
个方格的面积为
224
．根据
5 8260
，则①与③一共是
60415
格，所以
①与③是
3 5
的长方形．所以正方形边长是①的直角边长的5倍，等腰直角三角
形直角边长是①的直角边 长的7倍，则④的格数为8格，⑤的格数为10格，④、
⑤这两块的面积差是
1082(格)，1格的面积为4，所以④、⑤这两块的面积差
为
428
．
【答案】
8


【例 13】 如图4，在长方形
ABCD
中，
E
、
F
、
G
分别是
BC
、< br>CD
、
DA
上的点，且使得
四边形
AEFG
是直角梯 形，
GAE45
，
GF∶AE2∶3
．如果梯形
AEFG< br>的面
积是
15
平方厘米，那么长方形
ABCD
的面积是 平方厘米．
D
F
C
E
G

【考点】图形的分割 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级组，初试，9题
【解析】 这是一道几何问题，重点考察同学们对等腰直角三角形性质的认识．
方法一：在长方形
ABC D
中，由于四边形
AEFG
是直角梯形，
GAE45
，可知< br>DGFDFGCFEFECEABBEA45
，所以，
△D GF
、
△CEF
、
△ABE
都是等腰直角三角形．故可将长方形ABCD
分割，如图6：
D
F
C
E
G
AB< br>A
显然，
S
梯形AEFG
10S
△CEF
，
S
ABCD

24S
CEF
，
B
2424
S
梯形AEFG
1536
平方厘米． < br>1010
方法二：在直角梯形
AEFG
中，
AE∥GF
，由< br>GAE45
，可知
GDF45
，因为直角
三角形
GDF
与
ABE
的斜边
GF∶AE2∶3
，所以直角边
DF∶AB2∶3
，故
19
．连结
DE
，
FC∶AB1 ∶3
．于是，
DF∶FC∶AB2∶1∶3
，
S
DFG
∶S
CEF
∶S
ABE
4∶∶
S
ABCD

4-2-4 图形的分割 题库
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则
S
△DEC
3S
△FEC
，
S
△DEC
S
△AEB

1
S
ABCD
2
，
S
ABCD
24S
△CEF
，
S< br>梯形AEFG
10S
△CEF

102424
S
A BCD
，所以
S
ABCD
S
梯形AEFG
1536
平方厘米．
241010
【答案】
36
平方厘米

【例 14】 一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置，图中六块的面积分别为1，1，l，l，< br>2，3．大长方形的面积是 ．
2
1
1
3
1
1

【考点】图形的分割 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第3题，8分
【解析】 面积为2的部分可以划分为两个单位三角形，并可观察出，空白部分可以划分为
14 个单位三角形。所以，大长方形的面积为1+1+14+3=19。
【答案】
19


【例 15】 如右图，一个面积为2009平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两 个等
腰直角三角形、三个梯形．已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且
B
是
AC
的中点；那么阴影长方形的面积是 平方厘米．
C
B
A

【考点】图形的分割 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级，初赛，7题
a
2
【解析】 方法一：设等腰直 角三角形的腰长为
a
，那么等腰直角三角形的面积为．因为
B
2
a< br>是
AC
的中点，那么可以判断三个梯形的高都是．这样每个梯形的两底之和为
2
2
aa
a
22a
，其中左右两个梯形，上底比下底短，可求得 左右两个梯形的上
22
2
3a5a
底为，下底为．上边的梯形，上底比下底短
a
，可求得上边的梯形上底长为
44
a3a3a7aa5a
，下底长 ．所以长方形的宽为
a
，长为
aa
．所以大长

2 24422
7a5a35a
2
15a
2
方形的面积为，而阴影长方形 的面积为，所以阴影长方形的面

4288
3515
积为
2009 861
．
88
方法二：利用图形分割如下图知道左右两个角上的直角三角行可 以分割为四个小直角三角行
看做4份，因为两个等腰直角三角形、三个梯形的面积相等，所以这五部分共 可以看作20
份，长方形的面积可以看作15份，所以整个图形被
2015=35
（ 份），那么阴影长方形的面
积是
20093515=861
（平方厘米）
4-2-4 图形的分割 题库
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【答案】
861
平方厘米

【例 16】 如图中正六边形的面积为24，其中A、B、C都是所在边的中点，D是BC的三等分点，阴影部分的面积是________。
A
C
D
B

【考点】图形的分割 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第7题
【解析】 5

在格点图 中，每个小三角形的面积是
1
，可以数出阴影外面的部分19，那么阴影部分的
面积是
5
。
【答案】
5


【例 17】 正六边形A 1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正
六 边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
A
1
B
6
A
6
B
5
A
5
B
4
A
4
B
3
B
1
A
2
B
2
A
3

【考点】图形的分割 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛，14题
【解析】 如图，设
B
6
A
2
与
B
1
A
3
的交点为
O
， 则图中空白部分由
6
个与
△A
2
OA
3
一样大小的 三
角形组成，只要求出了
△A
2
OA
3
的面积，就可以求出 空白部分面积，进而求出阴影
部分面积.
4-2-4 图形的分割 题库
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A
1
B
6
A
6
B
5
A
5
B
1
O
A
2
B
2
A
3
B
3
B
4
A
4

连接A
6
A
3
、
B
6
B
1
、B
6
A
3

设
△A
1
B
1< br>B
6
的面积为“
1
”，则
△B
1
A
2
B
6
面积为“
1
”，
△A
1
A
2
B
6
面积为“
2
”，那么
△A
6
A3
B
6
面积为
△A
1
A
2
B
6
的
2
倍，为“
4
”，梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
的面积为
224212
，< br>△A
2
B
6
A
3
的面
积为“
6”，
△B
1
A
2
A
3
的面积为
2
612
S
△B
1
A
2
A
3

，
167
121
所以
S
△A
2
OA
3
∶S
梯形A
1
A
2
A
3
A6
∶12∶1∶7
，即
△A
2
OA
3
的面积 为梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
面积的 ，故为六
77
113
边形
A
1
A
2
A3
A
4
A
5
A
6
面积的，那么空白部分的面积 为正六边形面积的
6
，所以阴影
14147

3
部分面积为
2009

1

1148
(平方厘米 ).

7

方法二：分割如下图：整个图形被分成
7
个小 的正六边形，每个面积为
20097=287
，根据
下图知道，阴影部分是由一个小 正六边形和六个半个小六边行组合而成，合计为4个小六边
形，面积是
2874=1148< br>（平方厘米）
∶6
，故
S
△A
2
OA3

根据蝴蝶定理，
B
1
OA
3
OS
△B
1
A
2
B
6
∶S
△A
3
A
2B
6
1

【答案】
1148
平方厘米

【例 18】 如右图，长方形
ABCD
中被嵌入了6个相同的正方形．已知
AB
=22厘米，
BC
=20
厘米，那么每一个正方形的面积为 平方厘米．
A
D
B
C

【考点】图形的分割 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级，初赛，15题
【解析】 将 所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为
a
，
3a2b22
短直角边长为
b
，那么根据大长方形的长宽可列出方程组：
，解得
3ab20


a6
2
，所以 每个小正方形的面积为

62

2622
2
6
2
40
平方厘米．


b2
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A
D
B
C

【答案】
40
平方厘米

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